Dynamische und statische Messung des Elastizitätsmoduls (M15)

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1 Dynmische und sttische Messung des Elstizitätsmoduls (M15) Ziel des Versuches Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schllimpulsen in Stäben us unterschiedlichem Mteril soll mittels eines Piezoelements und der computergestützten Messwerterfssung gemessen und drus der Elstizitätsmodul bestimmt werden. Zum Vergleich wird im zweiten Versuchsteil der Elstizitätsmodul sttisch us der Durchbiegung der einseitig eingespnnten Stäbe bei unterschiedlicher Belstung ermittelt, wobei uch die L 3 -Abhängigkeit des Biegepfeils verifiziert wird. Theoretischer Hintergrund In diesem Versuch werden elstische Eigenschften von Körpern untersucht, die bisher in der Näherung des strren Körpers vernchlässigt wurden. Es gibt ein gnzes Gebiet der Physik Mechnik der deformierbren Medien, ds sich mit Dehnung, Stuchung, Torsion und Kompressibilität von Stoffen beschäftigt. Mn spricht dnn von elstischer Verformung, wenn der estkörper nch Aufhören der Krfteinwirkung seine ursprüngliche orm wieder nnimmt, von plstischer Verformung, wenn sich eine bleibende ormänderung ergibt. Die wichtigsten elstischen Konstnten sind der Elstizitätsmodul E, der Torsionsmodul G, der Kompressionsmodul K. Die elstischen Konstnten sind im llgemeinen Tensorgrößen. Bleibt mn in einer Dimension und betrchtet z. B. einen gespnnten Drht, so ist im Bereich elstischer Verformung die Normlspnnung σ (Spnnung = Krft/Querschnitt) proportionl zur reltiven Längenänderung ε = l/l (Dehnung). Der Proportionlitätsfktor ist der Elstizitätsmodul E (hooksches Gesetz): σ = Eε. Ziel unseres Versuches ist es, den Elstizitätsmodul verschiedener Mterilien (Eisen, Messing, Aluminium und Polycrbont) sowohl dynmisch über die Messung der Schllgeschwindigkeit in diesen Medien ls uch sttisch über die Biegung dieser Mterilien zu bestimmen. Dzu stehen Ihnen im Versuch Stäbe dieser Mterilien zur Verfügung. Die Schllusbreitung in estkörpern ist wegen der stärkeren Kopplung der Atome untereinnder um ein Vielfches schneller ls z. B. die Schllusbreitung in der Luft (v Luft = 340 m/s bei 20 C). Während Schllwellen

2 2 in der Luft reine Longitudinlwellen sind, können sich im estkörper sowohl longitudinle ls uch trnsversle Schllwellen usbreiten. Bereits nschulich ist klr, dss die Schllusbreitung in estkörpern von deren elstischen Eigenschften und von der Dichte ρ des Mterils bhängen muss. Die Schllgeschwindigkeit longitudinler Deformtionswellen in dünnen, elstischen Stäben ist gegeben durch eine einfche Beziehung 1 v = (E/ρ). (1) Schlägt mn uf ds Ende eines zu untersuchenden Stbes so erzeugt mn eine Deformtion, die sich ls Schllimpuls oder Stoßwelle durch den Stb usbreitet und n beiden Stb enden mehrfch reflektiert wird. Mit einem geeigneten Schllwndler (Piezokristll) lssen sich diese Mehrfchreflexionen gut ufzeichnen und us derem zeitlichem Abstnd T lässt sich die Schllgeschwindigkeit ermitteln. Zur sttischen Bestimmung des Elstizitätsmoduls werden die Stäbe einseitig horizontl ls reiträger eingespnnt. Wird dbei ds freie Ende durch eine Krft belstet, so wird es um den sogennnten Biegungspfeil s bgesenkt. Bleibt der Biegungspfeil klein, so gilt ds hooksche Gesetz und die Querschnitte bleiben eben. Bei der Biegung werden die oberen Bereiche gedehnt und die unteren Bereiche gestucht und nur die Mittellinie neutrle ser gennnt bleibt in ihrer Länge erhlten. Ds interessnte Ergebnis ist, dss die Durchbiegung eines Trägers mit der dritten Potenz seiner Länge L zunimmt und dss der Biegepfeil s entscheidend vom Profil des Trägers bhängt, wobei ds Profil durch ds sogennnte lächenträgheitsmoment I beschrieben wird. Es gilt 1 Dünner Stb bedeutet: Stbdurchmesser ist klein gegen die Wellenlänge der Deformtionswellen λ = νt Abbildung 1: Biegepfeil s s s = 1 3 EI L3 (2) mit I = π 4 R4 für einen Stb (Vollmteril) mit dem Rdius R. Zur sttischen Bestimmung des Elstizitätsmoduls wird (2) verwendet. Theoretische Ergänzung: Theorie der Biegung (nur für Physikstudenten) Es sei der entlng der neutrlen ser gemessene Abstnd zweier Stbquerschnitte. Bei Belstung ist die neutrle ser mit dem Krümmungsrdius R gekrümmt. Dmit wird ber der Abstnd der beiden betrchteten Stbquerschnitte bhängig von der Distnz y zwischen Messlinie und neutrler ser. Nch dem Strhlenstz gilt dnn: R + y R = worus sich nch Umformung und Anwendung des hookschen Gesetzes ergibt: y R = σ(x, y) = ε =. (3) E Die im Querschnitt uftretenden Zug- und Druckkräfte ergeben ein Drehmoment

