Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik 3 Block I (Albrech) Aufgabe : (3 Minuen) Gegeben sei eine Europäische Puopion auf einen diidendenfreien Basisiel mi Laufzei, deren heuiger Wer (Preis) P beräg und die nach Black/Scholes bewere is a) Wie laue die approximaie Änderung des Puwers über das Zeiinerall [, +h] bei Anwendung der Dela-Approximaion? b) Wie hoch is der Value a Risk der Opion über ein Inerall der Länge h bei Anwendung der Dela-Normal-Mehode? Dabei sei die Rendie R h des Basisiels gegeben durch R h ~ N(μh, σ h) c) Wie laue die approximaie Änderung des Puwers über das Zeiinerall [, +h] bei Anwendung der Dela-Exak-Approximaion? d) Besimmen Sie nun für die Pu-Posiion den Value a Risk zum Signifikanznieau α über das Zeiinerall [, +h] auf der Basis einer Dela-Exak-Approximaion Uner sellen Sie dabei für die Log-Rendie des Basisobjeks U h ~ N(, h) e) Approximieren Sie den Value a Risk aus Aufgabeneil d), indem Sie die Exponenialfunkion linear approximieren! Hinweise: ) Das Pu-Dela eines Europäischen Pu laue im Falle on Black/Scholes-Preisen Δ P () = -N(-d ) = -N[-d ()] ) Sezen Sie den Value a Risk im Normalereilungsfall als bekann oraus und ebenso die ransformaionseigenschafen on Quanilen Lösungsskizze: a) Delaapproximaion der Opionsposiion: ΔP : = P P Δ () (S + s + h P h, wobei Δ P () = P/ S ( Opionsdela ) Im Black/Scholes-Falle gil dabei: Δ () = P/ S = N( d) P )
b) Es gil: ΔP = N( d) s R h E ( P) = N( d) s μh σ ( P) = N( d) s σ h L = ΔP, E(L ) = E( P), σ(l ) = σ( P) P P ΔP und dami L P normalereil, somi gil insgesam: VaR h = N αn( d)s σ h + N( d)s = N( d ) [ N ασ h μh + ] s c) Definiere die Verlusariable L P = ΔP Es folg: P μh L P P = S ΔS = N ( d) ΔS Uh = N( d )s (e ) d) Aufgrund der ransformaionseigenschafen on Quanilen gil VaR = Q (L ) α α P = N( d )s {exp [ Q (U ) α h ]} = N( d )s {exp [ N α h ]} e) Mi exp(x) +x folg aus d) VaR N( d )s N h α Aufgabe : (3 Minuen) Unersellen Sie das Kredirisikomodell nach Meron Es bezeichne dabei {A } die Enwicklung des Markwers der Akia, die einer geomerischen Brownschen Bewegung folge Das Fremdkapial besehe aus einem Zerobond mi Nennwer F und Laufzei a) Besimmen Sie die Ausfallwahrscheinlichkei PD(,) im Zeipunk = in ermen der Vereilungsfunkion der Sandardnormalereilung Hinweis: Die sochasische Differenialgleichung ds /S = μd + σdw besiz die Lösung S = S exp{(μ σ ) σ Z }, wobei Z ~ N(,) + b) Besimmen Sie die korrespondierende risikoneurale Ausfallwahrscheinlichkei RNPD(,) Explizieren Sie den Zusammenhang zwischen PD(,) und RNPD(,)
