Signal- und Systemtheorie - Zusammenfassung

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1 Signl- und Systemtheorie - Zusmmenfssung Xiojing George Zhng 4. Oktober 8-9. Jnur 9 Zusmmenfssung Drittes Semester EH Zürich Eine Zusmmenfssung bsierend uf der Mitschrift der Vorlesung Signl- und Systemtheorie bei Herr Prof. Dr. H. Bölcskei im Herbst 8 sowie seinem Skript, Version August 8. Der Verfsser dieses Dokuments grntiert uf keinen Fll für die Richtigkeit nchstehender Formeln und knn nicht zur Rechenschft gezogen werden. Ntürlich ht er nicht willentlich Fehler eingebut. Es knn sein, dss diese Zusmmenfssung länger ist ls die erlubte Anzhl Seiten. Wer die verschiedenen feln kopieren will, soll dies ohne Nchfrge mchen. Version. Juli 9 Inhltsverzeichnis Elementre Signle 3. Systemeigenschften Anloge estsignle Beziehungen δ(t) und σ(t) Beschreibung nloger linerer Systeme im Zeitbereich 3. Impuls- und Sprungntwort LI Fltungsintegrl Eigenschften der Impulsntwort - Systemeigenschften Beschreibung nloger linerer Systeme im Frequenzbereich 4 3. Eigenfunktionen nloger linerer Systeme Eigenschften Frequenzgng Fourier-rnsformtion 5 4. Einführung und Existenz Eigenschften der Fourier-rnsformtion F verllgemeinerter Funktionen Frequenzgng Schltteilen Fourier-Reihen: Hrmonische Anlyse von Signlen 7 5. Einführung und Existenz Eigenschften der Fourier-Reihe Periodische Signle n LI-Systemen Lplce rnsformtion 8 6. Einführung Eigenschften Rtionle Lplce-rnsformierte

2 INHALSVERZEICHNIS 6.4 Konvergenzgebiet ROC und seine Eigenschften Umkehrung der Lplce-rnsformtion Anwendung der Lplce-rnsformtion uf LI Idelisierte iefpsssysteme 7. Verzerrungsfreies System Idelisierter iefpss mit konstntem Betrg und linerer Phse Impulsntwort Sprungntwort Abtsttheoreme 8. Idelisierte Abtstung und Rekonstruktion im Zeitbereich Interpoltion Zeitdiskrete Signle 9. Abtstung und zeitdiskrete Fourier-rnsformtion Eigenschften der zeitdiskreten F Ein pr zeitdiskrete Fourier-rnsformierte Zeitdiskrete Systeme 3. Systemeigenschften LI: Impuls-, Sprungntwort, Frequenzbereich und Kskde Differenzengleichung z-rnsformtion Konvergenzgebiet ROC Eigenschften Berechnen der Übertrgungsfunktion Bestimmung der Impulsntwort für Systeme mit rtionlem H(z) Diskrete F und Schnelle F 5 Übungsuszüge 5 3 Systemeigenschften in Zeit-, Fourier- und Lplce-/Z Bereich 7 4 Mthemtische Formeln 8 4. Liste von Grenzwerten Liste mit Reihen rigonometrie und Hyperbolische Fkt Spezielle Summen Unendliche Reihen Ableitungen und Integrle Stndrd-Substitutionen zur Integrlberechnung ylorreihen:

3 ELEMENARE SIGNALE 3 Elementre Signle. Systemeigenschften Linerität + Superposition: S{αf (t) + f (t)} = αs{f (t)} + S{f (t)} = αg (t) + g (t), S{} =, S{ α k f k (t)} = α k S{f k (t)}: Additivität und Homogenität nicht liner: flls f, f 3 vorhnden ist. Zeitinvrinz: S{f(t)} = g(t) S{f(t t )} = g(t t ) t nicht zeitinvrint: flls tf(t), f(3t), f(3) Gedächtnislos: g(t ) = b(f(t )): llgemeine Formulierung. Für LI gilt g(t) = Kf(t). Gedächtnisbehftet: f(t t ), t > : Zeitpunkt in Vergngenheit Invertierbrkeit: Bei jedem beliebigen Eingngssignl lässt sich vom Ausgnsgssignl uf ds Eingngssignl zurückschliessen. nicht inv br: f(t) stückweise usgelöscht. BIBO-Stbilität: Bei beliebigem beschränktem Eingngssignl f(t) bleibt System stbil f(t) < B < t g(t) < A < t. Gegenbeispiele zum eil sinnvoll. BIBO = bounded input - bounded output Kuslität: Ausgngssignl hängt nur von Werten des Eingngssignls eines früheren Zeitpunktes b. g(t) zu Zeitpunkt t hängt nur von f(t), t < t b. Für LI-Übertrgungsfunktionen gilt: h(t) = t < (nicht prophetisch). nicht kusl: f(t + t ) mit t > Relisierbrkeit: wenn stbil und kusl LI: liner time-invrint (LSI = liner shift-invrint). Anloge estsignle Sinusschwingungen: f(t) = A sin(ω t + ϕ): zur Bestimmung der Übertrgungsfunktion. {, t < Sprungfunktion: σ(t) =, t > {, t Deltimpuls: δ(t) =, t =.3 Beziehungen δ(t) und σ(t) dσ(t) dt = δ(t) σ(t) = t δ(τ) dτ δ(t) dt = Fläche unter Deltimpuls ist. f(t) δ(t) dt = f() f(t)δ(t) = f()δ(t) Siebeigenschft g(t) = (δ f)(t) = f(τ)δ(t τ) dτ = f(t) (t) = σ(t τ)h(τ) dτ = t h(τ) dτ Sprungntwort δ(t) + δ(t) = δ(t), ber δ(t) δ(t) = undef f(t)δ(t + b) dt = f( b ) δ(t + b) = δ(t + b ) Beschreibung nloger linerer Systeme im Zeitbereich Allgemein LI: S{f(t)} = (f h)(t) = g(t), wobei h(t) := S{δ(t)} die Impulsntwort/Übertrgungsfkt

