6. Juli 2 38 5 Uneigentlihe Integrle 5. Uneigentlihe Integrle Ziel (uneigentlihe Integrle) Zu einer Regelfunktion f : I R uf einem Intervll I bilde mn eine Stmmfunktion F : I R (vgl. Definition 3..4) Wenn einer der Endpunkte des Intervlls niht zu I gehört, frgt mn nh dem Grenzwert von F in diesem Endpunkt. Mn shreibt diesen Grenzwert suggestiv ls Integrl: Beispiele (uneigentlihe Integrle) e t dt := lim dt := lim t e t dt = lim (e e ) =, t dt = lim ( 2 2 t ) = 2. Bemerkung (uneigentlihe Integrl Reihen). Oft knn mn den Grenzwert eines uneigentlihen Integrls niht direkt ngeben. Die Methoden für die Konvergenzuntersuhung von Reihen knn mn weitgehend uf uneigentlihe Integrle übertrgen: Cuhy-Kriterium positive Integrnden und monotone Konvergenz Mjorntenkriterium bsolut konvergente uneigentlihe Integrle Prmeterintegrle gleihmäßige Konvergenz Vertushung von Ableitung und Integrl, Doppelintegrle Bemerkung (eigentlihe uneigentlihe Integrle). Welhe Integrle uneigentlih sind, hängt von der verwendeten Integrtionstheorie b. Die Integrle der zugrunde liegenden Integrtionstheorie nennt mn zur Untersheidung uh eigentlihe Integrle. Wir hben im Kpitel 3. ds Regel-Integrl eingeführt. In diesem Tet sind die eigentlihen Integrle lso die Regel-Integrle. 2. Mn teilt die uneigentlihen Integrle in bsolut konvergente und niht bsolut konvergente ein.
6. Juli 2 382 Im Rhmen der wesentlih stärkeren Lebesgueshen Integrtionstheorie sind lle bsolut konvergenten uneigentlihen Integrle eigentlih, ber lle niht bsolut konvergenten uneigentlihen Integrl sind uh dort uneigentlih. Dies erklärt, wrum die bsolut konvergenten uneigentlih Integrle viel bessere Eigenshften hben. Bezeihnung 5.. (uneigentlihe Integrle) Es seien I ein nihtleeres Intervll und f : I R eine Regelfunktion. Mn definiert ds uneigentlihe Integrl von f über I in den folgenden Fällen, sofern der ngegebene Grenzwert eistiert (siehe uh den weiteren Fll 5..5): :. I beshränkt: (i) I = (, b]. Mn bilde den Grenzwert f(ξ) dξ := lim (ii) I = [, b). Mn bilde den Grenzwert f(ξ) dξ (iii) I = (, b). Siehe Punkt (3.) 2. I unbeshränkt: f(ξ) dξ := lim b f(ξ) dξ (i) I = [, ) mit R. Mn bilde den Grenzwert f(ξ) dξ := lim f(ξ) dξ (ii) I = (, b] mit b R. Mn bilde den Grenzwert f(ξ) dξ := lim f(ξ) dξ (iii) I = (, b) oder I = (, ) oder I = (, ). Siehe Punkt (3.) 3. I = (, b) mit, b R: Mn wähle ein (, b) und bilde die uneigentlihen Integrle über die beiden Teilintervlle (, ] und [, b).
6. Juli 2 383 Wenn beide uneigentlihen Integrle über (, ] und [, b) konvergieren, setze mn f(ξ) dξ := f(ξ) dξ + f(ξ) dξ Dies ist wohldefiniert: Wenn die uneigentlihen Integrle über (, ] und [, b) konvergieren, konvergieren die entsprehenden Integrle für jeden nderen Teilpunkt (, b) ebenflls und mn erhält für ds uneigentlihe Integrl über (, b) dsselbe Ergebnis. (vgl. Intervlldditivität des Integrls 3.. (2.)). Bemerkung (zur Flluntersheidung in 5..). Mn knn in der Typeinteilung 5.. uneigentliher Integrle kürzer zusmmenfssen zu: I = [, b) mit R und b R, I = (, b] mit R und b R, I = (, b) mit, b R. Mn behte ber: Die üblihen ε-formulierungen der Grenzwertkriterien untersheiden sih für beshränkte und unbeshränkte Intervlle: Mn vergleihe hierzu Kriterien 2.3.5 und 2.3.6 für lim f() mit R, Kriterium 2.3.4 für lim f() und ds Cuhykriterium hierzu (vgl. Bemerkung (2.) zu 2.3.6). Bezeihnung 5..2 (weitere Bez. für uneig. Integrle) Wenn mn betonen will, dß es sih um ein uneigentlihes Integrl hndelt, sind folgende Bezeihnungen üblih: Für ein beshränktes Intervll mit linkem Endpunkt und rehtem Endpunkt b: + f() d = f() d = b f() d, f() d.
6. Juli 2 384 Eine neutrle Bezeihnung, die niht über die Lge von und b vorussetzt, ist b f() d. Bemerkung (kompktes Intervll). Ds Integrl einer Regelfunktion f über ein kompktes Intervll [, b] stimmt mit den uneigentlihen Integrlen über (, b], [, b) und (, b) überein. Die Bezeihnung führt lso niht zu Mehrdeutigkeiten. Beispiel f() d Die Funktion f : [, ] ( ) 3 2 ist uf (, ) differenzierbr mit Ableitung f : 3 2. Die Funktion 3 2 ist uf [, ] erklärt und stetig. Die Formel f 3 () d = 2 d ist bei jeder Interprettion der rehten Seite rihtig. Beweis. Nh Feststellung 3..5 ist jede Stmmfunktion einer beshränkten Regelfunktion f : I R Lipshitz-stetig mit Lipshitz-Konstnte L := sup I f(). Nh Korollr 2.8.8 ist eine Regelfunktion uf einem kompkten Intervll beshränkt. Also ist jede Stmmfunktion uf gnz [, b] erklärt und Lipshitzstetig. Die Stmmfunktion ist lso durh ihre Werte uf einer dihten Teilmenge eindeutig bestimmt (vgl. 3.4.24). Beispiel (rsin = π/2 ). Die Funktion rsin : [, ] [, π] ist stetig und im Inneren von [, ] stetig differenzierbr. Die Ableitung ist ber unbeshränkt uf (, ). (vgl. 3.3.25 und die folgenden Beispiele). Für ds unbestimmte Integrl der Ableitung über (, ) erhält mn lso: dt t 2 dt := lim t 2 [ = lim rsin t = rsin rsin = π 2.