3 3 y * Neutr.ser R M(x) = yσ(x, y)da. (4) Setzt mn us (3) die Spnnung ein, so erhält mn M(x) = E y 2 da (5) R ls Grundgleichung der um 1700 ufgestellten Bernoulli-Eulerschen Biegungstheorie, wobei I = y 2 da (6) ls lächenträgheitsmoment bezeichnet wird und y der senkrechte Abstnd des lächenelements da von der neutrlen ser ist. Durch die äussere Krft entsteht n der Stelle x im Stb ein Drehmoment M(x) = (L x), ds dem im Stb wirkendem Drehmoment (5) gleich sein muss. Somit gilt (L x) = E R I. (7) Mit Hilfe der für große Krümmungsrdien R(x) geltenden differentilgeometrischen Beziehung d2 y = 1 lässt sich (7) wie folgt schreiben dx 2 R(x) d 2 y (L x) =. dx2 EI Durch zweimlige Integrtion dieser Differentilgleichung unter Bechtung der Anfngsbedingungen (bei x = 0 ist y = 0 und dy/dx = 0) ergibt sich eine Prbel dritter Ordnung ls Lösung y = EI ( Lx2 2 x3 6 ). Dmit ergibt sich n der Stelle x = L für den Biegungspfeil (2): s = 1 3 EI L3. Versuchsufbu und -durchführung Zur dynmischen Bestimmung des Elstizitätsmoduls über die Messung der Schllusbreitung einer Schockwelle stehen Ihnen Stäbe verschiedener Mterilien, ein Piezo-Schllwndler, ein Rechner mit einem externen CASSY- Interfce und die entsprechende CASSY-Softwre zur Verfügung. Ds Interfce verfügt über zwei Anlogeingänge A und B. Im Versuch benötigen

4 4 wir nur den nlogen Eingng A, um ds vom Schllwndler bgegebene Signl zu erfssen. Der zu untersuchende Stb soll senkrecht uf dem Piezo- Schllwndler stehen, der uf dem ußboden ohne weitere Dämpfungsmßnhmen pltziert werden knn. Zur impulsförmigen Anregung der Stoßwelle wird der zwischen zwei ingern locker festgehltene Stb dnn mit einem Holzstück uf seiner Oberseite gnz leicht, ber kurz ngeschlgen. Hier sollten Sie mehrfch probieren bis sich ein optimles Ergebnis einstellt. Vorher müssen Sie die Softwre CASSY strten. Klicken Sie dnn bei dem im enster bgebildeten CASSY-Interfce uf den gewählten Messknl, um die enster Einstellungen/Sensoreigenschften und Messprmeter zu öffnen. Vor llem die folgenden Einstellungen sind entscheidend für ds Gelingen Ihrer Messungen: 1. Messbereich (y-auslenkung in Volt: ±10 oder ±30 V), 2. Messintervll: möglichst klein (Zeituflösung z. B. 10 µs), 3. Messzeit über Anzhl der Messungen einstellen (Probieren Sie Messzeiten im Bereich von 20 bis 80 ms us). Es ist utomtische Messufnhme mit Triggerung und einer Schwelle von c. 2 bis 5 V einzustellen (Wrum?). Die Messung wird mit 9 oder durch ds Anklicken der Stoppuhr in der Symbolleiste gestrtet. Die Aufzeichnung des Signls erfolgt dnn nch Anschlgen des Stbes. Durch Anklicken des Bildes mit der rechten Mustste knn die Messkurve in Ausschnitten vergrößert werden Zoom und mit Mrkierung setzen und Differenz bilden knn die Zeitdifferenz, vorzugsweise zwischen mehreren Echos, m Bildschirm ermittelt werden. 2 Zur sttischen Messung des Elstizitätsmoduls spnnen Sie den zu untersuchenden Stb in die dfür vorgesehene Hlterung, die sich n der Wnd im Prktikum befindet, ein. Auf ds ndere Ende des Stbes setzen Sie die Muffe uf, n der sich unten zur Gewichtsufnhme ein Hken und oben ein Lserpointer befindet. Belsten Sie den Stb durch Anhängen von Gewichten und messen Sie mit Hilfe des Lichtzeigers n einem in c. 2-3 m Entfernung ufzustellenden Mßstb den entsprechenden Biegepfeil us. Bechten Sie dbei den Abbildungsmßstb. Zur Einstellung verschiedener Stblängen knn diese Muffe uf dem Stb verschoben werden. 2 Probieren Sie mehrfch, bis Sie ein optimles Ergebnis hben. Am Versuchspltz liegt zusätzlich eine Kurznleitung der CASSY-Softwre us. Aufgbenstellung 1. Messen Sie die Echos von Schllimpulsen in den vier Stäben (Eisen, Aluminium, Messing, Polycrbont) mit Hilfe des Schllwndlers und des CASSY-Systems. Interpretieren Sie die Messkurven (Verluf, weitere beobchtete Schwingungen, evtl. Übersteuerungen, n welcher Stelle und wrum gerde dort wurden die Lufzeiten von Ihnen bgelesen). 2. Bestimmen Sie us der Lufzeit mehrerer Echos die Schllgeschwindigkeit in den verschiedenen Mterilien (Größtfehler). 3. Bestimmen Sie die Dichte der Stäbe (Wiegen und Volumenbestimmung, Größtfehlerermittlung). 4. Berechnen Sie nch (1) die Elstizitätsmodule der einzelnen Mterilien (ehlerfortpflnzung für Größtfehler). 5. Messen Sie die Biegepfeile bei einseitiger horizontler Einspnnung und Belstung der Metllstäbe:

5 5 () Hlten Sie bei einem Stb die Länge fest und vriieren Sie die Belstung. L = 80 cm, Belstung in 50 g Schritten) (b) (Nur für Physikstudierende (V+Z)) Hlten Sie bei den nderen beiden Stäben die Belstung konstnt (500 g Mssestück) und vriieren Sie die Länge durch Verschieben der Muffe. Überprüfen Sie bei jeder Messung den Nullpunkt. 6. Stellen Sie grfisch dr: s = s() und für die Ergebnisse us Aufgbe 5b s = s(l 3 ) und ermitteln Sie us den Anstiegen der Ausgleichsgerden die entsprechenden Elstizitätsmodule nch (2) (Größtfehlerngben). 7. Vergleichen Sie die Ergebnisse untereinnder und mit Tbellenwerten. rgen zur individuellen Vorbereitung des Versuchs: Informieren Sie sich über Schllgeschwindigkeiten in Medien und schätzen Sie den Zeitbereich b, den Sie wählen müssen um die Mehrfchreflexionen (Echos) eines Schllimpulses in den Stäben zu beobchten? Überlegen Sie, wie mn den Stb nschlgen muss, dmit sich vorzugsweise longitudinle Wellen in Stblängsrichtung usbreiten? Überlegen Sie, welchen Einfluss die durch den Schlg mitngeregten Eigenschwingungen des Stbes uf Ihre Messung hben und in welchen Zeitbereichen diese uftreten? Wie funktioniert ein Piezoelement? Ws versteht mn unter Triggerung? Hinweise zur ehlerrechnung Dynmisches Verfhren E = v 2 ρ mit v = 2L t und ρ = m V = m π 4 d 2 L, wobei L die Stblänge und d der Stbdurchmesser sind. Somit gilt entsprechend den Hndregeln für die Größtfehlerfortpflnzung bei multipliktiver Verknüpfung: v L L = ± } v L L + t t und ρ ρ = ± m m + L L + 2 d d und E E = ± 2 v L + ρ ρ v L.

6 6 Sttisches Verfhren Die ortpflnzung der Größtfehler sei m Beispiel der Abhängigkeit der Durchbiegung s von der wirkenden Krft bei konstnter Länge L erläutert. Es gilt nch Gl. (2) und Einsetzen der Messgrößen ein linerer Zusmmenhng s = mit dem Anstieg L3 3E I = 4L3 3πE R 4 = 64 3π = 64 3π L 3 E d 4 für die unktion s = f (). Entweder wird der reltive Größtfehler E E von E = 64 3π L 3 sd 4 L 3 E d 4 = us der Summe der Absolutbeträge der reltiven Größtfehler ller Messgrößen bestimmt E E = ± 3 L L + s s d d oder unter Berücksichtigung des reltiven ehlers des Anstieges der unktion s = f (). Wegen E = 64 3π L 3 d 4 ergibt sich der reltive Größtfehler von E zu: E E = ± 3 L L d d. Letztere Methode ht den Vorteil, dss kleiner ist ls s s +, d bei der Anstiegsbestimmung bereits eine grfische Mittelung über etw sechs Wertepre s, erfolgte.