Ergebnisbericht der Deutschen Aktuarvereinigung e.v. Kreditrisikomodellierung von ausfallbehafteten Kapitalanlagen in Versicherungsunternehmen

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1 Ergebnisbericht der Deutschen Aktuarvereinigung e.v. Kreditrisikomodellierung von ausfallbehafteten Kapitalanlagen in Versicherungsunternehmen Köln,

2 Präambel Die Arbeitsgruppe Kapitalanlagemodellierung inkl. Bilanzierungsfragen und Betrachtung aktivseitiger Managementregeln 1 des Ausschusses Investment hat zu dem Thema Kreditrisikomodellierung von ausfallbehafteten Kapitalanlagen in Versicherungsunternehmen den vorliegenden Ergebnisbericht erstellt. Anwendungsbereich / Inhalt des Ergebnispapiers Der Bericht betrifft Fragestellungen der Kapitalanlage und soll Aktuaren einen Überblick über die derzeit im aktuariellen Bereich verwendeten Modelle zur Kreditrisikoberechnung und deren Einbindung in die Unternehmensmodelle geben. Er ist an die Gremien der DAV zur weiteren Berücksichtigung gerichtet und wird den Mitgliedern zur Information über die von der Arbeitsgruppe erzielten Erkenntnisse zur Verfügung gestellt. Der Bericht stellt keine verbindliche Position der DAV dar und enthält keine Vorgaben für die aktuarielle Praxis. Verabschiedung Dieser Ergebnisbericht ist durch den Ausschuss am verabschiedet worden. 1 Mitglieder der Arbeitsgruppe: Alexander Schalk (Leitung), Jörn Ehm, Torsten Grabarz, Dr. Oleksandr Khomenko, Stefan Köstner, Dr. Martin Leitz-Martini, Dr. Christina Schmerling, Suzan Starova, Dirk Strehmel, Dr. Thomas Viehmann, Reimar Volkert 2

3 Inhaltverzeichnis 1. Einleitung Grundlegende Definitionen und einführendes Beispiel Spread und Risikoprämie Ratings und Zerlegung des Spreads Definition der zu modellierenden Kreditrisiken Komponenten des Marktspreads Anwendung Reine Anlagebetrachtung Bewertung von Kapitalanlagen (Mark-to-Model) Risikobetrachtung von Kapitalanlagen Unternehmensbetrachtung unter Einbeziehung der Passiva Bewertung in der Unternehmenssicht Risikokapitalberechnung im Unternehmensmodell Marktübliche Modelle Merton Modell KMV Modell Modell von Vasicek CreditMetrics Credit Risk Credit Portfolio View Modell von Fons Modell von Jarrow und Turnbull Modell von Jarrow-Lando-Turnbull Modell von Lando Longstaff Schwartz Modell von Duffie und Singleton Fazit

4 1. Einleitung Das Anliegen dieser Ausarbeitung ist es, einen Überblick über die derzeit im aktuariellen Bereich verwendeten Modelle zur Kreditrisikoberechnung und deren Einbindung in die Unternehmensmodelle zu geben. Die Modellierung erfolgt zur Abbildung der finanziellen Risiken, die sich aus der Möglichkeit des Ausfalls von Forderungen, im Besonderen von Zinsträgern, ergeben. Je nach Anlage materialisiert sich das Kreditrisiko in einem gegebenen Zeitraum in einem Verlust an Marktwert. Dieser kann z.b. durch Ratingverschlechterungen oder allgemeine Spreadausweitung entstehen. Geht die Modellbildung zunächst von einer einzelnen kreditrisikobehafteten Anlage aus, ist für die Betrachtung eines Portfolios zusätzlich noch eine Modellierung der Abhängigkeiten der Verluste der einzelnen Titel erforderlich. Vor der Modellierung des Kreditrisikos steht jedoch die Frage, welche Titel als kreditrisikobehaftet angesehen werden und somit in die Modellierung mit einbezogen werden sollen und wie sich der Eintritt des Kreditrisikos auf den Wert und die Rückzahlung der ausstehenden Forderungen auswirkt. In dieser Ausarbeitung werden unter dem Begriff Zinsträger Wertpapiere und Darlehen betrachtet. Mögliche Treiber des Kreditrisikos können anhand der Assetklassen Unternehmensanleihen, Covered Bonds (z.b. Pfandbriefe) und Staatsanleihen kurz verdeutlicht werden: Das Kreditrisiko von Unternehmensanleihen ist in der Regel eng mit der ökonomischen Entwicklung des Emittenten verknüpft. Die Assetklasse Covered Bonds bietet für den Fall eines Kreditereignisses einen zusätzlichen Deckungsstock an Sicherheiten. Die Ausgestaltung dieses Deckungsstocks und die Anforderungen an die Qualität dieser Sicherheiten unterscheiden sich jedoch zwischen den einzelnen Jurisdiktionen. Staatsanleihen unterliegen neben der wirtschaftlichen Entwicklung auch politischen Einflussfaktoren auf das Kreditrisiko. Die in dieser Ausarbeitung beschriebenen Modelle widmen sich im Wesentlichen dem ökonomisch getriebenen Kreditrisiko. Der Anwender sollte daher vor Einsatz dieser Modelle kritisch hinterfragen, welche Assetklassen er mit dem jeweiligen Modell abdecken möchte und in wie weit das jeweilige Modell hierfür geeignet ist. Im folgenden Kapitel 2 werden die Begrifflichkeiten eingeführt und anhand eines Beispiels veranschaulicht. Dabei wird auf eine ausführliche Darstellung Wert gelegt, die dem Leser ermöglicht, die durchgeführten Berechnungen nachzuvollziehen. In Kapitel 3 werden die unterschiedlichen Anwendungsziele von Kreditrisikomodellen sowohl unter einer Asset-only-Sicht als auch unter Einbeziehung der Passiva beleuchtet. Kapital 4 beschreibt in kurzer Form am Markt gängige Kreditrisikomodelle und stellt dabei insbesondere die Idee der dem jeweiligen Modell zugrundeliegenden Berechnungsmethodik dar. Abschließend wird in Kapitel 5 ein Fazit gezogen. 4