6. Juli 2 385 Beispiele 5..3 Ds uneigentlihe Integrl konvergiert: d = π. + 2 Beweis. Nh Definition 3.4.2 des Arus-Tngens und mit Beispiel 3.4.2(3.) gilt: lim lim d = lim + 2 rtn ξ = π 2, d = lim + 2 rtn ξ = π 2. Bemerkung. Mit der Definition 3.4.46 knn mn uneigentlihe Integrle für komplewertiger Funktionen bilden. Beispiele 5..4 (Lple-Trnsformierte von os, sin) Für w = u + iv C und Re w = u > gilt: ep( wt) dt = w. Zerlegt mn diese Gleihung in Rel- und Imginärteil und setzt s+iω := u+iv, so erhält mn die Lple-Trnsformierten der hrmonishen Shwingunhgen: t os ωt und t sin ωt: e st s os ωt dt = s 2 + ω 2 e st sin ωt dt = für s > und R. ω s 2 + ω 2 Beweis (Lple-Trnsformierte von os, sin). Nh Feststellung 3.4.48 gilt für w = u + iv C und u < : Mn behte: t lim t ep( (u + iv)τ) dτ ep( (u + iv)τ) [ = lim t u + iv = u + iv lim t Für u > ist der Grenzwert lim t e ut =. Der Fktor ep( ivt) ist beshränkt: τ=t τ= ( e ut ep( ivt) ) = u + iv. ep( ivt) =.
6. Juli 2 386 Beispiel (Cuhysher Huptwert im Fll 5.. (3.)). Im Fll 5.. (3.) eines uneigentlihen Integrls über ein offenes Intervll ist es wihtig, dß die Grenzwerte n den beiden Enden unbhängig gebildet werden. lim π 2 lim π 2 [ tn ξ dξ = lim π 2 tn ξ dξ = lim π 2 log os ξ =. [ log os ξ =. Ds uneigentlihe Integrl über ( π 2, π 2 ) eistiert niht. Bildet mn die Grenzwerte ber symmetrish, so erhält mn: lim π 2 [ tn ξ dξ = lim log os ξ π 2 }{{} = =. Bei dieser Kopplung der Grenzwerte spriht mn vom Cuhyshen Huptwert des Integrls. Bezeihnung 5..5 (Singulrität im Innern) Ein weitere Fll, den mn ls ein uneigentlihes Integrl bezeihnet, entsteht bei einer Singulrität im Innern eines Intervlls. Gegeben seien, b, R mit < b < und eine Regelfunktion f : [, b) (b, ] R. Sofern die uneigentlihen Integrl über [, b) und (b, ] eistieren (vgl. 5..), definiert mn ds uneigentlihe Integrl f() d := f() d + b f() d. Anlog geht mn im Fll (, b) (b, ) und bei endlih vielen Singulritäten im Innern eines Intervlls vor. Beispiel (Singulrität im Innern). Für < t < konvergiert ds uneigentlihe Integrl: t d = 2 t.
6. Juli 2 387 Beweis: lim lim [ dξ = lim ξ t ξ t t [ ξ t dξ = lim ξt t ξ= ξ= ξ= ξ= = t, = t. Beispiel (Cuhysher Huptwert im Fll 5..5). Im Fll 5..5 eines uneigentlihen Integrls mit einer Singulrität im Innern des Intervll ist es wihtig, dß der linksseitige und der rehtsseitige Grenzwert unbhängig gebildet werden. lim lim ξ ξ [ dξ = lim [ dξ = lim log ξ =. log ξ =. Ds uneigentlihe Integrl über [, ) (, ] eistiert niht. Bildet mn die Grenzwerte ber symmetrish, so erhält mn: [ lim ξ dξ + ξ ( dξ = lim log ξ + log ξ ) =. }{{} = Bei dieser Kopplung der Grenzwerte spriht mn vom Cuhyshen Huptwert des Integrls. Bemerkung 5..6 (Rehenregeln für uneigt. Integr.). Linerität: Konvergente uneigentlihe Integrle knn mn ddieren und mit einer Zhl multiplizieren (vgl. 3..6 (2.)). 2. Monotonie Uneigentlihe Integrle sind monoton (vgl. 3.. (2.)) 3. Die Beshränktheit (vgl. 3..7 (.)) mht für uneigentlihe Integrle keinen Sinn, d i.. ds Integrtionsintervll oder der Integrnd unbeshränkt ist. Die Folgerung 3..7 (2.)zur Vertushung von Integrl und Grenzübergng bei gleihmäßiger Konvergenz gilt niht mehr: n Beispiel: Die Folge f n : für R, (n N), konvergiert gleihmäßig n 2 + 2 gegen die Nullfunktion. Es ist ber (vgl. Bsp 5..3): f n () d = π 2 für n N.
6. Juli 2 388 Bemerkung 5..7 (Prtielle. Integrtion uneig. Int.) Konvergente uneigentlihe Integrle knn mn prtiell integrieren (vgl. Stz 3..34). Gegeben seien f, g R([, b)) und Stmmfunktionen F von f und G von g. Dnn gilt: Ds uneigentlihe Integrl uf linken Seite eistiert genu dnn, wenn der Grenzwert uf der rehten Seite eistiert: ( F (ξ)g(ξ) dξ = lim F (ξ)g(ξ) b ) f(ξ)g(ξ) dξ Bemerkung. Sttt 5..7 zu benutzen, ist es meist einfher, erst prtiell zu integrieren und nshließend den Grenzwert zu bilden. Bemerkung. Mn vergleihe ds folgende Beispiel mit Beispiel 5..4. Beispiele 5..8 (prtielle Integrtion) Durh prtielle Integrtion zeigt mn: Für s > konvergieren die uneigentlihen Integrle e st sin t dt = s 2 +, e st os t dt = s s 2 +. Durh prtielle Integrtion folgt ds eine uneigentlihe Integrl us dem nderen. Beweis. Es sei s >. Zweimlige prtielle Integrtion ergibt: t Für t folgt: e sτ sin τ dτ = [ e sτ sin τ t + e sτ os τ dτ ( ) s }{{} s für t = [ e sτ sin τ t [e sτ s }{{} s 2 os τ t t }{{} s 2 e sτ sin τ dτ. für t für t t ( + ) t s 2 e sτ sin τ dτ s 2, e st sin t dt = s 2 +.
