T5 Ausstahlungspobleme T5. Potentiale und Wellengleichung Die Quelle elektomagnetische Stahlung, d.h. von Wellen, die sich im ganzen Raum ausbeiten, sind zeitlich veändeliche Ladungs- und Stomdichten. Wi müssen uns jetzt also mit de Lösung de inhomogenen zeitabhängigen Maxwellgleichungen auseinandesetzen. div E,t) = ǫ 0 ρ q,t), div B,t) = 0, ot E,t) = t B,t), ot B,t) = µ 0 j,t) + c 2 t E,t). Die beiden homogenen Gleichungen, in denen ρ q und j nicht aufteten, können duch Einfühung von Potentialen allgemein gelöst weden. Aus div B = 0 folgt B,t) = ot A,t). T5.) Setzen wi dies in ot E = tb ein, so ehalten wi ot E + t ot A = ot E + ) A t = 0. Dies bedeutet abe, dass E + t A ein Potential Φ besitzt siehe T.6, Diskussion von Gl. T.66)). E + t A = gad Φ, ode E = gad Φ t A. T5.2) Diese Ausduck ist veständlich: Wi wissen, dass das E-Feld im Allgemeinen sowohl Quellen ǫ 0 ρ q als auch Wibel, ezeugt duch t B, enthält. gad Φ ist wibelfei ot gad 0), wähend t A den Wibelanteil egibt. Nun wissen wi, dass Gl. T5.) A,t) nicht eindeutig festlegt. Die Potentiale A,t) und A,t) = A,t) + gad f,t) T5.3) ezeugen dasselbe B-Feld. Was bedeutet diese Umeichung in Gl. T5.2) fü E? Setzen wi T5.3) fü A in T5.2) ein, so ehalten wi E = gad Φ A t + t gad f = gad Φ t ) f A t. Mit ehalten wi also Φ = Φ t f E = gad Φ t A. T5.4) T5 -
Eichinvaianz Die physikalisch beobachtbaen Felde E,t), B,t) sind invaiant unte de Eichtansfomation A,t) = A,t) gad f,t) Φ,t) = Φ,t) + t f,t) de Potentiale. Fü f,t) ist jede diffeenziebae skalae Funktion zugelassen. Dies veallgemeinet die Eichfeiheit de Statik. Diese entspicht de Wahl f,t) = f 0 ) + t Φ 0. Wi setzen nun Gl. T5.2) fü E in die Maxwellgleichung div E = ρ q /ǫ 0 ein. {}}{ divgad Φ t div A = ρ q /ǫ 0. T5.5) Entspechend ehalten wi aus Gl. T5.), T5.2) und ot B = µ 0 j + c 2 t E ot ot A = µ 0 j c 2 gad Φ + ) A t t. Wi vewenden und ehalten ode ot ot A = gad div A A gad div A A + c 2 2 t 2 A + c 2 t gad Φ = µ 0 j gad div A + ) c 2 t Φ A + c 2 2 t 2 A = µ 0 j. T5.6) Um diese Gleichungen zu veeinfachen, foden wi Loentzeichung div A + c 2 t Φ = 0. T5.7) Dies ist offensichtlich eine Veallgemeineung de Coulombeichung div A = 0 aus de Magnetostatik. Das wi diese Bedingung duch geeignete Wahl de Eichfunktion f,t) imme efüllen können, weden wi unten sehen. T5-2
Gleichungen T5.5), T5.6) vekoppeln im Allgemeinen die Potentiale Φ, A. Mit Loentzeichung entkoppeln sie und weden seh einfach. [ 2 ] c 2 t 2 Φ = ρ q ǫ 0 [ 2 ]. T5.8) c 2 t 2 A α = µ 0 j α, α =,2,3 Fü den Diffeentialopeato hat man ein eigenes Symbol eingefüht: 2 c 2 t 2 = d Alembet Opeato. Gleichungen de allgemeinen Stuktu g,t) = h,t) T5.9) weden Wellengleichungen genannt. c ist die Phasengeschwindigkeit de Welle. Die Wellengleichung titt bei vielen einfachen Poblemen de Wellenausbeitung auf. Ein Beispiel hatten wi am Ende des. Semestes: Das Veschiebungsfeld des lineaen Kistalls gehocht de Gleichung Mechanik, T.85). [ E 2 ] t 2 2 x 2 ux,t) = 0. Dies ist eine homogene -dimensionale Wellengleichung. E = c ist