1 Wurzeln und Potenzen

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1 1 Wurzeln und Potenzen Übersicht 1 Quadratzahlen und Quadratwurzeln 2 Kubikwurzeln 3 Potenzen 4 Zehnerpotenzen Thema: Ganz klein winzig klein nanoklein Üben Wiederholen Test Aufbau und Intentionen des Kapitels Im Kapitel 1 geht es aufeinander aufbauend um: das Quadrieren und das Bestimmen der Quadratwurzel das Bestimmen der Kubikwurzel das Potenzieren als Erweiterung des Quadrierens positive und negative Zehnerpotenzen Das Kapitel 1 Wurzeln und Potenzen bezieht sich schwerpunkt mäßig auf die Leitidee Zahl. Im Mittelpunkt stehen die Lerninhalte für den Kompetenzerwerb in den Bereichen: große und kleine Zahlen in Zehnerpotenzen darstellen, vergleichen und ordnen einfache Potenzen mit dem Taschenrechner bestimmen, vergleichen und ordnen Daneben werden jedoch auch Kompetenzen aus Bereichen anderer Leitideen angesprochen. So werden beim Quadrieren und Wurzelziehen die Voraussetzungen für die Anwendung des Satzes von Pythagoras aus der Leitidee Raum und Form gewonnen. Auch Flächeninhaltsberechnungen, Rauminhaltsberechnungen und das Rechnen mit Größeneinheiten aus der Leitidee Größen und Messen werden wiederholt und vertieft und schließlich werden Lösungswege zu Sachaufgaben aus der Leitidee Modellieren gefunden. Das Kapitel bietet Anknüpfungspunkte zu alltagsrelevanten Themen mit mathematischem Inhalt. Aus dem Umgang mit modernen Medien sind den Schülerinnen und Schülern die Begriffe Byte, Kilobyte, Megabyte oder Gigabyte bekannt. Die Bedeutung der Einheiten und das Rechnen damit werden im Unterricht aufgegriffen. Die Themenseite Ganz klein winzig klein nano klein bietet konkrete Anwendungen im Bereich der sehr kleinen Zahlen und verweist auf Anwendungen aus Physik, Biologie, Medizin und Technik. Die Seite soll dazu anregen, selbst Beispiele für das Vorkommen kleiner und großer Zahlen zu finden. Der Umgang mit dem Taschenrechner wird an mehreren Stellen explizit geübt. Werkzeugkasten Die Lösungen zu den Aufgaben setzen einen üblichen Schultaschenrechner mit zehnstelliger Ziffernanzeige voraus. Taschenrechner, die weniger Stellen anzeigen, verwenden bereits bei niedrigeren Zahlen die Potenzschreibweise oder runden die Zahlen, so dass sich die Ergebnisse dadurch geringfügig unterscheiden. Neben dem Taschenrechner ist ein Computerzugang zur Recherche im Internet oder das Vorhandensein von Lexika vorgesehen. Es gibt auch Aufgaben, die mithilfe einer Tabellenkalkulation gelöst werden können. Die Recherche (etwa Speicherkapazitäten von CDs ) kann auch als vorbereitende Hausaufgabe gestellt werden. L 12

2 Kennt Hilal die ganze Welt? Methodische Überlegungen zur Einführung Aus den vorangegangenen Schuljahren kennen die Schülerinnen und Schüler bereits Quadratzahlen und sind mit großen und kleinen Zahlen vertraut. Das Rechnen mit sehr großen und sehr kleinen Zahlen wird hier nochmals erweitert und mithilfe der Zehner potenzdarstellung erleichtert. Das gewählte Einstiegsbeispiel soll zum Nachdenken anregen, ob es sein kann, dass jemand allein durch Bekannte mit der halben (ganzen) Welt verbunden sein kann und wird an späterer Stelle wieder aufgegriffen. Mögliche Impulse können sein: Wie viele Bekannte hast du? Wie viele Bekannte hast du in anderen Ländern? Wie viele Bekannte hat die ganze Klasse bzw. die Schule, haben die Menschen am Wohnort, wenn jeder 90 Bekannte hat? Kennst du die ganze Welt? Weitere Beispiele für das angesprochene Schneeballprinzip können im Anschluss diskutiert werden, etwa die Verbreitung von Schnupfenviren von einem Menschen auf die Gäste einer Party, auf deren Bekanntenkreise, die Verbreitung von Krankheiten allgemein, die Verbreitung von Gerüchten, Nachrichten oder Computerviren oder die Anzahl von Nachkommen eines Elternpaares über Generationen hinweg. Bezeichnungen für sehr große Zahlen können danach gesucht (oder auf Karten vorgegeben) und geordnet werden. Beispiele für das Vorkommen sehr großer Zahlen und sehr kleiner Zahlen können gesammelt werden