Lösen von qudrtischen lineren Gleichungssystemen mit EXCEL Am Beispiel eines qudrtischen Gleichungssystems mit 2 Gleichungen und 2 Vriblen soll Ihnen demonstriert werden, wie Sie unter Nutzung der in EXCEL integrierten Mtrixfunktionen ls uch des Solvers die Lösungen solcher Gleichungssysteme ermitteln können. Inhltsverzeichnis Vorbetrchtungen... 2 2 Erstellen des Gleichungssystems... 2 3 Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe der Substitutionsmethode... 3 Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe des Solvers.... Erstellen eines Tbellenblttes... 5.2 Lösen des Gleichungssystems mit dem Solver... 5 5 Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe der Crmerschen Regel... 8 5. Theoretische Grundlgen... 8 5.2 Mthemtische Lösung... 9 5.3 Lösen des Gleichungssystems mit der integrierten Funktion MET... 0 6 Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe inverser Mtrix und Multipliktion von Mtrizen... 6. Theoretische Grundlgen... 6.2 Mthemtische Lösung der Beispielufgbe... 2 6.2 Lösen des Gleichungssystems mit den integrierten Funktionen MINV und MMULT... 3 6.3 Lösen des Gleichungssystems mit den integrierten Funktionen MINV, MMULT und MTRANS... 5 7 Prktische Anwendungsbeispiele... 6 7. Bestimmen der Bestndteile einer Messingpltte... 6 7.2 Entscheidung zum Kuf von Produkten... 8 7.3 Mischen von Teesorten us Restbeständen... 20 Fieting, Olf von 2 23..203, 6:6
Vorbetrchtungen In der täglichen Berufsprxis kommt es häufig vor, dss Probleme uftuchen, die nur mit Hilfe von qudrtischen Gleichungssystemen gelöst werden können. Eine typische Aufgbe us dem kufmännischen Bereich ist die Berechnung von Mischungspreisen. Es soll ngenommen werden, dss us einer Kffeesorte X zu 8,00 EUR je kg und einer nderen Sorte Y zu 2,00 EUR je kg eine Gesmtmischung von 25 kg zu einem Preis von 0,50 EUR ds kg hergestellt werden soll. Eine Möglichkeit zur Lösung dieser Aufgbe besteht in der Anwendung des Mischungskreuzes. der Schwerpunkt dieses Beitrges ber in der Lösung von qudrtischen Gleichungssystemen liegt, soll uf die oben erwähnte Lösungsmöglichkeit nicht eingegngen werden. Ein qudrtisches Gleichungssystem liegt vor, wenn die Anzhl der Gleichungen gleich der Anzhl der Vriblen ist. Zur Lösung eines solchen Gleichungssystems können verschieden Methoden ngewndt werden. Zu diesen gehört der Gußsche Algorithmus. ds Gleichsetzungsverfhren, ds Substitutionsverfhren, ds Additionsverfhren, die Anwendung der Crmerschen Regel ls uch die Nutzung von inversen Mtrizen und deren Multipliktion. In diesem Beitrg soll nicht uf lle Vrinten eingegngen werden, sondern nur uf die Lösung mit dem Solver, mit der Crmerschen Regel und uf die Anwendung von inversen Mtrizen und deren Multipliktion. 2 Erstellen des Gleichungssystems Bevor die o.g. Aufgbe gelöst werden knn, muss ein Gleichungssystem erstellt werden. Für ds ngeführte Beispiel knn folgendes vorusgesetzt werden: ie Gesmtmenge der Kffeesorten knn mit der Gleichung x y 25 definiert werden. er Gesmtpreis der Mischung zu 0,50 EUR stellt sich dnn wie folgt dr: 8 x 2 y 0,5025 8 x 2 y 32,50 mit ergibt sich für ds Gleichungssystem folgende Ansicht: x y 25 8 x 2 y 32,50 Fieting, Olf 2 von 2 23..203, 6:6
