Die Trigonometrie behandelt das Problem der Berechnung von Dreiecken. Es bestehen schöne Anwendungen in der Vermessung oder Astronomie.

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1 1 Trigonometrie 1 1. Einleitung, Definition Die Trigonometrie behandelt das Problem der Berechnung von Dreiecken. Es bestehen schöne Anwendungen in der Vermessung oder Astronomie. Aufgabe: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel α 55. Bestimme die Längen von Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse und berechne die Näherungswerte der folgenden Seitenverhältnisse Sinus (sin), Cosinus (cos), Tangens (tan), Cotangens (cot) sinα cosα a c b c Gegenkathete Hypotenuse Ankathete Hypotenuse a Gegenkathete tanα b Ankathete b Ankathete cotα a Gegenkathete Schülerinnen schlagen folgende Merkregel vor: sin cos tan cot G A G A H H A G Bemerkungen: Da alle rechtwinkligen Dreiecke mit dem Winkel α zueinander ähnlich sind, sind die Werte der Seitenverhältnisse von der speziellen Wahl des Dreiecks unabhängig Die Werte der Seitenverhältnisse hängen damit nur vom Winkel ab, sind eine Funktion des Winkels α. Ist umgekehrt ein Seitenverhältnis gegeben, so bestimmt dies den Winkel α und damit auch die übrigen Seitenverhältnisse eindeutig. Zur Herkunft des Wortes Sinus: Sehne heisst indisch jiva. Es wurde von den Arabern als Fremdwort übernommen. Da es ähnlich tönt wie das arabische Wort für Ein-, Ausbuchtung führte dies zur falschen Übersetzung ins Lateinische trigo_1_s/ul

2 Aufgabe: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkel α, so dass gilt sin α 4 /5 und gib die restlichen Funktionswerte (ohne TR) an. Wähle z.b. die Gegenkathete a 8 und die Hypotenuse c 10. Für die Ankathete b gilt dann nach Pythagoras b 4. Damit können die Funktionswerte angegeben werden: cos α 4 /5, tan α 3 /4, cot α 4 /3. Übungsaufgabe: geg. tanα 8 ges. cosα ohne TR Lösung: cosα 1 /3. spezielle Winkel Die trigonometrischen Funktionswerte sind i.a. irrationale Zahlen, für die der Taschenrechner Näherungswerte liefert. Wie die folgenden Beispiele zeigen, können in einigen Fällen genaue Werte angegeben werden. a) α 45 Betrachte die Hälfte eines Einheitsquadrats 1 sin 45 cos45 tan 45 cot 45 1 b) α 30 bzw. 60 Betrachte die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite und der Höhe 3 1 sin 30 cos 60 sin 60 cos tan 30 cot 60 tan 60 cot Eselsleiter: α sin α trigo_1_s/ul

3 3 3. Folgerung aus der Definition sin α cos (90 - α) z.b. sin 30 cos 60 cos α sin (90 - α) z.b. cos 50 sin 40 tan α cot (90 - α) z.b. tan 0 cot 70 cot α tan (90 - α) z.b. cot 40 tan Darstellung der trigonometrischen Funktionswerte am Einheitskreis Die trigonometrischen Funktionswerte erscheinen als Masszahlen der farbig bezeichneten Strecken. Beachte OB OC OE 1 AB sin α OB AB y OA cosα OB OA x AB CD tan α OA OC CD OA EF cot α AB OE EF Wächst α von 0 bis 90 - so wächst sin α von 0 bis 1 - so fällt cos α von 1 bis 0 - so wächst tan α von 0 bis, d.h. nähert sich der Winkel 90, so wird tan α grösser als jede noch so grosse positive Zahl - so fällt cot α von bis 0. Beachte: Die Funktionswerte wachsen nicht linear. Insbesondere bedeutet eine Verdopplung des Winkels nicht eine Verdopplung des Funktionswerts. tan 90 bzw. cot 0 sind nicht definiert. 5. Grundlegende Beziehungen Aus der Skizze ergeben sich die folgenden grundlegenden Beziehungen: Pythagoras im Dreieck OAP: (1) () (3) cos α + sin α 1 sinα cosα tanα cotα cosα sinα 1 cotα tanα trigo_1_s/ul