hie die Schallgeschwindigkeit. Als Lösungen de homogenen Wellengleichung 2 ) g,t) c 2 t 2 g,t) = 0 im unendlichen Raum ehalten wi sofot wiede ebene Wellen: g,t) = g 0 e i k ωt),ω = c k. Übezeugen Sie sich davon duch Einsetzen). Wie wi in T4.3 gelent haben, können wi aus diesen beliebige, physikalisch sinnvolle Wellenpakete konstuieen. Jetzt wollen wi die Lösung de inhomogenen Wellengleichung diskutieen. Zunächst einnen wi uns an die Poisson Gleichung T2.9, Φ g, ρ g /ǫ 0 h) Sie hat die Lösung T2.0). g ) = h ). g ) = d 3 h ). Die Quelle am Ot liefet am Ot also den Beitag dg ) = d3 h ). T5-3
Die Wellengleichung ist eine zeitabhängige Eweiteung de Poisson Gleichung. Stellen wi uns nun vo, dass die Quellstäke h am Punkt bis zu Zeit t konstant ist, abe danach ändet sie sich. Am Punkt weden wi das nicht sofot bemeken. Die Felde pflanzen sich ja nu mit de Geschwindigkeit c fot, und deshalb wid es die Zeit /c dauen bis wi am Punkt die duch die Ändeung von h hevogeufene Ändeung de Felde bemeken. Wi vemuten also: Am Punkt sehen wi zu Zeit t den Zustand de Quelle am Punkt, wie e zu Zeit t = t c T5.0) wa. Diese Veschiebung de Zeitvaiablen nennt man Retadieung. In Anbetacht de Lösung de Poissongleichung vemuten wi also: Die Wellengleichung hat die Lösung ) g,t) = h,t d 3 c. T5.) Dies ist tatsächlich eine Lösung, wie man duch Einsetzen und Ausechnen zeigt. Dies ist eine Übung im Diffeenzieen - je nach Geschick und Efahung meh ode wenige umständlich. De einzige nicht tiviale Schitt ist die Feststellung. = δ ). T5.2) Auch wenn wi diese Beziehung bishe noch nicht explizit hingeschieben haben, so kennen wi sie doch schon. Sie wissen: Das Coulombpotential de Punktladung ist ρ q ) = q δ 0 ) Φ c ) = ǫ 0 q 0. Es efüllt die Poissongleichung Φ c ) = q ǫ 0 δ 0 ). Einsetzen egibt q ǫ 0 0 = q ǫ 0 δ 0 ). Gl. T5.2) folgt. Auf systematischem Weg können wi Gl. T5.) heleiten, in dem wi zunächst die Wellengleichung T5.9) duch Fouietansfomation in eine einfache algebaische Gleichung fü g k, ω) vewandeln: k 2 ω 2 /c 2 ) g k, ω) = h k, ω). Das Poblem ist dann die Beechnung von g, t) duch Auswetung des Fouieintegals übe k und ω. Dies benötigt meh Mathematik, als wi hie zu Vefügung haben. T5-4
Mit de Lösung T5.) haben wi spezielle Lösungen de Wellengleichungen T5.8) ehalten. Φ,t) = ǫ 0 A,t) = µ 0 etadiete Potentiale d 3 ρ q,t c j,t d 3 c ) ) T5.3) Da die Gleichungen in den Potentialen linea sind, ehalten wi die allgemeine Lösung als Summe de speziellen Lösung und de allgemeinen Lösung de homogenen Gleichung, also von Wellenpaketen siehe Mechanik, T5.3). Wi müssen noch zeigen, dass wi die Loentzeichung imme foden düfen. Nehmen wi also an, wie hätten Potentiale Φ, A gefunden fü die Loentzeichung nicht gilt: div A + c 2 t Φ 0. Wi eichen um, und foden, dass fü die umgeeichten Potentiale Φ, A Loentzeichung gilt. Aus de Eichtansfomation folgt div A + c 2 t Φ = div A + c 2 t Φ div gad f + 2 c 2 t 2 f, ode mit de gefodeten Loentzeichnung T5.7) fü A, Φ : ) c 2 t f = div A + c 2 t Φ. Die Eichfunktion f