Finite- Elemente-Methoden

Klaus-Jürgen Bathe 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Finite- Elemente-Methoden Aus dem Englischen von Peter Zimmermann 2., vollständig neu bearbeitete und erweiterte Auflage Mit 446 Abbildungen Springer

Inhaltsverzeichnis Eine Einführung in den Gebrauch von Finite-Elemente-Verfahren 1 1.1 Einführung 1 1.2 Physikalische Probleme, mathematische Modelle und die Finite- Elemente-Lösung 2 1.3 Finite-Elemente-Berechnung als integraler Bestandteil rechnergestützten Konstruierens (CAD) 13 1.4 Ein Vorschlag zum Studium von Finite-Elemente-Methoden... 16 Vektoren, Matrizen und Tensoren 21 2.1 Einführung 21 2.2 Einführung in die Matrizenrechnung 21 2.3 Vektorräume 41 2.4 Definition von Tensoren 48 2.5 Das symmetrische Eigenproblem A v = Av 62 2.6 Der RAYLEiGHSche Quotient und die Minimax-Kennzeichnung von Eigenwerten 73 2.7 Vektor- und Matrixnormen 81 2.8 Übungsaufgaben 89 Einige Grundbegriffe ingenieurwissenschaftlicher Berechnungen 95 3.1 Einführung 95 3.2 Lösung mathematischer Modelle diskreter Systeme 96 3.2.1 Stationäre Probleme.. 96 3.2.2 Ausbreitungsprobleme 107 3.2.3 Eigenwertprobleme 110 3.2.4 Über das Wesen von Lösungen 117 3.2.5 Übungsaufgaben 123 3.3 Lösung mathematischer Modelle von Kontinuumssystemen... 126 3.3.1 Differentielle Formulierung 126 3.3.2 Variationsformulierungen 132 3.3.3 Verfahren der gewichteten Residuen; RiTZsches Verfahren 140

X Inhaltsverzeichnis 3.3.4 Ein Überblick: Differentielle und GALERKIN- Formulierungen, das Prinzip der virtuellen Verschiebungen und eine Einführung in Finite-Elemente- Lösungen 148 3.3.5 Differentielle und energetische Finite-Differenzen- Verfahren 155 3.3.6 Übungsaufgaben 165 3.4 Zwangsbedingungen 171 3.4.1 Eine Einführung in die Methode der LAGRANGESchen Multiplikatoren und das Strafverfahren 171 3.4.2 Übungsaufgaben 175 Formulierung der Methode der finiten Elemente 177 4.1 Einführung 177 4.2 Formulierung der verschiebungsbezogenen Finite-Elemente- Methode 178 4.2.1 Allgemeine Ableitung der Finite-Elemente- Gleichgewichtsbeziehungen 183 4.2.2 Vorgabe von Verschiebungsrandbedingungen 220 4.2.3 Verallgemeinerte Koordinatenmodelle für besondere Probleme 227 4.2.4 Konzentration von Struktureigenschaften und Lasten.. 249 4.2.5 Übungsaufgaben 251 4.3 Konvergenz von Rechenergebnissen 263 4.3.1 Das Modellproblem und eine Konvergenzdefinition... 264 4.3.2 Kriterien für monotone Konvergenz 268 4.3.3 Die monoton konvergente Finite-Elemente-Lösung: Eine RiTZsche Lösung 273 4.3.4 Eigenschaften der Finite-Elemente-Lösung 276 4.3.5 Konvergenzrate 286 4.3.6 Spannungsberechnung und Fehlerbewertung 296 4.3.7 Übungsaufgaben 302 4.4 Inkompatible und gemischte Finite-Elemente-Modelle 305 4.4.1 Inkompatible verschiebungsbezogene Modelle 306 4.4.2 Gemischte Formulierungen 314 4.4.3 Gemischte Interpolationen - Verschiebungs-/ Druckformulierungen für inkompressible Berechnungen 323 4.4.4 Übungsaufgaben 345 4.5 Die inf-sup-bedingung 350 4.5.1 Die aus Konvergenzbetrachtungen abgeleitete inf-sup-bedingung 351 4.5.2 Die von den Matrixgleichungen abgeleitete inf-sup-bedingung 364 4.5.3 Die konstante (physische) Druckmode 367

