Kapitel 5 Zeitreiheaalyse 5.1 Eiführug der Zeitreihe Uter eier Zeitreihe versteht ma die Etwicklug eier bestimmte Größe, dere Werte im Zeitablauf zu bestimmte Zeitpukte oder für bestimmte Zeititervalle erfasst ud dargestellt werde. Beispiel 5.1.1 (für Zeitreihe vo zeitpuktbezogee Merkmale): a) Weg-Zeit-Fuktio beim freie Fall: s(t) = g 2 t2 sei die i der Zeit t zurückgelegte Fallstrecke. Misst ma t i Sekude ud s(t) i Meter, so gilt a der Erdoberfläche für die Erdbeschleuigug g 9.81m sec 2. b) Devisekurse für US $ (Kassa Geld) Tag 15.11.04 16.11.04 17.11.04 18.11.04 19.11.04 $ für 1 Euro 1.2914 1.2931 1.3000 1.3003 1.2993 Für eie Aalyse dieser Zeitreihe, wie sie da i diesem Kapitel behadelt wird, wäre eie kompakte Darstellug wie i Teil a) zweckmäßig, also y(t). Dabei wäre t i Tage zu messe, ud zwar a Beste so, dass y(i) der Kurswert am i-te agegebee Tag ist, also: i 1 2 3 4 5 y(i) 1.2914 1.2931 1.3000 1.3003 1.2993 Die Fuktio y(t) ist aber offesichtlich ohe weitere Iformatioe ur für die agegebee Werte vo t, ämlich 1, 2, 3, 4, 5 defiiert. Allerdigs wäre z.b. y(2.5) sivoll, we och geaue Uhrzeite agegebe wäre ud der 12 Stude später als y(2) abgefragte Kurswert bekat wäre. Die Zeitskala ließe sich also prizipiell beliebig verfeier. Bsp. 5.1.2 (für eie Zeitreihe eies zeititervallbezogee Merkmals): Jahr i := Nummer des Zeititervalls Umsatz y i (i Mio. Euro) Jahr i y i 1988 1 4.8 1993 6 5.6 1989 2 5.2 1994 7 5.8 1990 3 5.6 1995 8 6.4 1991 4 4.9 1996 9 5.9 1992 5 6.2 Eie Fuktio y(t) ist bei Bsp 5.1.2 ur für t = 1,2,..., sivoll zu iterpretiere. Nicht sivoll ist z.b. y(1.5). Um sich aber z.b. eie bessere Überblick über de Verlauf der Zeitreihe zu 26
verschaffe, ist es zweckmäßig, die Zeitreihe i eier Kurve darzustelle (Siehe die utestehede Fig. 5-1). Dabei ist zu beachte, dass y(t) ur für bestimmte Werte vo t sivoll zu iterpretiere ist. y (Umsatz i Mio. Euro) 7 6 5 4 3 2 1 Fig. 5-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t 5.2 Kompoete eier Zeitreihe Bei lage Zeitreihe (etwa über mehrere Jahrzehte) ist eie Aufteilug i folgede 4 Kompoete sivoll: a) Tred T(t): Grudrichtug, lagfristige Etwicklug. b) Zyklische Kompoete Z(t): mitttelfristige Etwicklug, z.b. Eiflüsse vo Kojukturschwakuge. c) Saisokompoete S(t): kurzfristige Etwicklug ierhalb der eizele Jahre durch saisobedigte Schwakuge. d) Restkompoete R(t): eimalige oder seltee Eiflüsse ud Zufallsschwakuge. 27