3 Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe der Substitutionsmethode ie mthemtische Lösung soll hier mit Hilfe des Einsetzungsverfhrens demonstriert werden. x y 25 8 x 2 y 32,50 Bei Anwendung dieses Verfhrens wird die erste Gleichung nch der Vriblen x umgestellt. x 25 y Anschließend wird der erhltene Ausdruck in die zweite Gleichung eingesetzt und nch der Vriblen y ufgelöst. 8(25 y) 2 y 32,50 000 8 y 2 y 32,50 y 32,50 32,50 y y 78,25 urch Einsetzen des erhltenen Wertes für y in die nch x umgestellte erste Gleichung knn der Wert für x ermittelt werden. x 25 78,25 x 6,875 Es werden lso 6,875 kg der Sorte x und 78,25 kg der Sorte y benötigt, dmit die gewünschte Menge zu einem Mischungspreis von 0,50 EUR hergestellt werden knn. Fieting, Olf 3 von 2 23..203, 6:6
Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe des Solvers er Solver ist in EXCEL ein Werkzeug zur Lösung von Optimierungsufgben. Es können mit ihm ber uch Gleichungssysteme mit mehreren Unbeknnten gelöst werden. er Solver ist jedoch bei der Stndrdinstlltion nicht sofort verfügbr. Er muss in llen EXCEL-Versionen erst ktiviert werden. Aktivierung bis EXCEL 2003 () Extrs Add-Ins (2) Im ilogfeld Add-Ins die Option Solver uswählen (siehe unten) (3) Bestätigen mit OK Im Anschluss steht der Solver unter Extrs zur Verfügung. Aktivierung in EXCEL 2007 () Schltfläche Office (2) Schltfläche EXCEL-Optionen (3) Ktegorie Add-Ins () Verwlten: Excel-Add-Ins Gehe zu (5) Im ilogfeld Add-Ins die Option Solver uswählen (siehe unten) (6) Bestätigen mit OK Im Anschluss steht der Solver unter ten - Anlyse zur Verfügung. Aktivierung in EXCEL 200 () Menü tei (2) Optionen (3) Ktegorie Add-Ins () Verwlten: Excel-Add-Ins Gehe zu (5) Im ilogfeld Add-Ins die Option Solver uswählen (siehe unten) (6) Bestätigen mit OK Im Anschluss steht der Solver unter ten - Anlyse zur Verfügung. Fieting, Olf von 2 23..203, 6:6
. Erstellen eines Tbellenblttes Zum Lösen dieser Aufgbe mit Hilfe des Solvers muss ein Tbellenbltt erstellt werden, ds folgendes Aussehen besitzen knn: In die Zellen A8, A0, E8 und E0 werden die jeweiligen Koeffizienten für die Vriblen x und y eingetrgen. In die Zellen C8, C0, G8 und G0 wird jeweils eine 0 oder ein nderer beliebiger Wert eingetrgen. ie Zellen I8 und I0 enthlten folgende Formeleinträge: =A8*C8+E8*G8 bzw. =A0*C0+E0*G0.2 Lösen des Gleichungssystems mit dem Solver Bei der Lösung des Gleichungssystems, bezogen uf ds o.g. Beispiel ist in folgender Reihenfolge vorzugehen: () Aufruf des Solvers unter Extrs Solver (bis 2003) bzw. ten Anlyse Solver (b Version 2007); (2) Eintrgen der Zielzelle (I8) (3) Einstellen des Zielwertes (Wert und 25) () Eintrgen der veränderbren Zellen (C8 und G8) (5) Festlegen der Nebenbedingungen (I0=32,5), die über die Schltfläche Hinzufügen eingetrgen werden können. ilogfeld bis Version 2007 Fieting, Olf 5 von 2 23..203, 6:6
ilogfeld b Version 200 (6) Nch dem Festlegen ller Prmeter (siehe unten stehende Abbildung) wird mit Anklicken der Schltfläche Lösen die Berechnung usgelöst. ilogfeld bis Version 2007 ilogfeld b Version 200 Fieting, Olf 6 von 2 23..203, 6:6
Sollte durch den Server eine Lösung gefunden werden, meldet er sich mit folgendem ilogfeld. Wenn die Lösung ngenommen werden soll, muss die Option Lösung verwenden mit OK bestätigt werden. ilogfeld bis Version 2007 ilogfeld b Version 200 ie Lösungen werden dnn in die veränderbren Zellen eingetrgen. Auch hier werden für x und y die gleichen Ergebnisse ermittelt, die uch mit Hilfe der Substitutionsmethode bestimmt wurden. Fieting, Olf 7 von 2 23..203, 6:6