bzw. deren Sammlung angeregt werden (Rekorde in den Bereichen Gewichte, Längen, Zeitspannen, Einwohnerzahlen usw.; Zeitungsartikel, die möglichst große Zahlen enthalten, Werbeprospekte mit möglichst großen Speicherkapazitäten von moder nen Medien oder Zahlen in Schulbüchern anderer Fächer). Daraus kann eine Wandzeitung entlang einer Zahlengeraden oder eine Plakatausstellung geordnet nach Themenbereichen entstehen. (Bei der Skaleneinteilung sind gleichmäßige Abstände wenig vorteilhaft, da man im Bereich sehr großer Zahlen bzw. sehr kleiner Zahlen wenige Beispiele finden wird.) Auch selbst gestaltete Quizspiele und Aufgabensammlungen sind möglich. b Naturwissenschaften und Technik Aufgaben mit biologischem Inhalt, wie die Vermehrungsrate von Kohlweißlingen oder Wasserlinsen, der Oberflächeninhalt von roten Blutkörperchen, die Gesund heitsbelastung durch Feinstaub usw., regen zum Nach denken und Nachforschen an. Daneben werden physikalische Einheiten wie Kilowatt, Milliohm und Mega hertz angesprochen. L 13

3 1 Quadratzahlen und Quadratwurzeln Quadratzahlen und die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Quadrates sind den Schülerinnen und Schülern bereits bekannt. Neu hinzu kommen die Begriffe quadrieren, Quadrat einer Zahl und Quadratwurzel. Der Zusammenhang zwischen Seitenlänge und Flächeninhalt des Quadrats sowie zwischen Radius und Flächeninhalt des Kreises wird angesprochen. Einstieg Allein durch Zeichnen und Zählen der Heftkaros lassen sich die Flächeninhalte der Quadrate bestimmen. Beim Zeichnen von Quadraten bei einem vorgegebenen Flächeninhalt stellt sich hier die Frage nach der Länge einer Quadratseite. Dies kann durch Anschauen der Zeichnungen und Abzählen der Kästchen gelöst werden. Impulse Flächeninhalte von Quadraten mit einer Grundseite entlang der Heftkaros sind besonders leicht anzugeben; bei anderen Quadraten müssen halbe (viertel ) Karos zu ganzen Karos ergänzt werden, um sie zählen zu können. Mit der Formel A = a a = a 2, lassen sich Flächeninhalte bei bekannter Länge der Grundseite berechnen: A: a = 1 cm; A = 1 cm 2 B: a 1,4 cm; A 1,96 cm 2 (Durch Zerlegen in Heftkaros und Ergänzen halber Karos zu ganzen, lässt sich der genaue Flächeninhalt A = 2 cm 2 bestimmen.) C: a = 1,5 cm; A = 2,25 cm 2 D: a 2,1 cm; A 4,41 cm 2 (genau: 4,25 cm 2 ) E: a 1,8 cm 2 ; A 3,24 cm 2 (genau: 3,25 cm 2 ) Individuelle Lösungen Hier muss zu einem vorgegebenen Flächeninhalt die entsprechende Seitenlänge bestimmt werden, was hier durch Betrachten der Zeichnung gelingt. Anschließend misst man die Seitenlänge und führt den Begriff Quadratwurzel ein. A = 0,5 cm 2 ; a 0,7 cm Merkkasten Das Bestimmen der Quadratwurzel ist die Umkehrung des Quadrierens. Bereits beim Messen der Seitenlängen der Quadrate erfahren die Schülerinnen und Schüler, dass oft nur näherungsweise die Länge der Grundseite bzw. die Wurzel aus einer Zahl bestimmt werden kann. Quadratwurzeln werden hier als positive Zahlen eingeführt. Schülerinnen und Schüler verwechseln oft 5 2 und 5 2. Deshalb sollte man anfangs parallel zur Potenzschreibweise auch die ausführliche Form (5 5) schreiben. Weiter geht s Die Quadratzahlen von 1 2 bis 20 2, (25 2 = 625 und eventuell 32 2 = 1024, da ) sollten wiederholt und auswendig gelernt werden. Auf die Besonderheit bei Zehnerpotenzen wie Verdopplung der Anzahl der Nullen beim Quadrieren bzw. Halbieren der Anzahl der Nullen beim Berechnen der Quadratwurzel wird eingegangen. Daneben zeigen die Beispiele, dass beim Quadrieren einer negativen Zahl stets eine positive Zahl entsteht. a) 169 b) c) _ 9 16 d) 81 e) 0,36 f) 0, a) 7 b) 1000 c) 14 d) _ 3 4 e) 0,06 Aufgaben 1 a) 25 b) 49 c) 81 d) 121 e) 400 f) a) 36 b) 64 c) 144 d) 0,25 e) 0,81 f) 0,04 g) _ 4 9 h ) _ 1 16 i ) _ a) Die Zahlen 0 und 1. b) Brüche und Dezimalzahlen, z. B.: (0,5) 2 = 0,25; (0,01) 2 = 0,0001; 2 _ = _ 1 16 Für alle positiven Zahlen, die kleiner als 1 sind, ist die Quadratzahl kleiner als die ursprüngliche Zahl. 4 a) 64 0,64 0,0064 b) 121 1,21 0,0121 c) 324 3,24 0,0324 L 14