4 3 BESCHREIBUNG ANALOGER LINEARER SYSEME IM FREQUENZBEREICH 4. Impuls- und Sprungntwort LI Sei h(t) Impulsntwort uf δ(t). Dnn ntwortet ein LI-System uf Eingngssignl f(t) mit Ausgngssignl g(t) = (f h)(t) = f(τ)h(t τ) dτ = f(t τ)h(τ) dτ (Fltungsintegrl). Ds Fltungsintegrl ist kommuttiv und ssozitiv. : Sprungntwort knn us Impul- Sprungntwort: (t) = S{σ(t)} = t sntwort gewonnen werden.. Fltungsintegrl h(τ) dτ h(t) = d(t) d(t) Fllunterscheidungen je nchdem, wo ds Integrl verschwindet (v.. σ(t)). Grphische Fltung g(t) = f(τ)h(t τ) dτ:. h(τ) spiegeln um τ =. Erhlte h( τ).. gespiegeltes Signl nch t verschieben: nch links für t <, nch rechts für t >. 3. Verschobenes und gespiegeltes h( τ + t) mit f(τ) multiplizieren: Fläche, welche h( τ + t) mit f(τ) gemeinsm hben. Dies ergibt den Wert der Fltung n Stelle t n. 4. Integrieren: den vorherigen Schritt t durchführen. Alterntive Interprettion:. Signl nehmen und spiegeln.. Gespiegeltes Signl über nicht-gespiegeltes fhren. Die Signle dbei multiplizieren. Als Bezugspunkt für Einzeichnen des geflteten Signls gilt die Stelle, wo ds Signl vor dem Spiegeln den Nullpunkt berührte. So entstehe z.b. beim Übereinnderfhren von zwei Rechtecken ein Dreieck..3 Eigenschften der Impulsntwort - Systemeigenschften Die Fltung ist kommuttiv [ (f h)(t) = (h f)(t)], distributiv [(f (h + h ))(t) = (f h )(t)+ (f h )(t)] und ssozitiv [(f (h h ))(t) = ((f h ) h )(t)]. Serie- und Prllelschltungen von LI-Systemen sind wieder LI. Gedächtnislos: g(t) = Kf(t), wobei h(t) = Kδ(t) mit Siebeigenschft und K = const Stbilität: LI ist stbil Impulsntwort des Systems bsolut int br h(τ) dτ < H(jω) < ω (hinreichend) Kuslität: LI kusl h(t) = t <. Invertierbrkeit: inverses System h I (t), so dss (h h I )(t) = δ(t) h(τ)h I(t τ) dτ = δ(t) lle EW des Systems bei Mtrix. 3 Beschreibung nloger linerer Systeme im Frequenzbereich 3. Eigenfunktionen nloger linerer Systeme f(t) = e jωt g(t) = e jωt h(τ)e jωτ dτ = e jωt H(jω), wobei H(jw) := h(τ)e jωτ dτ. LI-System ntwortet uf hrmonisches Eingngssignl der Frequenz ω wieder mit einem hrmonischen Signl der gleichen Frequenz, ber zusätzlich mit einer komplexen Amplitude H(jω). Frequenzgng H(jω) eines LI ist gleich Fouriertrnsformierten H(jω) von h(t).

5 4 FOURIER-RANSFORMAION 5 H(jω) = g(t) e jωt H(jω) f(t) f(t)=e jωt ist Fouriertrnsformierte der Impulsntwort, wobei g(t) = (f h)(t) = f(t) = e jωt ist Eigenfunktion und H(jω) der dzugehörige Eigenwert. f(t) = e st g(t) = e st h(τ)e sτ dτ = e st H(s), wobei s = σ+jω und H(s) := h(τ)e sτ dτ ist die Übertrgungsfunktion des LI und entspricht der Lplce-rnsformierten. 3. Eigenschften Frequenzgng. H(jω) = H R (ω) + jh I (ω). h(t) reell H(jω) = H ( jω) H R (ω) = H R ( ω), H I (ω) = H I ( ω): hermetische Symmetrie 3. A(ω) := H(jω) reellwertig: H(jω) = A(ω)e jϕ(ω) = A( ω)e jϕ( ω) A(ω) = A( ω), ϕ(ω) = ϕ( ω) + kπ, k Z: Betrg ist gerde, Phse ungerde modulo π 4. f(t) = e jωt g(t) = e jωt H(jω) = e jωt H(jω) e jϕ(ω) = H(jω) e j(ωt+ϕ(ω)) 5. f(t) = cos(ω t) g(t) = H(jω ) cos(ω + ϕ(ω )): Amplitudenänderung und Phsenverschiebung f(t) = cos(ωt + ϕ ) g(t) = H(jω)ejωt e jϕ + H( jω)e jωt e jϕ f(t) = cos(ωt + ϕ ) reellwertig g(t) = H(jω) cos(ωt + ϕ + rg{h(jω)}) 6. Bei stbilen LI-Systemen ist H(jω) ω beschränkt: H(jω) h(t) dt < 7. Einschltvorgng eines stbilen LI-Systems: f(t) = e jωt σ(t) lim t g(t) = e jωt h(τ)e jωτ d τ = e jωt H(jω) 8. Frequenzgng H(jω) eines stbilen LI-Systems ist gleichmässig stetig in ω. Unstetigkeiten von H(jω) instbiles LI-System (nicht BIBO-stbil). BIBO-stbil gleichmässig stetig ɛ > δ(ɛ) > x, y I x y < δ(ɛ) f(x) f(y) < ɛ: δ hängt nicht von y b! 9. Serieschltungen von LI-Systemen entsprechen Fltung im Zeitbereich h(t) = (h h )(t) und Multipliktion der Fourier-rnsformierten H(jω) = H (jω)h (jω) 4 Fourier-rnsformtion 4. Einführung und Existenz F existiert, flls f(t) bsolut int br ist, uf einem Intervll endlicher Länge stetig ist, endlich viele Extrem und endlich viele Sprungstellen besitzt. f(t) dt < F von f(t) ist stetig in ω. F (jω) = f(t)e jωt dt = F{f(t)}, f(t) = π F (jω)ejωt dω = F {F (jω)} rick Umkehrformel (Spektrum gerde): x(t) = π X(jω) cos(ωt) dω rick Umkehrformel (Spektrum ungerde): x(t) = j π X(jω) sin(ωt) dω