4 4 Bemerkungen: cos α cosα cos α (cos α) (1) drückt aus, dass sich cos α in sin α ausdrücken lässt cosα 1 sin α bzw. umgekehrt sin α in cos α sinα 1 cos Die Beziehungen gelten für beliebige zulässige Winkel, d.h. α kann z.b. ersetzt werden durch β oder γ/. Die Funktionswerte sind aber nicht zum Winkel proportional d.h. sin (α) sin α Beispiele: - Grundlegende Beziehungen anwenden - Terme auf einen gemeinsamen Bruchstrich bringen - ausklammern, faktorisieren B: Vereinfache sinα cos α sin α 1 1 cosα + sinα tanα cosα + sin α + (sin α + cos α) cosα cosα cosα cosα cosα B: Vereinfache sin α cos α s c ( s c ) ( s + c ) s + c 1 sin α cos α s c s c α B: Beweise die folgenden Identitäten: a) α tan b) cos α 1 cot α + 1 sin α Es ist zu zeigen, dass für jeden zulässigen Winkel linke und rechte Seite übereinstimmen. Zeige, dass sich z.b. die linke (kompliziertere Seite) in die rechte Seite überführen lässt. sinα sin α cos α + sin α a) L R cosα cos α cos α b) analog Übungsaufgabe: Beweise die folgenden Identitäten: sinα cosα a) tanα b) 1 sin α tan α sin α tan α sin α trigo_1_s/ul

5 5 6. Bestimmung der trigonometrischen Funktionswerte mit der TR a) Winkel gegeben, Funktionswert gesucht Winkel im Gradmass (DEG! nicht GRAD!) B: α 5 sin cos tan cot (Kehrwertfunktion!) Winkel im Bogenmass (RAD) B: α sin cos tan cot π π Test mit sin 0.5 bzw. tan b) Funktionswert gegeben, Winkel gesucht Die Umkehrfunktion des Sinus heisst Arcussinus. Sie gibt zu einem bestimmten Sinuswert den zugehören spitzen Winkel an (Bogen heisst auf lateinisch arcus). Gradmass: sin α 0.8 α arcsin cos α 0.4 α arccos tan α α arctan 63,4 cot α 4 berechne zunächst tan α 0.5 (Kehrwertfunktion!) und daraus α arctan Bogenmass sin α 0.8 α arcsin cos α 0.4 α arccos tan α α arctan cot α 4 berechne zunächst tan α 0.5 (Kehrwertfunktion!) und daraus α arctan Zeige (ohne TR): arctan(1) arctan() arctan(3) α? trigo_1_s/ul

6 6 7. Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks Eine Winkelfunktion verknüpft einen Winkel und zwei Seiten. Aus zwei der Grössen lässt sich die dritte berechnen. Grundaufgabe 1: Berechne ein rechtwinkliges Dreieck aus einem Winkel und der Hypotenuse Gegeben: c, α β 90 - α a c sin α b c cos α numerische Beispiele: α 9.6, c 3.9 β 60.4 a 11.8 b 0.8 α 19.4, c 7.63 β 70.6 a.54 b 7.0 Grundaufgabe : Berechne ein rechtwinkliges Dreieck aus einem Winkel und einer Kathete Gegeben: a, β α 90 - β a cos β c b tan β a a c cos β b a tan β numerisches Beispiel: a 31.7 β 58.0 α 3.0 c 59.8 b trigo_1_s/ul

7 7 Grundaufgabe 3: Berechne ein rechtwinkliges Dreieck aus der Hypotenuse und einer Kathete Gegeben: c, b b b sinβ β arcsin c c α 90 β a cosβ a c cosβ c numerisches Beispiel: c 13.6, b 8.95 β 41. α 48.8 a 10.4 Grundaufgabe 4: Berechne ein rechtwinkliges Dreieck aus den Katheten Gegeben: a, b a a tan α α arctan b b β 90 α a a sin α c c sinα Höhe h: h b sinα Hypotenusen abschnitte: p a cos β q b cosα numerisches Beispiel: a 3.17, b 5.08 α 3.0 β 58.0 c 5.99 Aufgabe: Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Kathete a und die Hypotenuse c gegeben. Berechne a) die Höhe hoch b) die Winkelhalbierende wα c) die Seitenhalbierende Sub. Lösung: a) β arccos a c h a sin β b b) α 90 β b c cosα w α α cos c) b b tanε ε arctan a a a a cosε sb s cosε b ( ) trigo_1_s/ul