6. Juli 2 389 Hierus folgt wie in ( ) durh prtielle Integrtion: e st os t dt = s s 2 +. Bemerkung: Uneigentlihe Integrle mit stetigem Integrnden f : I R knn mn wie im Stz 3..47 trnsformieren: Bemerkung 5..9 (Trnsformtion uneigent. Integr.) Es seien g : [, b) R eine Regelfunktion, g >, G eine Stmmfunktion von g und f : [G(), G(b )) R stetig. Wenn eines der beiden uneigentlihen Integrle uf der rehten oder linken Seite der Gleihung G(b ) G() f(y) dy = f(g()) g() d, konvergiert, dnn konvergiert uh ds ndere und es gilt die Gleihheit. Bemerkung. Sttt 5..9 zu benutzen, ist es meist einfher, erst zu Substituieren und nshließend den Grenzwert zu bilden. Beweis (Trnsformtion uneigentliher Integrle). D g >, ist die Stmmfunktion G streng monoton whsend. Es eistiert in R der Grenzwert G(b ). Für < b gilt nh Stz 3..47 G() G() f(η) dη = f(g(ξ)) g(ξ) dξ. D die Stmmfunktion G stetig und streng monoton whsend ist, konvergiert nh Korollr 2.5.8 und Stz 2.3.29 die linke Seite genu dnn, wenn die rehte Seite G() lim y G(b ) G() lim b konvergiert und die Grenzwerte sind gleih. f(η) dη f(g(ξ)) g(ξ) dξ Beispiel (Substitution)
6. Juli 2 39. Mit der Substitution := sin t, d = os t dt erhält mn: π d = 2 2 π 2 dt = π. Durh die Substitution erhält mn sogr ein eigentlihes Integrl. 2. Aus Beispiel 5..8 folgt für ω > mit der Substitution t = τ ω : e st sin ωt dt = ω = ω e s ω τ sin τ dτ ( s w ) 2 + = ω s 2 + ω 2. D die Sinus-Funktion ungerde ist, gilt die Formel uh für ω (vgl. uh Beispiel 5..4). 5.2 Konvergenzkriterien Bemerkung. Ds folgende Kriterium ist ein Spezilfll des Mjorntenkriteriums 5.2.7: Bemerkung 5.2. (beshr. Fnkt uf beshr. Interv.) Es seien I ein beshränktes, niht kompktes Intervll und f : I R eine beshränkte Regelfunktion.. Ds uneigentlihe Integrl über I konvergiert. 2. Für I = (, b] stimmt ds uneigentlihe Integrl über [, b) mit dem uneigentlihen Integrl über (, b) überein. Die Bezeihnung des Integrls führt lso niht zu Mehrdeutigkeiten. f() d 3. Anloge Aussgen gelten für I = (, b] bzw. I = (, b). Beweis (beshr. Funktion uf beshr. Intervll). Nh Feststellung 3..5 ist jede Stmmfunktion einer beshränkten Regelfunktion f : I R Lipshitz-stetig mit Lipshitz-Konstnte L := sup f(). I Mn knn nun den Stz 3.4.24 über die Forsetzung gleihmäßig stetiger Funktionen nwenden. Also eistieren die Grenzwerte in den Endpunkten des Intervlls.
6. Juli 2 39 Bemerkung (Cuhy-Kriterium für uneig. Integrle). Bei dem Cuhykriterium für uneigentlihe Integrle hndelt es sih um eine Umformulierung des Cuhykriteriums 2.3.6 für Funktionen. Für eine Regelfunktion f : I R wende mn ds Cuhy-Kriterium uf eine Stmmfunktion F n und behte: y f(ξ) dξ = F (y) F () für, y I. Wir formulieren ds Cuhy-Kriterium für den rehten Endpunkt eines Intervlls vom Typ [, b) bzw. [, ). Eine nloge Formulierung gilt für den linken Endpunkt von (, b] bzw. (, b]. Stz 5.2.2 (Cuhy-Krit. für uneigentl. Int.) Es seien I = [, b) nihtleer und f : I R eine Regelfunktion. Die folgenden Aussgen sind äquivlent:. Es eistiert ds uneigentlihe Integrl f() d. 2. Fll b R: Zu ε > gibt es ein δ >, so dß für lle, y U(b, δ) stets y f(ξ) dξ < ε gilt. Fll b = : Zu ε > gibt es ein K mit K <, so dß für lle, y R mit K < y stets gilt. y f(ξ) dξ < ε Bemerkung (Cuhy-Krit. für uneigentl. Int.) Mn knn in Stz 5.2.2 die Cuhy-Bedingung für die beiden Fälle I = [, b) mit b R bzw b = einheitlih formulieren: Zu ε > gibt es ein K mit K <, so dß für lle, y R mit K < y < b stets gilt. y f(ξ) dξ < ε
6. Juli 2 392 Beispiele 5.2.3 Wir zeigen später, dß ds folgende Integrl gegen π 2 konvergiert: sin sin D lim =, reiht es, ds Integrl sin d zu untersuhen (vgl. Bemerkung 5.2.). Prtielle Integrtion ergibt: y sin ξ ξ dξ = os ξ ξ y d y os ξ ξ 2 dξ. D os ξ, folgt für < y < : y sin ξ dξ ξ + y y + ξ 2 dξ = 2 für. Also ist die Cuhy-Bedingung 5.2.2 (2.) erfüllt. Feststellung 5.2.4 (nihtnegtiver Integrnd) Es sei f : I R eine Regelfunktion uf dem Intervll I und F () := f(ξ) dξ für I eine Stmmfunktion, wobei ein beliebiger, fest gewählter Punkt in I ist. Es sei f. Dnn sind äquivlent:. Ds uneigentlihe Integrl von f über I konvergiert in R. 2. Die Stmmfunktion F ist beshränkt uf I. Wenn ds uneigentlihe Integrl von f über I niht in R konvergiert, dnn konvergiert es gegen. Beweis (nihtnegtiver Integrnd). D der Integrnd f ist, ist die Stmmfunktion F monoton whsend. Es seien < b die Intervllenden von I, dnn gilt: lim F () = inf I F () F sup F () = lim F (). I b Die Grenzwerte von F n den Intervllenden eistieren genu dnn in R, wenn f beshränkt ist.
6. Juli 2 393 Bezeihnung 5.2.5 (nihtnegtiver Integrnd) Es seien I ein Intervll mit Endpunkten, b R und f : I R eine nihtnegtive Regelfunktion.. Entsprehend der Definition 2..22 bezeihnen wir uh bei uneigentliher Konvergenz des unbestimmten Integrls den Grenzwert mit: f() d :=. 2. Im Fll eigentliher Konvergenz shreiben wir zur Betonung: f() d <. Beispiele 5.2.6 (nihtnegtiver Integrnd) Es sei R. Für ds uneigentlihe Integrl von gilt: Also ist für lle R stets d = d = für >, für. für. d =. für <. Feststellung 5.2.7 (Mjorntenkriterium) Es seien I = [, b) ein nihtleeres Intervll und f, g : I R Regelfunktionen. Ist f g und konvergiert ds uneigentlihe Integrl g() d <, dnn konvergieren uh die uneigentlihen Integrle von f und f und es gilt f() d Mn nennt g eine Mjornte von f. f() d g() d.
