Auswertung unvarater Datenmengen - deskrptv Egenschaften des arthmetschen Mttels Enfache Streuungsmaße Spannwete Quartlabstand Das Dagramm enes Boplots Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II Bblografe Bleymüller / Gehlert / Gülcher Verlag Vahlen Statstk für Wrtschaftswssenschaftler Bleymüller / Gehlert Verlag Vahlen Statstsche Formeln, Tabellen und Programme PowerPontPräsentatonen (Prof. Kück/ Dr. Rcabal), Vorlesungsskrpt für Statstk I (Dr. Pu Chen), http://www.ww.un-rostock.de/vwl/statstk/download/ba/stat/ Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 2
Egenschaften des arthmetschen Mttels ull-egenschaft: De Summe der Abwechungen der Beobachtungswerte vom arthmetschen Mttel st ull. Quadratsche Mnmumegenschaft: De Summe der quadrerten Abwechungen zwschen Beobachtungswerten und enem belebgen Wert errecht das Mnmum für das arthmetsche Mttel. De Lneare Transformaton der Beobachtungswerte bewrkt de analoge Transformaton des arthmetschen Mttels. Das arthmetsche Mttel ener Gesamtmasse aggregert de arthmetschen Mttel von Telmassen n gewogener Form. Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 3 ull-egenschaft des arthmetschen Mttels De Summe der Abwechungen der Beobachtungswerte vom arthmetschen Mttel st ull. = (a µ) = mt µ = = a Bewes: (a µ) = a µ = a µ = a a = = = = = = = Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 4
Bespel: ull-egenschaft des arthmetschen Mttels Bespel: Körpergewcht n kg von Personen. Das arthmetsche Mttel des Gewchtes der betrachteten Personen beträgt 65 kg. 2 8 6 4 2 µ Lsa Anna Antje Mare Dörte Sven Uwe Ka Jan ls Enge Abwechungen der Enzelwerte zum arthmetschen Mttel snd postv de anderen negatv. Ihre Summe st glech ull. Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 5 Quadratsche Mnmumegenschaft des arthmetschen Mttels SQ() = Bewes: dsq() d = = 2 (a ) = 2(a ) = = = (a ) = 2 (a ) errecht en Mnmum an der Stelle =µ erste Abletung der Funkton SQ() notwendge Bedngung = a = = = a = µ 2 d SQ() = + 2 > SQ() hat en Mnmum an der Stelle = µ 2 d Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 6
Bespel: Quadratsche Mnmumegenschaft des arthmetschen Mttels Verglech der Abwechungsquadrate bem arthmetschen Mttel 65 kg und zwe anderen Werten (75 und 55). (44-65)² (44-75)² (44-55)² + (46-65)² + (46-75)² + (46-55)² + (5-65)² + (5-75)² + (5-55)² + (54-65)² + (54-75)² + (54-55)² + (56-65)² + (56-75)² + (56-55)² + (69-65)² + (69-75)² + (69-55)² + (72-65)² + (72-75)² + (72-55)² + (78-65)² + (78-75)² + (78-55)² + (8-65)² + (8-75)² + (8-55)² + (-65)² + (-75)² + (-55)² = 2.984 = 3.984 = 3.984 Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 7 Lneare Egenschaft des arthmetschen Mttels Se µ das arthmetsche Mttel der Beobachtungen enes Merkmals X. Se Y ene lneare Transformaton von X, d. h. y = a b für alle =, 2,..., + Dann glt für das arthmetsche Mttel µ 2 von Y: µ 2 =aµ +b. Das arthmetsche Mttel st äquvarant gegenüber deser Transformaton. Bewes: y a + b a + b = = = µ = = = = aµ 2 + Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 8 b
Bespel: Lneare Egenschaft des arthmetschen Mttel Wäre das Gewcht aller erfassten Personen n Pfund statt n Klogramm angegeben, würde sch das arthmetsche Mttel entsprechend verdoppeln. Gewcht 2 75 5 25 75 5 25 Lneare Transformaton Lsa Anna Andje Mare Dörte Sven Uwe Ka Jan ls Klogramm Pfund Mttelwert aus transformerten Daten Y=2X (Gewcht n Pfund) µ y = 3 Mttelwert aus ursprünglchen Daten X (Gewcht n kg) µ = 65 µ = 2 y µ Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 9 Aggregerbarket des arthmetschen Mttels Seen T, T 2,, T k k Telgesamtheten jewels mt, 2,, k Merkmalsträgern. Seen µ, µ 2,, µ k de entsprechenden arthmetschen Mttel n der Telgesamtheten. Für das arthmetsche Mttel µ der Grundgesamthet G glt: µ k µ µ 2 2 2 k µ = µ + µ 2 + L+ mt k µ k = µ = = L+ + 2 + k Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II k