6 4 FOURIER-RANSFORMAION 6 4. Eigenschften der Fourier-rnsformtion Linerität: f(t) + bg(t) F (jω) + bg(jω), b Symmetrie: f(t) F (jω) f( t) F ( jω): Spiegelung Zeitbereich = Spiegelung Frequenzbereich f (t) F ( jω), flls reellwertig: F (jω) = F ( jω) f g (t) = f g ( t) R F (jω) = f(t) g cos(ωt) dt ist reellwertig und gerde (Cosinus-rfo) f u (t) = f u ( t) R F (jω) = j f u (t) sin(ωt) dt ist rein imginär und ungerde llgemein für f(t) = f g (t) + f u (t) R: f g (t) R{F (jω)} und f u (t) ji{f (jω)} Zeitverschiebung: f(t t ) e jωt F (jω): Zeitverschiebung Phsenverschiebung Modultionseigenschft: e jωt f(t) F (j(ω ω )): uch Frequenzverschiebung d Differentition: dt f(t) d jωf (jω), n dt f(t) (jω) n F (jω) n t Integrtion: f(τ) dτ jω F (jω) + πf ()δ(ω), πf ()δ(ω): Gleichnteil Sklierung/Mssstbsänderung: f(t) F (j ω ): Kompression Expnsion und umgekehrt Differentition Frequenzb. t n f(t) (j) n dn dω F (jω) n Multipliktion Zeitbereich: f (t)f (t) π F (j(ω ω ))F (jω ) dω = π (F F )(jω) Fltung Zeitbereich: (f f )(t) F (jω)f (jω) Prsevlsche Reltion: f(t) dt = π F (jω) dω 4.3 F verllgemeinerter Funktionen δ(t) und πδ(ω) e jω t πδ(ω ω ), d δ(ω) = π ejωt dt cos(ω t) πδ(ω ω ) + πδ(ω + ω ), wobei e jω t πδ(ω ω ) sin(ω t) π j δ(ω ω ) π j δ(ω ω ) sign(t) jω σ(t) jω + πδ(ω), wobei σ(t) = (sign(t) + ) Rechteckimpuls F (jω) = sin(ω ) ω für ein symmetrisches Signl der Länge. Dreieckimpuls 4 sin ω ω für ein symmetrisches Dreieck der Breite. nice to know : f( t)e jωt dt = f(t)ejωt dt nice to know : e (ω +bω+c) dω = π 4.4 Frequenzgng Schltteilen C jωc : Integrtion im Zeitbereich L R jωl: Differentition im Zeitbereich R e b 4 c

7 5 FOURIER-REIHEN: HARMONISCHE ANALYSE VON SIGNALEN 7 5 Fourier-Reihen: Hrmonische Anlyse von Signlen 5. Einführung und Existenz f(t) ist -periodisch, flls f(t) = f(t + ) t. heisst Fundmentlperiode und f = Grundfrequenz. FR existiert, flls f(t) dt <, endlich viele Extrem in Fundmentlperiode und endlich viele Sprungstellen. ej(k n)ωt dt = δ[k n], wobei ω = π, δ[m] ist Kronecker-Symbol mit δ[m] = flls m =. Synthese: f(t) = k= π jk c k e t Anlyse: c k = ungerde hrmonisch: c k = k gerde x(t) = x(t + ) 5. Eigenschften der Fourier-Reihe π jk f(t)e t dt ω := π Linerität: αf (t) + βf (t) αc,k + βc,k wobei identisch Symmetrie: f (t) c k vgl: f (t) F ( jω) f(t) reelle Fkt: c k = c k Spiegelung: f( t) c k gerde Fkt: f(t) = c + k= c k cos(k π t): einseitige reine Cosinus-Reihe: c k = c k ungerde Fkt: f(t) = j k= c k sin(k π t): einseitige, reine Cosinus-Reihe: c k = c k Zeitverschiebung: f(t t ) π jk c k e t Differentition: f (t) jk π c k t f(τ) dτ Integrtion: Fltung Zeitbereich: Multipliktion Zeitbereich: f (t)f (t) Prsevl: jk π c k, c =. f(t τ)g(τ) dτ c,k c,k : periodische Fltung f(t) dt = k= c k 5.3 Periodische Signle n LI-Systemen f(t) = k= c ke Linienspektrum jk π l= c,lc,k l t F (jω) = k= πc kδ(ω k π ): periodische Signle hben ein g(t) = k= c kh(jk π π )ejk t : Ausgngssignl g(t) ist -periodisch bei LI-Systemen mit Fourier-Reihenkoeffizienten c k H(jk π ). Dies nur erfolgreich, flls h(t) von endlicher Länge ist. k= Poissonsche Summenformel: k= h(t k ) = π π H(jk )ejk t, wobei c k = π H(jk ). Der Frequenzgng lässt sich so näherungsweise experimentell bestimmen. Wird ein LI-System periodisch mit δ-impulsen ngeregt, so erhält mn äquidistnte Abtstwerte des Frequenzgnges. k= δ(t k ) = π k= ejk t π wieder ein Dirc-Kmm (heisst uch Impulskmm) { } nice to know 3:, s = ejsωt dt =, s k= = δ[s], ω = π die π δ(ω k ): F eines Dirc-Kmmes ist nice to know 4: ej(k l)ω t dt = δ[k l]

8 6 LAPLACE RANSFORMAION 8 6 Lplce rnsformtion 6. Einführung F für numerische Berechnung, Schätzungen, L für nlytische Systembetrchtungen. Die L existiert für eine breitere Klsse von Signlen ls die F. f(t) = e st g(t) = e st H(s): ein LI ntwortet uf hrm. Eingngssignl f(t) mit komplexer Frequenz s = σ + jω mit hrm. Ausgngssignl der gleichen komplexen Frequenz multipliziert mit Übertrgungsfunktion n Stelle s. f(t) = e st ist die Eigenfunktion mit Eigenwerten H(s) = h(τ)e sτ dτ. f(t) 6. Eigenschften f(t)e st dt = F (s) s = σ + jω F (s) πj F (σ + jω) = F{f(t)e σt }: L n σ + jω = F von f(t)e σt F ( + jω) = F (jω) F (s) s=jω σ+j σ j F einer L existiert jω (imginäre Achse) im ROC der L und keine Pole uf jω F (s)e st ds L eindeutig spezifiziert lgebrischer Ausdruck für X(s) und Konvergenzgebiet gegeben (i.d.r. 4 Fllunterscheidungen). e t σ(t) s+ R(s) >. Für > konvergiert F (s) s=jω = +jω e t σ( t) s+ R(s) <. für mehr Eigenschften siehe Formelsmmlung von Prof. Bölcskei. 6.3 Rtionle Lplce-rnsformierte F (s) = c p(s) q(s) rtionl, wenn f(t) eine Linerkombintion von komplexwertigen Exponentilfunktonen ist. Die Übertrgungsfunktion von LI-Systemen spezifiziert durch linere DGL mit konstnten Koeffizienten ist eine rtionle Funktion in s. F (s) ist eindeutig (bis uf eine Konstnte) durch seine Nullstellen, Polen und ROC definiert. Nullstellen von p(s) = Nullstellen von F (s) = Nullstellen von q(s) = Polstellen von F (s) =