4 5 a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 11 f) 19 g) 15 h) 12 i) 13 6 a) 0,4 b) 0,2 c) 0,1 d) 1,3 e) 1,5 f) 1,9 g) _ 1 2 h ) 3 _ 5 i ) 7 _ 12 7 a) 49 b) 12 c) 121 d) 19 8 Vor der Lösung der Aufgabe können an der Tafel die auswendig gelernten Quadratzahlen als Gedächtnishilfe notiert werden. a) 4 < 5 < < 5 < < 5 < 3 b) 3 < 12 < 4 c) 4 < 20 < 5 d) 5 < 30 < 6 e) 8 < 80 < 9 f) 10 < 120 < 11 g) 24 < 600 < 25 h) 31 < 1000 < 32 i) 22 < 500 < 23 Information Auf das Quadrieren und Wurzelziehen bei Brüchen und die Verwendung der Bruchtaste am Taschenrechner sollte zusätzlich eingegangen werden. 9 a) 2,24 b) 3,46 c) 4,47 d) 5,48 e) 8,94 f) 10,95 g) 24,49 h) 31,62 i) 22,36 10 a) 729 b) 2809 c) 4225 d) 1,2544 1,25 e) 2,0164 2,02 f) 0,2025 0,20 g) 1, ,01 h) 0, ,00 i) 0, ,00 11 a) 10 3,162 b) 13 3,606 c) 56,25 = 7,500 d) 2,8 1,673 e) 3969 = 63,000 f) ,665 g) 0,01 = 0,1 h) ,183 i) _ 2 7 0, Vor dem genauen Berechnen mit dem Taschenrechner sollte stets das Schätzen erfolgen. a) 10 m 2 3,16 m b) 85 dm 2 9,22 dm c) 500 cm 2 22,36 cm 14 Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises lautet A = π r 2. Wenn man daher den Flächeninhalt des Kreises A durch π dividiert, erhält man das Quadrat des Kreisradius. Zieht man dann die Wurzel, erhält man den Radius. Das gerundete Ergebnis lautet r 6,18 cm. 15 Beim Berechnen mit dem Taschenrechner muss vor dem Wurzelziehen ein Gleichheitszeichen eingetippt werden. a) 1,8 cm b) 41,3 cm c) 10,0 cm d) 16,9 mm e) 0,56 m f) Achtung: 20 a = 2000 m 2 ; r 25,23 m Randspalte Es gibt unendlich viele irrationale Zahlen, zum Beispiel 2, 11 und π. Weiteres Angebot: Quadratwurzeln Bestimme die Wurzeln. Vergleiche die Werte. Dabei fällt dir bestimmt etwas auf! a) b) å å0 å00 å000 å0 000 å Lösung a) 1,414 4,472 14,142 44, , ,214 b) 2,6458 8, ,458 83, ,58 836,66 Der hundertfache Wert unter der Wurzel entspricht dem 10-fachen Wert. 12 Die Ziffer ist 9, denn die letzte Ziffer ist eine 7 und 7 2 = 49. (3,47) 2 = 12,040 9 L 15

5 2 Kubikwurzeln Hier wird der Zusammenhang von Potenzieren und Radizieren auf die dritte Dimension ausgeweitet. In der Regel wird der Taschenrechner verwendet. Die Schülerinnen und Schüler sollten sich zunächst mit den notwendigen Tasten vertraut machen, insbesondere mit dem Gebrauch der 2nd -Taste bzw. der entsprechenden Taste auf ihrem Taschenrechner. Es werden sowohl Kopfrechenübungen gestellt als auch Anwendungsaufgaben, die mit dem Taschenrechner zu lösen sind. Die Aufgaben sind nicht explizit mit Taschenrechner-Symbol ausgewiesen. Einstieg Die Einstiegssituation kann ergänzt werden durch alltagsnahe Gegenstände, Verpackungen oder Kisten. Diese sind natürlich nur im Idealfall wirklich würfelförmig. Der Begriff Kubikwurzel stammt vom lateinischen Wort Kubus = Würfel ab. Impulse Der Rauminhalt des Behälters mit den angegebenen Maßen ist V = 50 cm 50 cm 50 cm = (50 cm) 3 = cm 3. Da das Rechnen mit Kubikwurzeln an dieser Stelle noch nicht eingeführt ist, können die Schülerinnen und Schüler diese Aufgabe nur durch Probieren lösen. Die Innenmaße des Behälters sind 60 cm 60 cm 60 cm, da cm 3 = (60 cm) 3. Das Ausprobieren mit dem Taschenrechner liegt jedoch nahe. Merkkasten Die Schülerinnen und Schüler verstehen die Bedeutung und Entstehung der Kubikwurzel sehr schnell, da sie schon mit dem Umgang von Quadratwurzeln vertraut sind. Hier bietet es sich an, einige Kopfrechenübungen zu Kubikwurzeln mit kleinen Zahlen zu machen. Wichtig ist auch die Thematisierung der Einheiten: Die Einheiten werden mitpotenziert, so dass Volumeneinheiten entstehen. Diese sind aus der 8. Klasse, etwa bei den Berechnungen am Quader geläufig. Aufgaben 1 a) 216 b) 1000 c) 64 d) 1331 e) 2197 f) g) h) 0,125 i) 2,197 2 a) 6 b) 10 c) 4 d) 12 e) 14 f) 20 g) 30 h) 0,4 i) 1,2 3 a) (2 cm) 3 = 8 cm 3 b) (3 cm) 3 = 27 cm 3 c) (4 cm) 3 = 64 cm 3 d) (5 cm) 3 = 125 cm 3 e) (10 cm) 3 = 1000 cm 3 f) (1 cm) 3 = 1 cm 3 4 Zuerst muss die Kantenlänge des Würfels berechnet werden. Die Kantenlänge des Würfels beträgt cm 3 = 9 cm. Damit gilt für die Oberfläche O = 6 (9 cm) 2 = 486 cm 2. 