Aggregerbarket des arthmetschen Mttels -Bewes- µ = µ µ 2 2 k = µ Gewogenes Arthmetsches Mttel und folgen: µ k k k k = j= = j= Aus Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II j j = j= µ = + j= j µ = und j 2 j= µ 2 µ 2 k µ µ = + + L+ 2 j + L+ j 2 j = j= j= + + L+ j= k j= 2 k j= k k = µ = j k j k j Bespel: Aggregerbarket des arthmetschen Mttels Für de 25 nach Karossereform grupperten Autos ergeben sch folgende Mttelwerte für de Motorlestung. Karossereform Mttelwert Gruppenumfang Großraumlmousne 8,6 6 Komb,5 2 Schräghecklmousne 93,97 7 Stufenhecklmousne 69,25 97 µ µ Gesamt Gesamt 6 = 8,6 +,5 25 = 25,37 PS 2 25 7 + 93,97 + 69,25 25 97 25 Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 2
Beurtelung des arthmetschen Mttels Das arthmetsche Mttel st der n der Pras am häufgsten verwendete Mttelwert. Für Vertelungen, de stärker von den Egenschaften der Symmetre und Engpfelgket abwechen, egnet sch das arthmetsche Mttel ncht, da der berechnete Mttelwert ncht das Zentrum der Vertelung repräsentert. Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 3 Bespel: Beurtelung des arthmetschen Mttels Es se folgende emprsche Häufgketsvertelung gegeben: f( ) Der numersche Wert für das arthmetsche Mttel st rchtg. Sachlch st deser Mttelwert jedoch ungeegnet, da er ene falsche Vorstellung vom Zentrum der Vertelung vermttelt. Denken se an de Kuh! Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 4
Bespel: Trügersche Mtte Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 5 Symmetre und Lageparameter Für metrsch skalerte Merkmale können das arthmetsche Mttel, der Medan und der Modus auch dazu verwendet werden, um Symmetre oder Schefe ener Vertelung beurtelen zu können. Der Verglech der numerschen Werte lefert Vorstellungen über de Vertelungsform. Symmetreregeln geben de Größenbezehung zwschen den Mttelwerten an. Be symetrscher Vertelung glt: µ = Me = Mo f() bzw. angeschwächt: µ Me Mo µ = Me = Mo Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 6
Symmetre und Lageparameter f() Be lnkssteler (rechtsschefer) Vertelung glt: Mo > Me > µ Mo Me µ f() Be rechtssteler (lnksschefer) Vertelung glt: µ < Me < Mo µ Me Mo Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 7 Zusammenfassung Mttelwerte De Unterschede zwschen arthmetschem Mttel, Zentralwert und Modalwert snd n praktschen Analysen von Bedeutung. Welcher Mttelwert hat n der gegebenen Stuaton de bessere Aussage, welcher Mttelwert trfft de Mtte am besten? Her gbt es kene endeutge Antwort, denn de Beantwortung wrd auch subjektv davon beenflusst, welches Bld der Analytker vermtteln möchte. Enkommensvertelungen lefern Bespele, de m Allgemenen lnksstel snd und für sehr hohe Enkommen flach nach rechts auslaufen. Werden Modus und Medan verwendet, beenflusst man de Argumentaton zu nedrgen Enkommen, während de Verwendung des arthmetschen Mttels en höheres Enkommen argumentert. Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 8
