Größe einer Wiese. Themenbereich Einstieg in die Integralrechnung

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1 Inhlte Riemnn sche Summen Definition des bestimmten Integrls Bemerkungen: Größe einer Wiese Themenbereich Einstieg in die Integrlrechnung Ziele Approximtion einer Fläche mit Hilfe von Rechtecken Selbsttätiges Errbeiten der Begriffe Oberund Untersummen Erkennen der Problemtik der Flächenberechnung unter Kurven Dmit die SchülerInnen in Gruppen (2 4 SchülerInnen) möglichst selbsttätig nch den Arbeitsnweisungen (Aufgbenstellungen) rbeiten können, muss der elementre Umgng mit dem DATA-MATRIX-EDTIDOR (Eingbe von Einzeldten und uch von Formeln, Histogrmme) den SchülerInnen geläufig sein. Auf die Anwendung der qudrtischen Regression knn im Plenum eingegngen werden. Der Einstz des TI-92 verlngt ein sehr exktes Durchdenken der gestellten Aufgben und genuen Umgng mit Vriblen.

2 Heiner Juen Einführung Integrlrechnung Seite EINFÜHRUNG DES BEGRIFFES DES BESTIMMTEN INTEGRALS AN EINEM BEISPIEL 1. Experimentelle Phse: 1.1 Arbeitsnweisung: Eine Wiese wird begrenzt durch zwei Strßen (x-achse, y-achse) und einen Bch. Die Grenze zum nächsten Grundstück wird durch eine Gerde mit der Gleichung x=4 bestimmt. In nchstehender Skizze sind die Dten des Grundstücks bzulesen (1LE 100m). (Hinweis : Die Kurve ist bestimmt durch die Funktionsgleichung f(x) = 4 1 x 2 + 2) Ein Verkäufer und ein Käufer wollen sich über die Größe der Wiese einigen. Sie vereinbren, eine Einteilung des Grundstücks in Rechtecke vorzunehmen. Es wird eine Verkäufergruppe und eine Käufergruppe gebildet. Jede Gruppe versucht zunächst eine Einteilung mit Hilfe von 4 Rechtecken so vorzunehmen, dss die eigenen Interessen gewhrt werden und dennoch mit der nderen Gruppe ein Kompromiss möglich ist. Die dzu notwendigen Dten sind us der Skizze heruszumessen. Es ist eine Tbelle so zu erstellen, dss der Flächeninhlt von jedem Rechteck bgelesen werden knn. Hinweis: Die Schüler und Schülerinnen sollten in Gruppen hier ihre eigenen Ideen entwickeln und Lösungsvorschläge nbieten.

3 Heiner Juen Einführung Integrlrechnung Seite Beispiel für eine Eingbe der Käufergruppe (nstelle der gemessenen Werte stehen hier die exkten Werte): Abszisse Ordinte Vorgngsweise: Aufruf des DATA-MATRIX-EDITORS c1, c2 und c3 erhlten die entsprechenden Titel Länge (Ordintenwerte) und Breite (hier immer 1) werden eingeben Nch Aufruf von F4 (Heder) wird in c3 die Formel c1*c2 eingegeben Der Bildschirm der Käufergruppe ht dnn folgendes Aussehen: Als näherungsweiser Flächeninhlt ergeben sich dher 2 23 FE. 2. Vereinfchung der Eingbe 2.1. Erstellung einer Funktionsgleichung für die Kurve Um ds umständliche Messen und Eingeben der Dten zu vereinfchen, wird nun versucht durch die gemessenen Punkte eine Kurve zu legen. Dzu sind im DATA-MATRIX-EDITOR in der Splte c4 die zur Splte c1 gehörenden Abszissenwerte einzugeben. Die Form der Kurve legt eine qudrtische Regression nhe.

4 Heiner Juen Einführung Integrlrechnung Seite Vorgngsweise: Splte c4 mit den Abszissenwerten usfüllen Aufruf F5 CALCULATE und Auswhl QUADREG ls CALCULATION TYPE Die Funktionsgleichung wird bgespeichert unter y1(x) Bei ungenuen Messungen werden die Koeffizienten sinnvoll gerundet 2.2. Berechnung von Rechtecksflächen unter Zuhilfenhme der Funktionsgleichung Zunächst wird die Funktion Im Grphikfenster drgestellt. Die geeigneten WINDOW- Einstellungen sind zu wählen : xmin=-.5 xmx=4.5 ymin=-1 ymx=6.5 Um vorteilhft die Rechtecksflächen berechnen zu können, wird eine äquidistnte Einteilung uf der x-achse gewählt.