5 Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe der Crmerschen Regel Gbriel Crmer entwickelte für ds Lösen qudrtischer linerer Gleichungssysteme die nch ihm bennnte Regel. Vorussetzung dfür ist jedoch, dss ds Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt. 5. Theoretische Grundlgen Anhnd folgenden Gleichungssystems mit zwei Vriblen soll demonstriert werden, wie Crmer zu seinen Erkenntnissen km. x 2y b 2x y b2 Zuerst wird die erste Gleichung nch der Vriblen y ufgelöst. 2y b x b y 2 x er erhltene Ausdruck für y wird nschließend in die zweite Gleichung für y eingesetzt. nch wird diese nch der Vriblen x ufgelöst. b x 2 b2 2 2 2x b x) ( b 2 x b x 2b2 x x 2b2 b ( x b b 2 2 ) 2 2 2 x 2b 2 2 2 b urch Multipliktion mit wird dnn der endgültige Ausdruck erhlten. x b 2 2 b 2 2 Auf ähnliche Weise knn dnn der folgende Ausdruck für die Vrible y ermittelt werden. b y 2 2 2 b 2 Fieting, Olf 8 von 2 23..203, 6:6
Wenn nun die einzelnen Bestndteile der Lösungen betrchtet werden, kommt mn zur Schlussfolgerung, dss der Nenner beider Ergebnisse und die jeweiligen Zähler mit Hilfe von eterminnten, die us den entsprechenden Koeffizienten des Gleichungssystems bestehen, bestimmt werden können. bei wird die eterminnte für den Nenner us den Koeffizienten der Vriblen (Konstntenmtrix) gebildet. 2 2 2 2 Für die jeweiligen Zähler werden die Koeffizienten der Vriblen durch die entsprechenden Absolutglieder (Konstntenmtrix) ersetzt. x b b 2 2 b 2 b 2 und y 2 b b 2 b 2 b 2 mit ergibt sich für die Lösung des Gleichungssystems: x x und für y y ieses Herngehen knn uch für ndere Gleichungssysteme höheren Grdes genutzt werden. er Rechenufwnd wird jedoch bedeutend höher usfllen. 5.2 Mthemtische Lösung Bestimmen der eterminnten Für die eterminnte des Zählers gilt: 8 2 2 8 Für die beiden nderen eterminnten gilt dnn: x 25, 0 32, 5 2 252 32, 5 87, 5 y 8 25, 0 32, 5 32, 5 825 32, 5 Ermitteln des x-wertes 87,5 x 6,875 Fieting, Olf 9 von 2 23..203, 6:6
Ermitteln des y-wertes 32,5 y 78,25 Es zeigt sich, dss uch mit dieser Methode die gleichen Lösungen ermittelt wurden, die uch mit Hilfe der Substitutionsmethode bestimmt wurden. 5.3 Lösen des Gleichungssystems mit der integrierten Funktion MET er oben ufgezeigte Weg knn in EXCEL unter Einstz der Funktion "MET" relisiert werden. ie Funktion MET liefert die eterminnte einer Mtrix. ie Syntx ist wie folgt festgelegt: = MET(Mtrix) bei ist Mtrix eine us Werten bestehende qudrtische Mtrix, die lso die gleiche Anzhl von Zeilen ls uch Splten besitzt. Für die Lösung des einführenden Beispiels könnte folgendes Tbellenbltt genutzt werden In die Zellen A8, A0, E8, E0, I8 und I0 werden die Koeffizienten des Gleichungssystems eingetrgen. die Funktion MET nicht getrennt liegende Bereiche nsprechen knn und die mögliche Vrinte der Koeffizientenmtrix keine Zellngben verrbeiten knn, müssen ußerhlb des Gleichungssystems Hilfsmtrizen (M7:N8, M0:N, M3:N) ufgebut werden. ie dort eingetrgenen Werte werden us den entsprechenden Feldern des Gleichungssystems übernommen. In den Zellen P8, P0 und P3 werden dnn die eterminnten für, x und y mit folgenden Funktionen ermittelt: Zelle P8: Zelle P0: Zelle P3: =MET(M7:N8) =MET(M0:N) =MET(M3:N) Fieting, Olf 0 von 2 23..203, 6:6
