PFLICHTTEIL NT 26 F. LEMMERMEYER (1 Quotientenregel: f (x = x2 e x 2xe x x = e x (x+2 4 x = x+2 3 x 3 e. x Oder Umschreiben: f(x = 1 x 2 e = (x 2 e x 1, und dann Kettenregel x f (x = (x 2 e x 2 (2xe x + x 2 e x. (2 F (x = 2 3 x3 1 4 cos(4x + c, f( = 1 4 + c = 1 gibt c = 5 4. (3 Definitionsbereich ist alles außer Nullstellen des Nenners, also R, da der Nenner keine Nullstellen hat. (Bei Nenner x 2 2 müsste man x = ± 2 ausschließen. Nenner weg: x 2 + 2 = 3x, also = x 2 3x + 2 = (x 1(x 2, x 1 = 1, x 2 = 2. (4 a um 2 nach oben verschoben; b um 2 nach links verschoben; c Spiegelung an y-achse. (5 a unentscheidbar; auch F (x c ist Stammfunktion, sodass F ( nicht festgelegt werden kann. b falsch: f hat einen Hochpunkt, damit F einen WP. c wahr: es ist f(3 = mit VZW von nach +. d falsch: zwischen 5 und 1 ist f(x >, also F streng monoton wachsend. Der Zuwachs F (1 F (5 ist gleich der Fläche unterhalb von f in diesem Intervall. (6 Schneiden liefert 2r = 7 6 2r = 1 + 2s 2 + 3r = 6 + s, also r = 7 2 und s = 6 aus den ersten beiden Gleichungen. Die dritte Gleichung ist damit falsch, also schneiden sich die Geraden nicht. Da die Richtungsvektoren linear unabhängig sind (keine Vielfachen voneinander, sind die Geraden auch nicht parallel. Also sind sie windschief. (7 a Orthogonal sind sie, wenn die Normalenvektoren senkrecht aufeinander ( 2 1 stehen. Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ergibt, und ( 2 2 ( 42 das Skalarprodukt der Normalenvektoren ist 1 = 8 2 6 =. 2 3 Also sind die Ebenen orthogonal. b HNF der Ebene E 2 erhält man durch Multiplikation von 1 29 ; Einsetzen von P ergibt d = 29 29 = 29. (8 Das sind die Punkte im Parallelogramm, das von a und 2 b aufgespannt wird. 1
2 F. LEMMERMEYER Analysis I 1 a Asymptoten: keine senkrechten wegen x 2 + 16, waagrechte Asymptote y =. f (x = 4(x2 16 (x 2 +16 hat die Nullstellen x 2 1 = 4 und x 2 = 4. In x 1 = 4 wechselt das Vorzeichen von nach + (Tiefpunkt, in x 1 = 4 von + nach (Hochpunkt. Es gibt also genau einen Hochpunkt, nämlich H(4 5. b Volumen der Flasche: V = π 3 2 y 2 dx. Eingabe: Y 2 = Y1 2, Integrieren. Ergebnis: V = 781, 3 cm 3. Volumen des Zylinders: Höhe = 3 cm, Radius 1 cm mehr als y-koordinate des Hochpunkts, also r = 6. Damit V = πr 2 h = 3393 cm 3. Damit hat der Hohlraum ein Volumen von ca 2612 cm 3. c Wir brauchen die Tangente an f, die durch den Punkt P (3 1, 31 geht. Experimentieren mit draw und tangent zeigt, dass die Tangente in etwa durch x = 4, 55 geht (gibt man x = 5 ein, liegt die Tangente unterhalb des Flaschenendes, bei x = 4, 5 leicht darüber usw.. Die Tangentengleichung kann man ablesen: y =.14x + 5, 6. Schneiden mit x-achse liefert x = 4, also hat der Kegel die Höhe 38 cm. Der Radius kommt vom Funktionswert der Tangente in x = 2, also r = 5, 32. Der Öffnungswinkel α ergibt sich aus tan α = r h =.14 (hätte man auch aus der Steigung ablesen können: tan α = m zu α 8. Rechnerisch bestimmt man die Tangentengleichung, indem man in die allgemeine Tangentengleichung y = f (u(x u + f(u den Punkt P (3 1, 31 einsetzt und mit GTR nach u auflöst, also die Nullstelle der resultierenden Gleichung bestimmt. Das kann man machen, wenn man mit allem fertig ist und noch Zeit hat.