9 6 LAPLACE RANSFORMAION Konvergenzgebiet ROC und seine Eigenschften Definition: Signlklssen: Streifen: kompkte räger: rechtsseitige Signle: linksseitige Signle: beidseitige Signle: X(s) rtionl: rtionl & rechtsseitig: rtionl & linksseitig: Fourier-rfo: reell & rtionl: Die Lplce-rnsformierte X(s) konvergiert n s = σ + jω, wenn x(t)e σt bsolut int br x(t) e σt dt <. kompkte räger (= endliche Länge), linksseitige Signle, rechtsseitige Signle und beidseitige Signle ROC besteht us Streifen in der komplexen Zhlenebene, die prllel zur jω-achse verlufen. ROC ist die gesmte s-ebene (bs. int br vorrusgesetzt). mit σ +jω im ROC gilt, dss lle s mit R{s} > σ ebenflls im ROC: rechte Hlbebene (bs. int br vorrusgesetzt) mit σ + jω im ROC gilt, dss lle s mit R{s} < σ ebenflls im ROC: linke Hlbebene (bs. int br vorrusgesetzt) Wenn s = σ +jω im ROC, dnn ist ROC ein Streifen in s-ebene, der σ +jω enthält: x(t) = x links (t) + x rechts (t). Es knn sein, dss kein ROC für x(t) existiert, wohl ber einzeln für beide eilsignle. Pole von X(s) sind nicht im ROC! Nullstellen können hingegen schon. ROC ist entweder durch einen Pol beschränkt oder es erstreckt sich ins Unendliche. ROC ist die rechte Hlbebene jenseits des m weitesten rechts liegendes Pols. ROC ist die linke Hlbebene jenseits des m weitesten links liegendes Pols. Dmit die F existiert, muss σ = im ROC enthlten sein. Pole und Nullstellen von X(s) sind komplex konjugiert. 6.5 Umkehrung der Lplce-rnsformtion x(t) = σ+j πj σ j X(s)est ds, wobei entlng einer Gerden (σ j, σ + j ), die im ROC von X(s) liegt. Besser sind jedoch der Residuenstz, Prtilbruchzerlegung oder die belle. rtionl: X(s) = nxn b mx m +...+b = X (s) X l (s), n < m, wobei X i (s) = Huptteil = A r s s i. Anschliessend termweises zurücktrnsformieren und uf ROC A (s s i ) + r chten! A (s s i ) r 6.6 Anwendung der Lplce-rnsformtion uf LI Die L erlubt Chrkterisierung von Systemeigenschften mittels Inspektion durch H(s). Kuslität: System kusl, flls h(t) = t < ROC von H(s) ist eine rechte Hlbebene in der s-ebene. Achtung: Umkehrschluss i.a. nicht erlubt. kusl & rtionl: LI mit rtionlem H(s) ist kusl ROC von H(s) ist die rechte Hlbebene jenseits des m weitesten rechts liegenden Poles. Stbilität: Ein LI-System mit Impulsntwort h(t) ist BIBO-stbil jω-achse im ROC von H(s) enthlten. kusl & stbil: Ein kusles LI-System mit rtionlem H(s) ist BIBO-stbil lle Pole von H(s) liegen in linker Hlbebene der s-ebene, d.h. lle Pole von H(s) hben negtiven Relteil. Kskden: prllel: H(s) = H (s) + H (s) seriell: H(s) = H (s)h (s) (Pol-NS-Cnc). System-DGL: N k= b k dk g(t) = M dt k k= k dk f(t) H(s) = G(s) P M dt k k= F (s) = ks k P N mit k= b ks k d k h(t) dt k s k H(s), für ds Übertrgungsverhlten ist noch ROC nötig. Bsp: F von LC-Schwingkreis existiert nicht, d Pole uf jω-achse, die L existiert hingegen.

10 7 IDEALISIERE IEFPASSSYSEME 7 Idelisierte iefpsssysteme 7. Verzerrungsfreies System Es beschreibt einen Allpss mit linerer Phse, welches liner, stbil, kusl (t ) und zeitinvrint ist: eine formgetreue Übertrgung findet sttt. h(t) = kδ(t t ) g(t) = kf(t t ) H(jω) = ke jωt, H(jω) = k = const, ϕ(ω) = ωt G(jω) = ke jωt F (jω) Im Folgenden werden linere Verzerrungen, die durch schrfe Begrenzung des Frequenzbndes hervorgerufen werden, untersucht. 7. Idelisierter iefpss mit konstntem Betrg und linerer Phse 7.. Impulsntwort { H(jω) = H(jω) e jϕ(ω), ω ω g H(jω) =, ϕ(ω) = ωt, wobei ω die Grenzfrequenz ist., ω > ω g h(t) = ωg π si(ω g(t t )), si(t) := sin t t System ist weder kusl (h(t) t < ) noch stbil (H(jω) unstetig). 7.. Sprungntwort (t) = + π Si(ω g(t t )), Si(x) := x sin u u du mx Steigung: ngente mit mximler Steigung ist bei t = t mit f g = ωg π. Die mx Steigung ist proportionl zur Grenzfrequenz f g. Einschwingzeit: t e = f g Gibbsches Phänomen: Der erste in der Sprungntwort uftretende Überschwinger überschreitet den Endwert eins um 9% unbhängig von ω g. Signländerung: Ein iefpss mit einer höheren Grenzfrequenz knn einer Signländerung rscher folgen. Um idelisierten iefpss kusl zu mchen: (Alterntive Formulierung mit Verschiebung siehe Skript Seite 5) h kusl (t) = h(t)σ(t) H kusl (jω) = π H(jω) jω + H(jω) Um ideliserten iefpss stbil zu mchen: H stbil (jω) = (H H gl )(jω) h stbil (t) = ωg π si(ω ω g g(t t )) ω g π si(ω gt) t t t int br) 8 Abtsttheoreme Arbeit mit digitler Signlverrbeitung: f (t) Abtstung mit Periode Diskretisierung (quntisiert A/D) digitles System D/A-Wndler ĝ (t) g (t) Fehlerquellen sind Diskretisierung und D/A-Wndler, evtl. uch bei Abtstung. (bs.

