Heuristisce Strtegien Jürgen Zumdick I. Entwicklung euristiscer Strtegien durc Reflexion über Problemlösungsscritte Problem: Gegeben ist ein Qudrt der Seitenlänge. Vom Mittelpunkt jeder Seite wird eine Strecke zu den gegenüberliegenden Eckpunkten gezogen. In der Mitte entstet ein Acteck. Wie groß ist sein Fläceninlt?. Anfertigen einer Zeicnung. Ws ist gegeben, ws ist gesuct? 3. Welce Verfren/Lersätze kommen in Betrct, um ds Gesucte zu bestimmen? Ein Acteck bestet us 8 Dreiecken. Also elfen Fläcensätze über Dreiecke weiter. 4. Einfürung von Bezeicnungen 5. Einfürung von Hilfslinien M B A 6. Sind beknnte Strukturen zu entdecken? Ds Acteck bestet us 8 gleicscenkligen Dreiecken mit einem 45 -Winkel n der Spitze. 7. Helfen die gefundenen Strukturen bei der Lösung des Problems? Ist die Seite MB beknnt, so lässt sic mit Hilfe der Trigonometrie der Fläceninlt des Actecks bestimmen. MB t vermutlic die Länge 4, ws sic mit Hilfe eines Strlenstzes und Symmetrieüberlegungen zeigen lässt. 8. Ausfürung: ) Bestimmung der Länge von MB b) Bestimmung des Fläceninlts A des Actecks: 8 sin 45 4 4 A. 9. Hält die Lösung einer kritiscen Überprüfung stnd? 8
Ds Einzeicnen des Kreises um M mit Rdius MB zeigt, dss keine gleicscenkligen Dreiecke vorliegen: M B A 0. Wo liegt der Denkfeler? Ds Qudrt ist 4-fc rottionssymmetrisc und nict 8-fc.. Also Vorsict: Jede Überlegung ist genu zu begründen. Beginne noc einml bei 6.. Gibt es weitere beknnte Strukturen? H M B E C A U MCAB sceint ein rectwinkliger Drce zu sein, dessen Fläceninlt mit Hilfe der Seitenlängen berecenbr ist. 3. Ausfürung F G
Die Prllelität von BE und FG ist zu zeigen, so dss wie oben folgt: 4 BE MB. Anlog folgt: MC 4. Wie lng sind AC und AB? Welce weiteren Möglickeiten gibt es, um Streckenlängen zu berecnen? Um die Abstndsformel zweier Punkte zu benutzen, müssen Koordinten eingefürt werden. Sei U der Koordintenursprung. Dnn folgt sofort: 3 ; B und C ; 4 4 A knn ls Scnittpunkt zweier Gerden ufgefsst werden. A t dnn die Koordinten 3 ; 3 Es folgt: AB 5. AC Die Digonlen bzw. Digonlenbscnitte lssen sic mit Hilfe der Trigonometrie oder mit Hilfe der Abstndsformel zweier Punkte bestimmen. Es folgt: BC 8 und AM Fläceninlt des Drcen und 8 A 8 8 4 Dmit beträgt der Fläceninlt des Actecks (4 Drcen): 4. Gibt es Alterntiven? Im Dreieck FEM sind FB und CE Seitenlbierende, die sic somit im Verältnis : scneiden. 3 FB FH. 6 6 Also: AB 5 Mit Hilfe des Cosinusstzes lässt sic MA im Dreieck ABM berecnen. Es folgt: MA 8 Für den Fläceninlt des Dreiecks ABM gilt dnn: Somit beträgt der Fläceninlt des Actecks (8 Dreiecke) 5. Ist ds Ergebnis plusibel? 6 A sin 45 8 4 48. 6 II. Weitere euristisce Strtegien ) Induktives Probieren ) Formel für die endlice geometrisce Reie, + 3, + + 4 7, + + 4 + 8 5 liefert die Vermutung + + 4 +...+ n n -, + 3 4, + 3 + 9 3, + 3 + 9 + 7 40 s(n) 3 n - erweist sic ls flsc, s(n) (3 n - ) / ls rictig q 4 liefert die endgültige Vermutung s(n) (q n - ) / (q - ) Mit dem Anfngsglied erält mn: + q + q² +.. + q n (q n - ) / (q - ) Beweis durc Rückwärtsrecnen (Multipliktion vorsteender Gleicung mit q-) Als Ausgngsproblem knn z.b. die Berecnung des Endkpitls eines Rtensprvertrgs steen.
