ρ(t) + Krümmung (Gl. 2)

Transkript

1 1 Expnsion des Universums, negtiver Druck des Vkuums und Energieerhltung Ich möchte versuchen, ein wenig zur Klärung obiger Begriffe beizutrgen, d im Forum immer wieder Frgen hierzu uftreten. Ausgngslge in der modernen Kosmologie: Wir postulieren: 1.) Auf großen Sklen ist unsere Position im Universum durch nichts usgezeichnet (sog. Koperniknisches Prinzip) 2.) Ds Universum sieht in lle Richtungen betrchtet gleich us (wiederum uf usreichend großen Sklen).) Auf großen Sklen ist die vorherrschende Krft im Universum die Grvittion, d.h. insbesondere, die Dynmik des Universums knn durch die Allgemeine Reltivitätstheorie beschrieben werden. (Die Reichweite der beiden Kernkräfte ist zu kurz und die elektromgnetische Krft hebt sich uf großen Sklen durch gleich viele positive wie negtive Ldungen weg.) Wir wissen: Die Newtonsche Mechnik bietet lokl, d.h. innerhlb unseres Sonnensystems und uch in der Milchstrße, eine effektive Beschreibung der Beobchtungen. Auf hinreichend kleinen Sklen liefert sie lso - ls Grenzfll der Allgemeinen Reltivitätstheorie einen einfchen Zugng. Deshlb modellieren wir ds Universum ls ideles Gs, bestehend us punktförmigen Glxien. Ein kugelförmiges Volumen mit dem Rdius R hätte demnch uf eine Msse m uf ihrer Oberfläche folgende Eigenschften: R m R GMm R2 (Gl. 0) Betrchten wir nun eine Kugel mit veränderlichem Rdius R(t) = r (t) so folgt mit dem sog. Sklenfktor (t): r (t) GM (r (t)) 2 ρ(t) (Gl. 1) mit M = 4 (r (t)) π ρ(t) Für die weitere Argumenttion bruchen wir es zwr nicht, ber weil wir schon so dicht dvor stehen sei noch bemerkt, dss mn durch prtielle Integrtion eine weitere, wichtige Beziehung für die Hubblekonstnte H erhält: H 2 = ( )2 = 8 π G ρ(t) + Krümmung (Gl. 2) Wie mn leicht durch Differentition prüfen knn

2 2 Auf der Suche nch dem negtiven Druck interessiert uns ber insbesondere Gleichung 1. Fügen wir rein forml zu Gleichung 0 eine Krft proportionl zu R hinzu, gewissermßen eine ufspringende Feder, so erhlten wir mit der Substitution const / m = Λ / : m R GMm R 2 + const R ρ(t) + Λ (Gl. ) Dieses Ergebnis behlten wir im Hinterkopf: Offensichtlich können wir durch eine derrtige linere ufspringende Feder einen Gegenspieler zur Abbremsung in Gleichung einführen, gewissermßen ein Gspedl. Die Wirkung dieses Gspedls deckt sich perfekt mit den Beobchtungsdten entfernter Supernove (Nobelpreis 2011 Perlmutter, Schmidt, Riess) Als nächstes folgt die Gretchenfrge: Worus soll unser selbstgebsteltes Universum bestehen, d.h. ws setzten wir für die Energiedichte ρ(t) ein? Für verschiedene Bestndteile erhlten wir folgende Zustndsgleichungen us der Thermodynmik: Wenn lle Längen um (t) gedehnt werden folgt mit V(t) = (t) : Mterie: ρ m (t) V(t) = const. Strhlung: ρ Str (t) (t) V(t) = const. (uch die Wellenlänge der Strhlung wird um (t) gedehnt) Vkuum: ρ Vk (t) = const. Ds bedeutet, dss zu unterschiedlichen Zeiten im Universum unterschiedliche Bestndteile dominnt beitrgen. Sehr früh ist die Strhlung sehr dominnt, später die Mterie und zuletzt ds Vkuum. Die Mssendichte beträgt heute nur noch ein Wsserstofftom pro drei Kubikmeter. Logrithmisch ufgetrgen ergibt sich folgendes Bild: Zusätzlich trägt gemäß E = m c ^2 uch der Druck in unserem Kugelvolumen grvittiv bei.