Hinweis: Der Übergang om physischen zum risikoneuralen Maß ensprich bei der geomerischen Brownschen Bewegung dem Übergang on dem Drifkoeffizienen μ zum Drifkoeffizienen r (der risikolosen Zinsrae) c) Definieren Sie den Disance o Defaul DD durch E(ln A ) ln F DD : = σ Besimmen Sie die Beziehung zwischen PD (, ) und DD im Meron-Modell d) Weisen Sie nach, dass in = für die (auf das Ausfallereignis) bedinge erwaree Recoery Rae RC := A / F gil: E(RC A E(A < F) = F PD ) ln(f/ A + ) (μ σ Φ ) (,) σ Hinweis: Is die Zufallsgröße X lognormalereil mi ln X ~ N ( m x, x ), so gil: E (X) ln a m x x E (X X < a) = Φ P(X < a) x Lösungsskizze: a) Mi m : = μ σ gil nach Hinweis A exp (m σ Z ), Z ~ N(,) A = + Hieraus folg: PD (, ) = P (A < F) = P(A F) = P [ A exp(m + σ Z ) F ] = P [ + σ Z ln(f/a ) ] m ln(f/a ) m = P Z σ = ln(f/a σ Φ ) m
b) Gemäß Hinweis gil mi m : = r σ uner Q A = A exp(m σ Z ) + und dami analog zu a) RNPD (,) = Q (A < F) ln (F / A ) m = Φ σ Aus a) folg ferner ln(f/ A ) m [ PD(, ) ] = σ Φ Nun gil m = m+ (r μ) = m (μ r) und hieraus folg insgesam ln(f/ A ) m (μ r) RNPD (,) = Φ + σ σ = Φ Φ μ r [ PD(,) ] + σ c) Zunächs folg aus a) ln A = ln A + m + σ Z und dami, da Z ~ N(,), [ ln A ] ln A m E + = Für DD gil somi im Meron-Modell: ln(a / F) + m ln(f/ A ) m DD= = σ σ Durch Vergleich mi a) folg hieraus insgesam PD(,) = Φ( DD)
d) Zu besimmen is E(RC A A < F) = E A < F = E(A A F) F F < Nach eilaufgabe a) gil ln A ~ N(ln A + m,σ ) und dami nach Hinweis E(A ( ) ) ln F ln A m σ < = E A A F Φ P(A < F) σ E(A ) = P(A < F) ln(f/ A + ) (m σ Φ σ ) Da ferner PD(,) = P(A < F) folg hieraus mi m + σ = μ σ /+ σ = μ + σ / insgesam E(RC A E(A ) ln(f/ A ) (μ + σ < = F) Φ F PD(,) σ /) Block II (Barels) Aufgabe 3: (5 Minuen) Der Vermögensanleger eines Versicherungsunernehmens VU kauf zu Jahresbeginn Akien eines Unernehmens U zum akuellen Börsenpreis on 3 Durch den Kauf on Pu-Opionen bei der Bank B zum Ausübungsag 3 und Ausübungspreis 8,5 sicher der Vermögensanleger on VU die obige Kapialanlage so ab, dass zum Bilanzsichag 3 der Wer on 85 für das Versicherungsunernehmen VU nich unerschrien werden kann Die Bank B erlang als Preis P für die europäischen Pu-Opionen auf Akien des Unernehmens U zum Ausübungspreis 8,5 und Ausübungszeipunk 3 jeweils P Euro Für eine risikolose einjährige Kapialanlage beräg der akuelle Zinssaz % Die Bank B gib als Sillhaler der Verkaufs-Opionen das dami erbundene Risiko kongruen weier an Priakunden und erkauf zeigleich zu diesem Zweck so genanne einjährige Akienanleihen zum Sückpreis on 3 Euro, die folgendes Leisungsschema orsehen: In jedem Fall wird ein feser Zinssaz on % für die Geldanlage nach Ablauf eines Jahres gezahl (fese Kuponzahlung) Außerdem wird zusäzlich zum 3 der Anlageberag zurückgezahl, falls das Kursnieau der Akie U zum 3 oberhalb des Weres 8,5 Euro lieg Im anderen Fall ( dh bei einem Kursnieau 8,5 Euro ) wird am 3 neben dem fes ereinbaren Kupon pro Sück Akienanleihe je eine Akie des Unernehmens U an den Kunden geliefer (i) Mi welchem Mindespreis für die genanne Pu-Opion wird aus Sich der Bank die beschriebene Kuponzahlung für die Akienanleihe bei allen denkbaren Szenarien