efüllt also die Wellengleichung und die hat, wie wi oben gesehen haben, imme eine Lösung: Wi düfen Loentzeichung foden. Setzt man die Lösungen T5.3), in die Eichbedingung T5.7) ein, so sieht man, dass diese efüllt ist, weil die Ladung ehalten ist. Im statischen Fall haben wi diese Rechnung in T3.2 duchgefüht. Hie geht es völlig analog. T5.2 Chaakteistische Eigenschaften von Stahlungsfelden Wi betachten jetzt eine Ladungsdichte, die mit de Fequenz ω oszilliet. ρ phys) q,t) = ρ q )cos ωt). T5.4) T5-5
Es ist bequeme, in Komplexen zu echnen. Also definieen wi ρ q,t) = ρ q )e i ωt. T5.5) ρ phys) q ist de Realteil. Zu eine oszillieenden Ladungsdichte gehöt eine Stomdichte. Die Kontinuitätsgleichung egibt div j,t) = t ρ q,t) = + iω ρ q )e i ωt. Also oszilliet auch j mit de Fequenz ω und wi definieen j,t) = j )e i ωt. T5.6) Die Kontinuitätsgleichung lautet dann div j ) iω ρ q ) = 0. T5.7) Setzen wi T5.5) in das etadiete Potential Φ Gl. T5.3) ein, so ehalten wi Φ, t) = ǫ d 3 ρ q ) e i ω t c = e i ωt d 3 ρ q ) ǫ 0 ei ω c. T5.8) }{{} Φ ) Entspechend finden wi A,t) = e i ωt A ), T5.9) mit A ) = µ 0 j d 3 ) ei ω c. T5.20) Also oszillieen auch die Potentiale und damit die Felde E,t), B,t) mit Fequenz ω. E,t) = E )e } iωt B,t) = B )e. T5.2) iωt Man beachte: ρ q ),, B ) sind hie die Amplituden oszillieende Felde, keine statischen Felde! Weite ist zu betonen, dass die Beschänkung auf mit de Fequenz ω oszillieende Felde keine ensthafte Einschänkung ist. Ist ein ρ q,t) gegeben, so können wi die Fouietansfomiete übe die Zeit bilden T5-6
Umkehung. ρ q,ω) = + dt ρ q,t)e + i ωt, 2π ρ q,t) = + dω ρ q,ω)e iωt, 2π Entspechend natülich fü alle andeen Felde. Also können wi aus den oszillieenden Felden beliebige zeitabhängige Felde konstuieen. Da ebene Wellen die Fom e i k ωt) haben, wählen wi die Vozeichen im Exponenten bei de Fouietansfomation übe t positiv und nicht negativ, wie bei de Fouietansfomation übe. Dies ist die übliche Konvention. Wi wollen jetzt annehmen, dass die Ladungs- und Stomveteilung auf einen endlichen Raumbeeich beschänkt ist - eine ealistische Annahme. } ρ ) = 0 fü > R 0. T5.22) j ) = 0 Wi inteessieen uns fü die Felde außehalb de Ladungsveteilung: > R 0. Denken Sie an einen Radiosende: Sie wollen die Sendung nicht nu empfangen, wenn Sie in de Sendeantenne sitzen). Da dann j ) = 0 ist, folgt aus de Maxwellgleichung ot B = µ 0 j + c 2 t E und Gl. T5.2) ot B )e i ωt = c 2 iω E )e i ωt ode E ) = ic2 ω ot B ). T5.23) Also genügt es, wenn wi A ) diskutieen, denn aus A ) folgt B ) als B ) = ot A ), und daaus E ). Wenn wi die Fequenz ω duch die Wellenlänge ausdücken ω = 2π c λ T5.24) T5.25) nimmt A ), Gl. T5.20), die Fom an: A ) = µ 0 j d 3 ) 2π ei λ. T5.26) Dies wollen wi in zwei wesentlichen Genzfällen ausweten. T5-7
