Schwingungsdifferenzialgleichung Fakultät Grundlagen Hochschule Esslingen Februar 016 Fakultät Grundlagen Schwingungsdifferenzialgleichung
Übersicht 1 Schwingungsdifferenzialgleichung Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie:
Feder-Masse-Schwinger x(t)... Auslenkung aus der Gleichgewichtslage F R = cx... Rückstellkraft F D = kẋ... Dämpfung F (t)... Erregerkraft Newtonsches Grundgesetz: mẍ + kẋ + cx = F (t); (m, c > 0 ; k 0) Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 3
Elektrischer Schwingkreis U(t) i(t) U L = L di dt... angelegte Spannung... Strom... Spannungsabfall an der Spule U C = q... Spannungsabfall am C Kondensator ( dq dt = i) U R = R i... Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand DGL für Stromstärke Kondensatorspannung i(t): U C (t): i = CU C d dt Kirchhoffsches Gesetz: u L + u C + u R = U(t) L dt di + R i + q C = U(t) = L d i dt + R dt di + C 1 i = du L di dt dt + Ri + q di C = U(t) dt = = CÜC LC d U C dt + RC du C + U dt C = U(t) Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 4
; Bezeichnungen b c 4a a aẍ + bẋ + cx = 0 = eλt aλ + bλ + c = 0 λ 1, = b a ± δ = a b... Abklingkonstante [sec 1 ] ω 0 = ca... Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung [sec 1 ] ω d = ω0 Kreisfrequenz der gedämpftenschwingung 1 ] δ... [sec D = ω δ 0... Dämpfungsgrad dimensionslos ẍ + δẋ + ω 0 x = 0 λ 1, = δ ± δ ω0 allg. DGL mechan. Schw. elektr. Schw. δ ω 0 D b a k m R L c a c m 1 LC b ac k mc R C L Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 5
; Dämpfung DGL: ẍ + δẋ + ω 0 x = 0 λ 1, = δ ± δ ω 0, D = δ ω 0 δ = 0 D = 0... ungedämpfte Schwingung λ 1, = ±j ω 0 x(t) = C 1 cos(ω 0 t) + C sin(ω 0 t)... harmonische Schwingung 0 < δ < ω 0 0 < D < 1... schwache Dämpfung λ 1, = δ ± j ω0 x(t) = e }{{ δ δt (C 1 cos(ω d t) + C sin(ω d t)) }... gedämpfte harmonische Schwingung = ω d δ = ω 0 D = 1... Grenzfall λ 1, = δ x(t) = (C 1 + C t)e δt δ > ω 0 D > 1... starke Dämpfung λ 1, = δ ± δ ω0 x(t) = C 1 e λ1t + C e λ t (λ i < 0) MATLAB: schw dgl hom.m Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 6
Harmonische Anregung Im vorangegangenen Abschnitt wurde das Eigenverhalten des Systems untersucht. Nun betrachten wir zusätzlich eine Anregung r(t) von außen. ẍ + δẋ + ω 0 x = ω 0 r(t); (ω 0 = c m > 0 ; δ = k m 0) Lösungsstruktur: x(t) = x h (t) + x p (t) Interessant ist vor allem die partikuläre Lösung x p (t); sie stellt die Reaktion des Systems auf eine Anregung von außen dar. Bei der homogenen Lösung x h (t) muss im Wesentlichen nur gewährleistet sein, dass sie für t gegen Null geht. Im Folgenden wollen wir die Reaktion des Systems auf eine harmonische Anregung untersuchen. Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 7
Federerregung Schwingungsdifferenzialgleichung x(t)... Auslenkung aus der Gleichgewichtslage F R = cx... Rückstellkraft F D = kẋ... Dämpfung x Q = ˆx E cos(ω E t)... Federerreger Newtonsches Grundgesetz: mẍ = kẋ c(x x Q ) ; (m, c > 0, k 0) bzw. mẍ + kẋ + cx = c ˆx E cos(ω E t) ẍ + δẋ + ω 0 x = ω 0 ˆx E cos(ω E t); (ω 0 = c m > 0 ; δ = k m 0) Lösungsstruktur: x(t) = x h (t) + x p (t) schw dgl inhom.m Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 8
Federerregung; partikuläre Lösung Komplexe Erweiterung: x + δ x + ω 0 x = ω 0 ˆx E e jω E t x p = ˆx p e j(ω E t ϕ) ; x p = jω E ˆx p e j(ω E t ϕ) ; x p = ω E ˆx pe j(ω E t ϕ) ˆx p e j(ω E t ϕ) [ ωe + δω E j + ω0] = ω 0 ˆx E e jω E t : ˆx p e j(ω E t ϕ) [ (ω 0 ωe ) + δω E j ] = ω0 ˆx E e jϕ ˆxp Winkel: tan ϕ = δω E ω0 ω E abs(...) (ω0 ω E ) + 4δ ωe = ˆx ω E 0 ˆxp x p = ˆx p e j(ω E t ϕ) Re(...) x p = ˆx p cos(ω E t ϕ) ˆx p = = ω0 ˆx E (ω 0 ωe ) +4δ ωe [ ˆx E ( ) ] ωe ( ) ( ) 1 +4 δ ωe ω 0 ω 0 ω 0 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 9
Federerregung; I ˆx p = ˆx E [ ( ) ] ωe ; tan ϕ = δω E ( ) ( ) 1 +4 δ ωe ω0 ωe ω 0 ω 0 ω 0 u = ω E... dimensionslose Frequenz ω 0 D = δ... Dämpfungsgrad ω 0 V = ˆxp ˆx E... Verstärkungsfaktor als Betrag der kom- Wir interpretieren 1 plexen Zahl V C(u; D) = (1 u ) + Du j V = f (u; D) = tan ϕ = g(u; D) = g(u; D) ergibt den zugehörigen Winkel ϕ. Liegt C innerhalb des Einheitskreises, so tritt Verstärkung ein. j ( )( ) = δ ωe ω 0 ω ) 0 ωe 1 ( ω 0 1 (1 u ) + 4D u Du 1 u Im ϕ Du j u 1 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 10 Re
Federerregung; II C(u; D) = ( 1 u ) + 4D u < 1 quadratische Ergänzung [ u ( 1 D )] ] + 4D [1 D < 1 Minimum bei u = ( [ 1 D ] ) > 0 für 1 D > 0 bzw. D < Das Minimum 4D 1 D ist für D < kleiner als 1. Amplitudenfrequenzgang: Der Verstärkungsfaktor V = f (u; D) = 1 (1 u ) +4D u Parameterwerte D < bei u = 1 D ein Maximum 1 V max = D > 1 1 D Phasenfrequenzgang: hat für ϕ = arctan ( Du 1 u ) wächst von u = 0 bis u monoton von 0 bis π. Alle Kurven gehen durch (1 π ). MATLAB: frequenz.m Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 11