r 4.5.4 Unechte Druckmoden - Der Fall vollkommener Inkompressibilität 369 4.5.5 Unechte Druckmoden - Der Fall annähernder Inkompressibilität 372 4.5.6 Der inf-sup-test 376 4.5.7 Eine Anwendung auf Strukturelemente: Isoparametrische Balkenelemente 386 4.5.8 Übungsaufgaben 391 XI Formulierung und Berechnung von isoparametrischen Finite- Elemente-Matrizen 395 5.1 Einführung 395 5.2 Isoparametrische Ableitung der Steifigkeitsmatrix eines Stabelements 395 5.3 Formulierung von Kontinuumselementen 398 5.3.1 Viereckige Elemente 399 5.3.2 Dreieckselemente 425 5.3.3 Konvergenzbetrachtungen 440 5.3.4 Element-Matrizen im globalen Koordinatensystem... 452 5.3.5 Verschiebungs-/Druckbezogene Elemente für inkompressible Medien 454 5.3.6 Übungsaufgaben 455 5.4 Formulierung von Strukturelementen 465 5.4.1 Balkenelemente und axialsymmetrische Schalenelemente 466 5.4.2 Platten- und allgemeine Schalenelemente 491 5.4.3 Übungsaufgaben 526 5.5 Numerische Integration 532 5.5.1 Interpolation mit einem Polynom 533 5.5.2 NEWTON-CoTES-Quadratur (eindimensionale Integration) 535 5.5.3 GAUss-Quadratur (eindimensionale Integration)... 540 5.5.4 Integration in zwei und drei Dimensionen 543 5.5.5 Geeignete Ordnung der numerischen Integration... 545 5.5.6 Reduzierte und selektive Integration 557 5.5.7 Übungsaufgaben 560 5.6 Implementierung eines Computerprogramms für isoparametrische finite Elemente 562 Nichtlineare Finite-Elemente-Berechnungen in der Festkörper- und Strukturmechanik 569 6.1 Einführung in nichtlineare Berechnungen 569 6.2 Formulierung der inkrementellen Bewegungsgleichungen der Kontinuumsmechanik 583 6.2.1 Das Grundproblem 584

_ XII Inhaltsverzeichnis 6.2.2 Der Deformationsgradient, Verzerrungs- und Spannungstensoren 589 6.2.3 Inkrementelle totale und fortgeschriebene LAGRANGEsche Formulierungen der Kontinuumsmechanik. Nur materiell nichtlineare Berechnungen 613 6.2.4 Übungsaufgaben 621 6.3 Verschiebungsbezogene isoparametrische finite Kontinuumselemente 632 6.3.1 Linearisierung des Prinzips, der virtuellen Arbeit bezüglich Finite-Elemente-Variablen 633 6.3.2 Allgemeine Matrixgleichungen verschiebungsbezogener Kontinuumselemente 635 6.3.3 Stab- und Seilelemente 638 6.3.4 Zweidimensionale Elemeilte für Axialsymmetrie sowie für den ebenen Verzerrungs- und Spannungszustand.. 646 6.3.5 Dreidimensionale Festkörperelemente 653 6.3.6 Übungsaufgaben 656 6.4 Verschiebungs-/Druckformulierungen für große Deformationen. 660 6.4.1 Totale LAGRANGEsche: Formulierung 661 6.4.2 Fortgeschriebene LAGRANGEsche Formulierung 665 6.4.3 Übungsaufgaben 666 6.5 Strukturelemente 669 6.5.1 Balkenelemente undiaxialsymmetrische Schalenelemente 669 6.5.2 Plattenelemente und; allgemeine Schalenelemente... 677 6.5.3 Übungsaufgaben 681 6.6 Verwendung konstitutiver.beziehungen 684 6.6.1 Elastisches Materialverhalten - Verallgemeinerung des HooKEschen Gesetzes 688 6.6.2 Gummiartiges Materialverhalten 699 6.6.3 Nichtelastisches Materialverhalten; Elastoplastizität, Kriechen und Viskoplastizität 702 6.6.4 Elastoplastizität bei großen Verzerrungen 724 6.6.5 Übungsaufgaben 730 6.7 Kontaktzustand 737 6.7.1 Kontinuumsmechanische Gleichungen 737 6.7.2 Ein Lösungsweg fürikontaktprobleme: Die Methode der Zwangsfunktion 741 6.7.3 Übungsaufgaben 744 6.8 Einige praktische Überlegungen 745 6.8.1 Der allgemeine Zugang zu nichtlinearen Berechnungen. 745 6.8.2 Berechnung von Versagen, Knicken und Beulen 746 6.8.3 Die Auswirkungen von:element-verzerrungen 754