8 8 Übungsaufgaben: a) Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die Hypotenuse c und die Kathete a Berechne die Winkelhalbierende wα. Lösung: wα b) Die Fahrt mit der Seilbahn von der Talstation A zur Bergstation B dauert 16 Minuten. Die mittlere Geschwindigkeit der Kabine beträgt Meter pro Sekunde. Wir nehmen an, dass sich die Kabine längs einer Geraden bewegt, die mit der Horizontalen einen Winkel von 5 bildet. Berechne auf Meter genau die Höhe der Bergstation B über der Talstation A. 8. Berechnung von gleichschenkligen Dreiecken, Trapezen, regulären Vielecken Gleichschenklige Dreiecke, Rechtecke, Rhomben, usw. können berechnet werden, indem man geeignete rechtwinklige Teildreiecke betrachtet. Aufgabe: Berechne ein gleichschenkliges Dreieck aus der Basis c und der Höhe ha. ha ha sin β β α arcsin c c γ 180 β cos β hc sin β a c c a a 1 h c c a cos β a sin β 1 c tan β numerisches Beispiel: c 86.4, ha 78.5 α β 65.3 γ 49.4 a b hc Ergänzung: Berechne den Inkreis- bzw. den Umkreisradius. Aufgabe: Im gleichseitigen Dreieck ABC mit der Seite a 6 wird die Seite AB durch die Teilpunkte T1 und T in drei gleiche Teile zerlegt. Welchen Winkel schliessen die Geraden CT1 und CT ein? Pythagoras: h ϕ 1 1 tan ( ) ϕ arctan ε 30 ϕ trigo_1_s/ul

9 9 Übungsaufgaben: a) Bestimme in einem Rechteck mit den Seiten a 8 und b 45 den spitzen Schnittwinkel der Diagonalen. Lösung: b) Wie gross sind die Innenwinkel eines Rhombus mit den Diagonalen e und f 45.1 Lösung: 110.0, Aufgabe: Berechne ein gleichschenkliges Trapez aus a, h und α. Geg. a, h, α β Ges. b d, c Diagonale e f g EB h h sinα b b sinα g h cotα c a g a h cotα a + b m Bestimmung der Diagonalen nach Pythagoras. Variante: Hilfswinkel ε: h tan a g h h ε sin ε a g e numerisches Beispiel: a 54.6 h 9.86 α 65.5 b 10.8 c 45.6 e 11.1 e f h sin ε Kann keine direkte Beziehung zwischen bekannten Grössen und der gesuchten Grösse aufgestellt werden, so führe man eine Hilfsvariable ein. Eine einfache Vermessungsaufgabe: Berechne die Höhe h eines Turmes, dessen Fusspunkt unzugänglich ist. geg: α, β, s Hilfsvariable BF x s + x h cotα x h cot β eingesetzt s + h cot β h cotα s s tanα tan β h cotα cot β tan β tanα num. B Kühlturm, Augenhöhe: 1.59 m, s m, α 13.13, β Lösung: h 15.5 m (incl. Augenhöhe) trigo_1_s/ul

10 10 Übungsaufgabe: Der Beobachter B befindet sich a 70 m über dem Seespiegel. Er sieht die Bergspitze unter dem Höhenwinkel α 8, ihr Spiegelbild unter einem Tiefenwinkel β 35. Wie hoch liegt S über dem Seespiegel? Lösung: Aufgabe: Berechne den Flächeninhalt I eines spitzwinkligen Dreiecks aus zwei Seiten a,b und dem eingeschlossenen Winkel γ hb sinγ hb a sinγ a (1) b hb I 1 ab sinγ halbes Produkt der beiden Seiten mit dem Sinus des eingeschlossenen Winkels. numerisches Beispiel: a 8.0, b 6.0, γ 49.4 I 18. Aufgabe: Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks mit Schenkel s und dem Winkel α zwischen den beiden Schenkeln einerseits nach (1) I s s sin(α ) andrerseits aus Grundlinie und Höhe I s s sinα cosα Daraus folgt die wichtige Formel: sin( α ) sinα cosα trigo_1_s/ul