5 2. Grundlegende Definitionen und einführendes Beispiel Die Cashflows eines Bonds können bei einem Kreditereignis teilweise oder auch komplett ausfallen. Um diesem Umstand Rechnung zu tragen, werden Bonds am Markt in der Regel mit einem Abschlag zum risikofreien Preis, d.h. der Preis für Anlagen mit sicher auftretenden Zahlungen (mit risikofreier Zinskurve diskontierte Cashflows) gehandelt. Dieser Preisabschlag beinhaltet sowohl einen Abschlag für erwartete Ausfälle als auch eine Risikoprämie. Beide Komponenten des Preisabschlags lassen sich in einen Spread bzgl. der risikofreien Zinskurve umrechnen. Dabei ist die Ermittlung der erwarteten Ausfälle zumeist eine sehr komplexe Aufgabe, die in der Regel eine aufwendige Analyse des Emittenten und dessen Bonitätssituation erfordert. Eine grobe Abschätzung für das Ausfallrisiko eines Bonds kann durch Ratings und die dazugehörige Migrationsmatrix vorgenommen werden. Diskontiert man die vertraglich vereinbarten Cashflows eines Bonds mit der ratingspezifischen Zinskurve, so nähert man sich in der Regel an den tatsächlichen Marktwert des Bonds an. In diesem Kapitel werden wir die erwähnten Begriffe definieren und anhand eines Beispiels veranschaulichen. Dafür betrachten wir einen beispielhaften Bond mit einem Nominalbetrag von EUR 100, einem jährlichen Kupon von 3% und einer Laufzeit von 5 Jahren ab dem Bewertungsstichtag. Die nächste Kuponzahlung sei in genau einem Jahr, insbesondere sind keine Stückzinsen aufgelaufen. Ferner nehmen wir an, der Bond sei aktuell am Markt für EUR 102 handelbar. 2.1 Spread und Risikoprämie Zur Bewertung des Bonds benötigen wir eine risikofreie Zinsstrukturkurve (annualisierte Zero-Zinssätze) die folgende Form besitzen soll: Tabelle 1. Beispielhafte risikofreie Zinsstrukturkurve Laufzeit (Jahre) Spot rate 1,40% 1,30% 1,35% 1,53% 1,72% 1,91% 2,07% 2,20% 2,31% 2,40% Diskontfaktor 0,986 0,974 0,961 0,941 0,918 0,893 0,866 0,840 0,814 0,789 4,00% Zero Spot rate (annualisiert) 3,00% 2,00% 1,00% 0,00%

6 Um den Bond risikofrei (d.h. es besteht kein Ausfallrisiko) zu bewerten, werden dessen anfallende Cashflows mit den Zero-Zinssätzen passend zum jeweiligen Zinszahlungstermin diskontiert. Tabelle 2. Cashflows und Marktwerte des Beispiel-Bonds Laufzeit (Jahre) Summe Diskontfaktor 0,986 0,974 0,961 0,941 0,918 Cashflow 3,00 3,00 3,00 3,00 103,00 Barwert Cashflow 2,96 2,92 2,88 2,82 94,58 106,17 Die Summe der Cashflow-Barwerte (in diesem Beispiel EUR ) ergibt den Marktwert des theoretisch risikofreien Bonds. Der in unserem Beispiel beobachtete Abschlag zum aktuellen Marktpreis in Höhe von EUR 4.17 ist der Tatsache geschuldet, dass der Bond nicht risikofrei ist und deshalb aufgrund des Bonitätsrisikos des Emittenten die Kupons und/oder die Nominalrückzahlung ganz oder teilweise ausfallen können. Eine Möglichkeit das Kreditrisiko in die Bewertung einzubeziehen, besteht in der Berücksichtigung eines additiven Aufschlags 2 auf die risikofreie Zinskurve (Bondspread). Hierdurch wird gewährleistet, dass der Barwert der Bond Cashflows bewertet mit risikofreier Kurve zzgl. Spread dem aktuellen Marktwert entspricht. In unserem Beispiel wird ein konstanter Spread zur risikofreien Kurve in Tabelle 1 in Höhe von 0,87% benötigt, um bei Diskontierung der Cashflows einen Marktwert von EUR 102 zu erhalten. Tabelle 3. Cashflows und Marktwerte des Beispiel-Bonds Laufzeit (Jahre) Summe Diskontsatz 2,27% 2,17% 2,22% 2,40% 2,59% Diskontfaktor 0,978 0,958 0,936 0,910 0,880 Cashflow 3,00 3,00 3,00 3,00 103,00 Barwert Cashflow 2,93 2,87 2,81 2,73 90,65 102,00 2 Ein additiver Spread ist der Standard für Bondbewertung und Marktquoten. Für Modellierungszwecke ist es manchmal vorteilhaft den multiplikativen Spread zu verwenden. Der additive Spread a hängt mit dem multiplikativen Spread m und risikofreiem Zins r wie folgt zusammen (1+r+a) = (1+r)(1+m). 6

7 4,00% Spot Rate mit Spread 3,00% 2,00% 1,00% 0,00% Unter der Annahme einer erwarteten ( Real-World ) Entwicklung eines Bonds können erwartete Verluste, die aus dem Kreditrisiko resultieren (Expected Losses), ermittelt werden. Damit lässt sich jener Teil des Spreads, der durch erwartete Verluste erzeugt wird, bestimmen. Der verbleibende Teil des Spreads entspricht dann der Risikoprämie, die ein Investor für die Übernahme des Risikos eines unerwarteten Verlustes zur Kompensation verlangen würde. Die oben dargestellte Risikoprämie in Höhe von EUR 4,17 kann demnach in einen Teil für erwartete und einen Teil für unerwartete Verluste zerlegt werden. In unserem Beispiel nehmen wir an, dass die Ausfallwahrscheinlichkeit 0,25% pro Jahr beträgt und dass bei Ausfall ein Drittel des Nominals erlöst werden kann, die Recovery Rate also 1/3 und der Loss Given Default 2/3 beträgt (evtl. anfallende Kuponzahlungen sind in der Recovery Rate berücksichtigt). Wir nehmen weiterhin an, dass nach einem eingetretenen Ausfall keine weiteren Cashflows aus dem Bond fließen (zum Beispiel, weil der Bond verkauft wird). Unter diesen Annahmen können die erwarteten Cashflows berechnet werden. Diese ergeben sich im jeweiligen Zahlungszeitpunkt aus den vertraglich festgeschriebenen Cash Flows gewichtet mit den Wahrscheinlichkeiten, dass kein Default eintritt (Überlebenswahrscheinlichkeit) sowie den Zahlungen im Default Fall (determiniert durch die Recovery Rate) gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit, dass der Bond genau im gegebenen Zeitpunkt ausfällt (Ausfallwahrscheinlichkeit). In der Praxis muss diese vereinfachende Annahme jedoch nicht zwangsläufig erfüllt sein. Zum Beispiel wurden Forderungen gegenüber Lehman Brothers nach dessen Insolvenz teilweise in mehreren Teilzahlungen beglichen und abhängig vom Liquidationsfortschritt war eine Anpassung der Recovery Rate zu beobachten. Die möglichen Cashflows aus dem Bondinvestment können dann wie folgt veranschaulicht werden. Zeitpunkt Cashflow ohne Ausfall 99,75% 99,75% 99,75% 99,75% 99,75% 3,00 3,00 3,00 3,00 103,00 bei Ausfall 33,33 33,33 33,33 33,33 33,33 7