Medan oder arthmetsches Mttel?...Wenn z.b. der Präsdent der Bundesärztekammer vom mttleren Enkommen der deutschen Ärzte sprcht, ment er.d.r. ncht das arthmetsche Mttel sondern den Medan. Wann mmer m deutschen Ärzteblatt von Geld de Rede st, ernnert man sch gern daran, dass es außer dem arthmetsche Mttel noch andere Mttelwerte gbt. Auf der anderen Sete rufen Krtker, de menen, deutsche Ärzte verdenen vel zu vel, gern das arthmetsche Mttel n den Zeugenstand. Deses st we be allen rechtsschefen Vertelungen mmer größer als der von den Ärzten bevorzugte Medan. Z. B. Laborarzt: Arthmetsche Mttel: 7. DM p.a. Medan: 5. DM p.a. Aus Krämer: So lügt man mt Statstk Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 9 Vorscht be Mttelwerten! Das durchschnttlche Enkommen m Sultanat Brune beträgt nach dem arthmetschen Mttel berechnet 54. DM, für Deutschland dagegen 46. DM. Zu beachten st jedoch, dass de Enkommensvertelung n Brune erheblch schefer st als de von Deutschland. Lässt man den Sultan, der als rechster Mensch der Erde glt, und sene Famle weg, seht das Bld schon ganz anders aus. Solche Ausreßer, we de Statstker sagen, zehen das arthmetsche Mttel an sch heran we en Magnet. Aus Krämer: So lügt man mt Statstk Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 2
Vorscht be Mttelwerten! Sollen wr das arthmetsche Mttel als durchschnttlche Körpergröße nehmen und den Gegner erschrecken, oder wollen wr hn enlullen und nehmen den Medan? Aus Krämer: So lügt man mt Statstk Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 2 Überlegen Se selbst! Berechnen Se für de ausgewesenen Jahre de durchschnttlche Knderzahl, de Akademkernnen n West- und n Ostdeutschland haben. We müsste man vorgehen, wenn aus desen Daten en Durchschnttswert für Deutschland über Knderlosgket be Akademkernnen ausgewesen werden soll? Quelle: http://www.spegel.de/unspegel/jobundberuf/,58,373449,.html Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 22
Bespel: Lage- oder Streuungsparameter? Für Moskau und Dubln wrd de gleche Jahresdurchschnttstemperatur von C ausgewesen. Der Verglech der gemessenen Enzelwerte zegt folgendes Bld, wo man erkennen kann, dass de Temperaturschwankungen n Moskau größer als n Dubln snd: 3 2 - -2 J F M A M J J A S O D 3 2 - -2 J F M A M J J A S O D De durchschnttlche Temperatur recht ncht, um de Temperaturstuaton zu charakterseren. Her wrd en Streuungsmaß gebraucht, um de Schwankungen zu beschreben. Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 23 otwendgket der Streuungsmaße Lageparameter können de Vertelung ncht vollständg beschreben. De dre etrem unterschedlchen Vertelungen haben den glechen (arthmetschen) Mttelwert von : 2 2 2 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 Streuungsparameter denen der näheren Charakterserung von Schwankungen ener Vertelung. Se snd en Maß dafür, we wet de Daten auf der Merkmalsachse vonenander oder vom Zentrum der Vertelung entfernt legen. Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 24
Emprsche Streuungsmaße In der beschrebenden Statstk werden folgende Maßzahlen der Streuung verwendet: Spannwete Quartlsabstand Mttlere absolute Abwechung Varanz Standardabwechung Varatonskoeffzent Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 25 Spannwete De Spannwete st de enfachste Maßzahl für de Abwechung der Daten, de den Abstand zwschen dem klensten und dem größten Beobachtungswert angbt. Spannwete (Englsch: range) R = a ma a mn a mn a ma Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 26