6. Juli 2 394 Beweis (Mjorntenkriterium). Der Beweis ergibt sih unmittelbr us dem Cuhy-Kriterium. Bezeihnung 5.2.8 (bsolut konvergentes uneig. Int.) Es seien I = [, b) niht leer und f : I R eine Regelfunktion. Ds uneigentlihe Integrl von f über I heißt bsolut konvergent, wenn f() d <. Nh dem Mjorntenkriterium 5.2.7 konvergiert in diesem Fll ds uneigentlihe Integrl und es gilt f() d f() d f() d Beispiele 5.2.9 (konv. niht bs. kon. uneigtl. Int.) Nh Beispiel 5.2.3 konvergiert ds Integrl Es ist ber niht bsolut konvergent. sin d. Mn knn gegen die hrmonishe Reihe.4. bshätzen: Also ist n sin d sin d =. = 2 n ν= νπ n ν= (ν )π ν sin d ν für n. Stz 5.2. (Grenzwertkriterium) Es seien I = [, b) niht leer und f, g : I R Regelfunktionen.
6. Juli 2 395. Wenn lim sup f() g() < b ist, dnn gilt: Wenn g() d <, so ist uh f() d <. 2. Wenn der folgende Grenzwert eistiert und < lim f() b g() < ist, dnn gilt: g() d < genu dnn, wenn f() d <. Beweis (Grenzwertkriterium).. Es sei s = lim sup f() g() <. b Zu ε > gibt es ein [, b), so dß f() g() < s + ε für [, b). Nh dem Mjorntenkriterium 5.2.7 folgt: f() d (s + ε) g() d <. 2. klr nh Teil (.). Beispiele 5.2. (Grenzwertkriterium) 2 d =. log Beweis. Nh Definition der Ableitung gilt D log lim = lim log log = (log ) = =. 2 d = lim log( ) = ist, folgt ds Resultt us dem Grenzwertkriterium 5.2. (2.).
6. Juli 2 396 Bemerkung. Mn knn uh die Abshätzung (vgl. 3..29 (3.)) log und ds Mjorntenkriterium 5.2.7 benutzen. für (, ). Bemerkung (Reihen ls uneigentlihe Integrle). Zu einer Reihe n n bilde mn die stükweise konstnte Funktion f : (, ) R mit: Für die Stmmfunktion f() := n für [n, n + ) und n N. F : [, ) ist F (n) gleih der Prtilsumme n ν= n. Konvergiert ds uneigentlihe Integrl so gilt f() d = f(ξ) dξ n. Konvergiert die Reihe gegen, so uh ds uneigentlihe Integrl. Denn für n n + ist F () F (n) = f() d n. n n= Bemerkung. Anders ls bei konvergenten unendlihen Reihen muß bei einem konvergenten uneigentlihen Integrl vom Typ f() d der Integrnd für niht gegen Null streben. Beispiele 5.2.2 (Integrnd geht niht gegen Null) Ds folgenden uneigentlihen Integrle konvergieren: Es ist sin( 2 ) d = 2 y sin(y 4 ) dy. lim sup sin( 2 ) =, lim sup y sin(y 4 ) =. y Mn vernshulihe die Integrnden mit einer Zeihnung!
6. Juli 2 397 Beweis (Integrnd geht niht gegen Null). Mn substituiere ξ = η und integriere prtiell: y sin ξ 2 dξ = y 2 2 = os η 2 η sin η 2 η dη y 2 y 2 2 2 os η dη 4η 3 2 D os ξ, folgt für < y < : y sin(ξ 2 ) dξ 2 + y 2 2y + 2 4η 3 2 = für. Also ist die Cuhy-Bedingung 5.2.2 (2.) erfüllt. Die Substituion = y 2 ergibt ds zweite Integrl. dη Bemerkung (Bild zum Integrlkriterium). Wenn der Integrnd f : [, ) R eines uneigentlihen Integrls nihtnegtiv ist und monoton fällt, knn mn ds Integrl gut mit einer Reihe vergleihen: y Bild : Mn knn ds Integrl durh die Flähe der Rehteke bshätzen: n+ f() d n ν= f(ν). Die Flähe der Rehteke oberhlb des Grphen von f ist monton whsend und f() f(n + ). f(). 2 3 4 n n +
6. Juli 2 398 y Bild 2: Mn knn die Flähe der Rehteke durh ds Integrl bshätzen: n+ ν=2 f(ν) n+ f() d. f(). 2 3 4 n n + Der Vergleih der Rehtekflähen mit dem Integrl ergibt insgesmt: n+ ν=2 f(ν) n+ f() d n ν= f(ν) Stz 5.2.3 (Integrlkriterium) Es sei f : [, ) R nihtnegtiv und monoton fllend.. Der Vergleih der Reihe n f(n) mit dem Integrl ergibt: n+ ν=m+ Insbesondere gilt: f(ν) n+ m f(n) < n= 2: Die Folge der Abweihungen f() d n f(ν) für m n. ν=m f() d <. d n := n ν= f(ν) n+ f() d ist nihtnegtiv, monoton whsend und immer konvergent. Für den Grenzwert gilt: lim n d n f(). Beweis (Integrlkriterium).. D f monoton fällt, gilt f(ν + ) f() f(ν) und folglih f(ν + ) ν+ ν f() d f(ν) für ν N. Summiert mn diese Ungleihungen von ν = m,..., n so folgt n f(ν + ) ν=m n+ m f() d n f(ν). ν=m
6. Juli 2 399 2. Aus (.) folgt die Behuptung mit: d n d n + f(n + ) n+2 n+ f()d = d n+, n n+ d n := f(ν) f() d ν= n ν= n+ f(ν) f(ν) = f() f(n + ). ν=2 Beispiele 5.2.4 (Zet-Reihe) Für die Zet-Reihe n n s folgen für s > us dem Integrlkriterium die Abshätzungen und s = s d Bemerkung (Zet-Funktion). n= n= n s s + n s. s s d = s s. Bereits Euler htte gesehen, dß mn die Zet-Funktion ζ(s) = n= n s ls konvergentes unendlihes Produkt ζ(s) = p p s (für s > ) usdrüken knn, wobei p lle Primzhlen durhläuft. Beispiele 5.2.5 (Eulershe Konstnte) Wendet mn ds Integrlkriterium 5.2.3 (.) uf die Funktion n, so erhält mn eine Abshätzung, wie shnell die hrmonishe Reihe.4. gegen geht: log(n + ) n ν= + log(n) für n N. n Nh 5.2.3 (2.) konvergiert die Differenz us den n-ten Prtilsummen der hrmonishen Reihe und log(n + ). Der Grenzwert heißt Eulershe Konstnte: lim n n ν= Behte: log(n + ) log n. log n =: γ, 577... ν
6. Juli 2 4 Bemerkung (uneigentlihe Integrle ls Reihen). Für eine Regelfunktion f : [, ) R sind äquivlent:. Ds uneigentlihe Integrl von f über [, ) konvergiert. 2. Für jede streng monotone Folge ( n ) n N, die gegen strebt, konvergiert die Reihe (wobei = gesetzt ist): n= n n f(ξ) dξ = lim n n f() d. ( ) Übung: Es gebe eine solhe Folge ( n ) n N, so dß die Einshränkungen f (n, n ) lternierende Vorzeihen hben. Beispiel sin d. Mn zeige: Dnn ist für diese Folge ( ) eine lternierende Reihe. Wenn diese Reihe konvergiert, konvergiert ds uneigentlihe Integrl. 5.3 Prmeterbhängige Integrle Bemerkung (Funktionenreihen Prmeterintegrle). Die Theorie der Funktionenreihen und die Drstellung von Funktionen ls spezielle Funktionenreihen ist ein wihtiges Hilfmittel zur Untersuhung von Funktionen. Entsprehend der Anlogie zwishen unendlihen Reihen und uneigentlihen Integrlen spielen uneigentlihe Integrle, deren Integrnd von einem Prmeter bhängt, eine große Rolle in der Anlysis. t n= f n (t) Anlogie t f(, t) d Wir untersuhen zuvor die Abhängigkeit von einem Prmeter für eigentlihe Integrle. Bemerkung: (Stz von Arzel-Osgood) Für die Untersuhung von Grenzprozessen bei uneigentlihen Integrlen gehen wir von dem Grenzwertstz 3..7 (2.), für gleihmäßig konvergente Folgen von Integrnden us. D dieses Resultt etws shwh ist, müssen wir zusätzlihe Vorussetzungen über die Stetigkeit der Integrnden mhen. Shärfere Rsultte erhält mn mit dem Grenzwertstz von Arzel-Osgood (vgl. [?]).
