TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2011/12 Vorlesung 3 Differenziation und Integration von Vektorfunktionen Der Ortsvektor: Man kann einen Punkt P im Raum eindeutig durch die Angabe des Vektors kennzeichnen, der vom Koordinatenursprung O ausgeht und den Punkt P als Endpunkt besitzt. Die Komponenten dieses Vektors, des Ortsvektors, sind dann die Koordinaten ( ) des Punkts P. Es gilt also für den Ortsvektor, der meist mit bezeichnet wird: = + + = = p 2 + 2 + 2 Bahnkurve: Hängt der Ortsvektor von der eit ab: = (), dann beschreibt dies einen zeitlich veränderlichen Ort, also z.b. die Bahn eines Massenpunkts. Beispiel: = () () = cos sin () 01 Dies führt zu folgender Bahnkurve: 1
Bildung der Ableitung einer Bahnkurve: erlegt man () nach den zeitlich konstanten Basisvektoren, dann sind die Komponenten Funktionen der unabhängigen Variablen : () =() + () + () Bei der Bildung der Ableitung nach werden die Komponenten einzeln differenziert, entsprechend der Ableitungsregel für Summen. Da die Basisvektoren konstant sind, bleiben sie bei der Differentiation unverändert. Es ist also: () = () + () + () Man differenziert eine Vektorfunktion, indem man ihre Komponenten differenziert. Die Ableitung von () nach ist also wieder eine Vektorfunktion von. Für die geometrische Interpretation der Ableitung von () betrachten wir die alternative Definition der Ableitung () ( + ) () = lim 0 die der oben gegebenen äquivalent ist. Graphisch stellt sich das so dar: Aus dieser Definition und der Abbildung entnimmt man, dass der Ableitungsvektor der Grenzwert der Sekantenvektoren ist, d.h. der Ableitungsvektor liegt tangential zur Kurve (). Die Länge von ist offenbar ein Maß dafür, wie schnell die Bahnkurve durchlaufen wird. Das lässt folgende Aussage plausibel erscheinen: Die Ableitung des Ortsvektors nach der eit ist die Geschwindigkeit: () = () wobei wir die Komponenten = usw. geschrieben haben. Es ist in der Physik üblich, eitableitungen durch einen Punkt zu bezeichnen. Entsprechend gilt, dass die Ableitung der Geschwindigkeit nach der eit die Beschleunigung ist: () = () Die Beschleunigung ist also ein zeitabhängiger Vektor, der i.a. sowohl eine Tangential- als auch eine Normalkomponente relativ zur momentanen Geschwindigkeitsrichtung hat. Die Komponenten der Beschleunigung sind () = Ausgehend vom Ortsvektor r(t) erhält man durch Ableiten also die Geschwindigkeit () und die Beschleunigung (). = 2
Beispiel: Für die Bahnkurve () =cos +sin gilt zum eitpunkt =0, dass der Ortsvektor (0) =, also parallel zur x-achse zeigt.die Geschwindigkeit ist () = sin +cos und liegt immer, insbesondere für =0senkrecht dazu, (0) =. Man kann fragen, welche Kraft notwendig ist, um diese Bahnkurve zu erzeugen. Dies folgt aus dem newtonschen Gesetz () =() =( cos sin ). Diese Kraft, die entripedalkraft heißt, liegt für alle eiten senkrecht zur Geschwindigkeit, denn () () =(sin cos cos sin ) =0. Integration einer Bahnkurve: Umgekehrt kann man bei vorgegebener Geschwindigkeit die Bahn des Teilchens rekonstruieren, und zwar durch Integration: () = 0 + () Dabei ist 0 eine Integrationskonstante, und das Integral den Vektor der Geschwindigkeit ist komponentenweise definiert: () = () + () + () Ebenso erhält man aus vorgegebener Beschleunigung () die Geschwindigkeit: Ebene Polarkoordinaten () = 0 + 0 0 () Betrachtet man einen Massenpunkt in einer Ebene (beispielsweise die Bewegung eines Planeten um die Sonne), dann kann man seinen Ort und seine Bewegung anstatt durch die kartesischen Koordinaten und auch durch die Polarkoordinaten und beschreiben. Die Polarkoordinaten des Punktes P sind definiert als sein Abstand vom fest gewählten Ursprung O des Polarkoordinatensystems und. als der Richtungswinkel von P bezüglich einer fest gewählten Referenzrichtung. Äquivalent zu dieser geometrischen Definition der Polarkoordinaten ist die mathematische Definition, die sich auf die schon bekannten kartesischen Koordinaten stützt, indem sie die Transformationsgleichungen angibt, mit deren Hilfe man die Polarkoordinaten eines Punktes in seine kartesischen Koordinaten umrechnen kann: = cos = sin Dabei ist 0 und 0 2. Die Umkehrung lautet = p 2 + 2 = arctan 3
Dass diese Transformationsgleichungen gelten, ist aufgrund der geometrischen Definition der Polarkoordinaten unmittelbar einleuchtend. Beispiel: Die gleichförmige Kreisbewegung hat in Polarkoordinaten die einfache Form () = 0 () = Polarkoordinaten eignen sich besonders für die Darstellung von rotationssymmetrischen Bewegungen und Problemstellungen. Basisvektoren in Polarkoordinaten: Den Ortsvektor kann man mit Hilfe der Polarkoordinaten schreiben als = cos + sin Dies ist im Grunde nichts anderes als die usammenfassung der Transformationsgleichungen in Vektorschreibweise. Wenn und ihre erlaubten Werte durchlaufen, dann durchläuft die ganze Ebene. Lässt man konstant und variiert nur, dannbeschreibt einen Kreis, im umgekehrten Fall eine Ursprungshalbgerade, also die Koordinatenlinien. Man kann dahereinheitsvektoren definieren, die nicht entlang der kartesischen Achsen liegen, sondern die einmal die Bewegung = const und zum anderen die Bewegung = const beschreiben: und ihre Umkehrung : = cos +sin : = sin +cos = cos sin = sin +cos Man beachte, dass =0, sie also senkrecht aufeinander stehen. Diese ortsabhängigen Einheitsvektoren sind den Polarkoordinaten besser angepasst als die konstanten kartesischen Basisvektoren. Auch bei allgemeinen krummlinigen und mehrdimensionalen Koordinatensystemen definiert man ortsabhängige Basisvektoren auf dieselbe Weise. Die ortsabhängigen Basisvektoren der Polarkoordinatensindpraktisch, wennmaneinrotationssymmetrisches Vektorfeld betrachtet, z.b. das Gravitationsfeld der Sonne in der Umlaufsebene der Planeten, = 2 denn eine entralkraft hat dann nur eine Komponente. 4
Geschwindigkeit in Polarkoordinaten Den Ortsvektor des Punktes P in Polarkoordinaten darzustellen, ist einfach. Wir setzen für die kartesischen Komponenten und Basisvektoren die entsprechenden Größen in Polarkoordinaten ein und erhalten = + = cos (cos sin )+ sin (sin +cos )= Dieses Ergebnis ist recht anschaulich.nicht ganz so einfach ist der Geschwindigkeits- und. der Beschleunigungsvektor in Polarkoordinaten zu berechnen, weil die Basisvektoren selbst räumlich veränderlich sind. So gilt für die Geschwindigkeit = = ( )= + ( ) Aus der Definition von := cos +sin und := sin +cos folgt ( ) = sin + cos = ( ) = cos sin = Damit ergibt sich nun für den Geschwindigkeitsvektor in Polarkoordinaten die Gleichung = + und analog kann man die Beschleunigung berechnen und findet (Übungsaufgabe): = () =( 2 ) +( +2 ) 5