A) Das Nahfeld Wi nehmen an R 0 λ, λ. Die Ausdehnung de Quelle ist klein veglichen mit λ, und und wi sind dicht bei de Quelle. Dann gilt e 2π i /λ ) = + O, λ T5.27) und es folgt A ) = µ 0 d 3 j ). T5.28) Dies ist abe das Vektopotential eine statischen Stomveteilung j )! Gl. T3.24). Also ist B ) = ot A ) das zu j ) gehöige statische B-Feld, Gl T3.26). B ) = µ 0 Damit folgt aus T5.2), T5.6) d 3 j ) 3. B,t) = µ 0 d 3 j,t) 3 T5.29) Beechnen wi jetzt E ) gemäß T5.23), so ehalten wi nach etwas Rechnen zunächst E ) = i ǫ 0 ω d 3 div j ) 3. Mit de Kontinuitätsgleichtung T5.7), div j ) = iω ρ q ), wid hieaus E ) = d 3 ρ q ) ǫ 0 3. Dies ist das E-Feld eine statischen Ladungsdichte ρ q ), T2.0). Fü das zeitabhängige Feld ehalten wi also E,t) = d 3 ρ q,t) ǫ 0 3. T5.30) Die Egebnisse T5.29), T5.30) zeigen, dass die Felde in de Nahzone quasistatisch de momentanen Stom- und Ladungsveteilung folgen. Unsee Annahmen R 0 λ, λ implizieen c λ c = 2π ω. T5.3) T5-8
Die Laufzeit de Stahlung von de Quelle zum Empfänge ist also kuz im Vegleich zu Zeit, in de sich de Zustand de Quelle wesentlich ändet. Deshalb ist die Retadieung venachlässigba. Dies eklät, waum man in de Niedefequenz-Elektotechnik bei de Beechnung von Schaltkeisen die Felde nicht baucht. Wi wissen, dass bei statischen Poblemen die Felde leicht zu eliminieen sind und wi alles duch Ladungen und Stöme ausdücken können Fenwikungsbild). Wi beechnen dann unsee Schaltkeise mit Hilfe von Kapazitäten, Induktivitäten und Wideständen - wie im Expeimentalteil demonstiet - und hoffentlich) aus de Schule bekannt. Wie gut ist diese Näheung fü den üblichen Wechselstom de Fequenz ν = ω 2π = 50sek? Mit λ = 2π c ω = c folgt λ = 3 05 km = 6000km. ν 50 Solange Ihe Schaltung deutlich kleine ist als de Edadius, düfen Sie sie also so beechnen, wie Sie gewohnt sind. Est wenn Sie hochfequente Stöme im Beeich von 0 5 sek betachten, ehalten Sie kleine Abweichungen. Fü noch höhee Fequenz Radiosende abeiten mit Fequenzen ω 0 6 0 sek ), müssen Sie die abgestahlte Leistung ensthaft beücksichtigen. B) Das Fenfeld Wi nehmen an: R 0, λ. Wi sind also weit von de Quelle entfent. Dann können wi duch Tayloentwicklung appoximieen. Wi fühen die Notation =, = und den Winkel ϑ zwischen und ein. Damit folgt = ) 2 = 2 2 cos ϑ + 2 = 2 ) cos ϑ 2 + = ) ) cos ϑ 2 + O. T5.32) De Ausduck fü A ), Gl. T5.26), lautet A ) = µ 0 Fü den Nenne ehalten wi mit T5.32): = j d 3 ) 2π ei λ. + O )). T5-9
Das Agument de Exponentialfunktion müssen wi genaue ausweten: i 2π λ = i 2π λ i 2π ) λ cos ϑ + O. De Tem cos ϑ ist unabhängig von und daf deshalb im Exponenten nicht venachlässigt weden. )) e i 2π λ = e i 2π λ e i 2π λ cos ϑ + O. Wi definieen noch den Wellenvekto k: k = 2π λ e, k = k = 2π λ. T5.33) E zeigt in die Richtung des Vektos. Weite gilt e = cos ϑ. Damit wid 2 π λ cos ϑ = k e = k und wi ehalten A ) = µ 0 e i k d 3 j )e i k + O Das Integal d 3 j )e i k = α e ) )). T5.34) T5.35) hängt übe k von de Richtung e von ab, abe nicht von =. Jetzt beechnen wi die Amplitude des Magnetfeldes B ) = ot A ) = µ 0 α e ) ei k ). In sphäischen Polakoodinaten gilt = e + e ϑ ϑ + e ϕ sin ϑ ϕ. Wi betachten zunächst die Wikung des Anteils e. α e ) hängt übe e nu von ϑ und ϕ ab. Die Ableitung ei k wikt deshalb nu auf den Fakto. e α e ) ei k ) ei k = e α e ) ik ) )) ei k + O. = i k α e ) De Tem O ) müssen wi venachlässigen, da wi solche Teme ja schon in A ), Gl T5.34), ignoiet haben. Die ϑ- und ϕ-ableitungen in enthalten jeweils einen Vofakto, liefen also nu zu venachlässigende Teme ei k / 2. Wi ehalten ei k B ) = µ 0 i k α e ) ei k + O )). T5.36) T5-0
