6 Elektroagnetische Schwingungen und Wellen Elektroagnetischer Schwingkreis Schaltung it Kondensator C und Induktivität L. Kondensator wird periodisch aufgeladen und entladen. Tabelle 6.1: Vergleich elektroagnetischer Schwingkreis echanische Schwingung. elektroagnetischer Schwingkreis + - Zeitpunkt ➀ t = 0 echanische Schwingung E pot I ➁ t = T/4 E kin + - ➂ t = T/2 E pot I ➃ t = 3/4T E kin + - ➄ t = T E pot 53
6 Elektroagnetische Schwingungen und Wellen Energie i Schwingkreis a) ungedäpft (R=0): agnetische Energie in Spule: W agn = 1 2 LI2 elektrische Energie in Kondensator: W el = 1CU 2 = 1 Q 2 2 2 C Energieerhaltung: Analogie zur Mechanik (Feder): b) gedäpft (R 0): Zeitliche Abnahe der Energie: 1 2 LI2 + 1 Q 2 2 C = konst. (6.1) 1 2 v2 + 1 2 Dx2 = konst. (6.2) d dt (W agn + W el ) = IR 2 (6.3) Verlustleistung; Energie wird als Wäre entzogen (Joulsche Wäre) 6.1 Freie elektroagnetische Schwingung L U C R Abbildung 6.1: R-Schwingkreis U L = L di dt (6.4) U C = Q C (6.5) U R = RI (6.6) 54
6.1 Freie elektroagnetische Schwingung Kirchhoffsche Maschenregel: U = U L + U C + U R = 0 (6.7) L di dt + Q + RI = 0 C (6.8) differenzieren (6.9) L d2 I dt 2 + RdI dt + 1 C I = 0 (6.10) Analogie zur Mechanik: d2 x dt + bdx + Dx = 0 (6.11) 2 dt Lösungsansatz: I = I 0 exp (λt) (6.12) di dt = λi 0 exp (λt) (6.13) d 2 I dt = 2 λ2 I 0 exp (λt) (6.14) einsetzen: λ 2 + R L λ + 1 = 0 (6.15) λ 1,2 = R 2L ± R 2 4L 2 1 = α ± β 2 (6.16) Verschiedene Schwingfälle je nach Verhältnis von α und β. a) starke Däpfung (Kriechfall): β 2 > 0 (6.17) R2 4L 2 > 1 (6.18) 55
6 Elektroagnetische Schwingungen und Wellen b) aperiodischer Grenzfall: c) gedäpfte Schwingung: β 2 = 0 (6.19) R2 4L 2 = 1 (6.20) β 2 < 0 (6.21) R2 4L < 1 2 (6.22) I(t) = I 0 exp ( λt) cos (ωt + ϕ) (6.23) it der Däpfungskonstante: α = R 2L 1 und der Frequenz: ω = R2 4L 2 ω = ω0 2 α 2 (6.24) it ω 0 = 1 Frequenz der ungedäpften Schwingung α = 0. (6.25) I(t) I 0 e -αt 0 t -I 0 Abbildung 6.2: Aplituden-Zeitdiagra einer gedäpften Schwingung. Einfluss der Däpfung: Abnahe der Aplitude Verschiebung der Resonanzfrequenz 56
6.2 Erzwungene elektroagnetische Schwingung 6.2 Erzwungene elektroagnetische Schwingung Schwingkreis it äußerer periodischer Anregung. U cos t L 0 ω C R Abbildung 6.3: R-Schwingkreis it Anregung. L di dt + RI + Q C = U 0 cos (ωt) (6.26) differenzieren: (6.27) L d2 I dt + RdI 2 dt + 1 C I = du dt Der Stro I i Kreis hat eine zeitlich konstante Aplitude I 0 = U 0 Z it: (6.28) (6.29) I = I 0 cos (ωt ϕ) (6.30) ( Z = R 2 + ωl 1 ) 2 (6.31) ωc Resonanz für: ω = ω R = 1 (6.32) rein reeller Widerstand, ϕ = 0, U und I in Phase. Z inial, I 0 axial. Anregungstypen: ω ω R : quasistatische Anregung ω ω R : resonante Anregung ω ω R : hochfrequente Anregung Z(ω R ) = R (6.33) 57
