8. Die Schrödinger-Gleichung und ein-dimensionale Potentiale

8.1 8. Die Schrödinger-Gleichung und ein-dimensionale Potentiale 8.1 Mathematische Form der Schrödinger-Gleichung Newton sche Bewegungsgleichungen: partielle Differential-Gleichungen für Ort und Impuls, können nicht hergeleitet werden, es gibt nur Plausibilitätsbetrachtungen Schrödinger-Gleichung: kann ebenfalls nicht hergeleitet werden Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung in einer Dimension: i (x,t) t = 2 2 (x,t) + V (x)(x,t) 2m x 2 Dabei ist V(x) die potentielle Energie Zweite räumliche Ableitung wird in Beziehung gesetzt zur ersten zeitlichen Ableitung der Wellenfunktion i: Wellenfunktionen als Lösungen der Schrödinger-Gleichung müssen nicht reell sein Die Wellenfunktion selbst, (x,t), ist nicht messbar, messbar ist nur die Wahrscheinlichkeitsdichte (x,t) 2 Stehende Wellen in einem Potentialtopf: A sin(kx) cos(t + ) Jede stehende Welle kann aus einem Produkt einer zeitlich und einer räumlich veränderlichen Funktion dargestellt werden Allgemein: (x,t) =(x)e it mit e it = cost + isint Mit diesem Ansatz lässt sich die zeitliche Ableitung der Wellenfunktion wie folgt schreiben: i (x,t) = i t t (x)eit = i(i)(x)e it = (x)e it = E (x)e it Dabei ist E = die Energie des Teilchens Damit ergibt sich die zeitunabhängige Schrödingergleichung: 2 2 (x) + V (x) (x) = E (x) 2m x 2 Die potentielle Energie V(x) hänge nur vom Ort und nicht von der Zeit ab Berechnung stationärer Zustände (=stehender Wellen) in einem zeitunabhängigen Potential: es genügt die Lösung der (x)zu bestimmen Randbedingungen werden auch durch die Form von V(x) bestimmt. Zusätzlich gibt es immer noch die Normierungsbedingung: (x) 2 dx =1 Falls die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung bekannt sind, so ergibt sich für die Zeitabhängigkeit: n (x,t) = n (x) e i E n t

8.2 8.2 Teilchen im Kasten mit unendlich hohen Wänden 0 für 0 < x < d Betrachte folgendes Potential: V (x) = für x < 0 oder x > d Innerhalb des Kastens: potentielle Energie verschwindet, d.h. V=0 Damit ergibt sich für die Schrödinger-Gleichung 2 2 (x) = E (x) mit den Randbedingungen (x) = 0 für x=0 und x=d 2m x 2 mit der Abkürzung k 2 = 2mE 2 lässt sich die Schrödinger-Gleichung folgendermassen schreiben: d 2 (x) + k 2 (x) = 0 dx 2 Allgemeine Lösung: (x) = Asinkx + Bcoskx, wobei A und B Konstanten sind, die durch die Randbedingungen (x = 0) = 0 =(x = d) festgelet sind: (0) = Asin0 + Bcos0 = 0 + B = 0, d.h. (x) = Asinkx mit (x = d) = 0 = Asinkd folgt kd = n bzw. k n = n d Normierung: A n = 2 d Allgemeine Lösung für die Wellenfunktion: n = Energie: E n = 2 2 k n 2m = 2 n 2m d 2 h 2 = n 2 = n 2 E 8md 2 1 2 nx sin d d Mit E 1 = h 2 8md 2 Diese Lösungen entsprechen genau denjenigen, die wir über die Überlegungen für eine eingespannte Saite gefunden haben. 8.3 Teilchen im Kasten mit endlich hohem Potential Betrachten wir ein Teilchen, das in einem Gebiet eingeschlossen ist, dessen Wände nicht unendlich hoch sind. Das Potential ist dann wie folgt: 0 für 0 < x < d V (x) = V für x < 0 oder x > d Dieses Potential ist bei x=0 und bei x=d unstetig, aber überall endlich. Betrachten wir hier den Fall des eingesperrten Teilchens, d.h. E<V