6. Juli 2 4 Stz (Arzel-Osgood). Es sei (f n ) n eine Folge von Regelfunktionen uf [, b], die beshränkt sind f n und punktweise gegen eine Regelfunktion f konvergieren Dnn gilt lim n f n () d = f() d. Dies ist ein Spezilfll des Grenzwertstzes von Lebesgue. Wir werden die folgenden Resultte später im Rhmen der Lebesgueshen Integrtionstheorie llgemeiner herleiten. Stz 5.3. (Stetige Abhängigkeit vom Prmeter) Es seien I = [, b] ein kompktes Intervll, (M, d) kompkter metrisher Rum (vgl. 3.4.93) und f : I M R stetig. Dnn ist die durh Φ : t f(, t) d definierte Funktion Φ : M R gleihmäßig stetig. Beweis (Stetige Abhängigkeit vom Prmeter). Nh Stz 3.4.8 ist die stetige Funktion f uf der kompkten Menge [, b] M gleihmäßig stetig. Folglih gibt es zu ε > gibt es ein δ >, so dß f(, t ) f(, t 2 ) < ε b für t, t 2 M und d(t, t 2 ) < δ. Für t, t 2 M und d(t, t 2 ) < δ folgt nun nh Regel 3..7: Φ(t ) Φ(t 2 ) = f(, t ) d f(, t 2 ) d < ε. Bezeihnung 5.3.2 (prtielle Ableitung) Es seien D eine Menge und J ein nihtleeres, offenes Intervll. Die Funktion f : I J R, f : (, t) f(, t) heißt im Punkte (, t ) D J prtiell differenzierbr nh der Vriblen t J, wenn der Grenzwert des folgenden Differenzenquotienten eistiert: D 2 f(, t ) = t f( f(, t) f(, t ), t ) := lim. t t t t
6. Juli 2 42 Bemerkung.. Die prtiellen Ableitung bietet eine einfhere Shreibweise für die üblihe Ableitung der Funktion f(, ) : J R, bei der die ndere Vrible festgehlten wird. f(, ) : t f(, t), 2. Mn benutzt die prtielle Ableitung uh bei nderer Reihenfolge der Vriblen. Beispiele 5.3.3 (prtielle Ableitungen). t sin(2 + t 2 ) = os( + t) 2t. 2. t sin( t) = os( t). 3. t sin(t ) = os( t ) t log. 4. Mit Hilfe des Additionstheorems erhält mn d dt sin( 2 + t 2 ) d = d dt = sin t 2 2t = sin 2 os t 2 d + d dt os( 2 + t 2 ) 2t d = sin 2 d + os t 2 2t t os 2 sin t 2 d os 2 d t sin(2 + t 2 ) d. Wir werden sehen, ds dieses Ergebnis llgemeiner gilt. Lemm 5.3.4 (gleihmäßig prtiell differenzierbr) Es seien I = [, b] ein kompktes Intervll und J ein nihtleeres offenes Intervll. Die Funktion f : I J R, f : (, t) f(, t) sei uf I J prtiell nh der Vriblen t differenzierbr und die prtielle Ableitung f t : I J R sei stetig. Dnn konvergieren die Differenzenquotienten f(, t) f(, t ) t t gleihmäßig für I gegen die prtielle Ableitung t f(, t ). Bezeihnung. Mn sgt in diesem Fll, die Funktion f ist im Punkte t gleihmäßig prtiell differenzierbr.
6. Juli 2 43 Beweis (gleihmäßig prtiell differenzierbr). Zu t J wähle ein kompktes Intervll [, d], so dß t (, d) [, d] J ist. f t ist uf der kompkten Menge I [, d] gleihmäßig stetig (vgl. 3.4.8): Zu ε > gibt es ein δ >, so dß U(t, δ) [, d] ist und für lle I und τ U(t, δ) f f (, τ) t t (, t ) < ε ist. Aus dem Mittelwertstz folgt: Es gibt zu I und t U(t, δ) ein τ zwishen t und t, so dß: f(, t) f(, t ) f t t t (, t ) = f t (, τ ) f t (, t ) < ε. Stz 5.3.5 (Vertushung von Integrl u. Ableitung) Es seien I = [, b] ein kompktes Intervll und J ein nihtleeres offenes Intervll. Die Funktion f : I J R, f : (, t) f(, t) sei stetig, prtiell nh der Vriblen t differenzierbr und die prtielle Ableitung sei stetig. Dnn ist die Funktion f t : I J R Φ : J R, stetig differenzierbr und es gilt: Φ : t f(, t) d Φ (t) = d dt f(, t) d = f(, t) d. t Beweis (Vertushung von Integrl u. Ableitung). Nh Lemm 5.3.4 ist f gleihmäßig uf I nh der Vriblen t prtiell differenzierbr. Für eine Folge (t n ) n N in J, die gegen t konvergiert, konvergieren die Differenzenquotienten f(, t n ) f(, t ) t n t t f(, t )
6. Juli 2 44 gleihmäßig für I gegen die prtielle Ableitung. Nh der Grenzwertregel 3..7 (2.) folgt nun Also ist Φ differenzierbr. Φ(t n ) Φ(t ) b f(, t n ) f(, t ) lim = lim d n t n t n t n t = t f(, t ) d. Beispiele 5.3.6 (Vertush. von Integrl u. Ableit.) Die Funktion f : [, ] [, ) mit für =, f(, t) = t log für < <, t für =. ist stetig (vgl. 3.2.2) und ht die stetige prtielle Ableitung t f(.t) = t für (, t) [, ] (, ). Also ist Φ(t) := f(, t) d stetig uf [, ), stetig differenzierbr uf (, ) und es gilt Φ (t) = f(, t) d = t Φ ist eine Stmmfunktion. D Φ() = ist folgt Φ(t) = log( + t). t d = + t. Bezeihnung 5.3.7 (Doppelintegrl) Es seien I = [, b], J = [, d] kompkte Intervlle. Die Funktion f : I J R, f : (, t) f(, t) sei stetig. Ds Integrl der stetigen Funktion (vgl. Stz 5.3.) Φ : t bezeihnet mn ls Doppelintegrl: d f(, t) d dt := f(, t) d d Φ(t) dt.