8 Tabelle 4. Ausfallwahrscheinlichkeiten und Erwartete Cashflows Laufzeit (Jahre) Wahrscheinlichkeit Cashflow ohne Ausfall 3,00 3,00 3,00 3,00 103,00 98,7562% Ausfall Jahr 1 33,33 0,00 0,00 0,00 0,00 0,2500% Ausfall Jahr 2 3,00 33,33 0,00 0,00 0,00 0,2494% Ausfall Jahr 3 3,00 3,00 33,33 0,00 0,00 0,2488% Ausfall Jahr 4 3,00 3,00 3,00 33,33 0,00 0,2481% Ausfall Jahr 5 3,00 3,00 3,00 3,00 33,33 0,2475% Erwarteter Cashflow 3,08 3,07 3,06 3,05 101,80 Summe Barwert 3,03 2,99 2,94 2,87 93,48 105,32 In diesem Beispiel ist der Barwert des erwarteten Cashflows unter Berücksichtigung des Ausfalls gleich EUR 105,32. Der Preisabschlag in Höhe von EUR 4,17 zum risikofreien Preis kann dann in den erwarteten Ausfall in Höhe von EUR 0,85 (= EUR 106,17 EUR 105,32) und die Risikoprämie von EUR 3,32 aufgeteilt werden. Die so erhaltene Risikoprämie kann analog zur Berechnung in Tabelle 3 in einen konstanten Spread umgerechnet werden. Dabei ergibt sich ein Wert von 0,69% (69 Basispunkte). 2.2 Ratings und Zerlegung des Spreads Ausfallwahrscheinlichkeit und Recovery Rate sind zwei wichtige Parameter bei der Modellierung des Kreditrisikos. Diese hängen natürlich von den jeweiligen Emittenten ab und sind in der Regel schwer zu schätzen. Um eine erste Einschätzung des Kreditrisikos für Investoren zu ermöglichen, werden von Ratingagenturen Ratings vergeben. Im Folgenden gehen wir davon aus, dass Bonds mit gleichem Rating vergleichbare Ausfallwahrscheinlichkeiten haben 3. Aus den Marktpreisen von Bonds mit gegebenem Rating werden daher ratingspezifische Zinskurven bzw. Spreadkurven ermittelt, die eine Bewertung inklusive des inhärenten Ausfallrisikos ermöglichen sollen. Um dies anhand des Beispiels zu veranschaulichen, nehmen wir folgende ratingabhängige Spread- Struktur an: 3 In der Praxis ist es ein nichttriviales Problem, Zins- und insbesondere Spread-Struktur aus Marktdaten zu schätzen. Auch ist es eine substantielle Annahme, dass der Bond durch Diskontieren mit Zins und einem nur von Rating und Restlaufzeit abhängigen Spread bewertet werden kann. So können auch weitere Merkmale (z.b. Art und Branche des Emittenten, Seniorität oder andere Ausgestaltung der Anleihe) von erheblicher Bedeutung sein. 8

9 Tabelle 5. Beispielhafte Spread-Struktur bezogen auf die risikofreie Zinskurve Laufzeit (Jahre) AAA 0,03% 0,10% 0,20% 0,36% 0,59% 0,91% 1,28% 1,71% 2,14% 2,57% AA 0,07% 0,21% 0,40% 0,68% 1,05% 1,48% 1,96% 2,44% 2,89% 3,31% A 0,19% 0,53% 0,89% 1,33% 1,83% 2,35% 2,85% 3,32% 3,73% 4,07% BBB 2,70% 3,35% 3,86% 4,37% 4,88% 5,30% 5,61% 5,82% 5,95% 6,01% Non-invest. 19,75% 18,54% 17,15% 16,03% 14,99% 13,89% 12,79% 11,75% 10,81% 9,98% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% Beobachtete Spot Spreads (additiv, annualisiert) Beobachtete Rating-Kurven 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% AAA A AA BBB Risikolos Risikolos + 0,87% Risikolos + AAA Risikolos + AA Risikolos + A Risikolos + BBB Wie man in Tabelle 5 sieht, sind die beobachteten Spreads typischerweise laufzeitabhängig (im Gegensatz zum konstant angenommenen Spread in Abschnitt 2.1). Durch Diskontieren der vertraglich vereinbarten Cashflows mit dem ratingspezifischen Zinskurven können die Barwerte unter Berücksichtigung des Kreditrisikos berechnet werden 4. Ein unter Umständen zu beobachtender Preisabschlag bzw. Preisaufschlag bezogen auf den ratingspezifischen Barwert zum tatsächlichen Marktpreis des Bonds resultiert durch eine abweichende Risikoeinschätzung des Emittenten seitens der Marktteilnehmer. Dies tritt z.b. dann auf, wenn die ratingspezifische Zinskurve aus einem Portfolio mehrerer Bonds abgeleitet wird, der Emittent des zu bewertenden Bonds aber nicht in diesem enthalten ist. Analog zur Vorgehensweise im Abschnitt 2.1 kann ein (ratingabhängiger) bondindividueller Spread ermittelt werden. Dabei handelt es sich um einen konstanten additiven Auf- oder Abschlag auf die entsprechende Ratingkurve, so dass die Summe der mit der so geshifteten Ratingkurve diskontierten Bondcashflows dem beobachteten Marktwert entspricht. Dieser individuelle Spread kompensiert dann genau das Ausfallrisiko des jeweils betrachteten Bonds welches aufgrund der Konstruktion der Kurve nicht durch die ratingspezifische Zinskurve abgedeckt wird. Der Bondspread aus Abschnitt 2.1 entspricht dann dem individuellen Spread zur risikofreien Zinskurve. 4 Vgl. Abschnitt 2.4 zur Zerlegung des Spreads. 9