keinen Verlus ergeben, wenn für die Bank weder Verwalungskosen noch ransakionskosen berücksichig werden? (ii) Welcher Preis müsse für die ensprechende einjährige europäische Call-Opion auf die Akie U zum Ausübungspreis 8,5 gelen, dami keine Arbirage möglich is? Lösungsskizze: Zu (i): Die Bank B ha zu Beginn des Jahres folgende Beräge zur Anlage zur Verfügung: 3 aus dem Verkauf der Akienanleihen P aus dem Verkauf der Pu-Opionen Diesen Berag kann sie zu % Zins anlegen Das ergib zum Fälligkeisag der Akienanleihe den Berag on: ( 3 + P ), Als maximale Zahlungserpflichung am Jahresende sehen dem gegenüber aus den Konrakbedingungen der Akienanleihe:, 3 Gleichsezen dieser Beräge und Auflösung nach P ergib: P =,354, also zur sicheren Seie gerunde: P =,36 Zu (ii): Nach der Pu-Call-Relaion berechne sich der Preis C der korrespondierenden Call-Opion zu: C = P + S K/(+r), wenn P den Pu-Preis, S den Preis des zugrunde liegenden Basispapiers, K den Ausübungspreis und +r den Aufzinsungsfakor bezeichne; das ergib hier konkre: C =,36 + 3 85/ = 336 74 = 4,4 Aufgabe 4: (45 Minuen) Der Vermögensanleger eines Versicherungsunernehmens erfolg koninuierlich eine Anlagesraegie, die 3% des Gesamermögens in einen Akienfonds und 7% des Anlageermögens in einen risikolosen Geldmarkfonds inesier Der Preisprozess { } des genannen Akienfonds folge einer geomerischen S ( µ ) + W Brownschen Bewegung, ewa S = S e mi µ =,6 und ν =, Der risikolose Geldmarkfonds enwickel sich koninuierlich mi einer fesen exponeniellen r Zinsrae r weier, ewa: B = B e Man unersell, dass in einem zeiseigen Modell idealisier diese koninuierliche Anlagesraegie mi den anisieren proporionalen Aneilen möglich is
(i) (ii) (iii) Man zeige, dass uner diesen Annahmen der Wer V() der Vermögensanlage durch eine geomerische Brownsche Bewegung beschrieben werden kann Man gebe explizi diesen Prozess an, dh man berechne den Drif- und Volailiäsparameer (5 Minuen) Man berechne den Erwarungswer E[V()] des Vermögens nach einem Jahr ( Minuen) Wie groß muss der erwirschafee risikolose Zins r mindesens sein, dami nach einem Jahr die Wahrscheinlichkei dafür, dass man mi dieser Anlagesraegie mindesens einen Zins on,75% erwirschafe, über 5% lieg ( Minuen) ν Hinweis zu eil (ii) on Aufgabe 4: Man benuze ohne Beweis, dass exp( + ν W ) ein ν Maringal is, so dass insbesondere für alle gil: E[ exp( + ν W ) ]= Hinweis zu eil (iii) on Aufgabe 4: Benuze N(,645) =,5, wenn N wie üblich die Vereilungsfunkion der Sandardnormalereilung bezeichne Lösungsskizze: Zu (i) : Is V() der Wer der Vermögensanlage, so gil in kleinen Zeiabschnien für die Dynamik der Inkremene, wenn man b Aneile in der riskanen Anlage häl und -b Aneile in der risikolosen Anlage: d V ( ) = b ( µ V ( ) d + V ( ) dw ) + ( b) V ( ) r d = ( b µ + ( b) r) V ( ) d + b