Bespel: Spannwete In der Rehe der geordneten Merkmalswerte der Gewchte für untersuchte Personen st de Spannwete de Dfferenz aus dem Gewcht von ls und Lsa: ame Lsa Anna Antje Mare Dörte Sven Uwe Ka Jan ls r. 2 3 4 5 6 7 8 9 a 44 46 5 54 56 69 72 78 8 Es ergbt sch: R = a ma a mn = 44 = 57 De Spannwete beträgt 57 kg. Interpretaton: De Ausprägungen legen n enem Berecht von 75 kg Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 27 Beurtelung der Spannwete De Spannwete st ene enfache Maßzahl für de Streuung. De Spannwete drückt de Varatonsbrete der Beobachtungswerte aus. Da se nur aus den beden Etremwerten berechnet wrd, st se sensbel gegenüber Ausreßer. Se st nur geegnet, wenn de Anzahl der Beobachtungen klen st. Bespel: Würde ls ncht kg sondern ledglch 8 kg wegen, so ergäbe sch für de Spannwete 37 kg (statt 57 kg) Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 28
Quartlsabstand Der Quartlsabstand (Englsch: nterquartl range) st de Dfferenz zwschen dem 75%gen und 25%gen Quartl der Vertelung. Das st de Spanne, welche de mttleren 5 % der Daten (de mttlere Hälfte) umfasst: a [] Q Q 3 a [] QA = Q 3 Q 25% 5% 25% Dabe bezechnen Q und Q 3 das erste (untere) und das drtte (obere) Quartl der Vertelung. Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 29 Bespel: Quartlsabstand klasserter Daten Für de n Gewchtsklassen erfassten Personen snd zunächst de 75%gen und 25%gen Quartlswerte zu bestmmen: Gewcht f( ) F( ) von bs unter 42,5 47,5,4,4 47,5 52,5,8,22 52,5 57,5,26,48 57,5 62,5,2,68 62,5 67,5,2,8 Enfallsklassen für Q Enfallsklassen für Q3 F( ),2,8,6,4,2 42,5 bs 47,5 47,5 bs 52,5 52,5 bs 57,5 57,5 bs 62,5 62,5 bs 67,5 67,5 bs 72,5 72,5 bs 77,5 77,5 bs 82,5 82,5 bs 87,5 87,5 bs 92,5 Man bestmmt für Q : 53, und für Q 3 : 65,4. Der Quartlsabstand beträgt 2,3 kg. Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 3
Bespel: Berechnung des ersten Quartls Gewcht f( ) F( ) von bs unter 42,5 47,5,4,4 47,5 52,5,8,22 52,5 57,5,26,48 57,5 62,5,2,68 62,5 67,5,2,8 Enfallsklassen für Q F(Q)=,25,22 <,25 <,48 F(52,5) < F(Q ) < F(57,5) 52,5 < Q < 57,5 Q Q Q = u u,25 F( ) + ( o u F( ) F( ),25 F(52,5) = 52,5 + (57,5 52,5) F(57,5) F(52,5),25,22 = 52,5 + (57,5 52,5) = 53,,48,22 o u ) Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 3 Bespel: Berechnung des drtten Quartls Gewcht f( ) F( ) von bs unter 42,5 47,5,4,4 47,5 52,5,8,22 52,5 57,5,26,48 57,5 62,5,2,68 62,5 67,5,2,8 Q Q Q Enfallsklassen für Q3 F(Q3)=,75,68 <,75 <,8 F(62,5) < F(Q ) < F(67,5) 62,5 < Q 3 3 3 = u 3 < 67,5 u,75 F( ) + ( o u F( ) F( ),75 F(62,5) = 62,5 + (67,5 62,5) F(67,5) F(62,5),75,68 = 62,5 + (67,5 62,5) = 65,4,8,68 o 3 u ) Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 32
Bespel: Quartlsabstand unterschedlcher Vertelungen f() Glechvertelung: F(),75,25 f() X ormalvertelung: F(),75 X,25 X X Der Quartlsabstand st be ormalvertelung klener als be Glechvertelung. Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 33 Bespel: Quartle klasserter Daten Haushaltsnettoenkommen (HHE) m früheren Bundesgebet Erwerbsstatstk 23 ( DESTATIS) HHE von bs unter Euro Früheres Bundesgebet F() Unter 9 7,2,72 9 3,7,89 3 5 6,6,255 5 2 4,7,42 2 26 4,7,549 26 36 8,,73 36 5 4,6,876 5 8 2,2,998 Enfallsklassen Für Q=Q,25 Für Q2=Me=Q,5 Für Q3=Q,75 u u p F( ) o u Qp = + ( ) Allgemene Formel für das p-quantl u F( ) F( ) Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 34
