www.mthegmi.de Dezember 2009 Qudrte Michel Schmitz Zusmmenfssung Beim Flten von Ppier wird häufig qudrtisches Ppier ls Ausgngsmteril benutzt. Zu diesem Zweck gibt es eine Vielzhl qudrtischer Fltblätter in unterschiedlichen Frben, Größen und us verschiedenen Mterilien zu kufen. Oft reicht es ber uch us, wenn mn sich qudrtisches Ppier us normlem Kopierppier (DIN A4) selbst zuschneidet. Für unsere Zwecke ht dieses Ppier sogr mehrere Vorteile: Es ist fst immer verfügbr, Schmierppier knn verrbeitet werden, die Ppiergröße eignet sich gut zum Experimentieren und mn knn gut uf diesem Ppier schreiben und zeichnen. Dies ist mnchml sinnvoll, um Fltlinien deutlicher hervorzuheben oder um sich Zusmmenhänge klrzumchen. In diesem Beitrg wird uf verschiedene Weise gezeigt, wie mn solches qudrtisches Fltppier selber herstellen knn. In Vrinte und 3 spielt rechteckiges Ausgngsppier, in der Vrinte 3 speziell DIN A4-Ppier eine Rolle. In der Vrinte 2 wird us unregelmäßig geformtem Ppier ein Qudrt gefltet. Ntürlich geht es uch um ds Begründen, dss die geflteten Vierecke ttsächlich Qudrte sind. Für die Vrinten bzw. 2 knn dies bereits durch Schüler in der Grundschule erfolgen. Beim Nchweis, dss ds Viereck nch Vrinte 3 ein Qudrt ist, ist der Stz des Pythgors hilfreich. An ds Flten eines Qudrtes nch Vrinte 3 schließen weitere Betrchtungen n, die zeigen, dss 2 irrtionl ist. Außerdem wird eine Kettenbruchentwicklung für diese Zhl ngegeben. Schließlich wird in Vrinte 4 gezeigt, wie mn ein Qudrt ohne Fltlinie im Innern erreichen knn. Auch die Umkehrung, ein Rechteck, welches zu einem DIN A4-Ppier ähnlich ist, us einem Qudrt herzustellen, wird untersucht. Dbei ergeben sich interessnte Zusmmenhänge, die zum Flten eines regelmäßigen Achtecks führen und verschiedene Berechnungen ermöglichen. Neben Kenntnissen us der Kongruenz- und Ähnlichkeitsgeometrie knn ds Arbeiten mit lineren Funktionen sinnvoll eingebunden werden. So ergeben sich vielfältige Untersuchungs- und Übungsmöglichkeiten im Mthemtikunterricht. Auch entdeckendes Lernen und Problemlösen knn n den hier vorgestellten Beispielen für den Mthemtikunterricht interessnt sein. Vrinte Hier wird eine llgemein beknnte Vrinte gezeigt, wie mn us einem DIN A4-Bltt ein Qudrt herstellen knn. Dzu fltet mn die kurze Knte AB des Rechtecks uf die lnge Knte AD, sodss die Fltlinie durch A geht (Bild ). Dbei geht B in B uf AD über und die Fltlinie mrkiert uf BC den Punkt E. Nun knn mn entlng EB den überstehenden Teil des Ausgngsppiers btrennen und nch dem Aufflten erhält mn ein Qudrt ABEB. Dss ABEB ttsächlich ein Qudrt ist, knn leicht eingesehen werden (Bild c). Dbei ist es von Bedeutung, dss ds Ausgngsppier ein Rechteck ist, lso in den vier Ecken A, B, C und D jeweils ein rechter Winkel liegt. Erweiterte Fssung des gleichnmigen Beitrges us Der Mthemtikunterricht, Heft 6, 2009.