3 Kurzes Gednkenexperiment: Eine komprimierte Feder wiegt mehr ls eine entspnnte Feder, weil zum Komprimieren eine Energie notwendig ist, die der entspnnten Feder fehlt Der Druck besitzt im -dimensionlen Rum llerdings Freiheitsgrde mit der Zustndsgleichung p = ρc2 Der Druck für nichtreltivistische Geschwindigkeiten (ρ m) geht wiederum gegen null. Wegen E = m c 2 bzw. E/V = ρ / c 2 folgen in Gleichung (1) bzw. () die dominnten Terme: ρ(t) = (ρ m + ρλ + p Str + pλ ) / c 2 : (ρ m + ρ Λ + p Str + p Λ ) / c 2 (Gl. 4) Bemerkung: Ich hbe lle Terme der Dichte ls Energiedichten formuliert ds erscheint mir einfcher für ds Verständnis. ρ m bedeutet dnn ber keine Mssendichte mehr, sondern eine Energiedichte ufgrund von Msse. Flls sich jemnd drn stösst, brucht er/sie nur ds c 2 für die Mssendichten weglssen. Ws müssen wir für ρλ und pλ einsetzen, dmit sich wieder Gleichung (4) ergibt? ρ Λ = Λ 8π G p Λ (Gl. 5) Zur Kontrolle bitte einfch einsetzen und usrechnen Forml bekommt mit Gleichung (5) der Druck des Vkuums sein negtives Vorzeichen! Anschulich ist ds uch offenbr: Die ufspringende Feder bewirkt eine Expnsion entgegen der bremsenden Grvittion. Die Friedmnngleichung jetzt nochmls in neuem Glnz: c 2 (ρ m ρ Λ ) Ds negtive Vorzeichen (rot) steht für eine negtive Beschleunigung, dh. ein bbremsendes Universum und flls die Vkuumenergiedichte die blue Klmmer dominiert, wodurch ds rote Vorzeichen positiv wird, ergibt sich ein beschleunigt expndierendes Universum. Ich hoffe, ds erklärt die Rolle des negtiven Drucks in der Expnsion. Zur nächsten Frge: Wrum ist die Gesmtenergie null?

4 4 Weil wir in einem flchen Universum leben, dh. die beiden konkurrierenden Potentile der Expnsion und der Grvittion hlten heben sich zu null weg. Wrum gluben wir in einem flchen Universum zu leben? Weil die Winkelsumme der größtmöglichen Dreiecke, die wir zeichnen können, exkt 180 Grd ergibt. Dfür verbinden wir die heute beobchteten (SDSS) großräumigen Objekte mit ihren korrespondierenden Stkörnern, den Fluktutionen in der Kosmischen Hintergrundstrhlung (CMB): In einem sttelförmigen Universum hätte sich eine kleinere Winkelsumme ergeben: In einem kugelförmigen Universum hätte sich eine größere Winkelsumme ergeben:

5 5 Wir hben ber Dreiecke mit 180 Grd Winkelsumme ergo ein flches Universum. Wie wird sich ds Universum nun entwickeln? Heute überwiegt die kosmologische Konstnte die Mteriedichte, dh. ds Universum expndiert beschleunigt (rote Kurve). Ws ist die kosmologische Konstnte? Wir wissen es nicht! Es könnte eine Eigenschft des Rumes sein, weil sie liner mit der Ausdehnung des Rumes nsteigt. Zur Frge der Energieerhltung:

6 6 Die Energieerhltung ergibt sich bereits forml bereits durch unsere Ausgngspostulte. Würde in unser Kugelvolumen, über dessen bsoluten Rdius wir keine Einschränkung getroffen hben - von ußen eine Energie fließen oder nch ußen hin bfließen, wäre ds Universum nicht von llen Punkten us betrchtet isotrop. Wer will, knn es uch forml beechnen gemäß de = - p dv, dnn ber bitte für p ALLE Zustndgleichungen einsetzen