5 a) 3,7 b) 4,6 c) 4,9 d) 7,9 e) 17,1 f) 0,9 6 Ein Liter entspricht 1 dm 3 = 1000 cm 3. Der Würfel hat also eine Kantenlänge von cm 3 = 10 cm. 7 Die Kantenlänge eines Würfel, der die tägliche Kohlefördermenge aufnehmen könnte, müsste m 3 = 62,1 m lang sein. Der 1978 von Krupp Industrietechnik gebaute Schaufelradbagger 288 arbeitet zurzeit im Tagebau Garzweiler (Rheinbraun) und ist seit seiner Inbetriebnahme bis heute der größte Bagger der Welt. Er erreicht eine Tagesleistung von Kubikmeter Kohle oder Abraum. Randspalte Die dritte Wurzel einer Zahl hoch drei ist wieder die Zahl selbst, also 18. Wurzelziehen ist der inverse Vorgang zum Potenzieren positiver Zahlen. L 16

6 3 Potenzen Als Erweiterung des Quadrierens und Hinführung zu Zehnerpotenzen lernen die Schülerinnen und Schüler das Potenzieren kennen. Die Hochzahl (der Exponent) wird auf den Bereich der natürlichen Zahlen beschränkt. Einstieg und Impuls Diese Legende über das Schachbrett und die Reiskörner wurde von einem Perser bereits im 13. Jahrhundert niedergeschrieben. Der Weise Sissa Ibn Dahir wollte den König, der seine Untertanen tyrannisierte, belehren und ihm nachweisen, wie wichtig für einen Herrscher seine Untertanen sind. Als Dank für diese Lehre bekam der Weise einen Wunsch frei (Reiskörner auf dem Schachfeld). Der König war zunächst über die Geringfügigkeit des Wunsches erzürnt, musste aber erkennen, dass er ihn niemals würde erfüllen können. Damit wurde dem König eine zweite Lehre erteilt, nämlich, dass man scheinbar Geringfügiges nicht unterschätzen soll. Präsentiert man den Schülerinnen und Schülern die Legende zunächst ohne die Abbildung im Schulbuch, so können Vermu tungen hinsichtlich der Reismenge (Anzahl der Reiskörner bzw. Reisgewicht) erfolgen. Dazu sollte den Schülerinnen und Schülern die Anzahl der Felder eines Schachfeldes und das Gewicht von Reis bekannt sein (50 Reiskörner wiegen etwa 1 g; Körner rund 1 kg). Feld Regel = Anzahl Reiskörner Die Schülerinnen und Schüler erkennen anhand der Tabelle, dass am Ende eine riesige Menge von Reiskörnern vorhanden sein muss. Eine genauere Berechnung und Abschätzung erfolgt an späterer Stelle (S. 24 Aufgabe 11) und sollte nicht vorweggenommen werden. Die Gesamtzahl der Reiskörner kann mit dem Term (2 63 1) = (oder Summe der Einzelwerte an Reiskörnern für jedes Schachfeld) berechnet werden. Das ergibt ausgerechnet Reiskörner, also etwa 369 Milliarden Tonnen Reis. Merkkasten Die Potenzschreibweise wird als Kurzschreibweise für ein Produkt aus vielen gleichen Faktoren eingeführt. In dem Zusammenhang kann auf Raummaße 1 m 3 (= 1 m 1 m 1 m), 1 dm 3 hingewiesen werden. Weiter geht s a) 2 5 = 32 b) 2 9 = 512 c) 2 12 = 4096 d) 2 14 = Bei Bruchzahlen müssen Zähler und Nenner poten ziert werden. Um die Potenz einer Summe oder Differenz zu berechnen, muss zuerst das, was in den Klammern ist, berechnet werden; das Ergebnis wird dann potenziert. a) 0,125 b) 16 c) _ 9 16 d) 32 Aufgaben 1 a) 16 b) 1 c) 25 d) 64 e) 2 f) 125 g) 64 h) a) = 2401 b) = c) = d) = 0 e) = 144 f) = 243 g) 1,5 1,5 1,5 = 3,375 h) 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 = 0, a) b) c) d) e) f) g) h) L 17

7 4 a) ,7354 b) 0, c) ,252 d) 1,051 e) 2401 f) a) verschieden: 3 7 = 2187; 7 3 = 343 b) gleich: ( 6 2 ) = 36; 6 2 = 36 c) gleich: 2 4 = 16; 4 2 = 16 d) gleich, denn 5 3 = und damit gilt = = 5 6 = Diese Aufgaben lösen die Schülerinnen und Schüler durch Probie ren. a) 3 3 b) 0,01 3 c) 5 4 d) 0,2 4 e) 5 0 f) 10 1 g) 2 2 _ h) 2 3 _ Generation: 1 weiblicher Kohlweißling 2. Generation: 100 weibliche Kohlweißlinge 3. Generation: = = weibliche Kohlweißlinge Es sind aber auch männliche Kohlweißlinge, also insgesamt Enkelinnen und Enkel. 