In fühende Odnung in wid aus einfach i k. Ich einnee daan, dass fü ebene Welle diese Esetzung soga exakt wa). Da E ) = i c2 ω B ) Gl. T5.23) liefet uns diese Rechnung auch sofot E ) = i c2 ω i k B ) + O )). T5.37) Wi stellen die Egebnisse noch einmal zusammen, unte Vewendung von k = 2π λ e, ω = 2π c λ : B,t) = µ 0 2λ i 2π ei λ c t) e α e ) E,t) = c e B,t). T5.38) Dies sind die komplexen Stahlungsfelde. Um diese Bezeichnung zu vestehen, betachten wi die Enegiestomdichte T4.58): σ = µ 0 Re E) Re B) = µ 0 Re B) Re E) = c µ 0 Re B) e Re B) = c e ReB) µ 2 c ReB 0 µ e ReB) 0 }{{} 0 = µ 0 c e [ 4λ 2 2 Re ie i 2π 2 λ ct) e α e )]). T5.39) σ ist adial nach außen geichtet und fällt wie 2. Die Obefläche eine Kugel vom Radius ist 2, und damit ist de gesamte Enegiestom, de duch die Kugelobefläche titt im Zeitmittel übe eine Peiode konstant und unabhängig von. Die Enegie stömt adial in s Unendliche: Sie wid abgestahlt! Hätten wi unsee Entwicklung weite getieben, so hätten wi als nächsten Beitag zu E, B Teme de Odnung ehalten, und in σ einen Tem de Odnung mindestens) 2. Fü einen solchen Beitag fällt de gesamte Enegiestom duch die Obefläche wie 3, veschwindet also fü. Felde, die stäke abfallen als können also keine Enegie in s Unendliche tagen. Sie sind an die Quelle gebunden. T5 -
Aus T5.38) sehen wi sofot, dass die Stahlungsfelde tansvesal polaisiet sind. B steht senkecht auf de Ausbeitungsichtung e, und E steht senkecht auf e und B. Dies einnet an ebene Wellen. Tatsächlich können wi ebene Wellen als Näheung an ein Stahlungsfeld auffassen, gültig solange de Ausschnitt, den wi betachten, klein ist gegenübe dem Abstand de Quelle. Betachten wi nu den Fakto c t) ei2π λ so sehen wi, dass die Flächen konstante Phase Kugelflächen sind, die sich mit de Phasengeschwindigkeit c ausdehnen. Man spicht deshalb auch von Kugelwellen, muss abe beachten, dass de im Allgemeinen komplexe) Fakto α e ) die Flächen konstante Phase winkelabhängig defomieen kann. C) Dipolstahlung Hetz sche Dipol) Wi wollen noch ein wichtiges Beispiel eines Stahlungsfeldes betachten. Wi nehmen an, dass die Abmessung R 0 de Quelle klein ist im Vegleich zu Wellenlänge λ. R 0 λ. Ein Beispiel ist ein Molekül, Abmessung R 0 0 9 m, das Licht, λ 4 0 7 m, aussendet. Dann können wi in α e ) nach k = 2π e λ entwickeln α e ) = d 3 j ) e i k = d 3 j ) i2π e λ 2 2π e λ ) 2 +... ). T5.40) Dies liefet die Multipolentwicklung de Stahlungsfelde. De este Tem liefet elektische Dipolstahlung, de zweite magnetische Dipolstahlung und elektische Quadupolstahlung, dann kommt de magnetische Quadupol und de elektische Oktupol usw. Die Winkelabhängigkeit wid imme kompliziete. Wi wollen nu den esten Tem betachten. α e ) = d 3 j ). T5.4) T5-2