Durch die Fltung von B nch B überträgt sich der rechte Winkel von B in den von B, womit B E prllel zu AB ist. Folglich ist, weil uch nch Vorussetzung AB prllel zu BE ist, ABEB ein Rechteck. D wegen der Fltung von B nch B uch AB und AB gleichlng sind, ist dieses Rechteck ein Qudrt. Abschließend sei bemerkt, dss es bei den obigen Überlegungen keine Rolle gespielt ht, dss ds Ausgngsppier ein DIN A4-Bltt wr. Mn knn lso uf diese Weise us jedem rechteckigen Ppier ein qudrtisches Fltppier herstellen. Vrinte 2 Nun wird ein Qudrt us einem unregelmäßigen Ppier hergestellt. Dzu wird ds Ppier n einer beliebigen Stelle gefltet, sodss eine Fltlinie entsteht (Bild 2). Auf dieser Fltlinie werden zwei Punkte A und B beliebig festgelegt. Die Länge der Strecke AB ist dnn die Seitenlänge des Qudrtes. Ds bedeutet ber uch, dss mn beim Festlegen der beiden Punkte ufpssen muss, dmit ds Qudrt uch uf ds Ppier psst. Nun fltet mn so durch A, dss die Fltlinie AB uf sich zu liegen kommt. Ddurch entsteht eine Fltlinie durch A, die uf AB senkrecht ist. Ebenso wird die zu AB senkrechte Fltlinie durch B gefltet. Dnn sind uf dem Ppier drei Fltlinien zu sehen, die bei A und B jeweils rechte Winkel bilden und n einen Teil eines Rechtecks erinnern. Deshlb fltet mn jetzt entsprechend der. Vrinte weiter. Es wird B uf die Senkrechte von AB durch A so gefltet, dss die Fltlinie durch A geht (Bild 2c). Diese Fltlinie mrkiert uf der nderen Senkrechten zu AB den Punkt E. Nchdem mn des Ppier wieder ufgefltet ht, wird so durch E gefltet, dss die Fltlinie BE uf sich zu liegen kommt (Bild 2d). Nchdem uch diesml wieder ds Ppier ufgefltet wurde, erkennt mn im unregelmäßigen Ppier ein Qudrt. Eine Begründung dfür, dss es sich ttsächlich um ein Qudrt hndelt, ist hier nicht nötig. Er ergibt sich us den Überlegungen der Vrinte. Ds gefltete Qudrt knn nun usgeschnitten werden, oder mn fltet die unregelmäßigen Ppierknten nch hinten um, sodss ein suberes Qudrt übrig bleibt. Seite 2
Vrinte 3 Nun ist DIN A4-Ppier die Grundlge für ds Flten eines Qudrtes. Mit den Bezeichnungen us Bild 3 fltet mn so, dss D uf der Rechteckseite BC zu liegen kommt und die Fltlinie dbei durch A geht. D ist ds Bild von D uf BC bei dieser Fltung. Diese Fltlinie mrkiert uch uf CD den Punkt E. Nch dem Aufflten wird C so uf BC gefltet, dss die Fltlinie durch D geht. Diese Fltlinie mrkiert uf AD den Punkt F. Fltet mn ds Ppier wieder useinnder, so erkennt mn ds Qudrt ABD F. Wegen der Fltung von C uf BD ist BD F = 90 0 (Bild 3d). Dmit ist ber ABD F ein Rechteck. Um zu zeigen, dss ABD F uch ein Qudrt ist, muss mn z.b. nur noch AB = BD nchweisen. Diese Gleichheit ergibt sich us einer Eigenschft des DIN A4-Ppiers (vergleiche [?]). Es ist nämlich AD = AB 2. D sich beim Flten von D nch D uch AD = AD ergibt, folgt mit dem Stz des Pythgors im rechtwinkligen Dreieck ABD : BD = AD 2 AB 2 = 2 AB 2 AB 2 = AB 2 = AB. Dmit ist