Bespel: Berechnung der Quartle Haushaltsnettoenkommen (HHE) m früheren Bundesgebet Erwerbsstatstk 23 ( DESTATIS) Das erste Quartl (p=,25) Q,25,89 = 3 + (5 3) = 484,85,255,89 Der Medan (p=,5),5,42 Me = 2 + (26 2) = 24,549,42 Das drtte Quartl (p=,75) Q 3,75,73 = 36 + (5 36) = 379,78,876,73 Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 35 Bespel: Interquartlsabstand Bespel: Haushaltsnettoenkommen (HHE) m früheren Bundesgebet. Erwerbsstatstk 23 ( DESTATIS) HHE von bs unter Euro Früheres Bundesgebet F() Unter 9 7,2,72 9 3,7,89 3 5 6,6,255 5 2 4,7,42 2 26 4,7,549 26 36 8,,73 36 5 4,6,876 5 8 2,2,998 Q =484,85 Q 2 =Me=24 Q 3 =379,78 QA=Q 3 -Q QA=379,78-484,85 QA=236,93 De mttlere Hälfte der Haushaltsnettoenkommen hat ene Spannung von 236,93. Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 36
Beurtelung des Quartlsabstandes Der Quartlsabstand wrd ncht durch enzelne Etremwerte beenflusst. Er st gegenüber Ausreßern robuster. Der Quartlsabstand gbt de Dfferenz der Merkmalswerte an, welche de mttlere Hälfte der Enzelwerte repräsentert. Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 37 Grafsche Darstellung von fünf wchtgen Vertelungspunkten (Boplots) Das Dagramm enes Boplots ermöglcht ene komprmerte Vsualserung ener unvaraten Häufgketsvertelung, ndem fünf wchtge Punkte ener Vertelung zusammengefasst dargestellt werden. Aufbau des Boplots: Merkmalsausprägun g Mamum oberes Quartl Medan unteres Quartl Mnmum Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 38
Boplots be asymmetrscher Vertelung Je nachdem, wo der Medan nnerhalb der Bo legt, lassen sch Aussagen über de Symmetre der Vertelung treffen. Merkmalsausprägung Be ener asymmetrschen Vertelung legt der Medan ncht mttg n der Bo. Unglech brete Abstände zwschen Etrema und unteren bzw. oberen Quartl ( whskers ) ndzeren ebenfalls Asymmetre. Der Streuung der Merkmalswerte wrd durch de Spannwete der Etrema und den Quartlabstand dargestellt. Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 39 Boplots be symmetrscher Vertelung Für ene eakt symmetrsche Vertelung hat das Boplot folgende Gestalt: Der Medan legt mttg n der Bo, de Abstände zwschen Etrema und unteren bzw. oberen Quartl snd glech. Merkmalsausprägung Jeglche Abwechungen davon bedeuten Asymmetre der emprschen Vertelung. Be emprschen Vertelungen st eakte Symmetre selten! Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 4
Bespel: Aussagen des Boplots Für de 25 untersuchten Autos se de Lestung der Großraumlmousnen, Kombs, Schrägheckfahrzeuge, Stufenhecklmousnen mttels der Boplot- Darstellung verglechend dargestellt: 4 3 2 SPSS-Dagramm 235 229 26 25 24 223 2 25 249 248 246 247 245 Lestung [PS] = 6 3 29 2 7 97 GL K SH STH Karossereform De Gruppe der Großraumlmousnen st m Verglech am wengsten asymmetrsch und west bem Merkmal Lestung den gerngsten Streuberech auf. Den größten Streuberech haben Stufenhecklmousnen. Etreme Lestungen m oberen Lestungsberech gbt es be SH und STH. Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 4 Boplots - Ausreßerproblematk SPSS kann optonal bestmmte Objekte aus der Erstellung des Boplots ausschleßen. 4 3 25 249 248 246 247 245 Als Ausreßer werden Objekte behandelt, deren Merkmalswerte zwschen,5 und 3 Bolängen vom oberen oder unteren Rand der Bo entfernt snd. De Bolänge entsprcht dem nterquartlen Berech. Lestung [PS] 2 = 6 GL 3 29 2 K 7 SH 235 229 26 25 24 223 2 97 STH Karossereform Als Etremwerte werden Objekte behandelt und gekennzechnet ausgewesen, deren Merkmalswerte mehr als 3 Bolängen vom oberen oder unteren Rand der Bo entfernt snd. Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter II 42