In den Zellen C8 und G8 werden dnn die Werte für x und y bestimmt: Zelle C8: Zelle G8: =P0/P8 =P3/P8 Anschließend werden diese Werte in die Zellen C0 bzw. G0 übernommen. Aus diesem Lösungsnstz ist zu ersehen, dss schon bei einem Gleichungssystem mit zwei Vriblen ein hoher Aufwnd betrieben werden muss. Bei Gleichungssystemen höheren Grdes steigt der Aufwnd enorm. eshlb knn der Lösungsnstz über die Nutzung der Funktion MET ls unzweckmäßig betrchtet werden. 6 Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe inverser Mtrix und Multipliktion von Mtrizen Wie im vorhergehenden Punkt beschrieben, lässt sich die Lösung mittels der Funktion MET nicht komfortbel lösen. Ihnen EXCEL ber die Funktionen MINV und MMULT nbietet, soll Ihnen im Folgenden ds Herleiten der Lösungen für x und y mittels der inversen Mtrix und der Multipliktion der inversen Mtrix mit der Konstntenmtrix demonstriert werden. 6. Theoretische Grundlgen Bestimmen der eterminnte der Koeffizientenmtrix 2 2 2 2 Sollte die eterminnte den Wert 0 ergeben, knn keine inverse Mtrix gebildet werden. Bilden der inversen Mtrix A 2 2 A 2 2 A 2 2 Fieting, Olf von 2 23..203, 6:6
Multipliktion der inversen Mtrix mit der Konstntenmtrix 2 2 b b2 ie Lösung für beide Vriblen lutet dnn: b b2 2 x b b2 2 y 6.2 Mthemtische Lösung der Beispielufgbe Bestimmen der eterminnte der Koeffizientenmtrix 8 2 2 8 Bestimmen der inversen Mtrix A 8 2 A 2 8 A 2 8 2 8 3 2 Multipliktion der inversen Mtrix mit der Konstntenmtrix 3 25 32, 5 2 Fieting, Olf 2 von 2 23..203, 6:6
Ermitteln de x-wertes x 325 32,50 6,875 Ermitteln des y-wertes y 2 25 32,50 78,25 Auch hier ist zu sehen, dss dieser Lösungsweg die gleichen Ergebnisse wie die vorngegngenen Wege liefert. 6.2 Lösen des Gleichungssystems mit den integrierten Funktionen MINV und MMULT er oben ufgezeigte Lösungsweg knn mit Hilfe der integrierten EXCEL-Funktionen MINV und MMULT umgesetzt werden. ie Funktion MINV liefert die Inverse einer Mtrix (die zur Mtrix gehörende Kehrmtrix). ie Syntx der Funktion ist wie folgt festgelegt: =MINV(Mtrix) bei ist Mtrix eine qudrtische Mtrix (die Anzhl der Zeilen und Splten sind gleich). bei ist zu bechten, dss Formeln, die Mtrizen zurückgeben, ls Mtrixformeln eingegeben werden müssen. Erstellen einer Mtrixformel () Eingeben der Formel in die Zelle, wie es uch für normle Formeln und Funktionen notwendig ist. Achtung! iese Formel drf nicht mit der Eingbetste bestätigt werden. (b) Abschluss der Eingbe und Umwndeln der Formel in eine Mtrixformel mit Hilfe der Tstenkombintion STRG + UMSCHALTTASTE + ENTER. Sollte eine Mtrixformel einen Zellbereich umfssen, wie im unten drgestellten Beispiel, so ist dieser Zellbereich zu mrkieren. In die Ausgngszelle der Mrkierung ist die entsprechende Formel einzutrgen und nschließend in eine Mtrixformel umzuwndeln. ie Berechnung wird dnn für den gesmten mrkierten Bereich usgeführt. Wenn vorusgesetzt wird, dss eine Mtrix folgendes Aussehen besitzt A c b d Fieting, Olf 3 von 2 23..203, 6:6
bestimmt die Funktion MINV die inverse Mtrix nch folgendem Schem: A d /( d b c) c /( b c d) b /( b c d) /( d b c) Aug o. g. Beispiel ngewndt A 8 2 Ergibt sich für die inverse Mtrix A 2 /( 2 8) 8/( 82) /( 82) /( 2 8) A 2 8 3 2 Wie us dem Ergebnis zu ersehen ist, entspricht es dem Ergebnis us dem Kpitel 6.2. s Ergebnis der Behndlung der Mtrix mit der Funktion MINV muss nschließend mit Hilfe der Funktion MMULT mit der Konstntenmtrix multipliziert werden. ie Funktion MMULT liefert ds Produkt zweier Mtrizen. s Ergebnis ist wieder eine Mtrix. iese ht die gleiche Anzhl Zeilen wie die Mtrix und die gleiche Anzhl Splten wie die Mtrix 2. ie Syntx ist wie folgt festgelegt: = MMULT(Mtrix;Mtrix2) Für die Lösung des ngeführten Beispiels könnte folgendes Tbellenbltt genutzt werden. Fieting, Olf von 2 23..203, 6:6