8.3 Innerhalb des Kastens, 0<x<d, ist die Schrödingergleichung dieselbe wie im Falle des Kastens mit unendlich hohen Wänden: 2 2 (x) = E (x) bzw. d 2 (x) + k 2 (x) = 0, k 2 = 2mE > 0 2m x 2 dx 2 2 Allgemeine Lösung: (x) = Asinkx + Bcoskx Aber hier: andere Randbedingungen Ausserhalb des Kastens: 2 2 (x) + V (x) = E (x) 2m x 2 Oder d 2 (x) k 2 (x) = 0 mit k 2 = 2m ( V E)> 0 dx 2 2 Im folgenden müssen beide Gleichungen gelöst werden mit einer Wellenfunktion, die am Übergang x=0 und x=d stetig ist, ebenso ihre Ableitung Im Topf: oszillierende Lösungen, e ±ikx Ausserhalb des Topfes: exponentiell abklingende Lösungen, e ±k x Die exponentiell anwachsenden Lösungen sind unphysikalisch, weil die entsprechenden Wellenfunktionen nicht normierbar sind. Im folgenden diskutieren wir allgemein die Eigenschaften von Wellenfunktionen. 8.4 Wellenfunktionen in eindimensionalen Potentialen Orthogonalität Zwei Wellenfunktionen, die zu verschiedenen Energieeigenwerten gehören, müssen zueinander orthogonal sein: * 1 2 = 0 Beweis: 2m * 1 2 dx + * 1 V (x) 2 dx = E 2 * 1 2 dx 2 2m 2 * 1 dx + 2 V (x) * 1 dx = E 1 2 * 1 dx 2 Die ersten beiden Terme auf der linken Seite sind jeweils gleich: 0 = ( E 2 E 1 ) 2 * 1 dx Falls die Energieeigenwerte verschieden sind, so verschwindet das Integral. Was passiert, falls die beiden Energieeigenwerte entartet sind? 0 = E 2 E 1 Dann lassen sich durch lineare Überlagerung der Original-Funktionen zwei zueinander orthogonale Funktionen konstruieren:

8.4 + = 1 + 2 = 1 2 * + d 3 r = 0 8.5 Eindimensionale Barrieren Potential und Wellenfunktion hängen nur von einer Raumrichtung ab. Schrödingergleichung: i (x,t) t = 2 2 (x,t) + V (x)(x,t) 2m x 2 Stationäre Zustände, da das Potential V(x) nicht von der Zeit abhängt: 2 2 (x,t) + V (x)(x,t) = E(x,t) 2m x 2 Differentialgleichung zweiter Ordnung: - 2 linear unabhängige Lösungen - 2 (x,t) x 2 muss begrenzt sein, falls V(x), E und (x,t) begrenzt sind - (x,t) und (x,t) x sind stetig Falls V(x)=V eine Konstante ist, unabhängig von x, dann lautet die allgemeine Lösung: (x,t) = Ae ip / + Be ip /, mit p = 2m(E V ) Die Lösung ist eine Linearkombination von Wellen mit Impuls p und p Was passiert bei einer Potentialbarriere? 0, x 0 V (x) = V > 0, x 0 Unterscheide zwei verschiedene Fälle: 1.E>V: p = 2m(E V ) ist eine reele Zahl, d.h. klassisch kann sich das Teilchen sowohl bei x>0 wie bei x<0 aufhalten 2. E<V: p = 2m(E V ) ist imaginär, d.h. exponentiell gedämpfte oder wachsende Welle für x>0 klassisch hat das Teilchen nicht genügend Energie, um sich im Gebiet x>0 aufzuhalten.

8.5 Fall 1: Eine ebene Welle mit Impuls p = (x) = Aeipx / + Be ipx / für x < 0 Ce ip x / für x > 0 2mE laufe von links nach rechts A: Amplitude der einfallenden Welle B: Amplitude der reflektierten Welle C: Amplitude der transmittierten Welle p = 2m(E V ) p = 2mE Stetigkeit der Wellenfunktion (x) an der Stelle x=0: A+B=C Stetigkeit der Ableitung: Ap Bp = Cp B = p p p + p A C = 2p p + p A Teilweise Reflektion der Welle ist analog zu der Reflektion einer optischen Welle an einem Spiegel Für ein Teilchen ist die Möglichkeit einer Reflektion ein rein quantenmechanischer Effekt, falls die Energie klassisch ausreichen würde, um die Barriere zu überqueren. Wie sieht die Reflektion und Transmission für Wellenpakete aus? Betrachte Wellenpaket: (x,t) = (x,t) = 0 dp 2 f ( p) e ipx + p p p + p eipx e iet / für x<0 dp 2 p f ( p) 2 p + p eip x e iet / für x>0 0 Das so definierte Wellenpaket (x,t) löst die zeitabhängige Schrödingergleichung für die Potentialstufe Integration erfolgt von 0 bis unendlich, damit die einlaufende Welle nur Komponenten enthält, die nach rechts laufen x<0: einlaufend (x,t) = dp f (p)e i( pxet )/, reflektiert (x,t) = 2 0 0 dp 2 f ( p) p p p + p ei( pxet ) / X>0: transmittiert (x,t) = 0 dp 2p f (p) 2 p + p ei( p xet ) /