5 Heiner Juen Einführung Integrlrechnung Seite Käufergruppe (bevorzugt unterhlb liegende Rechtecke ): Rechtecksbreite mit 0.5 festlegen Aufruf des DATA-MATRIX- EDITORS Heder c1 : seq(u, u, 0, 4-0.5, 0.5) Heder c2: y1(c1) ls Höhe der Rechtecke Heder c3: 0.5 * c2 Drstellung der berechneten Rechtecke: F2 PLOT SETUP: Plot 1: F1 DEFINE: Und folgende Whl: Grphikfenster: Hinweis: Die Zeile 8 fehlt m Bildschirm Durch Aufruf von F5 CALC und CALCULATION TYPE One Vr mit der Angbe c3 für x knn sofort die Summe bgelesen werden: Σx = FE Verkäufergruppe (bevorzugt oberhlb liegende Rechtecke): Heder c4: y1(c1+0.5) ls Höhe der Rechtecke Heder c4: 0.5 * c4 Drstellung der berechneten Rechtecke: F2 PLOT SETUP: Plot 2: F1 DEFINE: Whl wie oben, bei FREQ jetzt c4: Durch Aufruf von F5 CALC und CALCULATION TYPE One Vr mit der Angbe c5 für x knn sofort die Summe bgelesen werden: Σx = FE

6 Heiner Juen Einführung Integrlrechnung Seite Hinweis: Die Schüler der Verkäufergruppe beginnen sehr oft (sinnvollerweise! Die Rechtecke werden nch links gezeichnet) mit der Stelle x=0.5 und gehen bis x = 4. Bei der Drstellung sind dnn ber die Rechtecksflächen um 0.5 nch rechts verschoben. Durch Abtsten der Kurve und der Rechtecke mit F3 TRACE können die Unterschiede der Käufer- und Verkäufergruppe nchvollzogen werden. Hinweis: Die Anzhl der Rechtecke knn ntürlich vergrößert werden und sollte von den Schülern und Schülerinnen ls Husübung gemcht werden. Weiters sollte ls Husübung dnn eine monoton fllende Funktion behndelt werden. Bereits jetzt knn uch über ds Vorgehen bei nicht monotonen Funktionen diskutiert werden. 3. Verllgemeinerung der Berechnung (nch Cvlieri ) Aufgbe: Der Flächeninhlt des Flächenstücks zwischen der Kurve mit der Gleichung f(x)=0.25x 2 +2, der x-achse, der y-achse und der Vertiklen x= (>0) soll mit Hilfe von Rechtecken näherungsweise bestimmt werden. Vorgngsweise: Ds Intervll [0,] wird in n gleiche Teile der Länge Die Teilungspunkte hben die Abszissen x0=0,..., xk = l = eingeteilt n k n,..., xn= Die dzugehörigen Ordinten hben die Werte f(xk) Die Summe der eingeschriebenen Rechtecke wird mit Untersumme u(n) bezeichnet Die Summe der umschriebenen Rechtecke wird mit Obersumme o(n) bezeichnet Eingbe in den Rechner: Untersumme: Ein Test mit =4 bringt die beknnten Werte u(4) = 11.5 und u(8) = sowie u(50)=

7 Heiner Juen Einführung Integrlrechnung Seite Unter der Einstellung MODE F2 EXAKT wird zudem die Summe vereinfcht und der Grenzwert knn berechnet werden. Dieser Wert wird ls fl() bgespeichert. (Der Grenzwert muss zuerst berechnet werden!) fl(4) bringt ds Ergebnis 40 FE. 3 Obersumme: Ein Test mit =4 bringt die beknnten Werte o(4) = 15.5 und o(8) = sowie o(50)= D der Grenzwert der Obersummen mit dem Grenzwert der Untersummen übereinstimmt, wird die gesuchte Fläche durch diesen Grenzwert definiert. Der gemeinsme Grenzwert heißt ds bestimmte Integrl der Funktion f(x) im Intervll [0,] Schreibweise: lim o( n) = lim u( n) = f ( x) dx = (0.25 x n n ( + 24) + 29) dx = Ausblick Eine Diskussion über ds Vorgehen bei nicht monotonen Funktionen (Einteilung in beliebige Intervlle, Aufsuchen der für die Ober- und Untersummen notwendigen Funktionswerte) führt zur Definition der Integrierbrkeit im Riemnn schen Sinne.