Gerhard Strey Primzahle ud die Riemasche Zetafutio Ausarbeitug mit Mathcad 000 Peter Grobstich i Freudschaft Neubradeburg 4.0.08
Die Riemasche Zetafutio (0) Verwedete Literatur Berhard Riema "Ueber die Azahl der Primzahle uter eier gegebee Grösse." [Moatsberichte der Berlier Aademie, November 859] Prelimiary Versio: December 998 by D. R. Wilis Grudlage der Ausarbeitug. Moographie ud Lehrbücher Edmud Ladau "Hadbuch der Lehre vo der Verteilug der Primzahle." Bäde 909 Third (corrected) editio, two volumes i oe (with a appedi) 974 New Yor Umfassede Darstellug der aalytische Primzahltheorie bis 909 mit eier historische Übersicht über die Etwiclug des Primzahlproblems. Karl Prachar "Primzahlverteilug" Spriger-Verlag, Berli-Göttige-Heidelberg 957 Umfassede Moographie. "Gelbe Reihe" Bad XCI Erst Trost "Primzahle" Birhäuser-Verlag, Basel-Stuttgart Zweite Auflage 968 Reihe "Elemete der Mathemati vom höhere Stadput aus." Bietet viel auf 00 Seite. H. M. Edwards "Riema's Zeta Fuctio" Academic Press 974 [Dover editio 00] Diese Moographie ist die wichtigste Quelle für das Thema! Peter Budschuh "Eiführug i die Zahletheorie" Spriger-Lehrbuch Berli-Heidelberg. Auflage 99 Eberhard Freitag, Rolf Busam "Futioetheorie" Spriger-Lehrbuch Berli-Heidelberg 993 Darstelluge zur mathematische Ideegeschichte, zu Lösuge ud Probleme Die Auswahl bietet für mathematisch Iteressierte auf verstädlichem Niveau fasziierede Eiblice i die (Prim-) Zahletheorie ud Riemas Idee. Do Zagier "Die erste 50 Millioe Primzahle" 98 I "Mathematische Miiature : Lebedige Zahle" Birhäuser-Verlag Basel Paulo Ribeboim "Die Welt der Primzahle. Geheimisse ud Reorde" Spriger- Verlag Berli-H. 006 Julia Havil "Gamma. Eulers Kostate, Primzahlsträde ud die Riemasche Vermutug" Spriger-Verlag Berli-Heidelberg 007 Peter Grobstich "Die Nullstelle der Zeta-Futio ud die Verteilug der Primzahle" Computer-Algebra-Symposium Kostaz 007 (Mit Mathcad ) Nullstellesuchprogramm Sebastia Wedeiwsi "Results coected with the first 00 billio zeros of the Riema zeta fuctio" 00 www.zetagrid.et Riema0.mcd Strey, 4.0.08
Die Riemasche Zetafutio () Die Zetafutio ζ( s) mit s σ it ist i Mathcad über de Symbolprozessor aufrufbar: Zeta( s) Beispiele: Zeta( ) 0 Zeta 6 π Zeta( i) gleit, 3.867.75i. Defiitio Beispiele: ζ 0 ( s) : für reelle s > s ζ 0 ( 3) Zeta( 3) gleit, 4.0 ζ 0 6 π ζ( s) ist die aalytische Fortsetzug vo ζ 0 ( s) ud auf der gesamte omplee Ebee holomorph mit Ausahme des eifache Pols s.. Weitere Darstelluge a) ζ( s) N N s lim für reelle s, 0 < s < N s s b) ζ( s) für < σ s c) ζ( s) s z floor( z) s dz für 0 < σ, s s z s d) ζ( s) m B Γ ( s ) R m für m s ( )! Γ ( s) < σ, s (Euler-MacLauri) e) ζ( s) N s N s s N s m B Γ ( s ) N s R m ( )! Γ ( s) für m < σ, s (Edwards) Beroulli-Zahle: Biomialoeffiziet bi( m, ) : Γ ( m ) Γ ( ) Γ ( m ) B 0 : j :.. 6 B j : bi( j, j) j 0 bi( j, ) B B T 6 0 30 0 4 0 30 0 5 66 0 69 730 0 7 6 0 367 50 Riema.mcd Strey, 4.0.08