ber ABD F ein Qudrt. Weitere Betrchtungen Mit der Fltung us der Vrinte 3 knn mn nun weiter rbeiten und z.b. die Größen von Winkeln bestimmen, die in der Figur uftreten (Bild 4). Ausgehend dvon, dss ABD F ein Qudrt ist, ergibt sich D AB = BD A = AD F = 45 0. Dnn ist uch F AD = 45 0 und wegen der Fltung von D nch D ergibt sich SAD = F AS = 22, 5 0. Dbei bezeichnet S den Schnittpunkt der Fltlinien AE und FD. Über die Winkelsumme in rechtwinkligen Dreiecken erhält mn ASF = AED = 67, 5 0 und findet ESD = 67, 5 0 (Scheitelwinkel). Dmit erhält mn ber uch D SA = F SE = 2, 5 0. Weil EDA = 90 0 und AD F = 45 0 ist, ergibt sich wegen der Fltung von D nch D SD E = 45 0 und somit uch ED C = CED = 45 0. Dmit ist ds rechtwinklige Dreieck D CE gleichschenklig mit CE = CD. Außerdem ergibt sich in E, dss D ES = 67, 5 0 ist, womit uch ds Dreieck SD E gleichschenklig mit D S = D E ist. Weil CE = CD und der Winkel bei C ein rechter Winkel ist, ist LD CE ein Qudrt, wobei L der Fußpunkt des Lotes von E uf FD ist. Dmit wird ds Ausgngsrechteck ABCD (ein DIN A4-Bltt) in zwei Qudrte und ein Rechteck FLED eingeteilt. Von diesem Rechteck soll nun ds Verhältnis der Seiten berechnet werden. Zur besseren Übersicht werden die folgenden Abkürzungen eingeführt: AB = CD =, AD = BC = b, CD = CE = r und DE = x. Weil ABCD ein DIN A4-Bltt ist, gilt: b = 2. Folglich ergibt sich: 2 = b = +r = r+x+r r+x = 2r+x r+x, worus 2(r + x) = 2r + x folgt. Es ist lso: 2r + 2x = 2r + x, Seite 3
( 2 )x = (2 2)r, x r = 2 2 2 = 2( 2 ) 2, lso x r = 2. Dmit ist im Rechteck FLED ds Seitenverhältnis genu so groß wie im Ausgngsviereck, einem DIN A4-Bltt. FLED ist folglich ein Rechteck, ds zu einem DIN A4-Bltt ähnlich ist. Dies ist eine weitere interessnte Eigenschft unseres üblichen Schreibppiers: Durch zweimliges Abschneiden eines Qudrtes von einem DIN A4-Bltt erhält mn ein neues Rechteck, ds zum Ausgngsrechteck ähnlich ist. Es gilt llgemein: Schneidet mn von einem Rechteck, ds zu einem DIN A4-Ppier ähnlich ist, ds Qudrt über einer kurzen Seite und nschließend vom übrig gebliebenen Rechteck ebenflls ds Qudrt über einer kurzen Seite b, so erhält mn ein Rechteck, welches zum Ausgngsrechteck ähnlich ist. Als weiterführende Problemstellung könnte mn frgen, ob es noch weitere Ppierformte mit dieser Eigenschft gibt. Nun soll der Ähnlichkeitsfktor der beiden Rechtecke ABCD und FLED bestimmt werden. Dzu knn mn ds Verhältnis x bestimmen (Bild 4). Weil ds Ausgngsrechteck zu einem DIN A4-Bltt ähnlich ist, gilt + r = 2. Bedenkt mn, dss r = x ist, so ergibt sich + x = 2, worus x = (2 2) folgt. Dmit ist ber 2 2 der gesuchte Ähnlichkeitsfktor. Zum Abschluss soll noch die Länge F S = y bestimmt werden. Dzu eignet sich der Strhlenstz mit den beiden von A usgehenden Strhlen AD und AE und den beiden Prllelenbschnitten x und y. Es gilt x y = AD AF = 2. Weil ber ds Rechteck FLED zu einem DIN A4-Bltt ähnlich ist, gilt x r = 2. Folglich ist y = r und die beiden Trpeze FSED und CESD sind kongruent zueinnder. 