Universität Heidelberg Mthemtischer Vorkurs zum Studium der Physik Übungen Aufgben zu Kpitel 7 (us: K. Hefft, Mthemtischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergänzungen) Aufgbe 7.: Differentitionstbelle rückwärts Berechnen Sie folgende Beispiele von Integrlen (, n Z): ) 3 b) + c) b + d) / / e) cosh() f) π 4 cos () g) + h) n+ ) 3 b) c) b [ln()]3 ln(3) ln() ln(3) + [rctn] π + [rcsinh ] b rcsinh b siehe Aufg.5.7 d) / / [rcsin] / / π e) cosh() [sinh ] sinh f) π 4 g) cos [tn]π/4 () tn π 4 ( + [ h) n+ n+ n+ ] ) für für n N für n < ist der Integrnd bei nicht beschränkt.
Aufgbe 7. Bestimme Sie die Schren der Stmmfunktionen F() folgender Funktionen f(): ) f() 3 b) f() c) f() sinh() ) F() 4 4 + c d) f() b) F() rccosh() + c c) F() cosh() + c d) f() e ln F() ln + c Aufgbe 7.3 Bestimmen Sie die Stmmfunktionen von folgenden Funktionen f() mit den ngegebenen Rndbedingungen: )f() sin() mit F(π) b)f() mit F(4) c)f() cosh () mit F() ) F() cos + c F(π) cos π + c + c! c b) F() + c F(4) + c 4 + c! c 3 c) F() tnh + c F() tnh + c! c tnh Aufgbe 7.4 Integrieren Sie durch linere Zerlegung: ( + 3 ) 3 ( + 3 ) 3 ( + 63 + 6 + 8 9 [ + 6 4 4 + 7 7 + 8 ] 38 7
Aufgbe 7.5 Berechnen Sie folgende Integrle durch Substitution (, A, b, r R, > ): t ) +b b) e / c) r d) r e) ẋ(t)dt f) cosh(/a) ) mit y + b und folgt: ln y + c ln + b + c +b y d b) mit y und folgt: t e / t/ c) mit y rcsin() oder sin(y) und e y t/ t/ [ey ] t/ e y ( e t ) e y cos(y) folgt: rcsin() rcsin() π/ π/ sin (y) cos (y) ( + cos(y)) (letzter Schritt mit Hilfe des Additionstheorems) mit z y und dz folgt: cos( ± b) cos()cos(b) sin()sin(b) cos(y) cos y sin y cos y [ y π/ + ] π cos(z) dz dz π 4 + 4 [sin(z)]π π 4
d) r r mit y r und r folgt: r r ( r ) e) ẋdt dt dt (t) + c r y r π 4 siehe Aufg. c) f) mit y A und A folgt: ( cosh A) /A /A cosh(y) A [sinh(y)] /A ( A sinh A) /A Aufgbe 7.6 Zeigen Sie für n N [ g (y)(g(y)) n (g(y)) n+ n + yb ] yb yb g (y)g n y (y) b dg gn g(y (y) b ) dg g(y gn ) (y) gn+ (y b ) g n+ () n+ Leiten Sie us dieser Formel weitere b, indem Sie g(y) spezifizieren, z.b. für (, b R,, b > ) ) g(y) y ± b b) g(y) siny c) g(y) y ± b d) g(y) ln(y) ) g (y)g n (y) d (y ± b) n (y±b)n+ n+ + c b) g (y)g n (y) cos(y)sin n (y) d(sin(y)) mit z sin(y) folgt: g (y)g n (y) z n dz zn+ n+ + c sinn+ (y) n+ + c c) g (y)g n (y) y (y ± b) n (y ±b) n+ n+ + c d) g (y)g n (y) y lnn (y) lnn+ (y) n+ + c sin n (y) d(sin(y))sin n (y)
Aufgbe 7.7 Beweisen Sie nlog wie oben die Formel (für < n N) [ yb g (y) n n g(y) n ] yb g(y) g(y) n + yb g (y) n g(y) yb g(yb ) [ [ [ g() dg g n (y) g n + (y) n + g n (y)dg ] yb g n(y)g(y) n+ n ] yb n g(y) n g(y) n + ] yb und spezifizieren Sie drin g(y) wie in Aufgbe 7.6 ) und b). ) g (y) n g(y) d n y ± b n n+ (y ± b) n y ± b + c b) g (y) n g(y) cos(y) n sin(y) n n+ sin(y) n sin(y) + c y Aufgbe 7.8 Ws erhält mn nlog für b g (y)/ (g(y)) n mit n IN, n >? yb g (y) y b g n (y) [ ] dg g(y b ) g n (y) g(y g n ) dg g n+ yb [ ] yb (y) n+ g n (y) Aufgbe 7.9 Weitere Beispiele ( ω,, b, c R, n N): n ) + π ω cos ωt dt b) + c) z+b dz d) ẋ(t)(t)dt e) sinh(/b) f) ± b g) n+ h) n i) π sin (φ) π cos (φ)+ dφ j) ± k) + b ( +b+c) 3 l) + 4 ) Mit y ωt und dt ω folgt: + π ω cos(ωt) dt ω+π ω weil der Sinus π-periodisch ist. cos(y) dt [ ω sin(y)] ω+π ω