11 9 ZEIDISKREE SIGNALE 8. Idelisierte Abtstung und Rekonstruktion im Zeitbereich Abtstglied mit Abtstrte wird modelliert durch Multipliktion des Signls mit Delt-Impulsen. f δ (t) = f(t)δ (t) = k= f(t)δ(t k ) = k= f(k )δ(t k ), δ (t) = k= δ(t k ) F δ (jω) = πk k= F (j(ω )) (jω) := F{δ (t)} = π πk k= δ(ω ) Die zeitliche Abtstung des Signls ergibt ein periodisches Spektrum, welches durch periodische Wiederholung des ursprünglichen Spektrums F (jω) entsteht. g(t) = f(t) gilt, flls f(t) ω g bndbegrenzt ist und es keine Überlppungen gibt: f s f g : Ds ursprüngliche Signl ist durch einen idelen iefpss mit Grenzfrequenz ω g eindeutig rekonstruierbr. Abtsttheorem: Wenn Signl f(t) ω g -bndbegrenzt ist, knn es us seinen Abtstwerten t k = k fehlerfrei rekonstruiert werden, sofern f s = f g gilt: Die kritische Abtstfrequenz f s = f g wird ls Nyquistrte bezeichnet. f s : Abtstfrequenz, f g : Grenzfrequenz (=höchste im Originlsignl vorkommende Frequenz). Grundsätzlich gibt es 3 Fälle:. kritische Abtstung: = f g, wobei gelegentlich f N := f g gesetzt wird.. Überbtstung: < f g 3. Unterbtstung: > f g : Überfltung der verschobenen Spektren treten uf (Alising). Alising tritt uch bei nicht-bndbegrenzten Signlen uf. 4. In der Prxis wird immer überbgetstet, d es keine idele iefpssfilter gibt und Redundnz gut ist. Alising ist in diesem Fll böse. 8. Interpoltion Flls f(t) bndbegrenzt ist mit Bndbreite ω g und ds Abtsttheorem ( π ω g) erfüllt ist, dnn ist f(t) eindeutig durch iefpss-filterung seiner Abtstwerte rekonstruierbr mit: g(t) = ( k= f(k )δ(t k )) h P (t) = ω g k= }{{} π f(k ) sin(ω g(t k )) = f(t). Bei ω g (t k ) }{{} ( ) Interpoltionskern kritischer Abtstung ist ( ) =. flls kritische Abtstung: f(t) = g(t) = k Vielfchen der Abtstperiode. 9 Zeitdiskrete Signle 9. Abtstung und zeitdiskrete Fourier-rnsformtion F (e jθ ) = n= sin(ωg(t k )) f(k ) ω g(t k ) : Nulldurchgänge bei gnzzhligen f[n]e jnθ : zeitdiskrete Fourier-rnsformierte von f[n] = f (n ) f[n] = π F (e jθ )e jnθ dθ : Umkehrformel mit reltiver Frequenz θ = ω = πf = π f π f s π

12 9 ZEIDISKREE SIGNALE θ ist reltive Frequenz: θ = ω = πf = π f f s, wobei f s = Abtstfrequenz Bei zeitdiskreten Signlen ist der Bereich unterscheidbren Frequenzen uf ein Intervll der Länge πf s beschränkt θ = π f f s ht ls unterscheidbren Bereich fs < f fs F (e jθ ) = k= F (j(ω πk )) = k= F (j θ πk ), wobei F (jω) die F des zeitkon- tinuierlichen Signls f (t) vor der Abtstung ist. 9. Eigenschften der zeitdiskreten F Existenz: hinreichende Bedingung ist bsolute Summierbrkeit: n= f[n] < π-periodisch: F (e j(θ+π) ) = F (e jθ ): Bereich der unterscheidbrer Frequenzen ist streng uf ein Intervll der Länge π beschränkt. Spektrum: F (e jθ ) = k= F (j θ kπ ): Überlgerung verschobener Versionen des Spektrums F (jω) eines kontinuierlichen Signls. Der Bereich unterscheidbrer Frequenzen ist fs < f fs π < θ π Multipliktion: f[n] = x[n]y[n] F (e jθ ) = π π π X(ejω )Y (e j(θ ω) ) dω, eine πperiodische Fltung. Mn beschränke sich uf ( π, π] und mskiere lles ndere weg und hänge Resultt periodisch neinnder. 9.3 Ein pr zeitdiskrete Fourier-rnsformierte f[n] = k f[k]δ[n k]: Jedes zeitdiskrete Signls lässt sich ls gewichtete Summe von verschobenen Deltfolgen bilden. {, n = δ[n] = = σ[n] σ[n ], sonst σ[n] = {, n, sonst e jθ n πδ π (θ θ ) = k= δ[n k] } {{ e jθ } θ + k= πδ(θ + πk) } {{ } πδ π (θ) sin(θ n) π j δ π(θ θ ) π j δ π(θ + θ ) cos(θ n) πδ π (θ θ ) + πδ π (θ + θ ) cos( n) = πδ π (θ)