11 11 Die eben hergeleitete Formel ermöglicht es, den Sinuswert des doppelten Winkels zu berechnen. Da für kleine Winkel der Sinus gut mit dem Bogenmass des entsprechenden Winkels übereinstimmt gilt: π sin π sin π 180 sin In der Praxis verwendet man (möglichst rasch konvergierende) Reihen, z.b F u.t Übungsaufgaben: a) Einem Kreis mit Radius r ist ein reguläres n-eck a) einbeschrieben b) umbeschrieben. Berechne die entsprechenden Flächeninhalte. Ie 360 n 1 nr sin Iu 180 nr tan n b) Übungsaufgabe: Zwei Kreisscheiben mit Radius r1 40 cm und r 0 cm sind mit gekreuzten Lederriemen verbunden. Der Winkel des Riemens an der Kreuzungsstelle ist 60. Wie lang ist der Riemen? trigo_1_s/ul

12 1 9. Aufgaben aus der Raumgeometrie Räumliche Aufgaben können auf ebene zurückgeführt werden, indem man geeignete Schnitte betrachtet. Aufgabe: Wie gross ist die Geschwindigkeit, mit der sich eine Erdbewohnerin im Punkt P mit der geografischen Länge λ und der geografischen Breite ϕ um die Erdachse bewegt? (Die Erde wird bei dieser Aufgabe als Kugel mit dem Radius km angenommen). In der Skizze ist der Schnitt durch den Längenkreis von P dargestellt. In 4 Stunden legt die Erdbewohnerin den Umfang des Breitenkreises mit Radius ρ zurück: Umfang des Breitenkreises: U πρ π R cosϕ Im Spezialfall Zofingen (λ E) und ϕ N legt die Bewohnerin U πρ π R cosϕ 7151 km in s zurück, bewegt sich also mit einer Geschwindigkeit von v 314 m/s um die Erdachse. Zusatzfrage: Auf welchem Breitenkreis könnte ein Flugzeug mit der Durchschnittsgeschwindigkeit von 300 km/h (in Österreich kmh genannt!?) in einem Tag gerade um die Erde fliegen? Lösung: π R cosϕ ϕ 79.6 Übungsaufgabe: Der 47 -Breitenkreis geht durch Neuchâtel und Bad Ragaz. Berechne den sphärischen Abstand der beiden Ortschaften aus ihren Längen 6 57 und Lösung: Winkel bei regulären Polyedern Es kann bewiesen werden, dass es genau fünf reguläre Körper gibt. Euler hat den sogenannten Eulerschen Polyedersatz bewiesen, der eine Aussage über die Beziehung zwischen der Anzahl der Ecken e, der Anzahl der Flächen f und der Anzahl der Kanten k macht: e + f - k Eulersche Polyedersatz 1. Der Würfel (Hexaeder) e 8 f 6 k 1 Berechne den Winkel zwischen der Raumdiagonale und einer Würfelkante trigo_1_s/ul

13 13 Betrachte das rechtwinklige Dreieck aus einer Kante, einer Flächendiagonale und einer Raumdiagonale α arctan( ) trigo_1_s/ul

14 14. Das Tetraeder e 4 f 4 k 6 Es wird von 4 gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Das Tetraeder kann durch Verbinden geeigneter Ecken eines Würfels dargestellt werden. Berechne a) den Winkel α zwischen einer Kante und einer Fläche b) den Winkel β zwischen zwei Flächen In der Abbildung rechts ist der Grundriss des Tetraeders ABCD mit der Grundfläche ABC in der xy-ebene dargestellt. Legt man einen geeigneten Schnitt in die Grundebene um, so entsteht das gleichschenklige Dreieck CED, wobei die Tetraederseite gleich der Flächendiagonalen des links dargestellten Würfels ist. Wählen wir als Tetraederkante dann gilt für die Höhe des gleichseitigen Dreiecks: h CE 3 Da die Höhe zugleich Seitenhalbierende ist verhalten sich die Höhenabschnitte wie : 1 d.h. es gilt: EF 3 3 CF CF cosα α 54.7 CD 3 cos β 1 /3 und damit β arccos( 1 /3) 70.5 bzw. β α. 3. Das reguläre Oktaeder e 6 f 8 k 1 Es wird von acht gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Skizze: Die Mitten der sechs Seitenflächen des Würfels bilden ein reguläres Oktaeder. Halbiert man das Tetraeder so ist zu erkennen, dass sich Gegenkathete und Ankathete des halben Winkels wie die Diagonale und die Seite eines Quadrats verhalten. Damit gilt für den gesuchten Winkel α zwischen zwei benachbarten Seitenflächen α arctan( ) trigo_1_s/ul