8 a) 0,04 = 0,2 2 b) 1,21 = 1,1 2 c) 2 1 _ _ _ 5 3 = 2 1 _ = 1 _ 125 d) 9 _ 144 = 2 3 _ Je nach Taschenrechner wird ab einer bestimmten Potenz 2 z. B das Ergebnis als Produkt einer Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz angegeben. Dabei fehlen Ziffern, die nicht mehr angezeigt werden können. Große Zahlen können mit dem Taschenrechner nicht auf beliebig viele Stellen dargestellt werden. Hier kommt es meist auf Größenordnungen an, bei denen nur die ersten Ziffern relevant sind. 3 2 = 9 3 Å2 = 53Å 44Å 3 3 = 2å 3 Å3 = Å = 8Å 3 Å4 = 4 å = Å5 = Å å 3 6 = å29 3 Å6 = å2å 3 å = 2Å8å 3 Åå = Å29 Å40 Å = 656Å 3 Å8 = 38å = Å Å9 = Å Å62 26Å 46å 3 Å0 = = å84 40Å 3 ÅÅ = Ååå Å4å 3 2Å Å, Å0 Å0 = Å a) 1-mal gefaltet: 2 Lagen (2 1 Lagen; 0,1 mm 2 = 0,2 mm dick) 2-mal gefaltet: 4 Lagen (2 2 Lagen; 0,1 mm 4 = 0,4 mm dick) 3-mal gefaltet: 8 Lagen (2 3 Lagen; 0,1 mm 8 = 0,8 mm dick) b) 10-mal gefaltet: 2 10 Lagen = 1024 Lagen; 0,1 mm 1024 = 102,4 mm = 10,24 cm c) 2 25 = Lagen = ,2 mm = ,32 cm = 3, km Dies ist nicht möglich, da beim Falten die Papiergröße stets halbiert wird. 11 a) 90 5 = b) = = 10 Mrd.; Es sind fast doppelt so viele Menschen wie bei Teilaufgabe a). c) Gründe gibt es viele, z. B. überschneiden sich die Bekanntenkreise verschiedener Personen kennt man zum Großteil Personen aus einem örtlich begrenzten Gebiet hat jeder Mensch Bekannte, weiß aber nicht, wen diese Menschen kennen. So hat man zu den Bekannten eines Bekannten eigentlich keinen Kontakt. L 18

8 4 Zehnerpotenzen Mithilfe von Zehnerpotenzen können sehr große und sehr kleine Zahlen übersichtlich und lesbar dargestellt werden. Solche Zahlen werden auf dem Taschenrechner mithilfe von Zehnerpotenzen abgebildet, da die Anzeigefläche begrenzt ist. Einstieg und Impuls Zu Beginn wird man im Unterrichtsgespräch die Begriffe Stern, Lichtjahr und Galaxie klären: Stern: großer Himmelskörper, der aus Gasen besteht und Licht und andere Strahlung aussendet. Galaxie: Ansammlung von Millionen bis Milliarden von Sternen (und Planeten) in einem System, z. B. der Andromedanebel oder die Kleine und Große Magellan sche Wolke. Lichtjahr: siehe Seite 21 Nr. 16 Die Darstellung der Anzahl der Sterne der Milchstraße mit Zehnerpotenzen wird als Vereinfachung/ Kurzschreibweise unübersichtlicher großer Zahlen eingeführt. Die Milchstraße besteht aus 100 Milliarden Sternen, also Sternen oder Sternen. Merkkasten Ab einer Milliarde wiederholt sich bei den Zahlbezeichnungen das System. Die Endungen -illion und -illiarde wechseln sich ab: Å0 12 = Billion; = Billiarde Å0 Å8 = Trillion; = Trilliarde Å0 24 = Quadrillion; = Quadrilliarde Å0 30 = Quintillion; = Quintilliarde Weitere Vorsilben, mit denen Bezeichnungen für große Zahlen gebildet werden können, sind Sext-, Sept-, Okt-, Non-, Dez-, Undez-, Duodez-, Tredez-, Quattuordez-. Sie stammen aus dem Lateinischen und bilden Potenzen der Million ab. Eine Billion ist eine Mil lion 2, eine Trillion eine Million 3 Weiter geht s Bildet man nun das Produkt zweier Zehnerpotenzen bzw. großer Zahlen, wird die Anzahl der Nullen addiert. a) = = 10 Milliarden b) = = 10 Billionen c) = = 1 Billiarde Der Taschenrechner zeigt die Ergebnisse mithilfe von Zehnerpotenzen an. Dabei wird die Basis 10 als 1 abgebildet. Sabrina hat nur teilweise Recht. Bei Zehnerpotenzen gibt die Zahl rechts in der Taschenrechneranzeige die Anzahl der Nullen an. Bei Produkten aus einer Dezimalzahl und einer Zehnerpotenz (z. B. 1, ) gibt sie die Stellen an, um die das Komma bei positiver Zahl nach rechts (bei negativer nach links) verschoben werden muss. a) 10 8 = = 100 Millionen b) = = 1 Billion c) 10 1 = 10 Aufgaben 1 Neben der Schreibweise sollte hier auch das Vorlesen großer Zahlen geübt werden. a) 100 b) c) (100 Millionen) d) (10 Milliarden) e) (10 Millionen) f) (100 Milliarden) 2 a) 10 6 b) 10 9 c) d) a) Die Anzeige bedeutet 10 14, also (100 Billionen). Ömer erwartet eine hohe Zahl und kennt die Potenzschreibweise nicht. b) = L 19

