Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab Lösung A6/ Wir stellen die gegebene Normalengleichung von in die Koordinatengleichung um und bilden. Im Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen wählen wir einen Parameter frei, um zur Parametergleichung der Schnittgeraden zu gelangen. 4 : : 4 4 I) 4 4 II) 8. II) 8 4 I) 4 4 /4 4 8 4 4 4 : 4 4 4 Lösung A7/ a) Die besondere Lage von ergibt sich aus der fehlenden Koordinate der Ebenengleichung. b) Wir stellen die Parametergleichung der Lotgeraden durch auf und ermitteln den Schnittpunkt! dieser Geraden mit. Der Bildpunkt ergibt sich dann aus $$$$$$$ # # $$$$$ $$$$$.! a) Der Ebene fehlt die Koordinate, d.h., für alle R ist die Gleichung 4 erfüllt. Die Ebene läuft parallel zur Achse. b) Lotgerade von Punkt auf die Ebene hat die Gleichung: : Aus folgt: ; Eingesetzt in : 4 4 $$$$$ #! 4 * $$$$$! + ; # $$$$$$$ # $$$$$ $$$$$! * Der Bildpunkt hat die Koordinaten - 7 7
Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab Lösung A8/ Damit h orthogonal zu ist, müssen die beiden Richtungsvektoren der Geraden aufeinander senkrecht stehen. Sei /$ der Richtungsvektor von und der Richtungsvektor von h so gilt: /$. Gleichzeitig muss bezüglich des Normalenvektors $ von gelten: $. Ein Lösungsvektor dieses Gleichungssystems wird als Richtungsvektor von h gewählt. Als Stützvektor von h verwendet man am einfachsten den Stützvektor von, da in liegt. Lösung A6/ Wir stellen die Parametergleichung der Geraden durch die Punkte und auf sowie die Koordinatengleichung der Ebene. Mit ermitteln wir den Schnittpunkt! der Geraden mit der Ebene. Mithilfe des ermittelten Schnittpunktes! berechnen wir die Skalierung 4 der Geradengleichung. Ist 545 liegt! zwischen und. In allen anderen Fällen nicht. : # $$$$$ 4 $$$$$ ;4 R : 4 ;4 R 4 : 6 7 8 6 4 4 7 8 6 44 7 4844 94 448 4 $$$$$ #! 5 Der Schnittpunkt hat die Koordinaten! 5. Prüfung, ob! zwischen und über eine Punktprobe. 5 4 () 4 4 () 4 5 4 () 4 4 Wegen 4: liegt der Punkt! nicht zwischen und.
Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab Lösung A7/ Berechnung des Normalenvektors von über das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren, der Vergleich der beiden Normalenvektoren zeigt Parallelität der beiden Ebenen. Parallele Ebene in der Mitte von und : Wir wählen einen beliebigen Punkt ; auf und den Aufpunkt von. Der Mittelpunkt dieser Strecke ist ein Punkt der Ebene. Da die parallele Ebene denselben Richtungsvektor haben muss, lässt sich hieraus < der Koordinatengleichung von bestimmen. : $$$$$$ => < => Normalenvektor : 4? $$$$$$ =@ A 4 $$$$$$ =@ 4 : < : 7 7 5< =@ < =@ 5 Punktprobe mit Aufpunkt Wegen $$$$$$ => $$$$$$ =@ und < => C< =@ sind die beiden Ebenen echt parallel. Mittelebene : Beliebiger Punkt ; auf ist z.b. ;. Aufpunkt von ist D7 7 5. Der Mittelpunkt E der Strecke ;D liegt auf. 7,5 $$$$$$ #E F#; $$$$$ #D $$$$$$ G 6 77,5 5 : < :,5,5 Punktprobe mit Punkt E : Lösung A6/4 a) Wir bestimmen die Spurpunkte von und und zeichnen die Ebenen in das Koordinatensytem. Die Schnittgerade geht durch die gemeinsamen Punkte von und, wir stellen die Parametergleichung der Geraden auf. b) Einer parallelen Ebene zur Achse fehlt die Koordinate. Sie soll laut Aufgabenstellung als Schnittgerade jedoch die Spurgerade der Ebene enthalten. Hieraus ergeben sich die Spurpunkte von I. Mithilfe der Achsenabschnittsform der Ebene ermitteln wir dann die Koordinatengleichung von I.
Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab a) Spurpunkte von :! J> 4 ;! J@ 4 kein! JK Spurpunkte von :! J> 4 ;! J@ 4 ;! JK Schnittgerade ist die Gerade durch die Punkte! J> und! J@. :! $$$$$$$$ 4! J> $$$$$$$$$$$$ J>! J@ 4 4 : 4 4 4 : 4 b) Spurpunkte von I:! J@ 4 ;! JK kein! J> Achsenabschnittsform: I: J @ M J K 4 I: 4 Lösung A7/4 (einfach) Unter dem Abstand eines Punktes von einer Geraden verstehen wir die kürzeste Entfernung des Punktes zur Geraden. Dies bedeutet, dass die Verbindungsstrecke zur Geraden orthogonal ist. Wir berechnen den Abstand von N zur Geraden durch und mithilfe der Abstandsformel Punkt-Gerade mit < OP $$$$$ AOQ $$$$$ (einfach) < OP $$$$$ AOQ $$$$$ OQ $$$$$ $$$$$ $$$$$ A N $$$$$ OQ $$$$$ 4 ; $$$$$ N 7; R $$$$$ R 695 4 7A ; $$$$$ A N $$$$$ 5 5 < U U 5 Der Abstand des Punktes N von der Geraden beträgt 5 V.
Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab (umständlich) Unter dem Abstand eines Punktes von einer Geraden verstehen wir die kürzeste Entfernung des Punktes zur Geraden. Dies bedeutet, dass die Verbindungsstrecke zur Geraden orthogonal ist. Wir stellen zunächst eine Geradengleichung durch die Punkte und auf. Dann stellen wir die Gleichung einer Hilfsebene W mit dem Aufpunkt N und dem Richtungsvektor der Geraden (= $$$$$ ) als Normalenvektor von W auf. Wir schneiden die Hilfsebene W mit der Geraden und erhalten den Schnittpunkt!. Der Betrag des Vektors N! $$$$ ist der Abstand des Punktes N zur Geraden. (umständlich) : # $$$$$ 4 $$$$$ 4 $$$$$ 4 4 4 W: #N $$$$$ ; $$$$$ X 4 < 4 < Punktprobe mit N < W: 4 W: 44; 4; 4 444 546 4 4 5 4 : $$$$$ #! 7 Koordinaten von!5 7 5 N! $$$$ : N! $$$$ 7 4 RN! $$$$ R 4 55 Der Abstand des Punktes N von der Geraden beträgt 5 V. Lösung A9/4 Mit der gegebenen Kugel Z ist auch deren Mittelpunkt E gegeben. Mit der gegebenen Ebene ist auch deren Normalenvektor bekannt. Man bildet eine Gerade durch E mit dem Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor. Man schneidet diese Gerade mit der Ebene und erhält damit den Berührpunkt V der Ebene mit der Kugel. Der Radius der Kugel ist gleich dem Betrag des Vektors VE $$$$$$.
Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab Lösung A6/5 Wir zeichnen zunächst die Punkte und das Dreieck in ein Koordinatensystem. a) Das Dreieck ist gleichschenklig, wenn Seiten gleich lang sind und die dritte Seite eine ungleiche Länge aufweist. Somit gilt: R $$$$$ RR $$$$$ R R N $$$$$ R C RN $$$$$ R R $$$$$ R RN $$$$$ R R $$$$$ RCR N $$$$$ R R $$$$$ R N RN $$$$$ R R $$$$$ RCR N $$$$$ R b) Ein Punkt ], der das Dreieck zu einem Parallelogramm ergänzt, errechnet sich z. B. aus #] $$$$$$ # $$$$$ $$$$$ $$$$$. N Es gibt insgesamt Punkte ], ] und ], die das Dreieck zu einem Parallelogramm ergänzen (siehe Grafik). 4 4 a) R $$$$$ R^ 4 ^^ 4 ^ 4 4 6 4 R $$$$$ R^ N 6 ^^ 6 ^ 44 4 6 6 RN $$$$$ R^ 6 4^^ ^ 44 4 Wegen R $$$$$ R N RN $$$$$ R R $$$$$ RCR N $$$$$ R ist das Dreieck N gleichschenklig. b) $$$$$$$$ # #] $$$$$ $$$$$ $$$$$ N 4 4 46 4 Der Punkt ] ist ein Punkt, der das Dreieck zu einem Parallelogramm ergänzt. Die weiteren Punkte: 4 6 4 6 46 $$$$$$$$ # #] $$$$$ N 4 Es gibt insgesamt Punkte, die das Dreieck N zu einem Parallelogramm ergänzen. $$$$$$$$ # #] $$$$$ N $$$$$ Lösung A7/5 a) Wegen fehlender -Koordinate verläuft die Ebene parallel zur Achse. Wir bestimmen die Spurpunkte der Ebene mit der und Achse und zeichnen die Ebene in ein Koordinatensystem. b) Alle Punkte der Achse haben die Koordinaten ; _. Die Punkte, die zu den Abstand haben, bestimmen wir mithilfe der HNF.
Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab a) 4 : J > J K Achsenabschnittsform M! J> ;! JK 4 b) Punkte der Achse haben die Koordinaten ; _. Abstandsbestimmung < über die HNF. < MJ >`J K a M @`@ M b` c K a Punktprobe mit ; U _ > 5 betragslose Berücksichtigung _ > 9 _ @ 5 Betragsberück- sichtigung _ @ Die Punkte ; 9 und ; der -Achse haben von den Abstand. Lösung A6/6 a) Der Punkt ; soll drei identische Koordinaten haben. Diese seien ;d d d mit d d d. Eine Punktprobe mit ;d d d zeigt, ob es ein 4 gibt, welches diese Bedingung erfüllt. b) Sei! der Schnittpunkt von und h. Wegen der Orthogonalität muss gelten: $$$$$$ 4 e $$$$$$$, f wobei 4 $$$$$$$ f D! $$$$$ ist. d a) d 4 4 d () d 4 () d 44 () d 4 () () 444 4 4 ;; d 4 d 4 4 d 4 Der Punkt ;4 4 4 liegt auf.
Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab b)! sei Schnittpunkt von und h. Dann gilt: $$$$$$ 4 e $$$$$$$ f mit 4 $$$$$$ e 4 und $$$$$$$ 4 f D! $$$$$ #! #D $$$$$$ 4 4 8 4 5 $$$$$ #! 44 ; D! $$$$$ 44 5 44 5 4 4 4 9 4 5 4 44 54 54 44 5 4 9 4 9 64 5 64 5 wegen Orthogonalität 4 5 D! $$$$$ 8 5 6 9 8 h: 5g Lösung A7/6 Parallele Ebenen haben dieselben Normalenvektoren. : 4 4 7 < h MJ >`MJ @`hj K ai j`j`mk ai l Hessesche Normalenform HNF für Ursprung < 8 <8; < 8 Die beiden parallelen Ebenen : 4 4 7 8 und I: 4 4 7 8 haben vom Ursprung den Abstand. Lösung A9/6 Die Angabe über die Kugeln ist lediglich der Hinweis, dass es sich um eine Aufgabe der analytischen Geometrie im Raum handelt. Für die weitere Lösung ist dann das Thema Kugeln irrelevant, da ein geeigneter Schnitt durch die Situation im m dargestellt werden kann (siehe Grafik).
Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab Der Vektor EE $$$$$$$$$$$$$ verbindet die beiden Mittelpunkte. Auf dieser Strecke befindet sich der Berührpunkt. Die Länge der Verbindungsstrecke ist REE $$$$$$$$$$$$$ R4 4. Der Vektor $$$$$$$$$ E verbindet den Mittelpunkt E mit dem Berührpunkt. Seine Länge entspricht einer Teilstrecke des Vektors $$$$$$$$$$$$$, EE also $$$$$$$$$ g EE E $$$$$$$$$$$$$. Der Einheitsvektor von $$$$$$$$$$$$$ EE ist $$$$$$$$$$$$$ Rnn $$$$$$$$$$$$$$ R EE o`o $$$$$$$$$$$$$. EE Die Koordinaten des Berührpunktes lassen sich damit über die Linearkombination $$$$$ #E # $$$$$$$$$ E $$$$$$$$$ #E $$$$$$$$$ g EE $$$$$$$$$$$$$ #E $$$$$$$$$ o > ermitteln. Rnn $$$$$$$$$$$$$$ R EE $$$$$$$$$$$$$ #E $$$$$$$$$ o > EE $$$$$$$$$$$$$ o >`o @ Lösung A5/7 a) Bestimmung der Spurpunkte der Ebene und Zeichnung (siehe Grafik). b) Wir wandeln die Ebene in die Koordinatenform um und ermitteln die Schnittgerade über. c) Der Richtungsvektor 4 $$$$$$ e einer Gerade in, die keinen gemeinsamen Punkt mit hat, muss senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene stehen. Als Aufpunkt der Geraden wählen wir einen beliebigen Punkt der Ebene (Spurpunkte bereits berechnet) und ermitteln den Richtungsvektor 4 $$$$$$ e über das Skalarprodukt aus $$$$$$ 4 e und $$$$ = mit $$$$$$ 4 e $$$$. = a) Spurpunkte von :! J> 6! J@! JK nicht existent. Zeichnung: siehe Grafik. b) Umwandlung in Koordinatenform: : 4 : : 6 : Freie Wahl, z.b. 6 pqr s j j j stu j
: j j c) h: # $$$$$ g 4 $$$$$$$ f Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab j j j ; R 6 Wir wählen einen Punkt in aber nicht in, z. B. einen Spurpunkt der Ebene mit! J> 6. Die Gerade h verläuft dann parallel zur Schnittgeraden. Dadurch ist h. 6 h: g ; g R 6 Lösung A6/7 Die nebenstehende Grafik verdeutlicht die Situation. Wir müssen eine Gerade durch die Spitze des Kegels legen mit dem Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor. Wir schneiden diese Gerade mit der Ebene und erhalten den Lotfußpunkt E, der gleichzeitig Mittelpunkt des Grundkreises ist. Die Koordinaten des Punktes D erhalten wir über die Linearkombination $$$$$$ #; #D $$$$$ ;E $$$$$$. Aufstellen einer Gerade mit! als Aufpunkt und dem Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor. Über Ermittlung des Mittelpunktes des Grundkreises. Die Koordinaten von D errechnen sich danach aus $$$$$$ #D#; $$$$$ ;E $$$$$$ Lösung A5/8 a) Zur Bestimmung von w machen wir eine Punktprobe mit dem Aufpunkt von in. Nachdem w bekannt ist, bestimmen wirt einen weiteren Punkt D der Geraden mit g. Aus der Punktprobe mit D bestimmt sich d. b) Die Gerade h hat denselben Aufpunkt wie. Der Richtungsvektor 4 $$$$$$$ f von h muss senkrecht auf dem Richtungsvektor von als auch stehen, mit anderen Worten: $$$$$$$ 4 f 4 $$$$$$$ f $$$$ = bzw. $$$$$$$ 4 f $$$$$$ A e $$$$ =
Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab a) w : w5 w : w #D $$$$$$ d d : d d5 7 d b) Die Gerade h hat denselben Aufpunkt wie und den Richtungsvektor 4 $$$$$$$. f h: g 4 $$$$$$$ f Es gilt: $$$$$$$ 4 f $$$$$$ A e $$$$ = A $$$$$$$ 4 f 4 4 $$$$$$$ f 5 4 h: g 5 Lösung A6/8 a) Wir bestimmen zunächst die drei Spurpunkte der Ebene und berechnen dann die Längen der einzelnen Dreiecksseiten. Sind zwei Seiten gleich lang und die dritte Seite ungleich lang, so ist das Dreieck gleichschenklig. b) Wir stellen die gegebene Parametergleichung von um in eine Koordinatengleichung und schneiden den beiden Ebenen und zur Ermittlung der Schnittgerade g. a) 4 :4 J > M J @ J K Achsenabschnittsform M! J> 4 ;! J@ ;! JK 4 4 4! $$$$$$$$$$$$ J>! J@ ;! $$$$$$$$$$$$ J@! JK ;! $$$$$$$$$$$$ J>! JK 4 4 R! $$$$$$$$$$$ RR!! $$$$$$$$$$$ RCR!! $$$$$$$$$$$ R! Das Dreieck! J>! J@! JK ist gleichschenklig.
Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab b) : 4 g 8 6 A 8 8 6 8 < 6 8 < <6 : 6 8 6 : 4 Wir wählen frei. () 6 8 6 () 4 4 () 6 8 6 () 4 8 64 ()-() 5 : M M 4 l M M ; M Der Lösungsvektor ist z l l 8 Die Gleichung der Schnittgeraden lautet: g: 8