! 3! n ( n + )! b) + +... +? c) f(g( k( g( k( f'( g'( k'( x 9 x x 8 9x 8 8x 7 x 9 x x 7 9x 8 x 7x 6 x 9 x 3 x 6 9x 8 3x 6x 5 x 9 x 4 x 5 9x 8 4x 3 5x 4 Beobctung: Addiert mn die Koeffizienten bei g' und ', so erält mn den Koeffizienten bei f'. Ds Addieren der zugeörigen Funktionsterme ist jedoc wegen der untersciedlicen Exponenten nict möglic. Multipliziert mn jedoc g'( mit ( und '( mit g(, so erält mn durc nscließende Addition die gewünscte Regel. Zum Beweis get mn uf die Definition zurück (s.u.): g( g / lim () g( g( k( k( g' ( k' ( lim lim () ( g( )' D weiteres Umformen von () in der Regel nict von Erfolg gekrönt sein wird, wird die Metode des Rückwärtsrbeitens ngewndt: g( g( k( k( lim lim lim ( g( g( ) ( k( k( ) Ds Auflösen der Klmmern liefert nict den erofften Ausdruck (). Stünde jedoc im vorsteenden Ausdruck n der Stelle des ersten k( der Term k(x+), so erielte mn den erofften Ausdruck (). Dies ist jedoc leict zu erreicen, d im Ausdruck () k( interm dem ersten Bruc wegen der Stetigkeit durc k( ersetzt werden knn. lim 0 Bedenken gegen induktive Sclüsse ) n² - n + 4 ist eine Primzl Ds Einsetzen von z.b. n bis 0 liefert u. U. zwei Vermutungen:. n+ n + n, ws verifiziert werden knn. n ist eine Primzl, ws nur für n 40 gilt b) Wenn n modulo n, dnn ist n Primzl (rictig für lle Primzlen < 34; für 34 gilt: 34 modulo 34, ber 34 33) c) 3; 33; 333;...; 3333333 sind Primzlen 33333333 7 9607843 d) x 4 + y 4 + z 4 w 4 t keine gnzzlige Lösung (68440 4 + 5365639 4 + 8796760 4 065673 4, 988 von Nom Elkies entdeckt) e) Von Guß stmmt ein logritmisces Integrl Li(n), welces die Anzl der Primzlen bis zur Zl n bscätzt. Guß vermutete, dss die Anzl der Primzlen mit diesem Integrl immer überscätzt wird. 933 gelng Skewes der Ncweis, dss b mit einer Unterscätzung zu recnen ist. f) n² + (n+)² ist entweder eine Qudrtzl oder eine Primzl (stimmt für n bis 5) ) Anlogiemetode ) Es seien, b, c, d ]0:]: (-)(-b)(-c)(-d)>--b-c-d
Löse ein nloges Problem mit weniger Vriblen b) Anlytisce Geometrie: Übertrgen von Lösungsverfren im R² nc R³ c) Differentilrecnung/Integrlrecnung: Summenregel Differenzenregel 3) Rückwärtsrecnen ) 6l mit einem 9l und 4l Eimer bfüllen b) Nimm-Spiel (Auf einem Tisc liegen 5 (n) Hölzer. Zwei Spieler nemen bwecselnd bis 3 (k) Hölzer. Wer ds letzte Holz nemen muss, t verloren) c) Beweis der Produktregel der Differentilrecnung (Gewinnen einer Vermutung durc induktives Probieren kombiniertes Rückwärts- und Vorwärtsrecnen beim Beweis s.o.) 4) Überwinde ds System ) Konstruktion eines Trpezes us den 4 Seiten (uc: Teilfigur konstruieren) Dreieck innerlb des Trpezes Trpez mit Hilfe eines Dreiecks zum Prllelogrmm ergänzen Strlenstz (zunäcst Berecnung weiterer Längen) b) 9 Punkte eines Qudrtgitters durc einen Streckenzug mit 4 Teilstrecken verbinden 5) Gee uf die Definition zurück Ableitungsbestimmung x²sin f ( x 0 für für x 0 x 0 6) Flluntersceidungen (n versciedenrtigen Beispielen eine Vermutung gewinnen) bzw. Spezilfälle untersucen ) Division von Dezimlzlen: 5, : 0,3; 60 :,5 b) Zwei Qudrte mit gleicer Seitenlänge seien so gelegt, dss die Ecke des einen Qudrts im Mittelpunkt des nderen liegt. Ws knn mn über den Fläceninlt ussgen? 7) Symmetrieprinzip Gegeben sind eine Gerde und zwei Punkte, die beide uf derselben Seite der Gerden liegen. Von welcem Punkt der Gerden ersceint die Verbindungsstrecke der beiden Punkte unter dem größten Winkel? (Anwendungsproblem: Fotogrfieren von einer Strße us) 8) Metode des flscen Anstzes In einem Stll sind Knincen und Hüner, insgesmt 4. Wie viel Knincen und wie viel Hüner sind es, wenn die Tiere zusmmen 6 Beine ben. Annme, es sind 0 Knincen. Dnn ätte mn Beine, lso 6 Beine zu viel, lso... 9) Metoden zum Lösen spezieller Gleicungen Beispiel: x ) Abdeckmetode Decke den Nenner b ws muss dort steen? Ergebnis: x