8.6 Wie bewegen sich diese Wellenpakete? Nehmen wir an, dass f(p) ein Maximum hat um einen Wert p 0, f ( p = p 0 ) sei eine reele Zahl t<0: reflektiertes und transmittiertes Wellenpaket sind vernachlässigbar d.h. die einfallende Welle wird zentriert sein um x = p 0 t solange x<0. m Für t>0 sei das einfallende Wellenpaket vernachlässigbar klein d.h. die reflektierte Welle ist zentriert um x = p 0 t solange x<0. m Die transmittierte Welle ist zentriert um x = p 0 t solange x>0 m Vorstellung: die einlaufende Welle trifft die Stufe bei t=0 und verwandelt sich dann in ein reflektiertes und transmittiertes Wellenpaket Wichtig: Das Teilchen zerfällt nicht in zwei Teilchen, nur seine Wahrscheinlichkeitsamplitude teilt sich in zwei beim Auftreffen auf die Potentialstufe. Das Problem der scharfen Kante hat keinen klassischen Grenzwert. Im klassischen Regime braucht es eine sanft ansteigende Potentialbarriere mit l p >>, wobei l die Distanz ist, über die die Stufe ansteigt. Fall 2: E<V Lösung wie im vorherigen Fall (x) = Aeipx / + Be ipx / für x < 0 Ce ip x / für x > 0 mit p = 2m(E V ), p = 2mE, B = p p p + p A, C = 2p p + p A p = 2m(E V ) ist komplex, d.h. mit k reel, p = ik Die Lösung p = ik unphysikalisch führt zu einer exponentiell wachsenden Welle für x>0 und ist damit

8.7 Amplitude der reflektierten Welle: B 2 = p p 2 p + p ( )( p + ik) ( )( p ik) A 2 = A 2 A 2 = p ik p + ik die ganze einfallende Welle wird reflektiert, es gibt keine Transmission Ansatz: B A = e2i (E ) = N(E), sei eine reele Funktion B A = e2i (E ) = p ik p + ik -> k = pcot 2i (E ) Die reflektierte Welle ist in ihrer Phase bei x=0 gegenüber der einfallenden Welle um e p 0 e 2i (E ) 1 Für den Fall E>V gibt es keine Phasenverschiebung zwischen einfallender und reflektierter Welle, dafür sind die Amplituden verschieden Lösung für x>0: (x) = Ce ip x / = Ce kx / Dies deutet an, dass es eine endliche Wahrscheinlichkeit gibt, das Teilchen im klassisch verbotenen Bereich zu finden. Was passiert mit der Energieerhaltung? Potentielle Energie > totale Energie? Falls das Teilchen im verbotenen Gebiet experimentell beobachtet wird, dann wird es nicht länger in einem Zustand mit der Energie E>V sein. Der Vorgang der Ortsmessung führt zu einer Unschärfe der Energie. Teilchen dringt in die Barriere ein auf einer typischen Länge 1 k Die Ortsunschärfe ist also x 1 k Impulsunschärfe: p x k Unschärfe in der kinetischen Energie: ( p) 2 2m > 2 k 2 2m = V E Totale Energie = E + kinetische Energie durch experimentelle Lokalisierung des Teilchens Energieunschärfe ist gross genug, dass die totale Energie des Teilchens nicht kleiner ist als V! Falls wir mit Sicherheit sagen können, dass sich das Teilchen im Bereich x>0 aufhält, dann können wir nicht sagen, dass seine Energie kleiner ist als V Falls wir mit Sicherheit sagen können, dass die Teilchenenergie kleiner ist als V, dann gibt es eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Teilchen im Bereich x<0.