10 Tabelle 6. Mit der Zins- und Spreadstruktur ermittelte Marktwerte der Beispiel- Bonds mit verschiedenen Ratings Zeitpunkt Cashflow 3,00 3,00 3,00 3,00 103,00 Barwert Cashflow Summe Individueller Spread Risikofrei 2,96 2,92 2,88 2,82 94,58 106,17 0,87% AAA 2,96 2,92 2,86 2,78 91,88 103,40 0,30% AA 2,96 2,91 2,85 2,75 89,86 101,33-0,14% A 2,95 2,89 2,81 2,68 86,53 97,86-0,91% BBB 2,88 2,74 2,58 2,38 74,82 85,40-3,95% Non-Investment 2,48 2,09 1,80 1,57 47,57 55,50-14,25% Die mit ratingspezifischen Kurven ermittelten Preise können als die Marktwerte eines generischen (durchschnittlichen) Bonds mit gegebenen Rating und Kupon von 3% gesehen werden. Der Marktwert unseres Beispielbonds beträgt EUR 102 und liegt damit am nächsten zum Marktwert eines generischen Bonds mit Rating AA. Dies ist ein Indiz dafür, dass das mit dem betrachteten Beispielbond verbundene Kreditrisiko von den Marktteilnehmern ähnlich zu dem eines AA gerateten Bonds eingeschätzt wird. Eine größere Differenz zwischen dem Marktwert eines Bonds und der Summe der mit einer Rating-Kurve diskontierten Bond-Cashflows könnte entstehen, falls Ratingagenturen und Marktteilnehmer deutlich unterschiedliche Einschätzungen bzgl. des Kreditrisikos des Emittenten haben. Eine weitere Ursache für das Auseinanderfallen des theoretisch ermittelten Wertes und des Marktwertes kann im Auftreten von Marktanomalien (z.b. Liquiditätsengpass) liegen. Analog zum vorherigen Abschnitt 2.1 können auch im Fall von Spreadkurven die erwarteten Verluste aus dem Kreditrisiko (Expected Losses) ermittelt werden. Dadurch wird der Preisabschlag für erwartete Ausfälle von der Risikoprämie getrennt. Konkret nehmen wir weiterhin an, dass bei einem Ausfall ein Drittel der vereinbarten Zahlungen erlöst werden kann, also Recovery Rate = 1/3 und Loss Given Default = 2/3 (bezogen auf das Nominal). Jeder Bond wird als nur einmal ausfallend angenommen und wir fassen das Rating eines Bonds (einschließlich Ausfall) als Zufallsvariable auf. Dafür treffen wir die Annahme, dass Ausfall und Ratingmigrationen durch einen zeithomogenen Markovprozess dargestellt werden können und für die betrachteten Bonds die jährlichen Wahrscheinlichkeiten für zukünftige Migrationen und Ausfälle durch die folgende Übergangsmatrix gegeben sind 5 : 5 Tatsächlich ist jede dieser Annahmen kritisch zu hinterfragen. 10

11 Tabelle 7. Beispielhafte Migrationsmatrix AAA AA A BBB Non-invest. Ausfall AAA 88,4% 10,0% 0,9% 0,5% 0,2% 0,0% AA 0,8% 86,8% 11,0% 0,9% 0,5% 0,0% A 0,4% 2,5% 90,1% 6,0% 0,9% 0,1% BBB 0,2% 0,4% 4,9% 87,7% 4,6% 2,1% Non-invest. 0,1% 0,2% 0,5% 2,2% 81,3% 15,6% Ausfall 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 100,0% Die Matrix ist so zu lesen, dass jede Zeile zu einem Ausgangszustand gehört und in den Zellen die Wahrscheinlichkeiten abzulesen sind, dass nach einem Jahr der zur jeweiligen Spalte gehörige Zielzustand erreicht wird. Für einen BBB-Bond beträgt also zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, nach einem Jahr immer noch ein BBB-Rating zu besitzen, 87.7%, jene, innerhalb eines Jahres auszufallen, 2.1%. Die Annahme eines zeithomogenen Markovprozesses erlaubt es, abhängig vom Startrating Ausfallwahrscheinlichkeiten und Ratingverteilungen nach t Jahren anzugeben, indem die Matrix t-mal mit sich selbst multipliziert wird. Zum Beispiel, bezogen auf einen Bond mit Rating A ergeben sich folgende Ratingverteilungen auf t-jahres-sicht: 100% 80% 60% Ratingverteilung eines Bonds mit Startrating A nach t Jahren AAA AA A 40% BBB 20% 0% non-inv. Ausfall Mit obiger Matrix ergeben sich folgende kumulierte Ausfallwahrscheinlichkeiten innerhalb von t Jahren abhängig von Startrating: 11

12 Tabelle 8. Wahrscheinlichkeiten für einen Ausfall innerhalb von t Jahren (über t kumuliert) Jahr t AAA 0,01% 0,07% 0,17% 0,33% 0,55% AA 0,02% 0,13% 0,35% 0,67% 1,10% A 0,05% 0,37% 0,93% 1,71% 2,69% BBB 2,10% 4,68% 7,55% 10,58% 13,67% Non-invest. 15,63% 28,39% 38,82% 47,36% 54,39% Daraus lässt sich die Ausfallwahrscheinlichkeit im Jahr t abhängig von Startrating ermitteln (Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit): Tabelle 9. Wahrscheinlichkeiten für einen Ausfall im Jahr t Default Raten pro Jahr AAA 0,01% 0,06% 0,11% 0,16% 0,21% AA 0,02% 0,11% 0,22% 0,32% 0,44% A 0,05% 0,32% 0,56% 0,79% 0,99% BBB 2,10% 2,63% 3,01% 3,28% 3,46% Non-invest. 15,63% 15,12% 14,56% 13,97% 13,34% Analog zur Berechnungen in Tabelle 4 können die erwarteten Cashflows und deren Barwert ermittelt werden (unter den getroffenen Annahmen fließt ein Cashflow im Jahr t nur falls bis Jahr t-1 kein Default eingetreten ist): Tabelle 10. Erwartete Cashflows des Beispielbonds mit verschiedenen Startratings Zeitpunkt Risikofrei 3,00 3,00 3,00 3,00 103,00 AAA 3,00 3,00 3,00 3,00 102,65 AA 3,01 3,01 3,00 3,00 102,30 A 3,02 3,01 3,01 2,99 101,20 BBB 3,64 3,56 3,47 3,36 90,80 Non-invest. 7,74 6,53 5,54 4,74 48,48 Diskontiert man die erwarteten Cashflows mit der risikofreien Zinskurve, so erhält man erwartete Barwerte der Cashflows zum Zeitpunkt t=0. 12