Decke den Wurzelterm b ws muss dort steen? Ergebnis: x, 5 Decke den Rdiknden b: x,5 Decke x b: x,5 b) Rückwärtsrecnen x x x x x,5,5,5 : Qudrt + c) Probiermetode Intervllscctelung x 0) Heuristik nc Poly. Versteen der Aufgbe Ws ist unbeknnt? Ws ist gegeben? Wie lutet die Bedingung? Ist es möglic, die Bedingung zu befriedigen? Ist die Bedingung usreicend, um die Unbeknnte zu bestimmen? Oder ist sie unzureicend? Oder überbestimmt? Oder kontrdiktorisc? Zeicne eine Figur! Füre eine pssende Bezeicnung ein! Trenne die versciedenen Teile der Bedingung! Knnst Du sie inscreiben?. Ausdenken eines Plnes Hst Du die Aufgbe scon früer geseen? Oder st Du dieselbe Aufgbe in einer wenig versciedenen Form geseen? Kennst Du eine verwndte Aufgbe? Kennst Du einen Lerstz, der förderlic sein könnte? Betrcte die Unbeknnte! Und versuce, Dic uf eine Dir beknnte Aufgbe zu besinnen, die dieselbe oder eine änlice Unbeknnte t. Hier ist eine Aufgbe, die der Deinen verwndt und scon gelöst ist. Knnst Du sie gebrucen? Knnst Du ir Resultt verwenden? Knnst Du ire Metode verwenden? Würdest Du irgend ein Hilfselement einfüren, dmit Du sie verwenden knnst? Knnst Du die Aufgbe nders usdrücken? Knnst Du sie uf noc versciedene Weise usdrücken? Ge uf die Definition zurück! Wenn Du die vorliegende Aufgbe nict lösen knnst, so versuce, zuerst eine verwndte Aufgbe zu lösen. Knnst Du Dir eine zugänglice verwndte Aufgbe denken? Eine llgemeinere Aufgbe? Eine speziellere Aufgbe? Eine nloge Aufgbe? Knnst Du einen Teil der Aufgbe lösen? Belte nur einen Teil der Bedingung bei und lsse den nderen fort; wie weit ist die Unbeknnte dnn bestimmt, wie knn ic sie verändern? Knnst Du etws Förderlices us den Dten bleiten? Knnst Du Dir ndere Dten denken, die geeignet sind, die Unbeknnte zu bestimmen? Knnst Du die Unbeknnte ändern oder die Dten oder, wenn nötig, beide, so dß die neue Unbeknnte und die neuen Dten einnder näer sind? Hst du lle Dten genutzt? Hst Du die gnze Bedingung benutzt? Hst Du lle wesentlicen Begriffe in Recnung gezogen, die in der Aufgbe entlten sind? 3. Ausfüren des Plnes Wenn Du Deinen Pln der Lösung durcfürst, so kontrolliere jeden Scritt. Knnst Du deutlic seen, dß der Scritt rictig ist? Knnst Du beweisen, dß er rictig ist? 4. Rückscu
Knnst Du ds Resultt kontrollieren? Knnst Du den Beweis kontrollieren? Knnst Du ds Resultt uf versciedene Weise bleiten? Knnst Du es uf den ersten Blick seen? Knnst Du ds Resultt oder die Metode für irgend eine ndere Aufgbe gebrucen? (Poly, G. : Scule des Denkens, Frncke 967, Innendeckel; zitiert in: H. Winter: Entdeckendes Lernen im MU, Brunscweig 99, S. 79) Im Buc von Winter finden sic Beispiele zur Anwendung des obigen Ktloges ) Sätze eines verwndten Umfeldes benutzen Beispiel: Innenwinkelsumme eines Sternfünfecks (Messen liefert eine Beweisidee) 5 9 5 4 3 ) Qudrt - und Dreiecksgitter ls euristisce Hilfsmittel 3) Entdecken von Sätzen m Prllelogrmmgitter 4) Zlenbeispiele betrcten n n n + + k k + k + Wenn der llgemeine Beweis nict gefürt werden knn, dnn betrcte zunäcst ein Zlenbeispiel.