15 15 4. Das reguläre Dodekaeder 5. Das reguläre Ikosaeder e 0 f 1 k 30 e 1 f 0 k 30 vgl. den Beitrag Auszug aus: Bilder der Mathematik Georg Glaeser, Konrad Polthier trigo_1_s/ul

16 Beispiele aus der Physik Aufgabe: Zerlege den Kraftvektor F mit F 7500 N in zwei Komponenten F1 und F, die mit F die Winkel α1 7.8 und α einschliessen. F1 F cos N F F sin N trigo_1_s/ul

17 17 Aufgabe: Drei Gewichte Über zwei Rollen in gleicher Höhe im Abstand von 4.7 dm wird eine Schnur gelegt, an deren Enden je ein Gewicht mit der Gewichtskraft von 3 N bzw. 4 N hängt. Zwischen den beiden Rollen ist an einem Knoten ein Gewicht mit einer Gewichtskraft von 3 N befestigt. Berechne die Winkel, über welche die mittlere Masse im Gleichgewichtszustand mit den beiden Rollen verbunden ist. Versuchsanordnung: Markus Ninck, Foto: Rudolf Fischer Den drei Kräften entspricht das gleichschenklige Dreieck KLM mit der Basis KM. Im rechtwinkligen Teildreieck gilt: cosγ und daraus γ 48. und schliesslich die gesuchten Winkel zu 3 α 6.4 und β trigo_1_s/ul

18 18 Aufgabe: Brechungsgesetz: Ein Lichtstrahl, der auf die Grenzfläche von zwei optischen Medien trifft, wird gebrochen oder reflektiert. l Lichtstrahl l gebrochener Lichtstrahl e Einfallslot α Einfallswinkel β Brechungswinkel Dabei gilt das Brechungsgesetz von Snellius: 1. l, l und e liegen in einer Ebene.. sin α n n heisst Brechungsindex sin β Beim Übergang von Luft in Wasser ist n 4 /3 von Luft in gewöhnliches Glas ist n 1.54 Übungsaufgaben: a) Berechne für α 7 den Winkel β beim Übergang von Luft in Wasser Lösung: 0 b) Berechne für β 3.3 den zugehörigen Winkel α wenn der Lichtstrahl von Glas in die Luft austritt. Bei welchem Winkel tritt Totalreflexion ein? Lösung: α 54.3, Totalreflexion bei trigo_1_s/ul

19 19 Planparallele Glasplatten Ein Lichtstrahl fällt mit dem Einfallswinkel α auf eine plane Glasplatte der Dicke d. Bestimme die parallele Verschiebung v des ausfallenden Lichtstrahls zum einfallenden Strahl. sinα n sin β 1 sin β n sinα s d tan β m s + d v m sin ( α β ) oder auch v d sinα 1 cosα n sin α trigo_1_s/ul

20 0 11. Steigungswinkel einer Geraden Der Winkel, den eine Gerade mit der positiven x-achse einschliesst, heisst Steigungswinkel der Geraden. Die Steigung m einer Geraden gibt die Veränderung der y-koordinate an, wenn y x um 1 wächst: m x. Satz: m tan α Die Steigung ist gleich dem Tangens des Steigungswinkels B: 3x - y + 0 implizite Form y 3 / x + 1 explizite Form tan α 3 / α arctan( 3 / ) 56.3 B: Die Polybahn überwindet auf 176 m Horizontaldistanz eine Höhendifferenz von 41 m. 41 Die Steigung beträgt m tanα 0.3 also 3%, der Steigungswinkel beträgt α arctan a% Steigung bedeutet a Meter Höhendifferenz auf 100 Meter Horizontaldistanz. Steigung 100% bedeutet insbesondere Steigungswinkel 45 Weitere Übungsaufgaben z.b. Erhard Rhyn: Aufgabensammlung Trigonometrie und Vektorgeometrie mit Lösungen rhyn.gut@balcab.ch trigo_1_s/ul