2 ist irrtionl Ausgehend von einem DIN A4-Bltt wurde, wie eben gezeigt, durch ds Abschneiden von zwei Qudrten ein kleines Rechteck erzeugt, ds zum Ausgngsrechteck ähnlich ist. Dieses Verfhren knn uch uf dieses kleinere Rechteck ngewendet werden, wodurch ein weiteres, noch kleineres Rechteck entsteht, ds zum DIN A4-Bltt ähnlich ist. Auch von diesem Rechteck lssen sich wieder zwei Qudrte bschneiden,.... Dieser Prozess knn (theoretisch) beliebig lnge fortgesetzt werden. Im Bild 5 sind die ersten vier Schritte gezeigt. r, r, r 2, r 3,... bezeichnen dbei die Längen der kurzen Rechteckseiten. In [] wird gezeigt, dss sich dieses Verfhren eignet, um zu zeigen, dss 2 irrtionl ist. Ds Verfhren knn nämlich ls euklidischer Algorithmus ufgefsst werden, um den größten gemeinsmen Teiler der Längen b und der Seiten eines DIN A4-Blttes zu bestimmen. Es gilt: () b = + r, (2) = 2 r + r, (3) r = 2 r + r 2, (4) r = 2 r 2 + r 3,.... D dieser Prozess nicht bbricht, d.h. kein Rest Null wird, hben b und keinen gemeinsmen Teiler. Dies bedeutet ber, dss b und kein gemeinsmes Mß hben und folglich b = 2 irrtionl ist. Mit Hilfe des euklidischen Algorithmus lässt sich 2 uch ls Kettenbruch drstellen und dmit näherungsweise berechnen. D 2 = b ist, ergibt sich us () nch Division durch : Seite 4
b 2 = = + r = + r r erhält mn ber us (2) nch Division durch r: r = 2 + r r = 2 + r r. Dmit folgt b 2 = = + = + r Mit (3) erhält mn: 2 = + 2 +,. 2 + r r. 2 + r r 2 und mit (4) folgt: 2 = + 2 + 2 +. 2 + r 2 r 3 Auch dieser Prozess endet nicht, sodss mn nun für 2 einen unendlichen Kettenbruch ngeben knn. Bereits in der 4. Näherung erhält mn: 2 + 2 + =, 4 6. 2 + 2 Vrinte 4 Die vorher beschriebenen Fltvrinten für ein Qudrt us einem DIN A4-Ppier hben den Nchteil, dss im Qudrt immer eine Fltlinie vorhnden ist. Nun soll us DIN A4-Ppier ein Qudrt hergestellt werden, ds keine Fltlinie in seinem Inneren enthält. Dzu sind llerdings zwei DIN A4- Blätter nötig. Ein Bltt ist gegenüber dem nderen um 90 0 gedreht und beide Blätter werden n einer Ecke Knte n Knte bündig übereinnder gelegt (Bild 6). Nun fltet mn die beiden überstehenden Rechtecke entlng der Ppierknte des jeweils nderen Blttes um. So erhält mn in beiden DIN A4-Blättern jeweils ein Qudrt ABYH (Bild 6b), welche keine inneren Fltlinien enthlten. Zeichnet mn uch die Knten F X und XD z.b. mit einem Bleistift uf dem oberen Bltt nch, so erhält mn dort ein weiteres, kleineres Qudrt AF XD. Die Begründung dfür, dss es sich in beiden Fällen um Qudrte hndelt (gleichlnge Seiten und rechte Innenwinkel) knn mn uch von Schülern in der Grundschule erwrten. Ntürlich ist klr, dss es bei dieser Fltung nicht wichtig ist, dss ds verwendete Ppier zu DIN A4-Ppier ähnlich ist. Es funktioniert uch mit zwei zueinnder kongruenten Rechtecken. Wenn dbei Seite 5