9 4 a) 10 13, d. h. 13 Nullen b) 10 7, d. h. 7 Nullen c) 10 11, d. h. 11 Nullen d) 10 24, d. h. 24 Nullen 5 a) b) c) d) e) f) g) h) a) und b) (Å) = (2) = (3) = a) b) c) 3, d) e) = f) = 1, An den gewählten Beispielen wird deutlich, dass die Potenzschreibweise erst bei größeren Zahlen sinnvoll und übersichtlich ist. a) = 1, b) c) = 2, d) = 3, e) = 5, f) = 3, Hier kann man nicht schematisch vorgehen. Da die Zahlen nicht in der sog. wissenschaftlichen Notation stehen (vor der Zehnerpotenz stehen nur Zahlen zwischen 0 und 10). Das (gedachte) Komma muss verschoben werden um so viele Stellen wie der Exponent angibt. a) b) c) d) e) 410 f) g) 375 h) Gibt man das Produkt so wie abgedruckt in den (zehnstelligen) Rechner ein, so erhält man ein falsches Ergebnis, da der Rechner Nullen, die nicht auf der Anzeige erscheinen, bei der Berechnung nicht berücksichtigt. Daher empfiehlt sich die Eingabe der Zahlen als Zehnerpotenzen: 1, , = 1, Diese Aufgabe bereitet die Information vor. Information Das Umwandeln und Eingeben von Zahlen mit mehr als 10 Stellen in den Taschenrechner kann in Partnerarbeit geübt werden. Jeder Partner denkt sich für den anderen Zahlen aus, die dieser in Zehnerpotenz- Darstellung aufschreibt. Zahlen wie können nur gerundet in einen Taschenrechner mit 10-stelliger Anzeige eingegeben werden. Dies spielt (entsprechende Rundung vorausgesetzt) bei derart großen Zahlen jedoch kaum eine Rolle. 11 Die fehlenden Angaben finden die Schülerinnen und Schüler auf der Randspalte. a) 5Å B = B Å 10 9 B = B B = B B = B b) Der Speicherbedarf eines Songs hängt von der Länge und vor allem der Qualität ab, mit der er abgespeichert wird. (Benötigt ein Song 4 MB, so passen auf einen 2-GB-Player etwa 500 Songs.) Eine Lösung der Aufgabe setzt aktuelle Recherche im Internet voraus. Randspalte Die genannten Vorsilben für Vielfache von Einheiten werden dabei auf unterschiedliche Einheiten angewandt. So gibt es z. B. neben dem Kilogramm etwa den Kilometer. Einheiten, auf die diese Vorsilben angewandt werden, sind unter anderem Watt (Leistung), Ampere (Stromstärke) oder Hertz (Frequenz). Obiges gilt nicht für die Vorsilbe Hekto, die man nur noch bei hektar (1 ha = 100 a = m 2 ) antrifft. L 20

10 Information Stellt man kleine Zahlen mit vielen Stellen nach dem Komma ausführlich dar, wird ebenfalls die Dreiergliederung der Ziffern verwendet. Hierbei werden vom Komma aus immer 3 Stellen nach rechts zusammengefasst. Die Bezeichnungen für kleine Zehnerpotenzen befinden sich auf der Randspalte. 12 a) 10 2 b) 10 6 c) 10 5 d) 10 0 e) 10 8 f) a) 0,01 = 10 2 b) 0, = 10 6 c) 0,001 = 10 3 d) 0, = 10 9 e) 0,002 = f) 0,0034 = = 3, a) 0,01 b) 0,0001 c) 0, d) 0, e) 0, f) 0, g) 0, h) 0,1 i) 0, a) b) c) = 2, d) = 4, e) = 1, f) = 1, a) 1,3 s b) 500 s = 8 min 20 s c) s = 4 h 1 min 40 s d) km = 9, km 10 Billionen km 17 a) Die Ausdehnung der Milchstraße umfasst etwa Lichtjahre. Dies entspricht , km = 9, km. b) , km = 5, km 18 a) Masse der Erde: t Masse des Mondes: t b) Die Erde ist etwa 81,32-mal so schwer wie der Mond. 19 a) 2 7, : 365 = 2, Das sind pro Tag etwa 2, kwh. b) Ein 4-Personen-Haushalt benötigt pro Jahr etwa 4000 kwh. Die von der Sonne abgestrahlte Energie im Jahr beträgt das 1, Fache. c) Primärenergieverbrauch pro Jahr Deutschland: 4000 Mrd. kwh = kwh Welt: Mrd. kwh = 1, kwh (aus Weiteres Angebot: Planeten Übungsaufgaben zum Eingeben großer Zahlen in den Taschenrechner a) Gib in der Zehnerpotenzdarstellung an, so dass die Zahlen in den Taschenrechner eingegeben werden können. Mittlere Entfernungen der Planeten von der Sonne: Merkur: m Erde: m Saturn: m Neptun: m b) Die Erde hat eine Masse von rund t. Der Jupiter ist etwa 300-mal so schwer wie die Erde. Welche Masse hat er? Die Sonne ist rund mal so schwer wie die Erde. Berechne ihre Masse. c) m 2 der Erdoberfläche sind mit Wasser bedeckt. Das sind 71 % der Erdoberfläche. Berechne die Größe der Erdoberfläche. Lösungen a) Merkur: 5, m; Erde: 1, m Saturn: 1, m; Neptun: 4, m b) Masse Erde: 5, t Masse Jupiter: 5, t 300 = 1, t Masse Sonne: 1, t c) Wasserfläche: 3, m 2 Erdoberfläche: 5, m 2 L 21