Dies können wi umscheiben. Es gilt d 3 β div j ) = = γ d 3 β j γ ) γ γ ) d 3 j γ ) β γ }{{} δ β γ = d 3 j β ). Also folgt d 3 j ) = d 3 div j ) T5.7) = iω d 3 ρ q ). T5.42) Nun spalten wi ρ q ) in die Dichte positive Ladung ρ +) q ) und die Dichte negative Ladung: ρ ) q ) auf. Das System soll elektisch neutal sein: Q +) = d 3 ρ +) q ) = De Schwepunkt de positiven Ladung liegt bei R +) = Q +) d 3 ρ +) q ), T5.44) d 3 ρ ) q ) = Q ). T5.43) de de negativen bei R ) = Q ) d 3 ρ ) q ), T5.45) und mit Q ) = Q +) ehalten wi ) d 3 ρ +) q ) + ρ ) q ) = Q +) R +) R )) = d. T5.46) d ist das elektische) Dipolmoment de Ladungsveteilung. Es folgt α e ) = iω d. Damit egibt sich fü das Stahlungsfeld B,t) = µ 0 2λ ω 2π ei λ ct) e d. T5-3
Wenn wi das Koodinatensystem so legen, dass d = d e 3, so folgt e e 3 = sin ϑ e ϕ. Mit ω = 2π c/λ ehalten wi also B,t) = π µ 0 c d λ 2 ei2π λ c t) sin ϑ e ϕ E,t) = π µ 0 c 2 d λ 2 ei2π λ c t) sin ϑ e ϑ. T5.47) Dies ist elektische Dipolstahlung. Sie wid duch das oszillieende Dipolmoment dt) = de i ωt ezeugt. Sie ist unabhängig vom Winkel ϕ, also otationssymmetisch um die Achse des Dipolmoments. Tagen wi in de duch ϑ gegebenen Richtung in de e e 3 Ebene eine Stecke de Länge Eϑ) ab, die im Uspung beginnt, so ezeugt de Endpunkt diese Stecke als Funktion von ϑ eine typische Keulenfom. So ein Poladiagamm ist hie gezeichnet. In Richtung d e 3 des Dipols wid nichts abgestahlt, E0) = 0 = Eπ)), die maximale Abstahlung ist in de Ebene senkecht zu d. Da die Stahlung otationssymmetisch um d ist, ist diese Keule de Schnitt eines Tous mit de e 3 e Ebene. Dasselbe Bild ehält man natülich fü B. E e ϑ liegt in de von d und de Ausbeitungsichtung e gegebenen Ebene, B e ϕ steht senkecht auf diese Ebene. Nebenstehend sind Vektoen Eϑ) fü feste Zeit t und festen Abstand vom Dipol aufgetagen. Unte Beücksichtigung de Rotationssymmetie sehen Sie hie das momentane E- Feld auf eine Kugelschale, deen Zentum mit dem Dipol zusammenfällt. Dipolstahlung dominiet imme, wenn i) de Sende ein Dipolmoment besitzt und i i) die Wellenlänge λ hineichend goß ist gegenübe den Abmessungen R 0 des Sendes, denn die Multipolentwicklung T5.40) odnet in Potenzen von R 0 /λ. Langwellige Stahlung wid also im Allgemeinen Dipolstahlung sein. Wollen wi diese untedücken, so müssen wi dafü sogen, dass das Dipolmoment veschwindet. Dies können wi etwa eeichen, indem wi zwei Stabantennen paallel zueinande anodnen und so beteiben, dass sich ihe Dipolmomente aufheben. Das ist ein Quadupol, de elektische Quadupolstahlung ezeugt. Es sei noch einmal betont, dass wi hie das Fenfeld λ diskutiet haben. Das E-Feld eines statischen Dipols und damit das Nahfeld sieht völlig andes aus. Das Feld in de Nähe eines statischen Dipols haben wi in de Elektostatik diskutiet. Fü goße Entfenungen vom Dipol wid es im Anhang skizziet. T5-4