3. Näherugsformel (ach Formel Edwards) N Z( s, N, m) : s N s s N s m B ( )! 0 ( s ) N s σ > m Beispiele: N : 0 m : 5 ζ( s) : Z( s, N, m) ζ( 3).00569 ζ(.) 0.00795 ζ( 0.) 0.6030375 ζ( ) 0 ζ( 0.5 i) 0.4405 0.36i Zeta( 3) gleit, 8.00569 Zeta(.) gleit, 8.7949980-3 Zeta( 0.) gleit, 8.6030375 Zeta( ) gleit, 8 0 Zeta( 0.5 i) gleit, 4.4405.36i 4. Bild der reelle Zetafutio : 8, 7.9.. 6 : 8, 7.9.. 0 4 3 ζ 8 6 4 0 4 6 3 4 8 7 6 5 4 3 0 ζ 0.0 0.0 0.03 Riema.mcd Strey, 4.0.08
5. Betragsfläche der omplee Zetafutio a) Schittliie lägs der Gerade σ j : 0.. 00 X j, : σ j : 0.. 00 Y j, : t Z j σ j : 0.0j 4, : ζ σ j t i t : U j, : u j 0.5 4 u j : 0.5 V j, : v v : j W j, : 5 t b) Schittliie lägs der Gerade t 0 j : 0.. 00 X j, : σ j : 0.. 00 Y j, : t Z j σ j : 0.0j 6, : ζ σ j t i t : U j, : u j 0.5 3 u j : V j, : v σ j v : 0 W j, : 5 Riema.mcd 3 Strey, 4.0.08
Die Riemasche Zetafutio () Riema () 6. Weitere mit der Zetafutio verwae Futioe Futioalgleichug. Γ s π s s ζ( s) Γ s π ζ( s). für alle s. Eiführug der ξ - Futio ξ( s) : s( s ) Γ s π s ζ( s) Es gilt ξ( s) ξ( s) Beispiele: ξ(.5) 0.5 ξ( 0.5) 0.5 ξ ( ) aber dafür ξ( 3) 0.57 Es gilt ξ ti ξ ti ξ ti ξ ti d.h. reell!! Eiführug der reelle Ξ - Futio Ξ ( t) : ξ ti Ξ ( t) Ξ ( t) (Ladau) Abspaltug eies ullstellefreie ("dämpfede") Fators f ( t) < 0 (siehe Edwards): mit der Näherug Ξ ( t) f ( t) e θ( t) i ζ ti f ( t) Z( t) θ ( t) t l t t π : für t >. π 8 48t Eiführug der reelle Z - Futio Z( t) : e θ( t) i ζ ti (Riema-Siegel) 7. Reelle Nullstelle der Zetafutio Die (triviale) reelle Nullstelle sid s, 4, 6,... I der Futioalgleichug ist die rechte Seite für σ > ugleich Null (vgl. b) ud Γ ). Also ist ζ( s) 0 a de Polstelle vo Γ(s/). 8. Nichttriviale Nullstelle der Zetafutio Bewiese ist: Alle ichttriviale Nullstelle liege im Streife 0 < σ <! Sie liege symmetrisch zur -Achse ud zur Gerade σ. Riemasche Vermutug: Alle ichttriviale Nullstelle liege auf der Gerade σ Riema.mcd 4 Strey, 4.0.08
9. Berechug ichttrivialer Nullstelle Für die Nullstelle ρ t i gilt: ζ ρ 0 <> ξ ρ 0 <> Ξ t 0 Es geügt also wege Ξ ( t) Ξ ( t), die Nullstelle vo Z( t > 0) zu ermittel. <> Z t 0 Beispiel: Näherug t : 4.0 wurzel Z t (, t ) 4.347098 Näherug t : 4.60685 wurzel Z t (, t ) 4.3475 Näherug 3 t : 4.347555 wurzel Z t (, t ) 4.34757 t t : 4.3475 ζ ti 0.00 0.00i Vergleichede Grafi: t : 0, 0.05.. 50 4 ζ ti Re( Z( t) ) 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 Zur Vermeidug vo omplee Restfehler wird Re( Z) aufgetrage. Es gilt Z( t) ζ Die Nullstelle öe durch Vorzeichewechsel vo Z( t) ti loalisiert werde.. 