6. Juli 2 45 Bemerkung. Ds innere Integrlzeihen und ds zugehörige Differentil d wie ein Klmmerpr: d d ( ) f(, t) d dt = f(, t) d dt. Stz 5.3.8 (Vertush. der Integrtionsreihenfolge) Es seien I = [, b], J = [, d] kompkte Intervlle. Die Funktion f : I J R, f : (, t) f(, t) sei stetig. Für die Integrl der stetigen Funktionen gilt Φ : t f(, t) d und Ψ : d f(, t) dt d Φ(t) dt = Ψ() d. Die Reihenfolge der Integrtion knn bei Doppelintegrlen mit stetigem Integrnden vertusht werden: d f(, t) d dt = d f(, t) dt d. Beweis (Vertush. der Integrtionsreihenfolge). Wir betrhten uf [, d] die beiden stetigen Funktionen g : t h : t t Φ(τ) dτ ( t ) f(, τ) dτ d Sie hben den gleihen Anfngswert g() = h() =. Nh dem Huptstz der Integrl- und Differentilrehnung ist g (t) = Φ(t) = f(, t) d für t (, d). Nh Stz 5.3.5 vertusht die Differentition mit der Integrtion und mn erhält für t (, d) ( t ) h (t) = f(, τ) dτ d = f(, t) d. t Also ist g = h.
6. Juli 2 46 Bemerkung 5.3.9 (nderer Beweis für Stz 5.3.8) Wir gegen noh einen nderen Beweis für die Vertushung der Integrtionsreihenfolge 5.3.8. Dieser Beweis beruht druf, dß für Treppenfunktionen, deren Stufen hsenprlle Rehteke sind, ds Doppelintegrl über zwei Intervlle I und J ls eine Doppelsumme berehnet wird. In dieser Doppelsumme knn mn die Summtionsreihenfolge vertushen. Anshulih ergibt ds Doppelintegrl für eine solhe nihtnegtive Treppenfunktion f ds Volumen des Körpers, der nh unten durh ds Rehtek I J und nh oben durh den Grphen von f begrenzt wird. Dieser Körper besteht us endlih vielen hsenprllelen Qudern. Für den llgemeinen Fll pproimiere mn eine stetige Funktion f durh solhe Treppenfunktionen. Approimtion durh Treppenfunktionen: Für m, n N teile mn ds Intervll [, b] und ds Intervll [, d] in jeweils n gleihe Teile. Die Teilpunkte sind (n) k := + k (b ) für k =,,..., n, m t (n) l := + l (d ) für l =,,..., n. n Mn pproimiere f durh die Treppenfunktionen { f(, ) für = und t =, f n (, t) := f( (n) k, t(n) l ) für ( (n) k, (n) k ], t (t(n) l, t(n) D f uf der kompkten Menge [, b] [, d] gleihmäßig stetig ist, konvergieren die f n gleihmäßig uf [, b] [, d] gegen f (vgl. den Beweis zu Stz 3..24): lim f n f sup =. n l ]. Doppelintegrl der Treppenfunktionen: Für diese Treppenfunktionen gilt ( ) d f n (, t) dt d = = = n n k= l= n n f( (n) k f( (n) k l= k= d, t(n) l, t(n) l )(t (n) l )( (n) k f n (, t) d dt. t (n) l )((n) k (n) k ) (n) k )(t(n) l t (n) l )
6. Juli 2 47 D die Treppenfunktionen f n gleihmäßig gegen f konvergieren, folgt us dem Grenzwertstz 3..7 (2.): d f(, t) dt d = (nh ( )) = lim lim d n d n d = lim n f n (, t) dt d f n (, t) dt d f n (, t) d dt =... (nloge Umformung) = d f(, t) d dt. Übung: Mn leite den Stz 5.3.5 über die Vertushung von Integrl und Ableitung us dem Stz 5.3.8 über die Vertushung der Integrtionsreihenfolge her. Bezeihnung 5.3. (Glm. konv. uneigent. Integrle) Es seien I = [, b) ein Intervll und M eine Menge. Wir betrhten eine Funktion f : I M R f : (, t) f(, t), mit der Eigenshft, dß für jedes feste t M die Funktion f(, t) : I R eine Regelfunktion ist. f heißt gleihmäßig uneigentlih integrierbr, wenn für t M die uneigentlihen Integrle f(, t) d eistieren und gleihmäßig konvergieren (vgl. Definition 2.8.5): Zu ε > gibt es ein [, b), so dß für lle t M und [, b) f(ξ, t) dξ f(ξ, t) dξ < ε gilt. Bemerkung. Für gleihmäßige Konvergenz gibt es ds Cuhy-kriterium 2.8., ds wir für uneigentlihe Integrle nohml formulieren: Bemerkung 5.3. (Cuhy-Krit. für glm. Konvergenz) Es seien I = [, b) ein Intervll, M eine Menge und f : I M R f : (, t) f(, t), so dß für jedes t M die Funktion f(, t) : I R eine Regelfunktion ist. Dnn sind äquivlent:
6. Juli 2 48. f ist gleihmäßig uneigentlihe integrierbr. 2. Zu jedem ε > gibt es ein [, b), so dß für lle t M und, y [, b) stets gilt: y f(ξ, t) dξ < ε. Feststellung 5.3.2 (Stetigkeit v. uneig. Prm.-Int.) Es seien I = [, b) ein Intervll, M kompkter metrisher Rum und f : I M R stetig. Wenn f gleihmäßig uneigentlih integrierbr ist, dnn ist die durh Φ : t definierte Funktion Φ : M R stetig. f(, t) d Beweis (Stetigkeit von uneig. Prm.-Int.). Nh Vorussetzung sind die uneigentlihen Integrle gleihmäßig konvergent. f(, t) d Es sei ( n ) n eine monoton whsende Folge in [, b) die gegen b konvergiert. Nh Stz 5.3. sind die Funktionen Φ n : t stetig. D die Φ n gleihmäßig gegen Φ : t n f(ξ, t) dξ f(, t) d konvergieren, ist die Grenzfunktion Φ nh Stz 2.8.6 stetig. Beispiele 5.3.3 (glm. uneigentlih integrierbr) Die Funktion t sin f : (, t) e ist gleihmäßig uneigentlih integrierbr. Also ist [, ) t für (, t) (, ) [, ) t sin e d