Dipolstahlung titt in Natu und Technik häufig auf, und eine Konsequenz unsee Egebnisse möchte ich noch ewähnen: Wi wissen, dass de Enegiestom, also die Intensität, popotional zu E 2 ist. Daaus folgt, dass fü gegebenes Dipolmoment d die Intensität de Dipolstahlung mit abnehmende Wellenlänge λ stak zunimmt. I λ 4. Wenn das Sonnenlicht in die Edatmosphäe eintitt, so egt es die Luftmoleküle zu Dipolstahlung an und diese Stahlung ist offensichtlich umso intensive, je küze die Wellenlänge ist. Die Enegie zu Anegung de Dipole, und damit die Enegie de ezeugten Dipolstahlung, wid dem geade duchgehenden Licht entzogen. Seine Intensität wid also gedämpft, um so stäke, je küze die Wellenlänge ist. Schauen wi bei Sonnenuntegang ode Sonnenaufgang Richtung Sonne, so muss das Licht eine besondes goße Stecke duch die Luft zuücklegen. E wid also besondes stak gedämpft, und wegen des λ 4 -Gesetzes wid das kuzwellige blaue Licht wesentlich stäke gedämpft als das langwellige ote. Wi sehen die Sonne ot. Schauen wi dagegen tagsübe in wolkenlosem Himmel - nicht in Richtung de Sonne, so sehen wi Licht, das von den angeegten Molekülen ausgesandt wude. Man nennt dies Steuung des Sonnenlichtes). Da diese Stahlung im Blauen deutlich intensive ist als im Roten I λ 4!), sehen wi den Himmel blau. Im übigen ist dieses Licht auch teilweise polaisiet, d.h. E vaiiet mit de Richtung senkecht zum Sehstahl. T5 A Anhang: Statische Multipolentwicklung Elektostatisches Potential: Φ ) = ǫ 0 d 3 ρ q ). Annahme: ρ q ) = 0 fü > R 0. Wi wollen das Fenfeld beechnen: R 0. Aus Gl. T5.32) folgt = + cos ϑ + O + 2 e + O ) 3. ) 2 ) T5-5
Einsetzen in Φ ) liefet Φ ) = = ǫ 0 ǫ 0 d 3 ρ q ) + e 2 + O ) ) 3 d 3 ρ q ) + e ǫ 0 2 ) d 3 ρ q ) + O 3. Die Integale haben eine einfache Bedeutung: d 3 ρ q ) = Q Gesamtladung d 3 ρ q ) = d statisches) Dipolmoment, siehe T5.46). Also ehalten wi Φ ) = Q ǫ 0 + e d ) ǫ 0 2 + O 3. T5.48) Ist die Gesamtladung Q 0, so dominiet in goße Entfenung de este Tem. Das Potential - und damit das E-Feld - sieht in goße Entfenung so aus wie fü eine Punktladung Q im Uspung: E Q e 2. Ist Q = 0, abe d 0, so dominiet de Dipol-Tem. Wi wollen das E-Feld beechnen. Wi legen d in die e 3 -Richtung, d = d e 3 und vewenden sphäische Polakoodinaten. E ) = d ) cos ϑ ǫ 0 2 = e + e ϑ ϑ + e ϕ sin ϑ ϕ E ) = d ) cos ϑ 2 e ǫ 0 3 e ϑ 3 sinϑ = d ǫ 0 3 2 cos ϑ e + sin ϑ e ϑ ). T5.49) T5-6
Das statische Dipolfeld fällt asymptotisch wie 3 ; vegleiche Coulomb: E c 2, Stahlungsfeld. Fü den Betag ehalten wi E ) = = d ǫ 0 3 4 cos 2 ϑ + sin 2 ϑ d ǫ 0 3 + 3 cos 2 ϑ T5.50) Das Poladiagamm fü Eϑ) ist hie wiedegegeben. Es sieht völlig andes aus als fü Dipolstahlung. Das Fenfeld des statischen Dipols ist maximal in Richtung von d und minimal - abe nicht Null - senkecht dazu. Auch die Feldichtung untescheidet sich wesentlich von de de Dipolstahlung. Sie ist im letzten Bild dagestellt. Das Feld eine Antenne de Länge R 0 die auf Wellenlänge λ R 0 abstahlt, ist also seh kompliziet. Auf Abständen R 0 sehen wi das E-Feld de momentanen Ladungsveteilung, das fü R 0 λ in das hie diskutiete statische Dipolfeld übegeht. Dieses geht fü λ in das Stahlungsfeld des Dipols übe. Entspechend vehält sich das B-Feld. T5-7