PFLICHTTEIL NT 26 3 Analysis I2.1 a Da der Ursprung im Mittelpunkt BC liegt, versuchen wir eine Sinus-Funktion vom Typ f(x = a sin bx (denn dafür ist f( = wie gewünscht. Damit C(5 1 drauf liegt (die Rampe ist ebenso punktsymmetrisch wie f, daher liefert B dieselbe Gleichung, muss 1 = a sin(5b sein. Damit die Rampe keinen Knick hat, muss die Steigung in C gleich sein, wegen f (x = ab cos(bx muss also gelten ab cos(5b =. Die kleinste Nullstelle von cos x liegt bei π 2, also nehmen wir 5b = π 2, d.h. b = π 1. Einsetzen in 1 = a sin 5b liefert a = 1. Also ist ( π f(x = sin 1 x. b Die ursprüngliche Rampe hat Steigung 2 1 = 1 5, das entspricht 2%. Die zu lösende Gleichung ist f (x = 1 5, also π 1 cos( π 1 x = 1 5. Der GTR liefert x = ±2, 8 (muss natürlich zwischen 5 und 5 liegen. Am steilsten; Maximum von f, also x =. Hier ist f ( = π 1, 314, also 31, 4%. Durchschnittlich höher fragt nach dem Mittelwert von f(x g(x, wobei g(x = 1 5x die Geradengleichung der alten Rampe ist. Daher 5 m = 1 (f(x g(xdx, 137. 5 Die neue Rampe ist auf diesem Abschnitt durchschnittlich 13, 7 cm höher als die alte. Analysis I2.2 Sei g(x = sin(ax. Die ersten Ableitungen von g sind g (x = a cos(ax, g (x = a 2 sin(ax, g (x = a 3 cos(ax, g (4 (x = a 4 sin(ax, g (5 (x = a 5 cos(ax. Dies legt nahe, dass g (2n+1 (x = ( 1 n a 2n+1 cos(ax für alle n gilt. Für n = haben wir das schon nachgerechnet (g (x = ( 1 a 2 +1 cos(ax. Sei die Behauptung richtig für ein n, also g (2n+1 (x = ( 1 n a 2n+1 cos(ax. Um die Behauptung für n + 1 zu zeigen, leiten wir zweimal ab: g (2n+2 (x = ( 1 n a 2n+1 a sin(ax = ( 1 n+1 a 2n+2 sin(ax, g (2n+3 (x = ( 1 n+1 a 2n+2 a cos(ax = ( 1 n+1 a 2n+3 cos(ax. Wegen 2n + 3 = 2(n + 1 + 1 war das zu zeigen.