13 Tabelle 11. Barwert der erwarteten Cashflows des Beispielbonds mit verschiedenen Startratings Zeitpunkt Summe Risikofrei 2,96 2,92 2,88 2,82 94,58 106,17 AAA 2,96 2,93 2,88 2,82 94,26 105,85 AA 2,96 2,93 2,88 2,82 93,93 105,53 A 2,97 2,94 2,89 2,81 92,93 104,54 BBB 3,59 3,47 3,33 3,17 83,37 96,93 Non-invest. 7,63 6,36 5,33 4,46 44,52 68,30 Mit dieser Information lassen sich die Preisabschläge der generischen Bonds aus Tabelle 6 zu einem risikofreien, aber ansonsten identischen Bond in den Abschlag für erwartete Ausfälle und jenen für die Risikoprämie zerlegen. Tabelle 12. Zerlegung des Marktwertabschlags und die Risikoprämie Marktwert Erwarteter Ausfall Kreditrisiko- Prämie Summe Risikoprämie p.a. AAA 103,40 0,32 2,45 106,17 0,51% AA 101,33 0,64 4,20 106,17 0,88% A 97,86 1,63 6,68 106,17 1,43% BBB 85,40 9,24 11,53 106,17 2,82% Non-investment 55,50 37,87 12,80 106,17 5,42% AAA AA A BBB non-invest. Marktwert Erwarteter Ausfall Kreditrisiko-Prämie Die hier dargestellte annualisierte Risikoprämie wird durch Zielwertsuche aus der folgenden Bedingung ermittelt: erwartete Cashflows diskontiert mit risikofreier Zinskurve plus Risikoprämie soll dem Marktwert der generischen Bonds mit gegebenen Rating entsprechen. 13

14 2.3 Definition der zu modellierenden Kreditrisiken Anhand des obigen Beispiels können nun verschiedene Risiken identifiziert werden: Ausfallrisiko, manchmal auch Kreditrisiko im engeren Sinne genannt Risiko, dass der Schuldner seinen Zahlungsverpflichtungen nicht vollständig nachkommt (partieller oder totaler Ausfall). Fällt der Beispiel-Bond mit Startrating A im ersten Jahr aus, kommt es unmittelbar zu einem Verlust, der über dem erwarteten Verlust liegt. Bonitätsänderungsrisiko, manchmal auch Kreditrisiko im weiteren Sinne oder bei der Benutzung von Ratings Migrationsrisiko genannt Risiko einer Bonitätsverschlechterung (z.b. Ratingabstufung) und damit Erhöhung der Ausfallwahrscheinlichkeit. Migriert der Beispiel-Bond mit Startrating A in t=1 zum Rating BBB, werden im Modell zukünftige Verluste wahrscheinlicher, d.h. der erwartete Verlust steigt und der Marktwert des Bonds sinkt. Spreadänderungsrisiko Risiko einer Änderung des Marktwertes des Bonds, ohne dass dies auf eine Bonitätsverschlechterung (oder Ausfall) zurückzuführen ist. Analog zum Zinsänderungsrisiko (auch) bei risikofreien Titeln können sich die Spreads, wie sie in Tabelle 5 dargestellt sind, im Zeitverlauf auf Grund von allgemeinen Marktbewegungen zufällig ändern. Auch bei unveränderter Einschätzung der zu erwartenden Ausfälle kann daher im Falle einer Spreadausweitung durch die damit verbundenen höheren Diskontierungssätze ein Verlust beim Investor entstehen, z.b. wenn der Bond vor Ablauf verkauft werden muss oder Abschreibungen nötig werden. Wie im Beispiel dargestellt, ist zum jeweiligen Zeitpunkt der Zahlung nur die Frage, ob der Bond tatsächlich ausgefallen ist oder nicht bzw. bei der Berechnung des erwarteten Verlusts die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls zukünftiger Zahlungen relevant. Insofern besteht der Unterschied zwischen Ausfall- und Bonitätsänderungsrisiko vor allem im zeitlichen Aspekt. Das Ausfallrisiko bezieht sich auf eine fixierte künftige Periode, während das Bonitätsänderungsrisiko die Gefahr, dass sich das Ausfallrisiko bezüglich zukünftiger Zahlungen auch während der fixierten künftigen Periode verschlechtern kann, berücksichtigt. Zu beachten ist, dass die Definition von Kreditrisiken nicht einheitlich ist. Spielt beispielsweise die Marktbewertung auch mittelbar keine Rolle (z.b. bei nicht gehandelten von Banken vergebenen Krediten), können Kreditrisiken als nur Ausfall- und Bonitätsänderungsrisiko umfassend angesehen werden. Typischerweise kommen bei einer Modellierung in einem solchen Fall Default- Mode-Modelle zum Einsatz, die Ausfallwahrscheinlichkeiten und Verluste durch Ausfall quantifizieren, aber keine Marktwerte modellieren. In der zum Zeitpunkt der Veröffentlichung dieser Ausarbeitung aktuellen Definition der Solvency II-Standardformel werden für die dort berücksichtigten Anlagen alle drei obigen Risiken im Spreadrisiko-Modul erfasst. Das Counterparty-Default- 14