XIII 6.8.4 Die Auswirkungen der Ordnung der numerischen Integration 755 6.8.5 Übungsaufgaben 758 7 Finite-Elemente-Berechnungen von Wärmeübertragungs- und Feldproblemen 761 7.1 Einführung 761 7.2 Berechnung von Wärmeübertragungsproblemen 761 7.2.1 Beherrschende Wärmeübertragungsgleichungen 761 7.2.2 Inkrementelle Gleichungen 766 7.2.3 Finite-Elemente-Diskretisierungen von Wärmeübertragungsgleichungen 771 7.2.4 Übungsaufgaben 782 7.3 Berechnung von Feldproblemen 785 7.3.1 Sickerströmungen 785 7.3.2 Inkompressible reibungsfreie Strömung 786 7.3.3 Torsion 788 7.3.4 Akustisches Fluid 791 7.3.5 Übungsaufgaben 795 7.4 Berechnung von Strömungen zäher inkompressibler Fluide... 797 7.4.1 Gleichungen der Kontinuumsmechanik 801 7.4.2 Beherrschende Finite-Elemente-Gleichungen 804 7.4.3 Strömungen mit großen REYNOLDS- und PECLET-Zahlen 809 7.4.4 Übungsaufgaben 821 8 Lösung von Gleichgewichtsbeziehungen in statischen Berechnungen 825 8.1 Einführung 825 8.2 Direkte Lösungen mit Algorithmen auf Grundlage der GAUssschen Elimination 827 8.2.1 Einführung in die GAUSSSche Elimination 827 8.2.2 Die LDL T -Lösung 837 8.2.3 Computer-Implementierung der GAussschen Elimination - Die aktive Spaltenlösung 840 8.2.4 Faktorenzerlegung nach CHOLESKY, statische Kondensation, Substrukturen und frontale Lösung... 851 8.2.5 Positive Definiertheit, positive Semidefiniertheit und die Eigenschaft der STURMschen Folge 862 8.2.6 Lösungsfehler 872 8.2.7 Übungsaufgaben 881 8.3 Iterative Lösungsmethoden 885 8.3.1 Die GAUSS-SEiDEL-Methode 888 8.3.2 Konjugierte Gradientenmethode mit Präkonditionierung 890 8.3.3 Übungsaufgaben 894 8.4 Lösung nichtlinearer Gleichungen 896

. XIV Inhaltsverzeichnis 8.4.1 NEWTON-RAPHSON-Schemata 897 8.4.2 Die BFGS-Methode 903 8.4.3 Last-Verschiebungs-Zwangsmethoden 906 8.4.4 Konvergenzkriterien 909 8.4.5 Übungsaufgaben 911 9 Lösung von Bewegungsgleichungen in kinetischen Berechnungen 915 9.1 Einführung 915 9.2 Direkte Integrationsmethoden 916 9.2.1 Die zentrale Differenzenmethode 917 9.2.2 Die HouBOLT-Methode 923 9.2.3 Die WiLSONSche ö-methode 926 9.2.4 Die NEWMARK-Methode 930 9.2.5 Verbindung verschiedener Integrationsoperatoren... 933 9.2.6 Übungsaufgaben 935 9.3 Modenüberlagerung 935 9.3.1 Wechsel der Basis zu modalen generalisierten Verschiebungen 936 9.3.2 Berechnung bei Vernachlässigung von Dämpfung... 940 9.3.3 Berechnung unter Berücksichtigung von Dämpfung... 948 9.3.4 Übungsaufgaben 955 9.4 Analyse von direkten Integrationsmethoden 955 9.4.1 Näherung für die direkte Integration und Lastoperatoren 957 9.4.2 Stabilitätsuntersuchung 961 9.4.3 Genauigkeitsuntersuchung 966 9.4.4 Einige praktische Überlegungen 969 9.4.5 Übungsaufgaben 980 9.5 Lösung nichtlinearer Gleichungen in kinetischen Berechnungen. 982 9.5.1 Explizite Integration 982 9.5.2 Implizite Integration 984 9.5.3 Lösung mittels Modenüberlagerung 987 9.5.4 Übungsaufgaben 988 9.6 Lösung von Nicht-Strukturproblemen; Wärmeübertragung und Fluidströmungen 989 9.6.1 Die a-methode der Zeitintegration 990 9.6.2 Übungsaufgaben 996 10 Vorbemerkungen zur Lösung von Eigenproblemen 999 10.1 Einführung 999 10.2 Grundlegendes für die Lösung von Eigensystemen 1002 10.2.1 Eigenschaften der Eigenvektoren 1002 10.2.2 Die charakteristischen Polynome des Eigenproblems K<p = AM<p und seiner zugeordneten Zwangsprobleme. 1007 10.2.3 Verschieben (Shifting) 1014