4 F. LEMMERMEYER Analysis I 3.1 a Eine Differentialgleichung der Form g = k(g g gehört zum beschränkten Wachstum. Eine Lösung ist g(x = G ce kt mit c = G g( (alles aus der Formelsammlung. Aus der Differentialgleichung lesen wir k =, 2 und G = 5, 2 ab. Also ist g(x = 5, 2 ce,2t. Aus g(4 = 3 folgt (GTR oder von Hand c = 4, 9. (Kontrolle: Funktion eingeben, g(4 berechnen. Langfristig ist e,2x, also die Anzahl etwa 5,2 Millionen Haushalte. 7% der Haushalte sind 4, 2 Millionen Haushalte; schneiden liefert x = 7, 95, also Ende 27. Mittlere Anzahl von 2 bis 28 = 1 8 8 g(xdx 2, 75. Es gab also im Mittel 2,75 Millionen Haushalte mit DVD-Player. Schneiden von g mit y =, 6 (Eingabe von g entweder mit nddderiv oder indem man g(x in der Differentialgleichung durch Y 1 ersetzt liefert x = 2, 45. Dies war also Mitte 22 der Fall. b Der Wert g (4, 44 Haushalte pro Jahr beschreibt die momentane Änderungsrate Anfang 24. Die Zunahme ist dort etwa,44 Mio Haushalte pro Jahr, also ca.,22 Mio Haushalte in einem halben Jahr. Aus g(4 = 3 Mio folgt dann g(4, 5 3, 22 Mio. Da die Änderungsrate im Laufe der Zeit kleiner wird (Asymptote, liegt die tatsächliche Anzahl etwas darunter, nämlich bei g(4, 5 3, 21 Mio. Analysis I 3.2 Es ist b = 1, b n = b n 1 +, 2(5 b n 1 für n 1. Wir sollen b n = 5 4, 8 n zeigen. Für n = ergibt sich b = 5 4 = 1, das ist richtig. Ist die Behauptung für n richtig, so gilt b n+1 = b n +, 2(5 b n = 5 4, 8 n +, 2(5 (5 4, 8 n = 5 4, 8 n +, 2 4, 8 n = 5 4, 8 n +, 8, 8 n = 5 3, 2, 8 n = 5 4, 8, 8 n = 5 4, 8 n+1. Das war zu zeigen. Man tut sich unter Umständen leichter, wenn man die Behauptung 5 4, 8 n+1 = b n +, 2(5 b n hinschreibt und solange vereinfacht, bis was richtiges rauskommt. Die Folge (c n ist gegeben durch c = 1 und c n = c n 1 +, 2(5, 2 c n 1. Wir vermuten c n = 5, 2 a b n. Aus n = folgt a = 4, 2, Einsetzen von n = 1 und c 1 = c +, 2(5, 2 c = 1+, 2 4, 2 = 1, 84 gibt 1, 84 = 5 4 b, also b =, 79. Begründung notfalls wieder durch vollständige Induktion.
PFLICHTTEIL NT 26 5 a Es ist Geometrie II.1.1 E 2 : 2x 1 x 2 + 2x 3 = 12 E 4 : 2x 1 x 2 + 4x 3 = 12. Die Spurpunkte sind S 1 (6, S 2 ( 12 und S 3 ( 6 für E 2, und S 1, S 2 und S 3( 3 für S 2. Die Schnittgerade ist daher die Gerade durch S 1 und S 2, also 6 1 x = + t 2 (Richtungsvektor vereinfacht. Um zu zeigen, dass diese Gerade in allen Ebenen liegt, muss man nur nachrechnen, dass S 1 und S 2 in allen Ebenen liegen. Einsetzen gibt 2 6 + b = 12 im Falle von S 1, und 2 12 + b = 12 im Falle von S 2. Man kann auch die ganze Gerade (x 1 = 6 + t, x 2 = 2t, x 3 = in die Ebene einsetzen und nachprüfen, dass = herauskommt. b Die Ebenen E b und E c stehen senkrecht aufeinander, wenn deren Normalenvektoren Skalarprodukt haben. Dies führt auf 2 2 1 1 = 4 + 1 + bc =, b b also auf bc = 5. Bei gegebenem b kann man diese Gleichung immer nach c auflösen (es gibt also zu jedem E b eine orthogonale Ebene E c außer wenn b = ist. Zu dieser Ebene gibt es keine orthogonale Ebene der Schar. Abstand vom Ursprung zu E b mit Hesse-Normalform: Einsetzen von ( gibt 2x 1 x 2 + bx 3 12 5 + b 2 12 5 + b 2 = 4 =. (Abstand ist positiv, daher Minuszeichen weglassen, und dies führt auf 5 + b2 = 3, also b = ±2. 12 Der Abstand von E 5+b 2 b zum Ursprung ist maximal, wenn der Nenner minimal ist, also für b =. (Ableiten und = setzen ist auch ok. Ein Punkt (r s t liegt in einer Ebene E b, wenn 2r s + bt = 12 für ein geeignetes b ist. Auflösen nach b gibt bt = 12 2r + s. Auflösen nach b funktioniert für alle t. Ist dagegen t =, folgt 2r s = 12; also liegen genau die Punkte (r s mit 2r s 12 auf keiner Ebene E b (das sind genau die Punkte in der x 1 x 2 -Ebene, die nicht auf der Schnittgeraden S 1 S 2 liegen.