b) Mit y rcsinh() bzw. sinh(y) und cosh(y) folgt: + + sinh (y) cosh (y)cosh(y) cosh (y) wegen cosh sinh. Mit Hilfe der Additionstheoreme: sinh( + b) sinh()cosh(b) + sinh(b)cosh() cosh( + b) cosh()cosh(b) + sinh()sinh(b) cosh () ( + cosh()) (wie in Aufg. 7.5c) und sinh() sinh()cosh() folgt nun: + ( + cosh(y)) (y + sinh(y)) + c (y + sinh(y)cosh(y)) + c ( y + sinh(y) ) + sinh (y) + c (rcsinh() + ) + + c c) Mit z + b und dz folgt: + ++b z+b dz +b dz [ ++b +b / d) ẋ(t)(t)dt dt (t)dt (t) (t) + c e) Mit y und /b folgt: b sinh(/b) /b sinh(y) /b b [cosh(y)]/b /b ] +b ( ) / / + b b +b Integrle von ungerden Funktionen verschwinden immer über symmetrische Intervlle. f) Mit y ± b und folgt: ± b y/ 3 y3/ + c 3 ( ± b)3/ + c
g) D der Integrnd innerhlb des zu integrierenden Intervlls nicht definiert n+ ist, knn mn ds Integrl nicht usrechnen, obwohl normlerweise n+ Integrle von ungerden Funktionen über symmetrische Intervlle verschwinden. Deshlb nur die Berechnung des uneigentlichen Integrls: n+ n n h) Fllunterscheidung: i) π π (i) n : (ii) n : ln n n n n n + c sin (φ) dφ d ungerder Integrnd über symm. Intervll cos (φ)+ j) ± 3 ( ±) y ± +c nch Aufgbe 7.7 b g (y) n g(y) [ n g(y) n ] yb g(y) mit y, g(y) ± und n n+ +b ( +b+c) 3 [ ( +b+c) 3 + k) b yb g (y) g n (y) n g n (y) ] yb nch Aufgbe 7.8 4 ( +b+c) mit y, g(y) + b + c und n 3 l) Mit y und folgt: rctn(y) + c + 4 +y rctn( ) + c Aufgbe 7. Integrieren Sie folgende Integrle prtiell ( < y R): ) y sin() e b) y cos() e c) rcsin() d) g) + e) 3 e f) ln( + ) ln() und beweisen Sie folgende nützliche Rekursionsformeln für n IN: h) i) j) k) f () n f() n nf() n g() n g() g (n ) + () n (n ) n für n sin n () n cos () sinn () + n n sin n () ( ± ) n n+ ( ± ) n + n n+ ( ± ) n
Prtielle Integrtion b f()g () [f()g()] b b f ()g() ) Mn löst die Aufgbe mit Hilfe von 7.b: Wähle f() e und g () sin(), d mn sonst immer im Kreis rechnet y sin ()e [ cos()e ] y y dnn erstml weiter mit 7.b cos(y)e y b) Mn wähle f() e und g () cos(): y cos ()e [sin()e ] y + y y sin()e sin(y)e y + cos(y)e y cos()e cos()e y cos()e y y y cos()e + sin(y)e y cos(y)e y cos()e ( + sin(y)e y cos(y)e y ) sin()e ( sin(y)e y cos(y)e y ) Lösung für Aufg.7. c) Wähle f() rcsin() und g () : rcsin () rcsin() rcsin() + + c nch Aufg.7.7: yb g (y) n g(y) [ n g(y) n ] yb g(y) n+ mit y, g(y), g (y), n d) Wähle f() und g () + : + 3 ( + )3/ ( + ) 3/ 3 [( + ) 3/ 5 ] 3 ( + )5/ + c 5 ( + )3/ (3 ) + c
e) Wähle f() und g () e : 3 e e e e e e e e + c ( )e + c f) Wähle f() ln und g () : ln 3ln 3 3 3 ln + c 3 3 3 9 g) Wähle f() ln( + ) und g () : ln ( + ) ln( + ) + ln( + ) + + ln( + ) + + ln( + ) + rctn() + c h) Mit (f() n ) d (f()n ) f () n + f() n n gilt: d (f()n ) f () n + f() n n f() n f () n + n f() n f () n f() n n f() n