13 ZEIDISKREE SYSEME 3 Zeitdiskrete Systeme. Systemeigenschften Linerität: S{αf [n] + f [n]} = αs{f [n]} + S{f [n]} = αg [n] + g [n] Zeitinvrinz: flls S{f[n]} = g[n] S{f[n n ]} = g[n n ] n Z BIBO-Stbilität: f[n] A f < g[n] A g < BIBO für LI: n= h[n] < Kusl: g[n] zum Zeitpunkt n hängt nur von f[n] n n b (nicht prophetisch). Kusl für LI: S eines LI kusl, flls h[n] = n < Gedächtnisbehftet: f[n n ], n : schut in die Vergngenheit/Zukunft Gedächtnislos LI: g[n] = Kf[n], wobei K eine beliebige Sklierung und h(t) = Kδ(t) Invertierbr: Zu jedem beliebigen Eingngssignl lässt sich vom Ausgngssignl uf ds Eingngssignl schliessen. Relisierbr: flls stbil und kusl. LI: Impuls-, Sprungntwort, Frequenzbereich und Kskde Fltungssumme: g[n] = (f h)[n] = k= f[k]h[n k], wobei h[n] = S{δ[n]} Impulsntw. Frequenzbereich: G(e jθ ) = F (e jθ )H(e jθ ) (f h)[n] Grphische Fltung:. Spiegele f[n] f[ n]. Lege f[ n] und h[n] übereinnder und multipliziere sie bekomme (f h)[] 3. Verschiebe f[ n] um eins nch rechts (f h)[] 4. Verschiebe f[ n] um k nch rechts (oder links für k < ) (f h)[k] Sprungntwort: Prllelschltung: Serieschltung: [n] = k= h[n k] = n h[n] = h [n] + h [n] h[n] = (h h )[n] k= h[k], wobei h[n] = [n] [n ].3 Differenzengleichung zeitdiskrete Differentilgleichung ist eine wichtige Klsse mit: N k= kg[n k] = M m= b mf[n m]. Bsp: g[n] = n k= f[k] = f[n] + n k= f[k] = f[n] + g[n ] f[n] = g[n] g[n ]: nicht BIBO-stbil z.b. für f[n] = σ[n] Allgemein: g[n] = Alterntive Vrinte:. H(z) = Y (z) X(z) N ã k g[n k] + k=. Umstellen zu: Y (z)... = X(z)... }{{} rekursiver eil M bm f[n m] m= }{{} nichtrekursiver eil Flls =, benutze stttdessen., wobei ã k := k, bk 3. Rücktrnsformieren zu: y[n]... = x[n]... : Dies ist die Systemdifferenzengleichung. 4. Umformen zu: y[n] =... und Blockschltbild zeichnen. := b k.

14 ZEIDISKREE SYSEME 4 Elemente: FIR: IIR: Addition, Multipliktion, Zeitverzögerung finite impulse response: M m= b m < : BIBO-stbil d ohne Rückkoppelung. h[n] ht endliche Länge: Vorwärtsimplementierung infinte impulse response: mit Rückkoppelung evtl. nicht mehr BIBO-stbil. h[n] ht unendliche Länge: rekursive Implementierung.4 z-rnsformtion Z{x[n]} = X(z) = rnsformtion n= x[n]z n = F{x[n]r n } für z = re jθ C: zeitdiskrete Lplce- zeitdiskrete Fourier-rnsformtion: z = re jθ r= X(z) r= = X(e jθ ): uf Einheitskreis Z {X(z)} = x[n] = X(z)z n dz πj C.4. Konvergenzgebiet ROC Definition: ROC besteht us llen z, für die n= x[n]r n < : enthält keine Pole und ist zshgd: R < z < R + : Ring, Disk oder Komplementärdisk Ringe: ROC besteht us einem Ring oder Kreis in der komplexen Zhlenebene, der konzentrisch um den Ursprung ist. beidseitige Signle: Ring mit R < z < R + rechtsseitige Signle: usserhlb des Kreises um äussersten Pol: z > R, z = evtl. enthlten linksseitige Signle: innerhlb des Kreises um innersten Pol: z < R +, z = evtl. enthlten endliche Länge: ROC ist gesmte z-ebene mit möglichen Ausnhmen bei z = oder z =. Gednkenstütze: Streifen von ROC einer Lplce-rfo um links zusmmenbiegen..4. Eigenschften Linerität: Z{x[n] + by[n]} = X(z) + by (z): ROC ist mind ROC x ROC y Zeitverschiebung: Z{x[n n ]} = z n X(z) Fltung: Z{(x h)[n]} = X(z)H(z) Umkehrung: x[n] = πj C X(z)zn dz, wobei Weg C im ROC. Alterntive ist die PBZ. kusl: h[n] ist rechtsseitig und h[n] = n <. ROC von H(z) ist usserhlb des Poles mit dem grössten Betrg. BIBO-stbil: der Einheitskreis ist im ROC enthlten. Serienschltung: H(z) = H (z)h (z): Pol-Nullstellen-Cnceltion knn uftreten. Prllelschltung: H(z) = H (z) + H (z) Rückkopplung: H H(z) = (z) H (z)h (z), wobei H (z) rückgekoppelt und H (z) vorwärtsgerichtet ist..4.3 Berechnen der Übertrgungsfunktion. N k= kg[n k] = M m= b mf[n m]. H(z) = G(z) P F (z) = M Pm= bmz m N resp. H(e jθ P M m= ) bmze jθm k= kz k P N : ROC bechten! k= kz e jθk 3. Impulsntwort ist: h[n] = Z {H(z)}

15 DISKREE F UND SCHNELLE F Bestimmung der Impulsntwort für Systeme mit rtionlem H(z). Betrchten nur Pole der Vielfchheit eins: H(z) =. Fllunterscheidung: () Für IIR: h[n] = M n r= B rδ[n r] + N k= A kδ n k M N r= B r z r }{{} existiert nur wenn M N + σ[n], für kusles System. (b) Für FIR: H(z) = M k= b kz k bzw H(z) = N k=n h[n]z n und h[n] = i. N > N > z = nicht im ROC ii. N < N < z = nicht im ROC iii. N < N > z = und z = nicht im ROC Diskrete F und Schnelle F Sehr interessnt, ber leider nicht Prüfungsstoff ;-) N A k d k z k= }{{} P BZ { b n, n M, sonst Übungsuszüge x(t) = x g (t) + x u (t), wobei x g (t) = (x(t) + x( t)), x u(t) = (x(t) x( t)) Summieren über ungerde k: k := k + bei σ( )... dτ: flls Fltungsergebnis für t < verschwindet, multipliziere Ergebnis mit σ(t). y(t) = (x h)(t) y (t) = (x h)(t) = (x h )(t) Umkehrfunktion: wende L/F n, Division und Rücktrfo. suche x(t) bei gegebenen h(t), y(t): Berechne H(jω), X(jω) = Y (jω) H(jω), Rücktrfo, wobei versuche x(t) ls Kombintion von y(t) drzustellen. Schwerpunkt: η x = t x(t) dt flls f(t) R, H(s) rtionl: Pole und Nullstellen treten komplex-konjugiert uf. h h h h, flls h Impulsntwort eines instbilen Systems zeitdiskrete Fourierreihe: x[n] = N k= c ke j π N nk, c k = N N k= x[n]e j π N nk, c k = c k+n [ h (τ)h (t τ) dτ]e jωt dt = h (τ)h (t τ)e jω(t τ)e jωτ dt dτ f( t)e jωt dt t :=t = f(t )e jωt dt rg( jωτ +jωτ ) = π sign(ωτ) rctn(ωτ)sign(ωτ) Aufsplten des Integrtionsbereiches: F (jω)f( ) d(ω ) = k= x(τ) t τ dτ = (x(t) t )(t) F{x(t)} F{ t } π+kπ π+kπ F (jω)f( ) d(ω )