die längere Knte kürzer ls ds Doppelte der kurzen Knte ist, dnn gibt es uch ds kleine Qudrt, ds mn uf ds oben liegende Rechteck zeichnen knn. Nun wird wieder vorusgesetzt, dss die beiden verwendeten Rechtecke ähnlich zu DIN A4-Ppier sind. Mn bezeichnet wie üblich die Länge der kurzen Seite mit und die der lngen Seite mit b. Dnn gilt: b = 2. Nun soll die Kntenlänge des kleinen Qudrtes AF XD berechnet werden. Es ist AF = (b ) und dmit wird AF = 2 b = 2 2 = (2 2). Dies ist ber gerde die Länge der längeren Knte des Rechtecks, welches beim zweimligen Abschneiden eines Qudrtes von einem DIN A4-Bltt nch Vrinte 3, übrig bleibt. Eine Umkehrung Bisher wurden Qudrte us Rechtecken, speziell us DIN A4-Ppier hergestellt. Nun soll die umgekehrte Frgestellung untersucht werden. Wie knn mn us einem gegebenen Qudrt ein möglichst großes Fltppier herstellen, ds zu einem DIN A4-Ppier ähnlich ist? Dzu betrchtet mn ein Qudrt ABCD mit der Seitenlänge. Zuerst wird ngenommen, dss mn ein Rechteck STUV, welches zu einem DIN A4-Ppier ähnlich ist, im Qudrt gefunden ht. Im Bild 7 ist dieses Rechteck STUV so eingezeichnet, dss S=A und T=B ist. Es ist klr, dss ein Rechteck dieser Art mit einer größeren Fläche nicht möglich ist. Nun wird überlegt, welche Eigenschften sich drus ergeben, und wie mn nschließend eine Folge von Fltungen mit dem gewünschten Ziel entwickeln knn. Weil STUV=ABUV zu einem DIN A4-Ppier ähnlich ist, gilt: AB AV = 2. Folglich ergibt sich AV = AB 2 2 = 2 2. Andererseits ht ntürlich uch eine hlbe Digonle im Ausgngsqudrt die Länge 2 2, lso ist insbesondere AM = 2 2, wobei M den Schnittpunkt der Digonlen im Qudrt bezeichnet. Nun muss nur noch die Strecke AM uf die Qudrtseite AD übertrgen werden. Eine mögliche Fltfolge ist in den Bildern 8 bis 8d gezeigt, wobei beim Übergng von Bild 8c zu Bild 8d ds umgefltete Dreieck AD E wieder ufgefltet wird. Dbei geht die Fltmrkierung von M uf AD in M uf AD über. Abschließend wird noch DC um die Senkrechte uf AD durch M gefltet. Ddurch entsteht uf BC der Punkt G. ABGM ist nun ds gesuchte Rechteck, in dem AB = AM 2 gilt und ds dmit zu einem DIN A4-Bltt ähnlich ist. Nun knn mn entlng GM ds Qudrt teilen und erhält ein Rechteck ABGM, welches zu einem DIN A4-Ppier ähnlich ist. Betrchtet mn noch einml ds gesmte Qudrt ABCD, mit dem Rechteck ABGM, welches zu einem DIN A4-Ppier ähnlich ist (Bild 9). Dnn fällt uf, dss ufgrund der Prllelität von M G zu AB der Winkel M F D die Größe 45 0 ht. Folglich ist ds Dreieck DM F gleichschenklig und es gilt Seite 6