0. Suchprogramm ud Tabelle der Vorzeichewechsel vo Z(t) N : 500 ZW( a, b, h) : t a while zw z Re( Z( t) ) z Re( Z( t h) ) if t b zz < 0 zw, 0 t zw, t h t t h t Beispiel: ZW( 0, 50, 0.0) 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0.00 0.00 4.3 4.4.0.03 5.0 5.0 30.4 30.43 3.93 3.94 37.58 37.59 40.9 40.9 43.3 43.33 48.00 48.0 Riema.mcd 5 Strey, 4.0.08
. Tabelle der erste 300 ichttriviale Nullstelle Bereche ZW( 0, 54, 0.0), Rechezeit ca. 0 mi. Wähle als Näheruge die utere Schrae t ZW, 0. Sicherheitsdatei alege: Zetaullstelle.tt. Kopiere die Date i eie Matri. Matri TW der t-werte der ichttriviale Nullstelle ρ TW : 4.3.0 5.0 30.4 3.93 37.58 40.9 43.3 48.00 49.77 5.97 56.44 59.34 60.83 65. 67.07 69.54 7.06 75.70 77.4 79.33 8.9 84.73 87.4 88.80 9.49 94.65 95.87 98.83 0.3 03.7 05.44 07.6.0.87 4.3 6. 8.79.37.94 4.5 7.5 9.57 3.08 33.49 34.75 38. 39.73 4. 43. 46.00 47.4 50.05 50.9 53.0 56. 57.59 58.84 6.8 63.03 65.53 67.8 69.09 69.9 73.4 74.75 76.44 78.37 79.9 8.0 84.87 85.59 87. 89.4 9.0 93.07 95.6 96.87 98.0 0.6 0.49 04.8 05.39 07.90 09.57.69 3.34 4.54 6.6 9.06 0.7.43 4.00 4.98 7.4 9.33 3.5 3.98 33.69 36.5 37.76 39.55 4.04 4.8 44.07 47.3 48.0 49.57 5.0 53.06 55.30 56.38 58.6 59.87 60.80 63.57 65.55 66.6 67.9 69.97 7.49 73.45 75.58 76.45 78.5 79. 8.46 83. 84.83 86.66 87.9 89.57 9.84 93.55 94.96 95.57 97.97 99.84 30.64 30.69 304.86 305.7 307. 30.0 3.6 3.4 33.98 35.47 37.73 38.85 3.6 3.4 33.46 34.86 37.44 39.03 39.95 33.47 333.64 334. 336.84 338.33 339.85 34.04 34.05 344.66 346.34 347.7 349.3 350.40 35.87 353.48 356.0 357.5 357.95 359.74 36.8 363.33 364.73 366. 367.99 368.96 370.05 373.06 373.86 375.8 376.3 378.43 379.87 38.48 383.44 384.95 385.86 387. 388.84 39.45 39.4 393.4 395.58 396.38 397.9 399.98 40.83 40.86 404.3 405.3 407.58 408.94 40.5 4.97 t i 43.6 45.0 45.45 48.38 49.86 40.64 4.07 43.7 45.06 47.0 48. 430.3 43.30 43.3 433.88 436.6 437.58 438.6 439.9 44.68 44.90 444.3 446.86 447.44 449.4 450. 45.40 453.98 454.97 456.3 457.90 459.5 460.08 46.06 464.05 465.67 466.57 467.43 469.53 470.77 47.79 473.83 475.60 476.76 478.07 478.94 48.83 48.83 483.85 485.53 486.5 488.38 489.66 49.39 493.3 493.95 495.35 496.4 498.58 500.30 50.60 50.7 504.49 505.4 506.46 508.80 50.6 5.56 5.6 53.66 55.43 57.58 58.3 50.0 5.5 5.45 53.96 55.07 57.90 58.40 59.80 530.86 53.68 533.77 535.66 537.06 538.4 540. 540.63 54.84 : 0.. 99 t : TW mod(, 30), floor 30 t 4.3 t 300 54.84 Riema.mcd 6 Strey, 4.0.08