i) g() n g() n n+ n + g() g() (n ) + n ( n+ n + )g () g () für n (n )n j) sin n () sin sin n cos sin n ( cos ) ( (n )sin n cos ) cos sin n + (n ) cos sin n ( cos sin n + (n ) sin ) sin n cos sin n + (n ) sin n (n ) n sin n cos sin n + (n ) sin n sin n n cos () sinn () + n sin n () n sin n k) ( ± ) n ( ± ) n ( ± ) n [n (±) ( ± ) n ] ( ± ) n n (± + ) ( ± ) n [ ] ( ± ) n n ( ± ) n ( ± ) n ( + n) ( ± ) n ( ± ) n + n ( ± ) n ( ± ) n n + ( ± ) n + n ( ± ) n n +
Aufgbe 7. und Aufgbe 7. siehe K. Hefft, Mthemtischer Vorkurs zum Studium der Physik! Die Aufgben müssen nicht gerechnet werden! Aufgbe 7.3 Lösen Sie ds Integrl Γ() mit Γ() + b + c für, b, c R. Tip: qudrtische Ergänzung Γ() + b + c + b + c + ( b ( + b ) + c ( b ) ) ( b ) Mit y + b und ( b ) c : Mit z y und dz : ( b ( b y ) c ) c 4c b 4 3 dz z ( y ) für < und > rcsin(z) + konst + b rcsin ( b ) c ( + b rcsin b 4c + konst ) + konst
Aufgbe 7.4 Zeigen Sie durch eine geeignete Substitution, dss uch die Integrle y ( k R) und y k sin cos elliptische Integrle sind. y Elliptische Integrle: F(k;y) gebrucht. Sie sind nlytisch nicht lösbr. ( )( (k) ) Für beide Integrle benutzt mn die gleiche Substitution: z sin und dz cos sin z ) y sin y k sin b) Mit dem Additionstheorem: y y cos q ( (kz) )( z ) dz werden bei Pendelschwingungen cos( ± b) cos()cos(b) sin()sin(b) cos() cos sin sin sin y sin ( z dz )( z ) Aufgbe 7.5 Versuchen Sie folgende uneigentliche Integrle der ersten Art zu berechnen ( R): ) b) e c) /( + ) d) cos e) cos e ) y lim y lim [ y ] lim ( ) y b) e y lim y e lim [ e ] y lim ( e y ) y y c) lim + y y Der Grenzwert eistiert nicht. lim [ln + + y ]y lim [ln + y ] y y d) cos lim cos lim y y [sin]y lim siny y Auch dieser Grenzwert eistiert nicht e) cos e lim y y cos e lim y [ (sin y cos y)e y + ]
/π sin (/) Aufgbe 7.6 Berechnen Sie und (+ 4 ). ) /π sin (/) lim lim lim /π sin( ) π/ / / π/ sinz dz sinz dz lim [ cos z]/ π/ lim cos mit z und dz b) lim + 4 lim + 4 [ ] rctn lim rctn π 4 Aufgbe 7.7 Berechnen Sie ) (+ ) und lim + lim b (+ 4 ). b + lim lim b [rctn]b limrctnb lim rctn b π
b) lim ( + 4 ) lim b lim lim b + 4 b [rctn ] b nch Aufg.7.9 l) Aufgbe 7.8 Versuchen Sie folgende uneigentlichen Integrle der zweiten Art zu berechnen ( < b R): b ) b) b c) ( ) 3 ) b b) b lim lim [ / / ]b b lim b lim + lim mit y und y nch Aufg.7.8 c) b b lim lim [ 3 3 ]b lim [ ] b Der Grenzwert eistiert nicht. Aufgbe 7.9 Berechnen Sie ) und π/ ( ) tn. lim lim [rcsin] lim rcsin( ) π
b) π/ tn lim π/+ lim cos( sin cos π ) y π ) lim [ln ] cos( lim cos( π ) ln mit y cos und sin Der Grenzwert eistiert nicht. Aufgbe 7. Berechnen Sie die Huptwerte P b Cuchy-Huptwerte: P f() : lim ǫ [ ε und P π tn. ] b f() + f() +ε ) P lim [ + ] ( lim [ln ] + [ln ] lim (ln ln ) ln + ln ln ) b) π P tn lim ( lim ( lim lim ln lim ln [ π ] π sin + wie in Aufg.7.9 b) π + cos [ln cos ] π + [ln cos ] π π ln cos( π cos( + ) π ) ln ) + ln cos ln cos π cos( π + ) cos( π ) + cos( π)cos() sin(π)sin() cos( π)cos() + sin(π)sin() lim ln + )
Aufgbe 7. Zeigen Sie, dss us dem uneigentlichen Integrl zweiter Art durch die Substitution /y ein uneigentliches Integrl erster Art entsteht. nch Aufgbe 7.8 ) Mit y, lso y und y 3 folgt: y wie in Aufg.7.5 ) y 3 y