15 Risiko-Modul behandelt hingegen Kreditrisiken in Positionen der Solvenzbilanz, die nicht vom Spreadrisiko-Modul erfasst werden. 2.4 Komponenten des Marktspreads Im obigen Beispiel wurde angenommen, dass der Marktspread ausschließlich dem Kreditrisiko geschuldet ist und eine Zerlegung in erwarteten Ausfall und Risikoprämie vorgenommen werden kann (siehe Tabelle 12). In jüngerer Zeit wird oft eine dritte Komponente, die sogenannte Liquiditätsprämie (bzw. der Liquiditätsspread), ausgemacht. Der Marktspread kann dann grob in folgende drei Komponenten unterteilt werden: Erwarteter Ausfall: Entschädigung für die erwarteten Kreditausfälle Kreditrisikoprämie: Die Investoren in risikobehaftete Papiere tragen Marktrisiko, da die Einschätzung und Bewertung der erwarteten Ausfälle sich ändert (z.b. durch Ratingmigration oder Spreadveränderung). Analog zu Aktieninvestoren, die eine Risikoprämie für Bewertungsrisiken in Aktieninvestments verlangen, verlangen auch Corporate Bond-Investoren eine Kreditrisikoprämie als Entschädigung für eventuelle auftretende Bewertungsrisiken und unerwarteter Verluste. Liquiditätsprämie: Risikoprämie für eventuelle Liquiditätsrisiken. Ein Investor kann eine Risikoprämie verlangen, wenn er Anlagen kauft, die möglicherweise nur schwer oder nur unter Preisabschlägen vorzeitig verkauft werden können, weil für sie kein liquider Markt vorhanden ist. Das Konzept der Liquiditätsprämie hat mit der Finanzmarktkrise zunehmend an Bedeutung gewonnen, da eine Bewertung festverzinslicher Titel allein auf Basis des Spreads für den erwarteten und unerwarteten Ausfall teilweise deutlich von den zu beobachteten Marktwerten differierte. Seither haben sich die Bemühungen die Liquiditätsprämie zu modellieren und zu quantifizieren stark erhöht. Jedoch bleibt festzuhalten, dass zum Zeitpunkt der Verfassung des vorliegenden Textes kein etablierter Marktstandard oder Marktmodell zur Modellierung dieser Spreadart existiert, die eine Aufteilung der Risikoprämie in Kreditrisikoprämie und Liquiditätsprämie ermöglichen würde. Eine detaillierte Erörterung von Liquidität und Liquiditätsprämie ist nicht Gegenstand dieser Ausarbeitung. 15

16 3. Anwendung Traditionell beschäftigen sich in Versicherungsunternehmen die Bereiche Kapitalanlagecontrolling und Asset Management mit der Messung und Steuerung des Kreditrisikos. Im aktuariellen Kontext ist eine isolierte Betrachtung des Kreditrisikos eher untypisch 6. Stattdessen tritt die Thematik z.b. in den Bereichen Risikomanagement und Aktuariat im Zusammenhang mit Profitabilitäts-, MCEV-, ALM- und Solvenzberechnungen auf. Dabei stehen dann häufig zahlreiche mathematische Modelle im Raum, für die unterschiedliche Voraussetzungen erfüllt sein müssen und die damit jeweils nur für spezielle Fragestellungen geeignet sind. In dieser Ausarbeitung unterteilen wir Kreditrisikomodelle in Bezug auf zwei grundlegende Aspekte: das Anwendungsziel die Betrachtungsebene Unter Anwendungsziel wird zwischen einer Risikobetrachtung und der Durchführung einer Bewertung unterschieden. Unter Betrachtungsebene wird zwischen einer reinen Anlagebetrachtung (eine einzelne Kapitalanlage oder ein Kapitalanlage-Portfolio) und einer Unternehmensbetrachtung unterschieden. Die folgende Tabelle zeigt die möglichen Kombinationen von Anwendungsziel und Betrachtungsebene mit jeweils einem Beispiel aus der Praxis: Tabelle 13. Modellverwendungszwecke Betrachtungsebene Anwendungsziel Reine Anlagebetrachtung Unternehmensbetrachtung unter Einbeziehung der Passiva Bewertung Mark-to-Model für Anlagen ohne verlässliche Marktpreise Modell zur Bewertung der Passiva (z.b. MCEV) Risikomessung Risiko einzelner Anlagen mittels Risikomaß (z.b. Value at Risk) Risikokapitalberechnung (z.b. Solvency II) Im Weiteren wird das Kreditrisiko jeweils basierend auf dieser Unterteilung betrachtet, um anschließend in Kapitel 4 die unterschiedlichen mathematischen Modelle ihrem Verwendungszweck zuordnen zu können. 3.1 Reine Anlagebetrachtung Eine Möglichkeit ist die ausschließliche Betrachtung der Asset-Seite ( standalone ). Auf der einen Seite ergeben sich dabei Fälle, in denen die Betrachtung einer einzelnen Kapitalanlage notwendig ist. Falls die Betrachtung auf ein Kapitalanlageportfolio ausgeweitet werden soll, ergeben sich zusätzliche Anforderungen an die verwendeten Modelle, da hier auch die Korrelationen der 6 Im Erläuterungsbericht des Verantwortlichen Aktuars ist eine Einschätzung des Kreditrisikos im Hinblick auf die Erfüllung der versicherungstechnischen Verpflichtungen gefordert, vgl. DAV Fachgrundsatz Kapitalanlagethemen im Erläuterungsbericht des Verantwortlichen Aktuars, Kapitel