Die Riemasche Zetafutio (3) Riema (,). Azahl der Nullstelle r im Itervall 0 < T < t < T Nach dem Residuesatz ergibt sich die Differez zwische der Azahl N der Nullstelle ud der Azahl P der Pole ierhalb der eifach geschlossee Kurve C aus dem Itegral. ζ s ( s) d N P ds mit ζ π s ( s) : ζ( s) ds ζ( s) C Im Folgede werde die Riemasche Vermutug als richtig ageomme. Zur Berechug der Azahl der ρ σ t i für T : 490, T : 500 wähle ma z. B. die schmale (polfreie!) Ellipse r( ϕ) Mittelput T T z : i Halbachse a : b : 0 T T d r( ϕ) : z acos( ϕ) bisi( ϕ) r ϕ ( ϕ) : dϕ r( ϕ) Da gilt π ζ s ( r( ϕ) ) N : r ϕ ( ϕ) dϕ N 6 π i ζ( r( ϕ) ) 0 t 64 49.39 t 65 493.3 t 66 493.95 Tabelle. liefert die N 6 Nullstelle t 67 495.35 t 68 496.4 t 69 498.58 Eie Abschätzug des Itegrals (mit dem Rechtec C:, Ti, Ti, ) liefert die Näherugsformel für 0 N( T) < t T T T 7 : l mit N N( t) O( l( T) ) π π 8 (Riema - v. Magol) Beispiele: N( 499) N( 490) 6.3 N t 300 99.0 3. Summeformel der Reziproe aller Nullstelle r ud r r γ N : lim l( N) gleit, 8.577566 (Eulersche Kostate) N ρ ρ γ l π γ l π 0.03096 Zum Vergleich: 300 t i t i 0.050 Riema3.mcd 7 Strey, 4.0.08
Die Riemasche Zetafutio (4) Riema (,) 4. Tabelle der Primzahle Uterprogramm Sieb des Eratosthees Hauptprogramm streiche( a, q) : j 0 for b if Berechug der Primzahle leier als 0000 p : sieb( 0000) 0.. läge( a) b j 0 mod a, q a j j sieb( N) : for j 0.. N a j j b while b läge( a) a läge( a) > streiche a, b b a 0 Azahl der Primzahle : läge( p) 9 p 9973 Primzahle-Tabelle TP, abrolle! : 0.. TP floor 0 : p, mod (, 0 ) TP 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 5 7 3 7 9 3 9 3 37 4 43 47 53 59 6 67 7 73 79 83 89 97 0 03 07 09 3 7 3 37 39 49 5 57 63 67 73 79 8 9 93 97 99 3 7 9 33 39 4 5 57 63 69 7 77 8 83 93 307 3 33 37 33 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 40 409 49 4 43 433 439 443 449 457 46 463 467 479 487 49 499 503 509 5 53 54 547 557 563 569 57 577 587 593 599 60 607 63 67 69 63 64 643 647 653 659 66 673 677 683 69 70 709 79 77 733 739 743 75 757 76 769 773 787 797 809 8 8 83 87 89 839 853 857 859 863 877 88 883 887 907 9 99 99 937 94 947 953 967 97 977 983 99 997 009 Beispiele: TP, 3 67 p 3 67 TP, 9 9973 Riema4.mcd 8 Strey, 4.0.08
5. Zusammehag zwische Primzahle ud Zetafutio () : Euler ζ( s) s s p für σ > (Euler, für reelle s >) p, 3, 5,... Primzahlefolge Dieses Produt overgiert äußerst lagsam! Beispiel: 9 ( p ) Zeta 6 π 6. Azahl der Primzahle im Itervall [ 0, ] Azahlfutio π Azahl( p, p ) Realisierug für 0 < 0000 π : 0 while p brea if 9 Beispiele: π π( 50.5) 5 π( 0000) 9 π( p 00 ) 00 Grafi : 0.. 60 40 35 30 5 π 0 5 0 5 0 0 0 40 60 80 00 0 40 60 Riema4.mcd 9 Strey, 4.0.08