6. Juli 2 49 stetig (siehe uh Beispiel 5.3.23). D ds uneigentlihe Integrl für t = niht bsolut konvergent ist (vgl. Beispiel 5.2.9), gibt es keine gleihmäßige Mjornte für t [, ). Beweis ( t sin e d ist gleihmäßig konvergent). Für, y (, ) mit < y und t [, ) gilt y e ξt ξ sin ξ dξ = [ e ξt ξ os ξ y y ξt os ξ (ξt + )e ξ 2 dξ. D d dξ (ξt + )e ξt = ξt 2 e ξt < ist, ist die Funktion für ξ [, ) monoton fllend. Also ist für t [, ) und ξ [, ) (ξt + )e ξt. Mn erhält die gleihmäßige Abshätzung: y e ξt sin ξ dξ ξ + y y + dξ ξ 2 = 2 für. Bemerkung (Mjornte). Die gleihmäßige Integrierbrkeit ist im llgemeinen shwierig nhzuweisen. Für bsolut integrierbre Funktionen bietet ds Mjorntenkriterium 5.2.7 eine gängige Methode, die gleihmäßige Konvergenz von uneigentlihen Integrlen zu zeigen. Dzu shätzt mn eine Fmilie von Funktionen {f(, t) t M} mit einer geeignet gewählten, uneigentlih integrierbren Funktion g b: f(, t) g für t M. Diese Mjornte g kontrolliert dnn, wie die uneigentlihen Integrle von f(, t) konvergieren. Lemm 5.3.4 (gleihmäßige Mjornte) Es seien M eine Menge und f : [, b) M R f : (, t) f(, t),
6. Juli 2 4 eine Funktion, so dß für jedes feste t M die Funktion f(, t) : [, b) R eine Regelfunktion ist. Es gebe eine nihtnegtive Regelfunktion g : [, b) R, für die ds uneigentlihe Integrl über [, b) konvergiert: und die eine Mjornte von f ist: g() d < f(, t) g() für (, t) [, b) M. Dnn ist ds uneigentlihe Integrl f(, t) d bsolut und gleihmäßig konvergent. f und f sind über [, b) gleihmäßig uneigentlih integrierbr. Beweis (gleihmäßige Mjornte). D g()d < ist, gibt es zu ε > ein [, b), so dß g() d < ε. Für lle t M und, y [, b) mit < y folgt dnn y y f(ξ, t) dξ g(ξ) dξ Also ist f gleihmäßig uneigentlih integrierbr. g(ξ) dξ < ε. Nh dem Mjorntenkriterium 5.2.7 ist ds Integrl f(, t) d bsolut konvergent und wie oben folgt, dß uh f gleihmäßig uneigentlih integrierbr ist. Beispiele 5.3.5 (lokl gleihmäßige Mjornte) Die Funktion g : (, t) e t sin für (, t) (, ) (, ) ist nh Lemm 5.3.4 lokl gleihmäßig uneigentlih integrierbr. Auf dem Intervll [t, ) knn mn bshätzen: g(, t) d e t d = <. t
6. Juli 2 4 Stz 5.3.6 (Stetigk. bs. konv. uneig. Prm.-Int.) Es seien I = [, b) ein Intervll, M kompkter metrisher Rum und f : I M R stetig. Es gebe eine nihtnegtive Regelfunktion g : [, b) R, für die ds uneigentlihe Integrl über [, b) konvergiert: und die eine Mjornte von f ist: g() d < f(, t) g() für (, t) [, b) M. Dnn ist für lle t M ds uneigentlihe Integrl von f über [, b) bsolut und gleihmäßig konvergent. Die durh Φ : t definierte Funktion Φ : M R ist stetig. f(, t) d Beweis (Stetigkeit von uneig. Prmeterint.). Nh Lemm 5.3.4 sind f und f gleihmäßig uneigentlih integrierbr. Nh Feststellung 5.3.2 ist die durh Φ : t definierte Funktion Φ : M R stetig. f(, t) d Bemerkung (zum Beweis von Stz 5.3.6). Wir führen den Stetigkeitsbeweis nohml direkt us, um den Gebruh der Mjornte zu demonstrieren. Zu ε > gibt es ein [, b), so dß g() d < ε. Nh Stz 5.3. ist M t f(, t) d gleihmäßig stetig. Es gibt ein δ >, so dß für t, t 2 M mit d(t, t 2 ) < δ stets f(, t ) d f(, t 2 ) d < ε. Also ist f(, t ) d f(, t 2 ) d f(, t ) d f(, t 2 ) d + f(, t ) d f(, t 2 ) d < ε + 2 g() d < 3ε.
6. Juli 2 42 Feststellung 5.3.7 (Folgen uneigentliher Integrle) Es sei f n : [, b) R, (n N), eine Folge von Regelfunktionen, die gleihmäßig uneigentlih integrierbr über [, b) sind. Die Folge (f n ) n konvergiere lokl gleihmäßig gegen eine Grenzfunktion f : [, b) R. Dnn ist f uneigentlih integrierbr über [, b) und es gilt f() d = lim n f n () d. Beweis (Folgen uneigentliher Integrle). D die (f n ) n gleihmäßig uneigentlih integrierbr sind, gibt es zu ε > ein [, b), so dß y f n (ξ) dξ < ε für, y [, b). D die (f n ) n uf jedem kompkten Intervll gleihmäßig gegen f konvergieren, gilt y f(ξ) dξ = lim y f n (ξ) dξ ε für, y [, b). n Also ist f uneigentlih integrierbr. D die f n uf dem kompkten Intervll [, b] gleihmäßig gegen f konvergieren, gibt es ein n N, so dß für n N mit n n gilt: f(ξ) dξ f n (ξ) dξ < ε. Insgesmt: Zu ε > gibt es ein [, b) und ein n N, so dß für [, b) und n n stets y y f n (ξ) dξ ε, f(ξ) dξ ε, f(ξ) dξ f n (ξ) dξ < ε. Wir erhlten nun für n N mit n n die Abshätzung: f(ξ) dξ f n (ξ) dξ b f(ξ) dξ f n (ξ) dξ + b f(ξ) dξ + f n (ξ) dξ 3ε.