11 Thema: Ganz klein winzig klein nanoklein Bei dieser Sonderseite wurden Themen aus der Welt der Insekten und der Nanotechnologie ausgewählt, um deutlich zu machen, wo im Alltag bzw. im Bereich der Technologie sehr kleine Zahlen Verwendung finden. Bei den Größenumrechnungen wird durch die vorgegebenen Einheiten deutlich, dass Angaben durch Zehnerpotenzen und die Einheiten Meter oder Kilo für diese Bereiche unübersichtlich sind und man deshalb auf die Einheiten nm, µm oder mg ausweicht. Will man allerdings Größen miteinander vergleichen, so ist eine gemeinsame Einheit notwendig. Aufgaben 1 a) Die Jugendlichen müssen darauf achten, dass sie für den Vergleich eine der gegebenen Einheiten wählen (mg, g, kg) und durchgehend verwenden. Eine Stechmücke wiegt 2,5 mg = 2, g. Sei x die gesuchte Anzahl von Mücken. Da x Mücken 1 g wiegen, gilt: 2, x = 1; 1 x = 2, = Mücken wiegen also 1 g. Wenn die Mücken 1 kg = 10 3 g wiegen sollen, so gilt: 2, x = 10 3 ; 10 x = 3 2,5 10 ; 3 x = Mücken wiegen 1 kg. b) Individuelle Lösungen 3 Zuerst wird Millionstel Gramm wie auch Milligramm in der Potenzschreibweise in Gramm ausgedrückt. a) Gewicht der Pollen: 1 0, g = 0, g Die Biene sammelt x Pollen, um 20 mg = g zu erhalten. Es gilt also: 0, x = ; x = 0,5 10 = = Die Biene muss 4000 Pollen pro Flug sammeln. b) 25 kg bis 30 kg = mg bis mg Bei 13 Flügen sammelt eine Biene mg = 260 mg und fliegt dabei 85 km. Um mg (bzw mg) zu sammeln, fliegt sie km (bzw km). 4 a) x Nanoröhrchen von 20 nm = m ergeben nebeneinander 1 mm = 10 3 m, es gilt also: x = 10 3 ; x = b) x Wasserstoffatome mit der Dicke von 0,1 nm sollen nebeneinander 20 nm ergeben, es gilt also: 0,1 x = 20; x = 200. c) Da das Haar dick im Vergleich zum Nanoröhrchen ist, wäre hier z. B. eine sinnvolle Frage, wie viele Nanoröhrchen nebeneinander ein Haar ergeben ( ). 2 Da die Einheiten µm und nm im Vergleich zu Meter definiert sind, ist es hier am leichtesten, auch Meter als gemeinsame Vergleichseinheit zu wählen. Mikrometer und Nanometer sind aber auch als Vergleichseinheit vorstellbar. a) Größe vom Plasmodium: 20 µm = m Größe vom Virus: 40 nm = m = 0, = 500 Ein Plasmodium ist 500-mal größer als ein Virus. b) Individuelle Lösungen L 22

12 Üben Wiederholen Die Rubrik Üben Wiederholen dient als weiterer Aufgabenpool zur Ergänzung, Wiederholung und Überprüfung. Außerdem werden hier Inhalte der verschiedenen Lerneinheiten vernetzt. Aufgaben 1 a) 9 = 3; b) ,44; 0,9 0,95; ,28; 0,09 = 0,3; 80 8,94; 0,009 0,095; 8 2,83; 0,0009 = 0,03 0,8 0,89 c) _ 1 = 1; 10 3,16; 100 = 10; ,62; = a) 5, b) 1, c) 2, d) e) f) 2, a) Å = Å Å2Å = ÅÅ Å2 32Å = ÅÅÅ Å 23432Å = Å ÅÅÅ Å Å = ÅÅ ÅÅÅ b) Man kann so weiter machen bis = c) Die Zahlen, die unter dem Wurzelzeichen stehen, sind die Quadratzahlen von Zahlen, die aus lauter Einsen bestehen. d) Der Taschenrechner liefert das gerundete Ergebnis 1, Das genaue Ergebnis lautet a) Å6 = 4 b) 8Å = 9 Å Å56 = Å = 99 ÅÅÅ 556 = Å = 999 ÅÅ ÅÅ5 556 = Å = 9999 c) 49 = = = = Å2Å = Å1 484 = = = = = = = 1001 Sowohl die Zahlen als auch die Wurzeln aus den Zahlen bilden Ziffernfolgen, aus spiegelbildlich angeordneten Ziffern (sogenannte Palindrom-Zahlen). Bei der Endziffer 1 taucht auch in der Wurzel die Endziffer 1 auf; bei der Endziffer 4 eine 2. 6 a) , b) , c) , a) 1 _ 10 m = m b) 10 3 W (Watt, d. h. Einheit für die Leistung) c) 10 3 Ð (Ohm, d. h. Einheit für den elektrischen Wider stand) d) 10 9 B (Byte, d. h. Einheit für die Speicherkapazität) e) 10 3 J (Joule, d. h. Einheit für Energie) f) W g) 1 _ 1000 s = 10 3 s h) 10 6 B i) 10 6 Hz (Hertz, d. h. Einheit für Frequenz) j) 10 3 Wh (Wattstunde, d. h. Energie pro Stunde) 8 a) nach 1 Woche: 2 5 cm 2 = cm 2 = 10 cm 2 nach 2 Wochen: cm 2 = 20 cm 2 nach 3 Wochen: cm 2 = 40 cm 2 nach 4 Wochen: cm 2 = 80 cm 2 b) nach 8 Wochen: cm 2 = 1280 cm 2 c) Die Aufgabe kann mithilfe einer Tabelle gelöst werden. 2 m 2 = cm 2 ; cm 2 = cm 2 Nach rund 12 Wochen ist der Teich zugewachsen. Randspalte Eine Lösung der Aufgabe erfordert eine aktuelle Recherche im Internet. Je nach Typ der Kamera und Auflösung der Fotos kann eine unterschiedliche Anzahl von Bildern gespeichert werden. Auch bei CD/DDCD (650 MB/900 MB), einer DVD (4,7 GB/17 GB) oder einem USB-Stick (4 GB/16 GB) ändern sich die technischen Daten fortlaufend. L 23