7. Primzahlsatz ud Näheruge für die Azahlfutio Primzahlsatz lim π l (. Beweise: Hadamard, de la Vallée Poussi) Primzahlsatz (falls die Riemasche Vermutug richtig ist)) π l O l Näherugsformel π : l π : l.08366 (Legedre, empirisch, >> ) Itegrallogarithmus Li : l( t) π3 : Li (Gauß) Vergleichstabelle π π π π3 π π π π π3 π T 50 5 3 8 7-3 00 5 8 9-3 3 4 500 95 80 97 0-5 6 000 68 45 7 77-3 4 9 5000 669 587 673 683-8 4 4 0000 9 086 3 45-43 6 50000 533 46 536 566-5 3 33 00000 959 8686 9588 9630-906 -4 38 500000 4538 3803 4533 4607-3435 -5 69 000000 78498 738 78543 7869-66 45 3 5000000 34853 3450 348644 348638-4363 3 5 0000000 664579 604 66540 66498-4458 56 339 00000000 576455 54868 5768004 57607-33774 6549 75 Die (empirisch gewoee) Näherug vo Legedre ist für 0 6 < vortrefflich. Ab ca. 50 6 ist die Gaußsche Näherug de adere überlege. Der Itegrallogarithmus spielt auch bei der achfolged behadelte (eate!) Formel vo Riema eie wichtige Rolle. Riema4.mcd 0 Strey, 4.0.08
Grafie : 3.. 00 50 40 30 0 0 0 50 00 50 00 Azahl /l() Legedre Gauß : 4.. 5000 700 600 500 400 300 00 00 0 000 000 3000 4000 5000 8. Wahrscheilicheitsiterpretatio Nach 7. π3() ist i asymptotischer Näherug die relative Häufigeit der Primzahle im Itervall [,] : π, d. h. f ist die Primzahldichte. l( t) l Für << << folgt ach dem Mittelwertsatz π( ) π oder geähert π( ) π l. Beispiel: : 400 : 00 π( ) π 9 l( δ ) l 8 Riema4.mcd Strey, 4.0.08
Die Riemasche Zetafutio (5) Riema (,,4) 9. Zusammehag zwische Primzahle ud Zetafutio () : Riema Setze J π π π 3 π 3... Diese Summe bricht ab, we <, d.h. > l() / l() ist. Mit Hilfe der Möbiussche Umehrformel etsteht die Darstellug der Azahlfutio: (#) π µ J J J 3 J 3 5 J 5... Diese Summe hat ebefalls ur edlich viele Glieder, mit vo abhägiger Azahl. Möbiussche µ - Futio: µ q q (.. q m ) Für alle mit Primteiler < p 50 9 gilt das Programm m für verschiedee Primzahle q µ µ 0 sost, d.h. ist icht "quadratfrei". µ : a for a.. 50, 0 a a if mod, p retur 0 if mod p 0 µ µ µ ( 3) µ ( 4) 0 µ ( 5) µ ( 6) µ ( 7) µ ( 8) 0 Beispiel: 00 00 7 J 7 π : S : 7 µ J.93 J( 80) 5.8 S( 80) π( 80) Es gilt die berühmte Riemasche Primzahlformel, (. Beweis: v. Magol): ( ) (##) J Li Li( ρ ) Li ρ l > t( t ) l( t) ρ I der Summe durchläuft ρ alle ichttriviale Nullstelle der Zetafutio mit Im(ρ) > 0! Mit (##), (#) liegt ei eater aalytischer Ausdruc für die Azahlfutio π() vor! Riema5.mcd Strey, 4.0.08
0. Disussio der Riemasche Primzahlformel; Näheruge. Gilt die Riemasche Vermutug, so vereifache sich die Summade i (##) wege l( t) ρ z ρ z ρ dz dz ud ρ l( z ρ t i ρ ) l( z) t i wie folgt de Li ρ Li ρ t i z z l( z) t i cos( t l( z) ) dz dz, zl( z) ------------------------ --------------------------------- t i t i e t l i e t l i cos t l.. Für > ist das Itegral bedeutugslos. t t l( t) < 3t z. B. 6 000 t t l( t) 0.4 3. Setze R(, m) m µ : Li Riema-Futio R R(, ) P(, m, N) : m µ N cos t l( z) zl( z) dz "Periodeateil" Da gilt die Näherug π R(, m) P(, m, N) Beispiele: : 80 l m : floor l m 7 R : R(, m) R.5 π --------------------------------------------- N : 5 P : P(, m, N) P 0.7 R P.8 N : 5 P : P(, m, N) P 0. R P.6 N3 : 30 P3 : P(, m, N3) P3 0.3 R P3.9 Die Riemafutio bietet (auch ohe Periodeateile) sehr gute Näheruge! Riema5.mcd 3 Strey, 4.0.08