Bei kurze Zeitreihe ist eie Treug zwische Tred ud zyklischer Kompoete icht mehr sivoll. Es bleibt eie Aufteilug i 3 Kompoete: a) Tred T(t): Grudrichtug, b) S(t) vergl. o., c) R(t) vergl. o. I diesem Kapitel werde ur solche Zeitreihe behadelt. Additive Verküpfug der Kompoete: (5.2.1) y(t) = T(t) + S(t) + R(t) Multiplikative Verküpfug der Kompoete: (5.2.2) y(t) = T(t) S(t) R(t) Reduktio auf additiver Verküpfug durch Logarithmere (z.b. mit Basis e ) (5.2.3) l y(t) = l T(t) + l S(t) + l R(t) 5.3 Schätzug des Treds 5.3.1 Die Methode der gleitede Durchschitte Gleiteder Durchschitt über eie ugerade Azahl vo Werte (5.3.1) T(i) D 2m+1 (i) := y i m+y i m+1 +...+y i +y i+1 +...+y i+m 2m+1 Rekursiosformel: (5.3.2) D 2m+1 (i) = D 2m+1 (i 1) + y i+m y i m 1 2m+1 Eie Mittelbildug über eie gerade Azahl vo Werte würde eie Tredschätzug a eiem icht sivolle Wert vo t liefer. Wäre (wie etwa bei Moatswerte) doch eie Art Mittelbildug über eie gerade Azahl wüscheswert, so ka ma folgede Modifikatio des gleitede Durchschitts verwede: (5.3.3) T(i) D 2m (i) := 0.5y i m+y i m+1 +...+y i+m 1 +0.5y i+m 2m Rekursiosformel: (5.3.4) D 2m (i) = D 2m (i 1) + (y i+m+y i+m 1 ) (y i m +y i m 1 ) 4m Nachteil des gleitede Durchschitts: keie Tredschätzug für die erste ud letzte Werte vo i. 5.3.2 Die Methode der expoetielle Glättug Rekursive Berechug vo T (i) als Schätzug für T(i) ach der Methode der expoetielle Glättug: (5.3.5) T (1) = y(1), T (i) = α y(i) + (1 α) T (i 1) (i 2) Die Glättugskostate α ist dabei eie vorher festzusetzede Zahl mit 0 α 1. Ma erhält eie starke Glättug, we α ahe bei 0 ist, ud eie schwache Glättug, we α ahe bei 1 ist. 28
Die Bezeichug expoetielle Glättug kommt daher, dass ma aus (5.3.5) folgede Formel herleite ka: (5.3.5 a) T (i) = α i 2 j=0 (1 α) j y (i j) + (1 α) i 1 y(1) (i 2) Für die praktische Berechug ist aber (5.3.5) vorzuziehe. 5.3.3 Drei Fuktiosasätze für die Tredschätzug Liearer Asatz: T(t) a + bt Parabolischer Asatz: T(t) a + bt + ct 2 Expoetieller Asatz: T(t) ab t (a,b 0) Reduktio des expoetielle auf de lieare Asatz: (5.3.6) l T(t) l a + t l b =: a + t b 5.3.4 Die Freihadmethode Apassug eier Tredgerade (also liearer Asatz) ach Augemaß a die graphische Darstellug der Zeitreihe 5.3.5 Die Methode der kleiste Quadrate Vorbemerkug zur Schreibweise: Um bei de i diesem Abschitt eigeführte arithmetische Mittel de Zusammehag mit der Zeitvariable zum Ausdruck zu brige, verwede wir für die Bezeichug der Zeitpukte oder Zeititervalle die Bezeichug t i statt eiach i, auch we meist (aber icht immer) t i = i ist. a) Liearer Asatz: Bestimme a ud b so, dass (5.3.7) 1 d 2 i mit d i := (a + b t i ) y i ei Miimum wird. Diese Forderug ist erfüllt, we a ud b die folgede Normalegleichuge erfülle: (5.3.8) a + t b = y Dabei bedeute z.b.: t := 1 t i, t 2 := 1 t a + t 2 b = yt t 2 i (> t 2 i.allg.), y t := 1 y i t i (= ty y t i.allg.) Zur Herleitug ud zum Verstädis der Normalegleichuge ist es ützlich, (5.3.7) ausführlich zu schreibe: 29