V ( ) dw und hieraus ergib sich b () V ( ) = exp(( bµ + ( b) r ) + b W ), wenn man das Anfangsermögen auf normier Bei den hier orliegenden Zahlen is dabei µ = 6 und ν = und b beräg 3 und dami -b = 7 Der Volailiäsparameer is also 3 * = 6 und der Drifparameer is 3*6 +,7 r = 8 +,7 r Zu (ii): b Es is nach Gleichung () on (i): E[V()] = E[ exp(( bµ + ( b) r ) + b W ) ] = E[ exp(( bµ + ( b) r) ] = exp( bµ + ( b) r) uner Beachung des Hinweises zu (ii) und dami hier konkre: E[V()] = exp( 3 6 + 7 r) Zu (iii): Man definiere r G durch 75 = exp( r G ), dh r G = 735, dann ha man zur Berechnung r der Wahrscheinlichkei ( () G P V e ) nur die Formel on eil (i) zu erwenden Das ergib:
b P V () e ) = P(exp(( bµ + ( b) r r ( G rg ) + b W ) e b ( r ( b ( b) r )) b G µ + = P((( bµ + ( b) r ) + b W ) ) ( rg = P W ) = b b ( r ( bµ + ( b) r )) - N( G ), b wenn wie üblich N() die Vereilungsfunkion der Sandard-Normalereilung is r Nun is die Forderung ( () G P V e ) 5 genau dann erfüll, wenn b ( r ( bµ + ( b) r )) N( G ) 5 gil Wegen r G = 735 und N(-,645) = 5 ha b man dann b ( r G ( bµ + ( b) r )) die Gleichung =, 645 nach r aufzulösen Das ergib: b 7 r = 735 + 8 8 + 87 = 85 und hieraus folg schließlich als kriische Grenze für den risikolosen Zins r: r > 4,64 % Fazi: Mi einer solchen Sraegie wird man im derzeiigen Zinsumfeld bei den benuzen Modellen so nich die Vermögensanlage bereiben können ) = Block III (Maurer) Aufgabe 5: Inernaionale Porfolioselekion ( Minuen) Gegeben sei eine Zwei-Länder-Wel mi Werpapier aus Land (Heimaland des Inesors) und Werpapier aus Land (Ausland) Es werden folgende Bezeichnungen für die berachee Inesmenperiode geroffen R i := lokale Rendie des Werpapiers i (i =, ), e : = Wechselkursrendie zwischen Land und Land, Gegeben sind die Erwarungswere pa und Sandardabweichungen pa der diskreen Rendien: μ(r ) =,3; μ(r ) =,; μ(e ) =,8 σ(r ) =,5; σ(r ) =,; σ(e ) =,5 Der Zinssaz für eine risikolose Anlage in Land (Inland) bzw Land (Ausland) beräg:
r =,8 bzw r =,5 Die Forwardprämie beräg,86% Die Koarianzmarix p a is gegeben durch: R R e R,65 R,4, e,5 - Führen Sie die folgenden Berechnungen aus der Sich des inländischen Inesors durch - Führen Sie alle Berechnungen mi 4 Nachkommasellen durch - Vernachlässigen Sie bei Ihren Berechnungen alle Varianzen, Koarianzen und Erwarungswere der (R e )-Kreuzproduke - Gehen Sie on normalereilen Rendien aus - Beachen Sie die abelle zur Sandardnormalereilung im Anhang a) Berechnen Sie die Srukur, den Rendieerwarungswer und die Rendiesandardabweichung des aus Werpapier und gebildeen Minimum-Varianz- Porfolios (MVP), wenn der Inesor eine ollsändige Wechselkurssicherung des ursprünglich inesieren Inesiionsberags durchführ (5 Minuen) b) Berechnen Sie die Srukur, den Rendieerwarungswer und die Rendiesandardabweichung desjenigen Porfolios aus der inländischen