6 F. LEMMERMEYER Geometrie II.1.2 Die Punkte P a ( a 4 a 2 liegen alle in der x 2 x 3 -Ebene. In dieser Ebene liegen sie auf der Parabel x 3 = 4 x 2 2. Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe, also V = 6 2 2 (4 x 2 dx = 32. Geometrie II.2 a Die Leinwand ist rechteckig, also AD = BC. Dies liefert D(1 24 12. Wahlweise OD = OA + BC, oder Schneiden der Geraden AD und CD. Ebenengleichung 8 12 1 x = 2 + t 6 + u 1. 12 Da wir nachher die HNF brauchen, Umwandeln in Koordinatenform: 6x 1 + 12x 2 5x 3 = 288. (Kontrolle, dass die vier Punkte, insbesondere D, in dieser Ebene liegen! Hesse-Normalform: 6x 1 + 12x 2 5x 3 288 25 =. Abstand durch Einsetzen von P gibt d = 41 25 = 2 25 28, 6 m. Schließlich muss also P M = ( 12 24 1 P M senkrecht auf die Ebene stehen. Wir finden M(3 25 6, ( 612. Dies ist ein Vielfaches des Normalenvektors n =, also steht P M senkrecht auf die Leinwandebene. b Die Eckpunkte des Schattens sind die Schnittpunkte der Geraden durch P und die Eckpunkte A, B, C, D mit der x 1 x 2 -Ebene, die durch x 3 = gegeben ist. 9 17 P A : x = 1 + t 19 t = 1 A (8 2 16 16 9 5 P B : x = 1 + t 25 t = 1 B ( 4 26 16 16 9 7 P C : x = 1 + t 29 t = 4 C (19 117 16 4 9 19 P D : x = 1 + t 23 t = 4 D (67 93 16 4 5
Es wird A B = ( 12 6 PFLICHTTEIL NT 26 7 und ( 48 C D = 24. Also sind A B und C D parallel. Da die beiden Seiten nicht gleich lang sind, kann das Viereck kein Parallelogramm sein; also ist es ein Trapez. Der Mittelpunkt M des Rechtecks ABCD ist M(3 25 6. Die Länge von MA ist AM = 86, die von MB ebenfalls gleich 86 (also ist ABCD ein Quadrat. Der halbe Öffnungswinkel α ist gegeben durch tan α = 86 2 25 =, 324, d.h. α 17, 9. Der Öffnungswinkel selbst ist doppelt so groß, also ca. 36. Andere Möglichkeit: berechne die Winkel ( P A, P M und ( P B, P M mithilfe der Formel cos α = a b a b. c Wir suchen einen Punkt Q auf der Geraden P M : x = 3 25 + t 6 12 6 5 (Hierbei entspricht t = dem Punkt M, und P gehört zu t = 2; der gesuchte Punkt Q muss zu einem t mit 2 < t < gehören, da der Scheinwerfer ja näher an die Leinwand ran muss, damit sein ganzes Licht auf die Leinwand fällt. Ein laufender Punkt auf dieser Geraden ist Q(3 + 6t 25 + 12t 6 5t. Jetzt muss der Scheinwerfer so nahe an die Leinwand, dass sein Lichtkegel durch den Mittelpunkt der Strecke AB geht. Wegen AB = BC = 18 kann man aus dem rechtwinkligen Dreieck QMM AB ablesen: tan 18 = MM AB QM, also QM = 1 2 18/ tan 18 2, 65. Der Abstand QM ist also 2, 65 = (6t 2 + (12t 2 + (5t 2, und diese Gleichung hat die Lösungen t = ±1, 44. Physikalisch sinnvoll (sh. oben ist nur t = 1, 44, und dieser Wert gibt Q( 5, 64 7, 72 13, 2.