1 d 2 i = 1 (a + bt i y i ) 2 = 1 (a 2 + b 2 t 2 i + y2 i + 2abt i 2ay i 2bt i y i ) = a 2 + b 2 t 2 + y 2 + 2abt 2ay 2bty Bezeiche wir diese Ausdruck mit g(a, b), so müsse ach de u.a. i der Mathematik II Vorlesug bereitgestellte Verfahre folgede otwedige Bediguge erfüllt sei, damit g(a,b) miimal wird. g(a,b) a = 2a + 2bt 2y! = 0, g(a,b) b = 2bt 2 + 2at 2ty! = 0 Das führt auf das System (5.3.8) der Normalegleichuge, das seierseits immer eideutig lösbar ist außer i dem Soderfall ( ) t 2 = t 2 alle ti sid gleich = 1 (wege t 1 < t 2 <... ) Die Lösug des Systems (5.3.8) der Normalegleichuge lautet: (5.3.9) b = t y t y t 2 t 2, a = y bt. Dass die Werte für a ud b aus (5.3.9) wie gefordert die Fuktio g(a,b) tatsächlich miimiere, muss och gezeigt werde. Dabei geügt es i.allg. icht, die Hesse Matrix zu utersuche, da dies eie Aussage über relative Extrema liefert. Da aber g(a,b) durch lieare Substitutioe i eie quadratische Form umgewadelt werde ka, geügt die Utersuchug der Hesse Matrix doch: H(a,b) := ( 2 g(a,b) a 2 2 g(a,b) a b ) 2 g(a,b) a b 2 g(a,b) = b 2 ( 2 2t 2t 2t 2 Da für 2 die Determiate dieser Hesse Matrix = 2 2t 2 (2t) 2 = 4(t 2 t 2 ) > 0 ist ud 2 g(a,b) a = 2 > 0 ist, besitzt g(a,b) für die Werte aus (5.3.9) ach Satz 11.6 b) der 2 Mathematik II Vorlesug ei relatives Miimum. Das ist aber gleichzeitig ei absolutes Miimum, da g(a, b) durch lieare Substitutioe i eie quadratische Form umgewadelt werde ka. ) Die bei der Mittelbildug otwedige Divisioe durch ka ma bei der Berechug vo b vermeide, idem ma de Bruch i (5.3.9) mit 2 erweitert ud erhält so die Alterativformel: (5.3.9a) b = ( t y) ( t) ( y) ( t 2) ( t) 2, a = y bt. b) Parabolischer Asatz: Bestimme a,b,c so, dass 30
(5.3.10) 1 d 2 i mit d i := (a + bt i + ct 2 i ) y i ei Miimum wird. Diese Forderug ist erfüllt, we a, b ud c die folgede Normalegleichuge erfülle: (5.3.11) Dabei bedeute z.b.: t k := 1 t k i,,y t k := 1 t k i y i. a + t b + t 2 c = y t a + t 2 b + t 3 c = yt t 2 a + t 3 b + t 4 c = yt 2 Die bei der Mittelbildug otwedige Divisioe durch ka ma vermeide, idem ma alle Gleichuge mit durchmultipliziert: (5.3.11a) ) a + ( t) b + ( t 2 c = ( y) ) ) ( t ( 2 t 3 ( t) a + b + ) ) ( t 2 a + ( t 3 b + ( t 4 ) c = c = ( yt) ) ( yt 2 Dieses System der Normalegleichuge ist eideutig lösbar bis auf die für die Praxis belaglose Soderfälle = 1 ud = 2. c) Expoetieller Asatz: Statt aalog zu a) ud b) mit d i = ab t i y i zu arbeite, ist es zweckmäßiger, auf de lieare Asatz (vergl. (5.3.6)) zu reduziere. Ma erhält so: (5.3.12) b = t ly t ly, a = l y b t t 2 t 2 a = e a, b = e b Dabei bedeute z.b.: l y := 1 l y i,,t l y := 1 t i l y i. a,b sid also die Koeffiziete bei dem lieare Asatz für die Tredschätzug bei der Zeitsreihe l y i statt y i. Häufig ist es zweckmäßig, bei dieser Tredschätzug zu bleibe ud auf die Umrechug i a ud b zu verzichte: (5.3.13) l T(t) T ly (t) = a + b t (Tredschätzug für l y i ). Statt l ka ma z.b. auch log 10 verwede. Ma erhält da die Umrechugsformel a = 10 a, b = 10 b. Die bei der Mittelbildug otwedige Divisioe durch ka ma bei der Berechug vo b vermeide, idem ma de Bruch i (5.3.12) mit 2 erweitert ud erhält so die Alterativformel: 31