M D = M F. Demzufolge ist M FF*D ein Qudrt, wenn F* der Fußpunkt des Lotes von F uf CD ist. Bezeichnet H den Schnittpunkt von AC mit M G und H* den Fußpunkt des Lotes von H uf DC, so ist uch HGC ein gleichschenkliges Dreieck mit HG = GC und folglich HGCH* ein Qudrt. Dieses Qudrt ist wegen HH = F F kongruent zum Qudrt M FF*D. Dmit wird ds Rechteck M GCD in zwei zueinnder kongruente Qudrte und ein Rechteck FHH*F* eingeteilt. Nun sollen die Seitenlängen dieses Rechtecks berechnet werden. Dzu wird AB = gesetzt. Die gesuchten Seitenlängen werden mit r und s (Bild 0) bezeichnet. Weil M D = r und AM = 2 2 gilt, ergibt sich r = AD AM = 2 2 = ( 2 2). Dmit folgt ber für s = 2r = 2( 2 2) = ( 2 ). Nun wird noch ds Verhältnis der Seitenlängen dieses Rechtecks bestimmt. Mn erhält: s r = ( 2 ) 2( ( 2 2) 2 2) = 2 2 = 2. Dmit ist ber ds betrchtete Rechteck zu einem DIN A4-Ppier ähnlich, und es gilt: Schneidet mn von einem Qudrt ein Rechteck b, ds zu einem DIN A4-Ppier ähnlich ist, bleibt ein Rechteck übrig. Dieses Rechteck lässt sich in zwei zueinnder kongruente Qudrte und ein Rechteck, welches zu einem DIN A4-Ppier ähnlich ist, einteilen. Bisher wurde vom Qudrt ABCD ds Rechteck, welches zu einem DIN A4-Ppier ähnlich ist, n der Seite AB bgeschnitten, sodss sich n der Seite CD ds Restrechteck bildet. Dieses Verfhren knn mn n jeder Qudrtseite durchführen. Es entsteht eine Einteilung des Ausgngsqudrtes wie sie in Bild zu sehen ist. Im Innern entsteht ein kleineres Qudrt mit der Seitenlänge s. An jeder Seite dieses inneren Qudrtes ist ein Rechteck, welches zu einem DIN A4-Ppier ähnlich ist, ngelegt. Außerdem liegt in jeder Ecke des Ausgngsqudrtes ein kleines Qudrt mit der Seitenlänge r. Verbindet mn die äußeren Ecken der kleinen Rechtecke, so erhält mn ein Achteck, wie es im Bild b gezeigt ist. Um zu zeigen, dss es sich um ein regelmäßiges Achteck hndelt, muss mn nur noch die Länge der Seite M F* berechnen und diese mit der Länge von F*H* vergleichen: M F 2 = r 2 +r 2, worus M F = r 2 = ( 2 2) 2 = ( 2 ) = s = F H folgt. D uch lle Innenwinkel des Achtecks die Größe 90 0 + 45 0 = 35 0 hben, ist dieses Achteck eine regelmäßiges Achteck. Dmit ergibt sich ber uch gleich eine Anleitung, wie mn ein regelmäßiges Achteck us einem Qudrt fltet. Mn muss die Fltschritte us den Bildern 8 bis 8d nur vierml hintereinnder usführen, für jede Qudrtseite genu einml. Auf diese Weise entsteht ds Fltmuster, ds im Bild 2 drgestellt ist, mit dem inneren kleinen Qudrt. Nun müssen nur noch die Ecken des Ausgngsqudrtes Seite 7
n die Ecken des inneren Qudrtes herngefltet werden. Ds Ergebnis ist ein regelmäßiges Achteck, wie es im Foto im Bild 2b gezeigt ist. Einschub: Regelmäßiges Achteck Ntürlich knn mn uch uf einfchere Weise ein regelmäßiges Achteck in ein qudrtisches Ppier flten. Dzu muss mn sich nur die Eigenschften eines regelmäßigen Achtecks erkunden. Im Bild E ist ein solches Achteck A, A 2,..., A 8 gezeigt. Wegen der Regelmäßigkeit des Achteckes sind lle Seiten gleich lng und lle Innenwinkel hben die Größe von 35 o. Verbindet mn zwei gegenüberliegende Ecken (lso A mit A 5, A 2 mit A 6,...) durch jeweils eine Strecke, so gehen diese Strecken durch einen Punkt O, den Mittelpunkt des regelmäßigen Achtecks. Dmit ist