13 9 625 = = _ 1 = = Susis Behauptung ist richtig. Multipliziert man die Ziffern der Einerstellen natürlicher Zahlen, so erhält man die Einerstelle des Produktes. Bei Quadratzahlen von natürlichen Zahlen tritt dabei die Ziffer 2 niemals auf. 0 2 = 0; 1 2 = 1; 2 2 = 4; 3 2 = 9; 4 2 = 16; 5 2 = 25; 6 2 = 36; 7 2 = 49; 8 2 = 64; 9 2 = 81; 11 Diese Aufgabe eignet sich zur Gruppenarbeit. Sie kann etwa mithilfe einer Tabellenkalkulation (Poten zierungsoperator ^) gelöst werden: Feld Reiskörner Feld Reiskörner Å Å å ÅåÅå9869Å å Å6 3å 68åÅ94å6å Å,3å439E+ÅÅ å ,å48å8E+ÅÅ Frachtschiff 8 Å ,49å56E+ÅÅ ( Å0 995 t) Å Å,0995ÅE+Å2 Å0 5Å2 42 2,Å9902E+Å2 ÅÅ Å ,39805E+Å2 Å ,å9609E+Å2 Å Å,å5922E+Å3 Å4 8Å ,5Å844E+Å3 Å5 Å6384 4å å,0368åe+å3 Å6 32å68 48 Å,40å3åE+Å4 Åå ,8Å4å5E+Å4 Å8 Å3Å0å2 50 5,6295E+Å4 Å9 262Å44 5Å Å,Å259E+Å Sack 52 2,25Å8E+Å5 2Å Å0485å6 ( 2Å kg) 53 4,5036E+Å åÅ ,00å2E+Å5 23 4Å Å,80Å44E+Å ,60288E+Å6 25 Å6ååå2Å6 5å å,205å6e+å Å,44ÅÅ5E+Åå 2å 6åÅ ,8823E+Åå 28 Å342Ååå ,å646ÅE+Åå LKW 6Å Å,Å5292E+Å å09Å2 ( Å0,å t) 62 2,30584E+Å8 3Å Å0å3å4Å ,6ÅÅ69E+Å8 32 2Å4å ,2233åE+Å8 Gezählt wird immer von links nach rechts, d. h. oberhalb vom ersten Feld liegt das neunte Feld. Bei Erfüllung des Wunsches würden sich auf dem letzten Feld 2 63 Körner befinden. Das sind etwa 9, Körner, die rund 1, t wiegen würden. Allein auf dem 64. Feld würde sich somit das 3689,349-Fache der deutschen Getreideernte befinden. Mit der Summenfunktion ergeben sich insgesamt 1,84467E+19 Reiskörner. 12 a) 1 μg = 10 6 g; 0,01 μg = 10 8 g 1 Die Waage wiegt also auf g genau. b) 0, g 13 a) = b) 1, = c) 6, = d) 2, = In 1 g sind 3, Bakterien; in 1 kg somit 3, Bakterien und in 100 kg sind 3, Bakterien. 15 a) m/s b) m c) Zellen d) 8, cm e) cm 16 a) An einem Tag wurden Menschen, also Menschen geboren. b) In einem Monat mit 30 Tagen wurden Menschen geboren. c) An 365 Tagen wurden Menschen geboren. 17 blondes Haar: mm = 60 m braunes Haar: mm = 44 m schwarzes Haar: mm = 40 m rotes Haar: mm = 36 m 18 a) m = 0,9 m b) 9 m c) 900 m d) m L 24

14 Aufgabenvorschläge für Klassenarbeiten zu Kapitel 1 1 Berechne. Runde (wenn notwendig) die Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen. a) b) 1,2 2 c) d) (4 1,5) 3 e) 1 _ 4 + (0,2) 2 f) 2 2 _ Schreibe als Zehnerpotenz. a) 5 Millionen b) c) _ d) 0,0005 e) 10 Billionen f) 0,205 3 Schreibe folgende Zahlen mithilfe von Zehnerpotenzen: a) Die Chinesische Mauer (Mauerwerk) hat ein Volumen von rund m 3. b) Der Assuan-Staudamm in Ägypten staut eine Wasser menge von rund 2,5 Milliarden m 3. c) Ein Tabakrauchteilchen hat eine Größe von 0, mm. 4 Das menschliche Herz schlägt durchschnittlich pro Stunde 5000-mal. Gib die Ergebnisse mithilfe von Zehnerpotenzen an. a) Wie oft schlägt es in einem Jahr? b) Herr Müller feiert seinen 50. Geburtstag. Wie oft hat sein Herz schon geschlagen (ohne Schaltjahre)? 5 In einen Würfel passen genau 64 Liter. Berechne seine Kantenlänge und seine Grundfläche. a a a 6 Ein rotes Blutkörperchen hat einen Durchmesser von _ mm. Es wird mit 3500-facher Vergrößerung in einem Schulbuch abgebildet. Wie groß ist der Durchmesser des Blutkörperchens auf der Abbildung in cm? 7 Ein Bauer möchte sein quadratisches Grundstück einzäunen. Sein Grundstück ist 2,25 a groß. Das Tor ist 2,30 m breit. Wie viel Meter Zaun werden benötigt? 8 Ein Schachbrett hat 64 Schachfelder und einen Flächeninhalt von 1296 cm 2. a) Berechne die Seitenlänge des Schachbretts. b) Das Schachbrett hat einen Rand von 2 cm. Wie lang ist die Seite eines Schachfeldes? c) Wie groß ist die Fläche eines Schachfeldes? Lösungen 1 a) 6 b) 1,44 c) 21,83 d) 15,625 e) 0,54 f) _ ,20 2 a) b) 4, c) 10 3 d) e) f) 2, a) m 3 b) 2, m 3 c) mm 4 a) Jahr: mal = 4, mal b) 2, mal 5 64 ø = 64 dm 3 = cm 3 Kantenlänge: a = cm 3 = 40 cm Grundfläche: a 2 = (40 cm) 2 = 1600 cm 2 6 Durchmesser: 0,008 mm 3500 = 28 mm = 2,8 cm 7 2,25 a = 225 m 2 Seitenlänge: 225 m 2 = 15 m Zaunbedarf: 15 m 4 2,30 m = 57,70 m 8 a) Seitenlänge des Schachbretts: 1296 cm 2 = 36 cm b) Seitenlänge eines Schachfeldes: _ 1 8 (36 cm 4 cm) = 4 cm c) Fläche eines Schachfeldes: (4 cm) 2 = 16 cm 2 L 25