ie Angben in der Koeffizientenmtrix und in der Konstntenmtrix werden us der linksstehenden Aufgbe übernommen. ie Ergebnisse der Berechnungen mit den Funktionen MMULT und MINV (siehe Abbildung) werden dnn n die Zellen C8, C, G8 und G zur Vervollständigung der Tbelle übergeben. 6.3 Lösen des Gleichungssystems mit den integrierten Funktionen MINV, MMULT und MTRANS Eine weitere Möglichkeit der Lösung des Problems besteht drin, dss uf schmückendes Beiwerk verzichtet wird. s bedeutet, dss nur die Koeffizienten- und Konstntenmtrix erstellt wird. Wenn nur die im vorhergehenden Kpitel genutzte Formel mit MINV und MMULT ngewndt wird, erhält mn untereinnderliegende Ergebnisse (G6:G7). Zur komplexeren Lösung und dmit uch zur einfcheren Lesbrkeit knn mit Hilfe der Funktion MTRANS die senkrechte Lösung in eine horizontle rstellung umgewndelt werden. ie Funktion MTRANS trnsponiert eine wgerechte rstellung in eine senkrechte oder umgekehrt um. eshlb knn uf eine Ausgbe in den Zellen G6:G7 verzichtet werden. s heißt, die Ergebnisse können direkt unter der Koeffizientenmtrix usgegeben werden. Fieting, Olf 5 von 2 23..203, 6:6
7 Prktische Anwendungsbeispiele 7. Bestimmen der Bestndteile einer Messingpltte Eine Pltte us Messingblech ht die Msse von 9,05 kg und die Abmessungen 500 x 500 x, (in mm). Wie viel Kupfer und Zink sind in der Legierung enthlten, wenn Kupfer eine ichte von 8,90 kg/dm³ und Zink eine ichte von 7, kg/dm³ besitzt? Zur Lösung dieses Beispiels ist wie folgt vorzugehen: Ermitteln des Gesmtgewichtes x y 9,05 Ermitteln der einzelnen Volumen V V cu Zn m cu cu m Zn Zn x 8, 9 dm Ermitteln des Gesmtvolumens 3 x dm 7, V ges 55 0, 0, dm 3 3 Aufstellen des Gleichungssystems x x 8, 9 y 9,05 y, 7, Lösung mit dem Solver (Abbildung bis EXCEL 2007) Fieting, Olf 6 von 2 23..203, 6:6
Lösung mit MET Lösung mit MMULT und MINV Lösung mit MMULT, MINV und MTRANS Fieting, Olf 7 von 2 23..203, 6:6
7.2 Entscheidung zum Kuf von Produkten Eine Hndelsfirm kuft Produkte zum Listenpreis ein. ie Produkte kosten 9,00 EUR,,00 EUR bzw. 7,00 EUR. Insgesmt sollen 500 Produkte eingekuft werden, wobei der Gesmtpreis 8.00,00 EUR betrgen soll. ie Produkte sollen mit 5 %, 20 % bzw. 25 % Aufschlg verkuft werden, wobei ein Gesmtumstz von 2.830,00 EUR erreicht werden soll. Wie viele Produkte der entsprechenden Sorte müssen eingekuft werden? Hier hndelt es sich um ein qudrtisches Gleichungssystem mit drei Vriblen. An diesem Beispiel soll, uch wenn in der Einleitung nur von qudrtischen Gleichungssystemen gesprochen wird, gezeigt werden, wie mittels der ufgezeigten Methoden uch höhere Gleichungssysteme gelöst werden können. x y z 9x y 7z 0,35x 3,2 y 2,25z 500 800 2830 Lösung mit dem Solver (Abbildung in EXCEL 200) Fieting, Olf 8 von 2 23..203, 6:6
Lösung mit MET Lösung mit MMULT und MINV Lösung mit MMULT, MINV und MTRANS Fieting, Olf 9 von 2 23..203, 6:6
7.3 Mischen von Teesorten us Restbeständen Ein Restposten von 8 kg Tee, je kg zu 6,50 EUR, soll mit einer zweiten Sorte, je kg zu 20,00 EUR, zu einer Mischung verrbeitet werden, die pro kg 9,00 EUR kostet und ls Friesentee ngeboten werden soll. Wie viel kg der zweiten Sorte sind hinzuzugeben und wie groß ist die Gesmtmenge? 8 86,50 20y 9z y z z y 9z 20y 8 32 Lösung mit dem Solver (Abbildung in EXCEL 200) Fieting, Olf 20 von 2 23..203, 6:6
Lösung mit MET Lösung mit MMULT und MINV Lösung mit MMULT, MINV und MTRANS Fieting, Olf 2 von 2 23..203, 6:6