17 betrachteten Risiken (Ausfall, Spread, Zinsänderung, Risiken anderer Assetklassen) zwischen den verschiedenen Assets berücksichtigt werden müssen. Beiden Sichtweisen ist charakteristisch, dass die Assets für sich und nicht unmittelbar in ihrer Auswirkung auf den Wert des Unternehmens, welches die Assets hält, betrachtet werden Bewertung von Kapitalanlagen (Mark-to-Model) Bei der Bewertung von Kapitalanlagen geht es darum, einen Preis für z.b. einen Bond zum jetzigen Zeitpunkt oder den erwarteten Preis zu einem zukünftigen Zeitpunkt zu bestimmen. Dabei wird genau ein Wert bestimmt. Mark-to-Model- Ansätze werden üblicherweise verwendet, um den Wert einer illiquiden oder nicht handelbaren Anleihe zu bestimmen. Dabei werden die für die Kreditqualität relevanten Merkmale z.b. aus Unternehmenskennzahlen und Klassifikation der Besicherung ermittelt. Hintergrund für diese Vorgehensweise ist, dass nur für einen Teil der Kapitalanlagen eines Versicherungsunternehmens ein verlässlicher Marktpreis, wie z.b. über eine Börse ermittelt, herangezogen werden kann. Andernfalls wird eine valide Bewertung über Modelle für die nicht börsengehandelten Namenspapiere und Schuldscheindarlehen der Direktanlage, die i.d.r. einen bedeutenden Anteil der Kapitalanlagen ausmachen, benötigt. In der Praxis hat sich hierfür die bereits in dem einführenden Beispiel dargestellte Discounted Cash Flow-Methodik etabliert. Der entscheidende Aspekt in dieser Methodik ist dabei die Ermittlung des individuellen Spreads (oder alternativ die einzelnen Spread-Komponenten) gegenüber den risikofreien Zinssätzen. In unserem einführenden Beispiel konnten wir den Spread in Höhe von 0,87% recht einfach über den risikofreien Zins und den Marktwert des Bonds über eine Zielwertsuche ermitteln. Dies ist für einen Titel, der keinen über den Markt ermittelten Wert aufweisen kann, nicht möglich. Daher ist die genaue Analyse des Titels bzgl. der Kreditqualität notwendig. Neben den in Abschnitt 2.4. genannten Komponenten des Kredit- und Liquiditäts- Spreads sind u.a. auch folgende Kennzahlen für die Kreditqualität einer Anleihe von Bedeutung: Eigenschaften des Emittenten, Art der Anleihe, Rating, Kupon und Laufzeit. - Der Emittent kann beispielsweise nach privatrechtlicher oder staatlicher Unternehmensform, Größe, Herkunftsland oder Rating unterschieden werden. - Die Komponente Art der Anleihe kann bzgl. der Deckung des Papiers (z.b. hypothekare bzw. staatliche Deckung bei Pfandbriefen/ Covered Bonds bzw. Staatsanleihen) oder Rang der Anleihe (erstrangig, nachrangig oder Genussrecht) unterschieden werden. - Die Komponenten Rating des Emittenten, Laufzeit und Kupon der Anleihe sind ohnehin von fundamentaler Bedeutung. Als Hilfe zur Bewertung einer nicht notierten Anleihe, wird entweder der Marktwert einer börsennotierten Anleihe, die eine vergleichbare Kreditqualität besitzt oder der Spread mit Hilfe eines Index ermittelt. Beispiel: Es soll ein Pfandbrief einer Bank, die keine börsennotierten Pfandbriefe im Umlauf hat, bewertet werden. Für die Herleitung des 17

18 gesuchten Spreads sollte ein börsennotierter Pfandbrief gefunden werden, der dieselbe Laufzeit und einen vergleichbaren Deckungsstock hat. Darüber hinaus können weitere Merkmale der emittierenden Bank wie etwa Bilanzsumme, Umsatz, Mitarbeiterzahl, eine ähnliche Ausrichtung und eine vergleichbare Bonitätseinschätzung berücksichtigt werden. Falls der Spread oder Marktwert nicht direkt ermittelt werden kann, könnte man die einzelnen Kreditrisikokomponenten (z.b. Rating oder Art der Anleihe) ermitteln. Daraus kann wie bereits im Beispiel in Kapitel 2 dargestellt der Spread hergeleitet werden. Beispiel: Dem Papier wird ein Rating zugeordnet und daraus die Ausfallwahrscheinlichkeit abgeleitet. Es wird dabei entweder auf ein offizielles Rating (veröffentlicht von S&P, Fitch oder Moody s) oder alternativ auf ein internes Rating (z.b. unternehmensindividuelle Einschätzung) zugegriffen. Die oben geschilderten Bewertungen lassen sich von einer Kapitalanlage auch auf ein Kapitalanlageportfolio erweitern. Die analog zu oben definierten Risikofaktoren können dabei zur Klassifizierung der Einzeltitel des Portfolios dienen, d.h. Einzeltitel mit gleichen Risikofaktoren erhalten nach obigem Modell den gleichen Wert aus dem Modell Risikobetrachtung von Kapitalanlagen Bei der Risikomessung hingegen werden auch ausgehend von der Bewertung zum jetzigen Zeitpunkt mögliche Preise zu einem zukünftigen Zeitpunkt bestimmt. Dabei werden zum zukünftigen Zeitpunkt mindestens zwei Preise berechnet: der erwartete Preis zu diesem Zeitpunkt und ein unerwarteter Preis zu diesem Zeitpunkt. Bei nur zwei Preisen wird die Differenz als Risiko interpretiert. Bestimmt man in sehr vielen möglichen Szenarien die Preise, so ergibt sich eine Verteilung der Preise zum Betrachtungszeitpunkt. In diesem Fall wird das Risiko zumeist als die Differenz zwischen einem Punkt auf der Verteilung und dem erwarteten Preis aus dieser Verteilung definiert. Eine Alternative zu Risikobetrachtungen auf Basis von Quantilen ist die Analyse definierter Szenarien. Beide Ansätze haben die Zielsetzung, einen Bond in Bezug auf Auswirkungen von Änderungen von Ausfallwahrscheinlichkeiten, Credit Spreads oder Zinssätzen zu analysieren. Analog zu kann dieses Vorgehen für einen Einzeltitel zur Anwendung kommen, aber auch für ein Kapitalanlageportfolio. Aufgrund der Quantil- Betrachtung muss in letzterem Fall zusätzlich die Abhängigkeitsstruktur zwischen 18