XV 10.2.4 Wirkung von Null-Massen 1016 10.2.5 Transformation des verallgemeinerten Eigenproblems K(p = AM cp auf eine Standardform 1018 10.2.6 Übungsaufgaben 1025 10.3 Näherungslösungsverfahren 1026 10.3.1 Statische Kondensation 1027 10.3.2 Berechnung nach RAYLEIGH-RITZ 1035 10.3.3 Synthese von Komponentenmoden 1045 10.3.4 Übungsaufgaben 1049 10.4 Lösungsfehler 1050 10.4.1 Fehlerschranken 1050 10.4.2 Übungsaufgaben 1058 11 Lösungsverfahren für Eigenprobleme 1059 11.1 Einführung 1059 11.2 Vektoriterationsverfahren 1061 11.2.1 Inverse Iteration 1062 11.2.2 Vorwärtsiteration 1070 11.2.3 Verschieben in der Vektoriteration 1073 11.2.4 Iteration des RAYLEiGHschen Quotienten 1078 11.2.5 Matrixentleerung und GRAM-ScHMiDTSche Orthogonalisierung 1081 11.2.6 Einige praktische Überlegungen zur Vektoriteration... 1084 11.2.7 Übungsaufgaben 1086 11.3 Transformationsverfahren 1088 11.3.1 Die jacobische Methode 1089 11.3.2 Die verallgemeinerte JACOBische Methode 1097 11.3.3 Die inverse QR-Iterationslösung nach HOUSEHOLDER.. 1107 11.3.4 Übungsaufgaben 1119 11.4 Polynom-Iterationsverfahren und Verfahren mit STURMSchen Folgen 1120 11.4.1 Explizite Polynomiteration 1121 11.4.2 Implizite Polynomiteration 1122 11.4.3 Von der Eigenschaft der STURMSchen Folge ausgehende Iteration 1126 11.4.4 Übungsaufgaben 1129 11.5 Das Iterationsverfahren nach LANCZOS 1129 11.5.1 Die LANCZOS-Transformation 1130 11.5.2 Iteration mit LANCZos-Transformationen 1135 11.5.3 Übungsaufgaben 1139 11.6 Die Unterraum-Iterationsmethode 1141 11.6.1 Vorüberlegungen 1142 11.6.2 Unterraum-Iteration 1145 11.6.3 Start-Iterationsvektoren 1148

XVI Inhaltsverzeichnis 11.6.4 Konvergenz 1151 11.6.5 Implementierung der Unterraum-Iterationsmethode... 1154 11.6.6 Übungsaufgaben 1169 12 Implementierung der Finite-Elemente-Methode 1171 12.1 Einführung 1171 12.2 Organisation des Rechnerprogramms zur Berechnung von Systemmatrizen 1173 12.2.1 Einlesen von Knotenpunkt-und Element-Informationen 1173 12.2.2 Berechnung von Element-Steifigkeits- und Element- Massenmatrizen sowie äquivalenten Knotenlasten... 1176 12.2.3 Gruppierung von Matrizen 1176 12.3 Berechnung von Element-Spannungen 1181 12.4 Das Musterprogramm STAP 1181 12.4.1 Dateneingabe zum Rechnerprogramm STAP 1182 12.4.2 Ausdruck des Programms STAP 1189 12.5 Übungsaufgaben und Projekte 1208 12.5.1 Übungsaufgaben 1208 12.5.2 Projekte 1209 Literaturverzeichnis 1213 Sachverzeichnis 1233