risikolosen Anlage sowie dem in- und ausländischen Werpapier, welches mi 5%iger Wahrscheinlichkei eine Mindeserzinsung on % pa erwirschafe und gleichzeiig die erwaree Rendie maximier Gehen Sie daon aus, dass eine ollsändige Wechselkurssicherung des ursprünglichen Inesiionsberags durchgeführ wird (5 Minuen) Hinweis: Das angenialporfolio bei ollsändiger Wechselkurssicherung is zu 48,66% in Werpapier und zu 5,34% in Werpapier inesier Der effiziene Rand ha die Form µ + SR σ, wobei SR P die Sharpe-Raio des angenialporfolios bezeichne = r P Lösungsskizze: a) Forwardprämie:,86% Porfoliorendie aus Sich des Inländischen Inesors bei ollsändiger Wechselkurssicherung mi Deisenforwards (h=): h= R = xr + ( x)[r + f + R e ] xr + ( x)[r f ] PF + Gemäß Maßgabe sind alle Varianzen, Koarianzen und Erwarungswere der (R e )- Kreuzprodukerme zu ernachlässigen, also:
Var( R h= PF ) = x Var( R ) + ( x) Var( R ) + x( x) Co( R, R ) =,5x,8x +,4 Minimierung der Porfolioarianz: h= dvar(r )! PF h= =,5x,8 = x dx h=,mvp E(R ),565 PF = Var ( SD h=, MVP R PF h=, MVP ( R PF ) = ) =,44,56 MVP =,3 b) Sei N 5 das 5% Quanil der Sandardnormalereilung dann resulier für die Shorfallresrikion µ = + N 5 σ Gemäß beigefüger abelle der N(, )-Vereilung gil,64 < N, <,65 Im Folgenden wird (approximai on der sicheren Seie) N 5 =,65 gesez µ =, +,65 σ Effiziener Rand (besehend aus risikolosem inländischen Asse und riskanen in- /ausländischen Asses gemäß angenialporfolio) µ P r µ P,8 µ = r + SR σ = r + σ =,8 + σ σ σ µ P P =,4866 µ ( R ) + (,4866) ( R + f ) =,4866,3 +,534,86 =,633 P µ σ P =,4866 σ ( R ) +,534 σ ( R ) =,4866,65 +,534,4 =,5,633,8 SR = =,54,5 µ =,8 +,54 σ Schnipunk Effizienzlinie / Shorfallgerade: σ =,44 op, +,65σ =,8 +,54σ µ op =,47 Sei a derjenige eil des Porfolios, welcher in das (riskane) angenialporfolio inesier wird, dann gil: σop = a σp und somi σ op,44 a = = 88,% σ,5 P Insgesam werden,88*,4866 = 4,% in Werpapier,,88*,534 = 45,8% in Werpapier und -,88=,8% in die risikolose inländische Anlage angeleg Aufgabe 6: Deisenmärke ( Minuen)
a) Der Zinssaz für Jahresgeld im Euroraum beräg,75% pa und im US-Dollarraum,5% pa Der Deisenkassakurs noier bei,34 $/ und der Deisenerminkurs (Laufzei Jahr) bei,5 $/ Exisier eine Arbiragemöglichkei? Wenn ja, formulieren Sie eine geeignee Sraegie, um dies auszunuzen (sie können bis zu maximal Euro Kredi im Euroraum bzw bis maximal Dollar Kredi in den USA aufnehmen)! ( Minuen) b) Nehmen Sie an, dass zwischen den Deisenmärken (Dreieck-)Arbiragemöglichkeien nich exisieren Ermieln Sie die fehlenden Were (A bis J) in der nachfolgenden Cross- Raes-abelle! ( Minuen) Währung EUR USD YEN GBP SFR EUR,,336 G H,75 USD A,,,6,56 YEN B,,,64,3 GBP C E 56,5, J SFR D F 7,57 I, Lösungsskizze: a) Krediaufnahme: in einem Jahr sind zu ilgen: K =,75 = 75 Umausch in Dollar des Kredis:,34 $ = 34 $ US-Geldmarkanlage in einem Jahr: 34 $ 5 = 3 6 $ Rückausch: 3 6 $ = 88,8,5 $ Nach ilgung bleiben übrig: 88,8 75 = 85,8 Alernaie: Da nur 3 geilg werden müssen, brauch man nur folgenden eil des Kredis in US-Geldmark anlegen (das is quasi Reerse-Engineering) K F S = 75,5 = 5,43 +r us,5,34 Ensprechend häe man heue einen Arbiragegewinn on -5,43 = 74,57 b) Währung EUR USD YEN GBP SFR EUR 336 3774 845 75 USD 7485 6 56 YEN 76 64 3 GBP 88 586 565 453 SFR 847 8 757 688 Aufgabe 7: "Anspar-/Ennahmepläne mi Immobilien" (3 Minuen) Sie arbeien in der Produkenwicklung bei einem Lebensersicherungsunernehmen und sind in die Konzepion on fondsgebundenen Verrägen für die Alersersorgung inolier Es
geh um Anspar- bzw Auszahlungspläne gegen Einmalbeirag, wobei der om Kunden geleisee Einmalbeirag in Aneile an Offenen Immobilienfonds (OIF) inesier werden soll Die Aneile werden auf einem speziellen Kundendepo geführ und es können beliebige Brucheile eines Aneils zum jeweiligen Markwer erworben/zurückgegeben werden Nach gründlicher Recherche erwaren Sie für die auf koninuierlicher Basis berechneen jährlichen (Log-)Rendien R des OIF-Inesmens (or Kosen) eine milere Rendie on 3% pa, bei einer Volailiä on 3% pa und einer Auokorrelaion Ordnung on a =,7 Der akuelle Preis für einen Fondsaneil beräg EUR Es wird bei Kauf ein Ausgabeaufschlag on 5% auf den Aneilspreis erhoben Neben dem Ausgabeaufschlag werden dem Kunden weierhin laufende Kosen in Rechnung gesell Diese belaufen sich auf % des Markweres seiner Aneile und werden am Jahresende dem Depo direk belase (reduzieren also das Fondsermögen) Unersellen Sie im Folgenden normalereile iid-rendien mi adjusierer Volailiä nach dem Blundell/Ward-Verfahren Vernachlässigen Sie Serblichkeisaspeke a) Ansparplan: Berechnen Sie (nach Kosen) bei einer Inesiion on EUR in Aneile des Offenen Immobilienfonds für das erzielbare Endermögen nach = und = Jahren die folgenden Größen: den Erwarungswer, die Sandardabweichung, den Median sowie das Mindesermögen, welches mi einer Wahrscheinlichkei on α = % nich unerschrien wird Berechnen Sie ferner die Wahrscheinlichkei, dass sich das anfänglich inesiere Kapial nach bzw nach Ablauf on Jahren mindesens mi einer (koninuierlichen) Rendie on % pa erzins ha (5 Minuen) b) Auszahlungsplan: Der Auszahlplan is wie folg konsruier: - Der Kunde zahl einen Einmalbeirag on Euro, der ollsändig in Aneile des Offenen Immobilienfonds inesier wird - Zu Beginn jeden Jahres werden so iele OIF-Fondsaneile zurückgegeben, dass eine Auszahlung (B ) an den Kunden in Höhe on 5% des zu Jahresbeginn jeweils noch orhandenen Fondsermögens (V ) zusande komm (B =,5V ) Die erse Auszahlung erfolg nach einem Jahr = (dh B = ) Wie groß is (nach Kosen) die Wahrscheinlichkei, dass nach Ablauf on = bzw = Jahren die Auszahlung geringer is als 5 Euro? (5 Minuen) Hinweise: Sei X ~ LN(m, ²) eine logarihmisch normalereile Zufallsgröße mi den Parameern m und ², und N α das α-quanil der Sandardnormalereilung (siehe abelle im Anhang), dann gil ax b ~ LN(lna + bm, b²²) sowie für Erwarungswer, Varianz, und α- Quanil E(X) m+,5 = e E(X) ( e = ) m+ Nα m N α = = Var(X) LN (m, ) α e e * a Das Blundell/Ward-Verfahren korrigier die Varianz gemäß: VAR(r ) = VAR(r ) ( a)