ds regelmäßige Achteck uch drehsymmetrisch mit dem Zentrum O und dem Drehwinkel 45 o. Folglich psst jedes regelmäßige Achteck uf zwei Arten in ein Qudrt, wie es im Bild E2 gezeigt ist. Mnn knn lso us einem qudrtischen Fltppier ABCD ein regelmäßiges Achteck flten, indem mn die vier Ecken des Qudrtes so umfltet, dss die Endpunkte der Fltlinien mit dem Mittelpunkt O des Qudrtes einen Winkel von 45 o bildet. Schüler können nun selber herusfinden, mn ds Qudrt flten muss, um ein regelmäßiges Achteck zu erhlten. Sicher gibt es uch hier wieder mehrere Vrinten. Eine Möglichkeit wird in den Bildern E3 bis E3e gezeigt. Aufgrund der Fltung ist SOR = 45 o. Wird ds vierfch übereinnder liegende kleine Qudrt wieder vollständig entfltet, erkennen wir im Ausgngsqudrt ds gesuchte regelmäßige Achteck Bild E3f. Nun können wir A mit A 6, A 2 mit A 5, A 3 mit A 8 und A 4 mit A 7 verbinden, wie es im Bild E4 gezeigt ist. Dies können wir ls Ausgngspunkt für weitere Untersuchungen nutzen, wie sie bereits im vorhergehenden Abschnitt vorgestellt wurden. Eine Weiterführung dieser Überlegungen knn z.b. drin bestehen, dss A mit D, B mit A, C mit B und D mit C verbindet. Seite 8
Fortsetzung Dmit sind wir wieder beim Fltmuster us Bild 2. Dort ist neben den vier kleinen Qudrten in den Ecken des Ausgngsqudrtes uch ds kleine Qudrt, dessen Seiten prllel zu den Seiten des Ausgngsqudrtes sind, zu sehen, ds jetzt mit A B C D bezeichnet wird. Außerdem knn mn dort ein weiteres Qudrt A*B*C*D* erkennen, dessen Seiten durch die Ecken von A B C D gehen. Dieses Qudrt ist uch im Bild 2b hervorgehoben. Ds es sich bei diesem Viereck um ein Qudrt hndelt, ergibt sich us der Drehsymmetrie (Drehwinkel 90 0 ) der Figur, die sich us der symmetrischen Fltfolge ergibt. Nun sollen noch die Seitenlängen und Flächeninhlte der beiden Qudrte A B C D und A*B*C*D*, in Abhängigkeit von der Seitenlänge des Ausgngsqudrtes, berechnet werden. Die Seitenlänge des Qudrtes A B C D ergibt sich us den Überlegungen zu Bild 0. D A B = s ist, folgt = A B = ( 2 ) und dmit uch der Flächeninhlt dieses Qudrtes A B C D = (3 2) 2. Die Seitenlänge * des schräg liegenden Qudrtes A*B*C*D* wird hier bestimmt, indem die Trägergerden der Seiten dieses Qudrtes ls linere Funktionen bezüglich eines Koordintensystems (vgl. Bild 3) ufgefsst und entsprechende Schnittpunkte berechnet werden. Zuerst betrchtet mn die Gerde g(a*d*) durch A* und D*, die uch durch O und D geht. Weil die Koordinten von D (r; 2 2) = D (( 2 2); 2 2) beknnt sind, ergibt sich g(a*d*): y = 2 2 ( x = ( 2 + )x. 2 2) Nun wird die Gleichung der Gerden g(a*b*) bestimmt. D diese Gerde durch A (r; r) = A (( 2 2); ( 2 2)) und B(; 0) geht, ergibt sich g(a*b*): y = r r x + n = ( 2)x + n, wobei n die Schnittstelle dieser Gerden mit der y-achse ist. Mit den Koordinten von B folgt nun noch 0 = ( 2) + n, worus sich n = ( 2) ergibt, und dmit g(a*b*): y = ( 2)x ( 2) folgt. Der Schnitt dieser beiden Gerden liefert die Koordinten x A und y A des Punktes A*. Unter Verwendung des Gleichsetzungsverfhrens erhält mn: ( 2 + )x A = ( 2)x A ( 2), worus x A = 2 2 4 folgt. Wird dieser Wert in g(a*d*) eingesetzt, ergibt sich y A = 4 2. Dmit ist der Punkt A ( 2 2 4 ; 4 2) mit seinen Koordinten bestimmt. Weil x A = r 2 ist, ist A* der Mittelpunkt von AD. Nun werden die Koordinten von B* bestimmt. Dzu knn mn bedenken, dss sich B* us A* durch eine Drehung um M mit dem Drehwinkel 90 0 (entgegen dem Uhrzeigersinn) ergibt. Folglich ergeben sich für die Koordinten y B = x A und x B = y A für B*. Dmit ist uch B ( 4 2 4 ; 2 2 4 ) mit seinen Koordinten bestimmt. Mit Hilfe der Koordinten von A* und B* knn die Seitenlänge * des Qudrtes A*B*C*D* bestimmt werden. Es ist = A B = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2, worus sich = 2 2 ergibt. Dmit erhält mn uch den Flächeninhlt dieses Qudrtes A B C D = 2 ( 2 2). Dmit gilt für die Seitenlägen der drei betrchteten Qudrte Seite 9
: : = : 2 2 : 2 oder = 2 + 2 : : 2 2 oder = 2 + : + 2 2 : und für die Flächeninhlte ABCD : A B C D : A B C D = : 2 2 : 3 2 2 oder = 2 + 2 : : 2 2 oder = 3 + 2 2 : + 2 2 :. Abschließend knn mn frgen, ob sich die Seitenlänge des schräg liegendes Qudrtes * bzw. dessen Flächeninhlt A B C D ls ein Mittelwert von und bzw. ABCD und A B C D ergibt. Dbei sollen nur ds rithmetische (x = x +x 2 2 ), geometrische (x = x x 2 ), hrmonische (x = 2 ) und + x x 2 x ds qudrtische Mittel (x = 2 +x2 2 2 ) betrchtet werden. Eine entsprechende Rechnung zeigt, dss für die Seitenlänge * keiner der vier Mittelwerte von und zutrifft. Für den Flächeninhlt A B C D findet mn, dss A B C D ds hrmonische Mittel von ABCD und A B C D ist. Schließlich sei noch erwähnt, dss mn us dem Ausgngsqudrt entsprechend der durchgeführten Fltung uch ein Päckchen flten knn, wie es die Bilderfolge in Bild 4 zeigt. Dies knn z.b. ls netter Briefumschlg für Glückwünsche, die direkt uf die Innenseite geschrieben werden können, oder ähnliches verwendet werden. Im letzten Fltschritt dieser Bildfolge us Bild 4 ist zu bechten, dss die rechts oben liegende Ecke nch innen gefltet wird, während die rechts unten liegende Ecke umgefltet wird. Litertur [] Weber, W.: Inkommensurbilität von Seite und Digonle im Qudrt. In: PM, Heft 5, 995, S. 200-203. Schlussbemerkung Die hier gezeigten Fltbeispiele sollen Anregungen geben, im Mthemtikunterricht unserer Schulen ds Flten von Ppier zu nutzen, um mthemtische Inhlte entdecken zu lssen, einzuführen oder zu üben. Die Möglichkeiten dzu sind vielfältig. Auf der Internetseite www.mthegmi.de findet mn weitere Beispiele. Ich würde mich freuen, von Ihnen Hinweise, Anregungen oder Erfhrungsberichte zu dieser Themtik zu erhlten. Schreiben Sie mir eine E-Mil (michel.schmitz@uni-jen.de) oder beteiligen Sie sich n der oben gennnten Internetseite. Seite 0