19 den Einzeltiteln bzw. den Risikofaktoren modelliert werden (z.b. Korrelationen oder Copulas). 3.2 Unternehmensbetrachtung unter Einbeziehung der Passiva Eine zweite Möglichkeit für die Betrachtungsebene ist die gesamthafte Sicht auf ein Versicherungsunternehmen, d.h. den Versicherungsbestand einschließlich der ihm zugeordneten Kapitalanlagen. Für diese Betrachtung sind insbesondere Interaktionen zwischen der Entwicklung der Kapitalanlagen und der Entwicklung der Passiva über Bilanzierungs- und Managementregeln, beispielsweise durch die Überschussbeteiligung in der Lebensversicherung, zu berücksichtigen. Auch hierbei ergeben sich zwei alternative Betrachtungsweisen. Zum einen kann die Modellierung darauf abzielen, die Passiva zu bewerten und dabei auch das für das Unternehmen bestehende Kreditrisiko einbeziehen (z.b. MCEV-Berechnung). Zum anderen kann eine Modellierung des Unternehmens zum Zweck der Risikokapitalberechnung erfolgen, wofür üblicherweise eine Real-World- Betrachtung erfolgt, bei der ebenfalls das Kreditrisiko berücksichtigt werden kann 7. In beiden Fällen wird ein üblicherweise schon vorliegendes Modell zur Abbildung der Kapitalanlagen erweitert um die Abbildung des Kreditrisikos. Wie im DAV Hinweis zur Modellierung von Kapitalanlagen 8 beschrieben, wird in solchen Modellen vorab meist eine Verdichtung der Einzeltitel vorgenommen, um mit den daraus resultierenden Modelpoints die Entwicklung der Kapitalanlagen möglichst gut zu approximieren und gleichzeitig die Rechenzeit des Modells zu verkürzen. Generell erhöht die Modellierung von Kreditrisiken die Anzahl der Merkmale jedes Modelpoints. Für die Verdichtung ist festzulegen, bei welchen Merkmalen eine Zusammenfassung möglich und sinnvoll erscheint und welche Merkmale zu verdichteten Modelpoints höherer Granularität führen. Bei der Zusammenfassung von Kapitalanlagen zu Modelpoints ist die Auswirkung auf die Modellierung der Abhängigkeitsstruktur zu beachten. Für die weiteren Überlegungen in diesem Abschnitt liegt der Fokus auf dem Kreditrisiko aus Kapitalanlagen. Andere Gegenpartei-Ausfallrisiken (z.b. Rückversicherungsausfall), die in solchen Unternehmensmodellen betrachtet werden, sind nicht Gegenstand dieser Ausarbeitung. Es ist bei der Erweiterung auf das Kreditrisiko zunächst festzulegen, welche Anlagen als kreditrisikobehaftet angesehen werden. Ferner ist für die verschiedenen Klassen von Anlagen (Unternehmensanleihen, Pfandbriefe, Staatsanleihen) gegebenenfalls eine jeweils angemessene anlageklassenspezifische Kreditrisikomodellierung vorzunehmen. Diese Entscheidungen grundsätzlicher Natur sollten im Wesentlichen dauerhaft getroffen und dokumentiert werden. Ihre Änderung kommt einer Modelländerung für die betroffenen Titel gleich und ist entsprechend zu behandeln. Für ratingbasierte Modelle ist in Abhängigkeit des Anwendungszwecks, der Materialität der entsprechenden Bestände und der Verfügbarkeit von belastbarer Information zur Kalibrierung der Szenarien festzulegen, welche Ratingklassen im Modell erfasst werden sollen (z.b. Letter-Ratings AAA, AA, etc. ohne + und, 7 Innerhalb der Real-World-Betrachtung ist ggf. noch eine risikoneutrale Bewertung erforderlich. 8 DAV Fachgrundsatz Investment: Modellierung von Kapitalanlagen, Dezember

20 Zusammenfassung von nicht-investment) und wie die verfügbaren Ratinginformationen auf die modellierten Ratings abzubilden sind. Falls Startzins- bzw. Spreadkurven kalibriert werden, kann prinzipiell einerseits auf Marktindizes, andererseits auf Daten über das eigene Portfolio zurückgegriffen werden. Es ist dabei kritisch zu hinterfragen, in wie weit die durch eigene Daten erzielbare größere Passgenauigkeit auf das aktuelle Portfolio durch geringere Stabilität der Daten (z.b. durch mangelnde Liquidität) konterkariert werden, insbesondere wenn auch die zukünftige Neuanlage modelliert werden soll. Auf Modellebene sollten die sich durch die Kreditrisikomodellierung zusätzlich ergebenden Volatilitäten und Korrelationen auf resultierende Modell- Preisentwicklungen von Titeln überprüft werden. Die Verteilung von Spreads und Übergangswahrscheinlichkeiten sowie die Abhängigkeit von anderen Anlageklassen sowie die Autokorrelation im Projektionsverlauf stellen wesentliche dem Unternehmensmodell zugrunde liegende Eigenschaften dar. Für die Überprüfung der Volatilität ist ferner zu berücksichtigen, dass gegebenenfalls eine Diversifikationsannahme für das modellierte Portfolio auf die enthaltenen Einzeltitel allokiert wird und damit anteilig ausfällt (analog zu der deterministischen Modellierung von Sterblichkeit als anteilige Abgänge der Policen in Höhe der Sterbewahrscheinlichkeit). Soll eine Wiederanlage modelliert werden, ist festzulegen, welcher Anteil in die jeweiligen risikobehafteten Anlageklassen investiert werden soll. Ferner ist zu entscheiden, ob für den Kauf Ratings oder Spreads (bzw. Renditen) ausschlaggebend sein sollen. Hier ist eine möglichst gute Übereinstimmung mit der Realität anzustreben, aber wie bei allen Managementregeln ist zu beachten, dass die Kapitalmarktszenarien auch Situationen enthalten können, die sich jenseits der schon beobachteten Entwicklungen bewegen Bewertung in der Unternehmenssicht Ein typischer Anwendungsbereich für die Bewertung von Portfolien im Gesamtunternehmen sind stochastische Berechnungen mit Unternehmensmodellen (z. B. MCEV, Solvenzbetrachtungen). In dieser Situation sind die Marktwerte des Kapitalanlagenportfolios gegeben. Die Aufgabe besteht nun darin, dieses Portfolio unter Berücksichtigung der in den Marktwerten enthaltenen Risiken so bis zum Projektionsende fortzuschreiben, dass der Mittelwert der diskontierten Cashflows die Marktwerte zum Start reproduziert. Die in der Projektion dadurch entstehenden Aufwände oder Erträge aus den Kreditrisiken werden in Lebensversicherungsunternehmen im Rohüberschuss berücksichtigt und damit zwischen Eigentümer und Versicherungsnehmer nach den entsprechenden Regeln geteilt. Durch passivseitige Managementregeln (z. B. für die Größe der Rückstellung für Beitragsrückerstattung) entstehen dadurch u. U. Rückkopplungen auf die Managementregeln für die Veränderung des Portfolios. Das bedeutet, dass durch die Entwicklung der passivseitigen Risikopuffer ein Einfluss auf die Höhe des einzugehenden Kreditrisikos entstehen kann. 20