6 Elektroagnetische Schwingungen und Wellen (a) I 0 Z (b) 0 0 _ 2 0 R Induktivität doiniert - _ 2 Kapazität doiniert R Abbildung 6.4: Frequenzabhängigkeit von (a) Stro I 0 und Ipedanz Z, sowie (b) der Phase ϕ i R-Reihenschwingkreis. 58
6.3 Offene Schwingkreise, Hertzscher Dipol 6.3 Offene Schwingkreise, Hertzscher Dipol I geschlossenen Schwingkreis sind L und C separiert Übergang zu offenen Schwingkreis. (a) (b) (c) (d) C L C L C+L C+L Abbildung 6.5: Entwicklung vo -Schwingkreis (a) zu Dipol (d). Aus der Spule wird eine Leiterschlaufe (b) bzw. ein Stab. Der Kondensator wird aufgebogen. Die Kapazität wirkt zwischen den Enden des Stabes (c). keine räuliche Trennung von elektrische und agnetische Feld. E(t) B(t) Abbildung 6.6: Elektrisches und agnetisches Feld eines Hertzschen Dipols. Bei zeitlicher Änderung der Stro- und Ladungsdichte: Änderung der Felder Ausbreitung it Lichtgeschwindigkeit i Rau Energieverlust durch Abstrahlung elektroagnetischer Wellen Anregung eines offenen Schwingkreises durch induktive oder kapazitive Kopplung an einen geschlossenen Kreis. Erhöhung der Resonanzfrequenz durch Verkleinerung von L und C: ω R = 1 (6.34) 59
6 Elektroagnetische Schwingungen und Wellen Stro- und Spannungsverteilung z l I(z,t ) 0 U(z,t ) 0 Abbildung 6.7 I(z, t) = I 0 (z) sin (ωt) (6.35) entspricht einer stehenden Welle it einer Wellenlänge von λ = 2l. Niedrigste Resonanzfrequenz: ω 0 = 2π λ c = π l c Ph it c Ph = c ɛµ (6.36) c Ph : Phasengeschwindigkeit der elektroagnetischen Welle. Wechselstro i Stab induziert: Negativ geladene Elektronen schwingen gegenüber positiv geladenen Atorüpfen. schwingender, elektrischer Dipol Hertzscher Dipol -q +q Abbildung 6.8: Ladungsbewegung bei Hertzschen Dipol. d = d 0 sin (ωt) (6.37) p(t) = q d 0 sin (ωt) (6.38) p(t) = q d (6.39) 60
6.4 Elektroagnetische Wellen Abstrahlcharakteristik: Abbildung 6.9: Abstrahlcharakteristik eines Dipols. S ω4 sin 2 ϑ r 2 (6.40) S: Poynting-Vektor gibt die ströende elektroagnetische Feldenergie nach Betrag und Richtung an. 6.4 Elektroagnetische Wellen Abstrahlung eines Hertzschen Dipols fortschreitende elektroagnetische Welle it der Geschwindigkeit: c = 1 ɛ0 µ 0 (6.41) Ausbreitungsvektor k : k = 2π λ = ω c (6.42) Wellengleichung 2 E x + 2 E 2 y + 2 E 2 z 2 eines zeitlich veränderlichen elektrischen Feldes E( r, t) i Vakuu periodische, ebene Welle in der Fernzone des Dipols (r λ) = ɛ 0µ 0 2 E t 2 (6.43) E = E 0,y sin (kz ωt) (6.44) B = B 0,x sin (kz ωt) (6.45) it k E k B E B (6.46) 61