(5.3.12a) b = ( t ly) ( t) ( ly) ( t 2) ( t) 2, a = l y b t. a = e a, b = e b Allg. Bem. zu 5.3: I der Praxis sollte bei de Tredschätzugsverfahre etwa 30 sei. 5.4 Saisobereiigug 5.4.1 Ei Verfahre bei additiver Verküpfug Es seie Zeitreihewerte y i i moatliche Date vorgegebe. Bei adere Aufteilug des Jahres sid die Eizelschritte etspreched zu modifiziere. 1. Schritt: Tredschätzug durch gleit. Durchschitte: (5.4.1) T(i) D 12 (i) ( t i durch i ersetzt) 2. Schritt: Tredbereigug: Bestimmug vo (5.4.2) d i := y i D 12 (i) als Schätzug für y i T(i) = S(i) + R(i). Aahme 1: Der Wert der Saisokompoete S(i) ist ur vo dem Moat ud icht vo dem Jahr abhägig. I alle Jahre soll die Saisobewegug gleich sei. Damit bestimme 12 Werte vo S(i), die de Moate zugeordet sid, die gaze Saisokompoete: (S I,S II,...,S XII ) Dieser Satz vo 12 Zahle heißt Saisoormale. Die Verbidug zur Saisokompoete ist da i folgeder Weise gegebe: (5.4.3) S I, S(i)( S i ) = S II,. falls der Moat mit der Nummer i ei Jauar ist. falls der Moat mit der Nummer i ei Februar ist.. Die Schätzug der Saisoormale ist das Ziel der ächste Schritte. 3. Schritt: Bildug der arthm. Mittel aller Werte d i, die zu jeweils eie Moat gehöre. Wir bezeiche diese arithmetische Mittel mit: d I, d II,..., d XII. d II ist z.b. das arithmetische Mittel aller Werte d i, die zum Februar gehöre. Aahme 2: Der Jahresdurchschitt aller saisobedigter Abweichuge verschwidet, d.h. (5.4.4) 1 12 (S I + S II + + S XII ) = 0 32
4. Schritt: Bestimmug vo (5.4.5) d := d I+d II + +d XII 12 als Korrektur zu de Werte d I,d II,...,d XII. Damit ist eie Schätzug für die Saisoormale wie folgt zu bestimme: (5.4.6) (S I,S II,...,S XII ) mit S I := d I d,...,s XII := d XII d. 5. Schritt: Bestimmug vo (5.4.7) B i := y i S i mit (vergl. (5.4.3)) SI, S (i)( Si ) = SII,. als Schätzug für y i S(i) = T(i) + R(i) falls der Moat mit der Nummer i ei Jauar ist, falls der Moat mit der Nummer i ei Februar ist, Die Werte B i bilde also eie Schätzug für die saisobereiigte Zeitreihe. 6. Schritt: Bestimmug vo (5.4.8) R i := B i D 12 (i) als Schätzug für die Restkompoete: R(i) = y i S(i) T(i). Bem.: d i ud R i köe icht für alle i der Zeitreihe berechet werde, da die gleitede Durchschitte dabei werwedet werde. Beispiele zur Saisobereiigug fide Sie i de i diesem Verzeichis abgelegte Files kap5erg1.pdf ud kap5erg2.pdf.. 5.4.2 Ei Verfahre bei multiplikativer Verküpfug Durch Logarithmiere (vergl. (5.2.3)) lässt sich die Utersuchug auf de Fall der additive Verküpfug reduziere. Es ist also das Verfahre aus 5.4.1 auf die Zeitreihe l y i azuwede. Es ist da zweckmäßig, die logarithmische Darstellug beizubehalte ud erst bei der Auswertug eizeler Zahleergebisse die Logarithmierug wieder rückgägig zu mache. 33