Lösungsskizze: a) Korrekur on SD der Einperioden-Logrendie des OIF gemäß dem BW-Verfahren: σ OIF ) = SD( R ) a ( a) = 3%,7 (,7) ( * R = 7,4% Für kumuliere Logrendie bis gil: R ~ N( µ ; σ ) = OIF R ~ N(,3;,74) = Zeiliche Enwicklung des Fondsermögens ( =,, ) V = (,) V exp Ri i=, Sarermögen: V = /(,5) = 538, ( ) ~ N( m, ) ln V mi m = 3; = 74 EW = (,) V exp( m +,5 ) = 64,8 EW = (,) V exp m +,5 = 365683 SD = EW ( ) exp(σ ) = 57336 SD = EW exp(σ ) = 3833 LN(5) = (,) V exp( m ) = 366 LN(5) = (,) V exp( m ) = 3444 LN() = (,) V exp( m SNV (%)) = 866554 LN() = (,) V exp( m SNV (%)) = 8754, m SW = Φ = 4,46%; SW = 57,54%, m SW = Φ = 34,6% SW = 65,4% b) Korrekur on SD der Einperioden-Logrendie des OIF gemäß dem BW-Verfahren: σ OIF ( * a,7 R ) = SD( R ) = 3% ( a) (,7) = 7,4% Zeiliche Enwicklung des Fondsermögens ( =,, ) Sarermögen: V = /(,5) = 538,
V B = (,5) (,) V exp i= =,5 V ( B ) ~ N( m, ) ln m = ln( V m = = ln( V = SW = P( B SW SW,5,5 - σ =,4 σ =,857 ln 5 m = Φ ln 5 m = Φ (,) - (,) ln < 5) = P R i,5) +,3 = 8,38 ( B ) m ln( 5) m ln( 5) =,4%; = 5,7%,5) +,3 = 8,8 < = Φ m Φ is Wer der Sandardnormalereilung
Vereilungsfunkion der Sandardnormalereilung Φ(x) x 3 4 5 6 7 8 5 54 58 5 5 5 53 57 53 535 538 5438 5478 557 5557 556 5636 5675 574 5753 573 583 587 5 548 587 66 664 63 64 3 67 67 655 63 633 6368 646 6443 648 657 4 6554 65 668 6664 67 6736 677 688 6844 687 5 65 65 685 7 754 788 73 757 7 74 6 757 7 734 7357 738 74 7454 7486 757 754 7 758 76 764 7673 774 7734 7764 774 783 785 8 788 7 73 767 75 83 85 878 8 833 85 886 8 838 864 88 835 834 8365 838 843 8438 846 8485 858 853 8554 8577 85 86 8643 8665 8686 878 87 874 877 87 88 883 884 886 8888 87 85 844 86 88 87 5 3 3 4 66 8 5 3 47 77 4 7 36 5 65 7 36 3 5 33 345 357 37 38 34 46 48 4 44 6 45 463 474 484 45 55 55 55 535 545 7 554 564 573 58 5 5 68 6 65 633 8 64 64 656 664 67 678 686 63 6 76 73 7 76 73 738 744 75 756 76 767 77 778 783 788 73 78 83 88 8 87 8 86 83 834 838 84 846 85 854 857 86 864 868 87 875 878 88 884 887 8 3 83 86 88 4 6 3 4 8 5 7 3 3 34 36 5 38 4 4 43 45 46 48 4 5 5 6 53 55 56 57 5 6 6 6 63 64 7 65 66 67 68 6 7 7 7 73 74 8 74 75 76 77 77 78 7 7 8 8 8 8 8 83 84 84 85 85 86 86 3 87 87 87 88 88 8 8 8 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 33 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 34 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 35 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 36 8 8 37 38 3 4