16 ÜBUNGSAUSZÜGE 6 e bτ [x(t τ) + 3y(t τ)] dτ = e bτ σ(τ)[x(t τ) + 3y(t τ)] dτ = = ( e bt σ(t) ) (x(t) + 3y(t)) L{e bt σ(t)} L{x(t) + 3y(t)} (s )(s+ j)(s++j) = A s + B s+ j + PBZ: Y (s) = B s++j, wobei A = (s )Y (s) s=, B = (s + j)y (s) s= +j, B = (s + + j)y (s) s j : Bei konjugiert-komplexen Polstellen sind uch die Konstnten konjugiert-komplex. Energie eines Signls: E := f(t) dt Zeichen von Signlen der Form x(αt + β). x(t + β): verschiebe ds Signl um β.. x(αt + β): komprimiere/expndiere um α und spiegle flls nötig. rbeiten mit σ-funktionen. f(τ)σ(τ ) dτ = f(τ) dτ. f(τ)σ(b τ) dτ = b f(τ) dτ 3. f(τ)σ(t τ)σ(τ) dτ = σ(τ) t f(τ) dτ

17 3 SYSEMEIGENSCHAFEN IN ZEI-, FOURIER- UND LAPLACE-/Z BEREICH 7 3 Systemeigenschften in Zeit-, Fourier- und Lplce-/Z Bereich

18 4 MAHEMAISCHE FORMELN 8 4 Mthemtische Formeln 4. Liste von Grenzwerten lim x = ( ) β lim x lim x log(+x) x x = lim q x x = lim log t t t = α lim x + log x = lim x log x = lim x e x = lim x e x = cos x e lim x x = lim x x x x = lim x log x = lim x sin x x = lim x ± rctn x = ± π log n lim x n = lim n n n! = lim x + x = lim x x = lim x + x = lim x x = lim n n = ( < ) lim n n x = lim n n n = lim n n( n log ) = log lim (+x) x x = log log x sin x x lim x x = ( > ) lim x x = lim m x e = ( > ) lim x x x α log x = (α > ) lim x x x = log lim x x /x = Rechenbeispiel: lim x + x cos x = lim y cos y y cos y =, denn y y ( Die Zhl e: lim n + x n n) = limn ( + xn) n = limn ( + n) x n = e x lim n ( n )n = e 4. Liste mit Reihen Binomilreihe: ( ± x) α = ( α ) k= k (±x) k = ± ( ( α ) x + α ) x ± ( α 3) x < x < exp(z)= k= zk k! = e z = + z + z + z , wobei ρ = x = (log ) k k= k! x k (log ) = + log x +! x +... Logrithmus: log( + x) = xk k= ( )k+ k log +x x = ( ) k= xk+ k+ = x + x3 3 + x5 5 = x x + x3 3 x < x x < Sinus: sin x = xk+ k= ( )k (k+)! = x x3 3! + x5 5!... = I(e ix ) = eix e ix i x < Cosinus: cos x = xk k= ( )k (k)! = x! + x4 4!... = R(e ix ) = eix +e ix x < ngens: tn x = x + x x x x = eix e ix e ix +e ix i x < π rcsin x = (k)! k= k k!(k+) xk+ = x + x x rccos x = π rcsin x x <, [, ] [, π] x 7 7 x <, [, ] [ π, π ] rctn x = xk+ k= ( )k k+ = x x3 3 + x5 5 x x, R ] π, π [ sinh x = ex e x = k= xk+ x3 (k+)! = x+ 3! + x5 5! +...,ungerde Fkt, R R, lim sinh x = ± x ± cosh x = ex +e x = k= xk (k)! = + x! + x4 4! +...,gerde Fkt, R [, ) tnh x = sinh x cosh x = e x +e x = e x +e x = x x x x x9... R (, ) rtnh x = k= xk+ k+ = x + x3 3 + x

19 4 MAHEMAISCHE FORMELN rigonometrie und Hyperbolische Fkt. sinh x + cosh x = e x, cosh x sinh x = e x, sin(x + π ) = cos x, cos(x + π ) = sin x. cosh ix = cos x, sinh ix = i sin x, sinh x = i sin ix, cosh x = cos ix sin x + cos x = sin + sin b = sin +b b cos sin( ± b) = sin cos b ± cos sin b cos + cos b = cos +b b cos cos( ± b) = cos cos b sin sin b sin sin b = [cos( b) cos( + b)] sin() = sin cos cos cos b = [cos( b) + cos( + b)] cos() = cos sin = cos sin cos b = [sin( b) + sin( + b)] sin(3) = 3 sin 4 sin 3 cos sin b = [sin( + b) sin( b)] cos(3) = 4 cos 3 3 cos + tn = sin tn ±tn b tn( ± b) = tn tn b sin = ( cos ) tn() = tn cos tn = ( + cos ) tn = cos +cos sin sin b = cos +b b sin sin x = cos(x) cos cos b = sin +b b sin cosh x sinh tnh ±tnh b x = tnh( ± b) = ±tnh tnh b sinh( ± b) = sinh cosh b ± cosh sinh b sinh(x) = sinh x cosh x cosh( ± b) = cosh cosh b ± sinh sinh b cosh(x) = cosh x + sinh x sinh + sinh b = sinh +b b cosh sinh sinh b = [cosh( + b) cosh( b)] sinh sinh b = cosh +b b sinh cosh cosh b = [cosh( + b) + cosh( b)] cosh + cosh b = cosh +b b cosh sinh cosh b = [sinh( + b) + sinh( b)] cosh cosh b = sinh +b b sinh cosh x = ( + cosh x) sinh x = (cosh x ) α = π 6 = 3 π 4 = 45 π 3 = 6 π = 9 π 3 = 3π 4 = 35 5π 6 = 5 π = 8 sin α cos α Spezielle Summen n k= k = n = n(n+) 3 3 n 3 k= qk = + q + q q n = qn q n k= k = n = n(n+)(n+) n 6 k= (k ) = (n ) = n ( ) n k= k3 = k 3 = n(n+) n k= (k ) = (n ) = n(n )(n+) 3 n k= k(k+) = n n+ 4.5 Unendliche Reihen k= qk = + q + q +... = q q < k= (k + )qk = + q + 3q +... = k= = π k k= ( ) k k= ( ) k+ ( q) k= k k+ = = π 4 = = π ( ) k k! = e 6, k= k! = e k= ( ) k+ k = = log k= qk = q q <