8.8 8.6 Tunnelbarrieren Die Tatsache, dass Teilchen in klassisch verbotene Bereiche eindringen können. Führt zu dem wichtigen Phänomen des Tunnelns. Potentialbarriere der Höhe V>0 zwischen x=0 und x=a Betrachte Teilchen, das von links x<0 mit Energie E<V einfällt Ae ipx / + Be ipx / für x < 0 Wellenfunktion: (x) = Ce kx / +De kx / für 0 < x < a ip(xx )/ AS(E)e für x > a p = 2mE, k = 2m(V E) Mit e kx / Da die Stufe nur die Länge a hat, wächst die Lösung nicht ins Unendliche und ist damit physikalisch möglich Die Randbedingungen bei x=0 und x=a erfodern, dass A S(E) ungleich Null ist. Konsequenz: Obwohl ein klassisches Teilchen die Barriere nicht durchdringen kann, E<V, kann ein quantenmechanisches Teilchen, das von links auf die Barriere einfällt, mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit rechts von der Barriere gefunden werden. Dieses Phänomen nennt man Tunneln. S(E) heisst das Tunnel-Matrix-Element oder die Transmissionsamplitude Entspricht Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass ein von links einfallendes Teilchen mit der Energie E die Potentialstufe hindurch tunnelt Stetigkeit der Wellenfunktion: A + B = C + D x=0: Ce ka + De ka = AS(E) x=a: Stetigkeit der Ableitung: x=0: A ip B ip = Ck + Dk

8.9 x=a: Cke ka + Dke ka = AS(E) ip 4 Gleichungen, 4 Unbekannte Ergebnis: sinh 2 (ka) T(E) = S(E) 2 = 1+ 4 E V ( 1 E V ) 1 Für E<V nimmt T(E) monoton mit E zu Die Möglichkeit des Tunnels ist von vorne herein in die Schrödingergleichung eingebaut. Tunneln ist das Hineinlecken der Amplitude der Wellenfunktion in eine Potentialbarriere. Wie sieht es jetzt mit der Energieerhaltung aus: Annahme: ein Teilchen mit Energie E<V falle zu einem frühen Zeitpunkt von links auf die Barriere ein, wir beobachten es zu einem späteren Zeitpunkt rechts von der Barriere Welche Zeit hat das Teilchen in der Barriere verbracht? In der Barriere ist seine totale Energie E<V Kann man die Energie des Teilchens messen, so lange es durch die Barriere tunnelt? Et > Benutze Unschärferelation: E :Energie-Unschärfe t : Zeit-Unschärfe, während der das Teilchen tunnelt t Falls lang -> Energie kann sehr genau gemessen werden Die Zeit zwischen dem Einlaufen des Wellenpakets von links und Auslaufen des /(V E) E > V E Wellenpakets nach rechts ist immer kleiner als -> Ergebnis: wir können nie sagen, dass das Teilchen die Energie E<V hat und gleichzeitig in der Barriere war Extreme Situation: V>>E, Barriere sehr lang Die Barriere zerstört die Form des Wellenpakets und es ist schwierig eine Zeit zu definieren, in der das Teilchen durch die Barriere tunnelt

8.10 t : allgemeine Interpretation: Zeit, um die Energie zu messen Beispiel freies Teilchen: nur kinetische Energie, kann sehr genau bestimmt werden über Impulsmessung Impulsmessung kann beliebig schnell erfolgen, aber: dabei geht Ortsinformation verloren es ist keine Aussage möglich, wann das Teilchen welchen Vorgang durchführen wird Der Verlust der Möglichkeit, genaue Vorhersagen über Zeitabläufe zu machen, ist begleitet von genauene Energiemessungen Tunnelbarrieren in Festkörpern: 2 Metalle voneinander getrennt durch dünne isolierende Schicht, ca. 10 nm dick Beim Anlegen einer Spannung fliesst ein kleiner Strom, ein sogenannter Tunnelstrom. Der Isolator dient als Tunnelbarriere zwischen den beiden Metallen. 8.7 Experimentell realisierte 1D Potentiale In den letzten 20 Jahren ist es gelungen Schichten von verschiedenen Halbleiter-Materialien mit atomarer Präzision aufeinander aufzuwachsen. Die experimentelle Methode heisst Molekular-Strahl-Epitaxie.