Vergleichstabelle π Li R Li π R π T 50 5 7 5-0 00 5 9 6 4 500 95 0 94 6-000 68 77 68 9 0 5000 669 683 669 4-0 0000 9 45 7 6-50000 533 566 534 33 00000 959 9630 9588 38-4 500000 4538 4607 453 69-7 000000 78498 7869 7859 3 3 5000000 34853 348638 348450 5-63 0000000 664579 66498 664668 339 89 00000000 576455 57607 57655 75 96. Veraschaulichug der Periodeateile Näherugsfutioe π0(, N) : R P(, m, N) 0 9 70 7 74 76 78 80 Azahl R() N 0 N 50 N 80 Die Approimatio der Treppefutio eriert a eie Fourieraalyse! A der Sprugstelle p wird das Sprugmittel π( p) ageähert. Riema5.mcd 4 Strey, 4.0.08
Die Riemasche Zetafutio (6) Riema (,,4). Noch eimal: Die Riemasche Primzahlformel Umformug des Itegrals aus der Primzahlformel: f ( t) l t t t t 3 l( t) t t 3 l( t) t... t 4 t l ( t ) Setze u t, da gilt t l ( t ) 0 l( u) du ud f ( t) 0 l( t) ( ) li mit li : 0 l( t) für 0 < Das Itegral liefert also i J() de Ateil der triviale Nullstelle s. Die Primzahlformel besteht aus drei Ateile: J J p J N J T > J P Li J N ( Li( ρ ) Li( ) ) ρ ρ Ateil des Pols s der Zetafutio (Hauptteil) Ateil der ichttriviale Nullstelle s der Zetafutio (Periodizitäte), wahrscheilich ρ 0.5 t i. ρ, ρ J T ( ) li Ateil der triviale Nullstelle s der Zetafutio, (uerheblich). π µ J Der ostate Summad l a i J etfalle, de er liefert bei der Summierug wege µ 0 (v. Magol) eie Ateil für π. Riema6.mcd 5 Strey, 4.0.08
3. Beispiele Festleguge Li : ( < ) J P : Li l( t) N(, ) li cos( t l( z) ) : dz J N (, m) : zl( z) : ( 0 < ) J T (, m) : l( t) 0 m m N(, ) ( ) li Ateile Pol : AP(, m0) ( m0 < 30) : m0 µ J P Komplee Nullstelle: ( m < 300) Reelle Nullstelle: AN(, m0, m) : AT(, m0, m) : m0 m0 µ µ J N J T, m, m Azahlformel A(, m0, m, m) : AP(, m0) AN(, m0, m) AT(, m0, m).beispiel Ergebisformat: 3 Stelle m : 75 m : 5 : 9966 AP(, ) 4.4 AN(,, m) 3.69 AT(,, m) 0.0000000005 AP(, ) 6.899 AN(,, m) 3.69 AT(,, m) 0 AP(, 3) 3.779 AN(,, m) 3.69 AT(, 3, m) 0 AP(, 0) 3.3 AN(, 0, m) 3.73 AT(, 0, m) 0.004 AP(, 50) 3.39 AN(, 50, m) 3.69 AT(, 50, m) 0.08 A(, 50, m, m) 6.95 π 7 ---------------------------------------------------------------------- Riema6.mcd 6 Strey, 4.0.08
. Beispiel : 36, 36... 4 A A(, 50, 00, 0) 4 3 0 36 37 38 39 40 4 4 p() A() "Fourierompoete" der -te Nullstellepaare ρ, ρ i der Ateilformel AN(, m0, m) : m0 µ T(, m0, ) : N, m0 : 50 0. 0. 36 37 38 39 40 4 4 0. 5 0 0 50 Riema6.mcd 7 Strey, 4.0.08