20 4 MAHEMAISCHE FORMELN 4.6 Ableitungen und Integrle = log f(x) + C e /x dx = e /x + C x f (x) f(x) dx = x(log x) log x + C f(x) = F (x) F (x) f(x) = F (x) F (x) x log x c log cx cx x log log x log x x log x x cx cx x c log log x log cos x = + tn x tn x sin x x tn x log cos x rccos(x/) x +cos x tn x sinh x +x cosh x (log x ) cot x rcsin(x/), rccos(x/) rctn(x/), rccot (x/) tnh x coth x tnh x log cosh x rsinh (x/) = log x + x + +x x rcosh (x/) = log x + x x log x+ x = rtnh (x/) cot x log(sin x) x x rctn(x/) +x + x (x + x + log(x + + x )) x (x x + rcsin(x/) x (x x log x + x ) x x x x + rcsin(x/) x x x x + log x + x sin x (x) sin(x) 4 sin(x) log tn x cos x (x) + sin(x) 4 cos(x) log tn( x + π 4 ) sin sin(x) cos(x) (x) = cos(x) log tn(x) cos(x) cos(bx) tn (x) e cx sin(x + b) 4 sin( b)x ( b) 4 + sin(+b)x (+b) sin(x) cos(x) sin(x) sin(bx) cos b sin(x + b) + x sin( b)x ( b) sin(+b)x (+b) cos b 4 sin(x + b) + x x (log x) x(log x) x log x + x tn(x) e cx (c sin(x+b) cos(x+b)) e cx (c cos(x+b)+ sin(x+b)) +c e cx cos(x + b) +c rcsin(x/) x rcsin(x/) + x rccos(x/) x rccos(x/) x rctn(x/) x rctn(x/) log(x + ) rsinh(x/) x rsinhx/ x + rcosh(x/) x rcosh(x/) x rtnh(x/) x rtnh(x/) + log x f(x) = F (x) F (x) f(x) = F (x) F (x) x s x log x x+ s+ (log x (log x) x +bx+c c b rctn x+b c b e x p(x) e x [ p(x) p (x) ( ) n p (n) (x)] n+ π π cos x dx = π π π cos x dx = π π sin x cos x dx = x α log x, dx = log(α + ) Ableitung unter Integrl e αx sin x x, dx = π rctn(α) tτ τ dτ = t/ t/ t /4 x dx = π t 4 = πt 8, x := τ x/, x = τ tτ + t /4 Bsp: t x+ ) log x x

21 4 MAHEMAISCHE FORMELN 4.7 Stndrd-Substitutionen zur Integrlberechnung Integrl Substitution Differentil Bemerkungen f(x + b) dx t = x + b dx = dt f(g(x))g (x) dx g(x) = t dx = dt g (x) = f(t) dt f(x, x + b) dx x = t b t dt dx = t f(x, x + bx + c) dx ((x + b ) + 4c b ) (±y ± ρ ) ± hängt von und 4c b b 4 f(x, x ) dx x = sin t dx = cos t dt x = cos t, t π f(x, x + ) dx x = sinh t dx = cosh t dt f(x, x ) dx x = cosh t dx = sinh t dt x + = cosh t, t R x + = sinh t, t f(sin x, cos x) dx tn x dt = t dx = sin x = t, cos x = t, t < π/ +t +t +t f(e x, sinh x, cosh x) dx e x = t dx = dt t sinh x = t t, cosh x = t + t, t > 4.8 ylorreihen: Innerhlb des Konvergenzrdius t < ρ wird f(t) durch die Reihe drgestellt. Mc Lurinsche Reihe: j nf(t) = n f (k) () k= k! t k = f() + f ()t + f ()! t f (n) () n! t n : n-jet n der Stelle t= ylorreihe/-polynom: j n f(t) = n f (k) () k= k! (t ) k = f() + f ()(t ) + f ()! (t ) f (n) () n! (t ) n um Punkt, Potenzreihe konvergiert in ( ρ, + ρ) Fehlerbschätzung: f(t) = j n f(t) + R n (t) = n f (k) () k= k! (t ) k + o(t ) n (t ) R n (t) = f n+ (ξ) (n+)! (t )(n+), der Fehler ist n ξ (, t) und nicht n! Der Fehler liegt in der Ordnung des grössten Restgliedes, ds nicht mehr betrchtet wurde. Stz: Sei f : I X durch eine Potenzreihe f(t) = k= k(t t ) k t I, so ist diese Reihe schon die ylorreihe bei t, mit k = f (k) (t ) k!. Achtung: Nicht überll, wo die ylorreihe konvergiert, stellt sie die Funktion dr! f : C m -Fkt(x, y): f(x, y) = (i+j) f ( x ) ( i!j! x i y j y (x x ) i (y y ) j ( +o x x ) y y m). Der Fehler i,j i+j m ist wesentlich kleiner ls der letzte in f uftretende Wert. Rechentipps: Bei komplexeren ermen knn mn die Polynome gliedweise entwickeln und wieder zusmmenfügen: Bsp: cos x e y+z. f(x, y, z): Fälle bis m = f(x, y, z): f(x, y, z) = (i+j+k) f i!j!k! (p x i y j z k )(x x ) i (y y ) j (z z ) k + o( ) i,j,k i+j+k m