6. Juli 2 43 Also ist f() d = lim n f() d. Bemerkung. Der Huptstz der Integrl- und Differentilrehnung 3.2.22 gilt uh für uneigentlih integrierbre Funktionen: Bemerkung 5.3.8 (Huptstz d. Int.- Diff.-Rehn.) Es seien R und f : (, d) R stetig. Dnn sind äquivlent:. Es gibt ein t (.d), so dß f uneigentlih integrierbr ist über (, t ]. 2. f ist uneigentlih integrierbr über (, t] für t (, d). 3. Es gibt eine stetige Funktion F : [, d) R, die uf dem offenen Intervll (, d) differenzierbr ist mit Ableitung F = f. Dnn gilt für t [, d) F (t) = F () + t f(τ) dτ. Beweis. Offensihtlih ist 2. 3 2: Nh dem Huptstz 3.2.22 gilt für s, t (, d) mit s < t: F (t) = F (s) + t s f(τ) dτ. D F im Anfngspunkt stetig ist, eistiert ds uneigentlihe Integrl lim s t s f(τ) dτ = F (t) F (). 2 3: Es sei s, t (, d) mit s < t. Die Funktion Φ : [, d) t t f(τ) dτ = s f(τ) dτ + t s f(τ) dτ ist stetig uf [, d). Nh dem Huptstz 3.2.22 gilt Φ (t) = f(t). Bemerkung (Folgen differenzierbrer Fnktn.) In dem Grenzwertstz 3.2.24 für Folgen (f n ) n differenzierbrer Funktionen wird vorusgesetzt, dß die Ableitungen f n uf einem offenen Interfll lokl gleihmäßig konvergieren, und dß die Funktionswerte f n (t ) in einem inneren Punkt t des Intervlls konvergieren.
6. Juli 2 44 Der Beweis ergibt sih us dem Huptstz der Integrl- und Differentilrehnung 3.2.22 und dem Grenzwertstz 3..7 (2.) für eigentlihe Integrle Betrhten wir stttdessen die Werte f n () in einem Endpunkt des Intervlls, so wird die Stmmfunktion durh ein uneigentlihe Integrle usgedrükt. Kombinieren wir in gleiher Weise die Bemerkung 5.3.8) zum Huptstz der Integrl- und Differentilrehung mit dem Grenzwertstz 5.3.7, so erhlten wir ds folgende Resultt: Feststellung 5.3.9 (Folgen differenzierbrer Fnktn.) Es seien [, d) R und t (, d) Es sei f n : [, d) R, (n N) eine Folge stetiger Funktionen mit stetigen Ableitungen f n : (, d) R. (i) Die Fmilie (f n) n sei gleihmäßig uneigentlih integrierbr über (, t ). (ii) Die Folge (f n) n g : (, d) R. konvergiert lokl gleihmäßig gegen eine Grenzfunktion (iii) Die Zhlenfolge (f n ()) n konvergiert gegen ein y R. Dnn konvergiert die Folge (f n ) n lokl gleihmäßig gegen eine Grenzfunktion f : [, d) R. Diese ist stetig uf [, d) und differenzierbr uf (, d) mit Ableitung f = g. Es gilt f(t) = y + t g(, τ) dτ. Beweis (Folgen differenzierbrer Fnktn.). D f uf [, d) stetig und uf (, d) stetig differenzierbr ist, folgt us dem der Bemerkung 5.3.8 f n (t) = f n () + t f n(τ) dτ. D die Fmilie (f n) n nh Vorussetzung gleihmäßig uneigentlih integrierbr ist, eistiert nh Feststellung 5.3.7 für t [, d) der Grenzwert f(t) := lim f n(t) = lim () + lim n n = y + t n g(τ) dτ. t Die Konvergenz ist offensihtlih lokl gleihmäßig uf [, d). f n (τ) dτ D g stetig und uneigentlih integrierbr ist, ist die Grenzfunktion f stetig uf [, d) und ht uf (, d) die Ableitung f = g. Bemerkung. Aus dem Mjorntenkriterium 5.2.7 folgt sofoert ds Mjortenkriterium für uneigentlihe Prmeter-Integrle:
6. Juli 2 45 Bemerkung 5.3.2 (Mjorntenkrit. Prm.-Int.) Es seien I = [, b) ein Intervll, M eine Menge und f, g : I M R für jedes feste t M Regelfunktionen. Wenn g eine Mjornte von f ist: und wenn ds uneigentlihe Integrl f(, t) g() für (, t) [, b) M. g(, t) d < gleihmäßig konvergiert, dnn ist ds uneigentlihe Integrl von f über [, b) bsolut und gleihmäßig konvergent. Feststellung 5.3.2 (Ableitung uneig. Prmeterint.) Die Funktion f : [, b) [, d] R, f : (, t) f(, t) sei stetig und uf [, b) (, d) nh t prtiell differenzierbr. Die prtielle Ableitung f t Integrl : [, b) (, d) R sei stetig. Ds uneigentlihe Ψ : (, d) t f (, t) d t sei gleihmäßig konvergent. Wenn die uneigentlihne Integrle f(, ) d und t Ψ(τ) dτ für ein t (, d) konvergieren, dnn ist f über [, b) lokl gleihmäßig uneigentlih integrierbr. Ds uneigentlihe Integrl ist differenzierbr und es gilt d dt f(, t) d = f(, t) d. t Beweis (Ableitung uneig. Prmeterint.). Für eine monoton whsende Folge (b n ) n in [, b) mit b n b bilde mn die stetig differenzierbren Funktionen (vgl. Stz 5.3.5): Φ n (t) := n f(, t) d, Φ n(t) = n f(, t) d t für t (, d). Nh Vorussetzung konvergieren die Φ n gleihmäßig gegen die stetige Funktion Ψ(t) := tf(, t) d. Ψ ist nh Vor. uneigentlih integrierbr über Intervll (, t ].
6. Juli 2 46 D die Φ n gleihmäßig gegen Ψ konvergieren, ist die Fmilie (Φ n) n über ds beshränkte Intervll (, t ] gleihmäßig uneigentlih integrierbr. Nh Vorusetzung konvergiert die Folge (Φ n ()) n. Nh Feststellung 5.3.9 konvergieren die Φ n uf [, d) lokl gleihmäßig gegen eine Grenzfunktion Φ und es gilt Φ = Ψ. Dies gilt für jede monotone Folge (b n ) n mit b n b. Stz 5.3.22 (Ableitung uneig. Prmeterint.) Die Funktion f : [, b) J R, f : (, t) f(, t), sei stetig und nh der zweiten Vriblen t prtiell differenzierbr. Die prtielle Ableitung f t : [, b] (, d) R sei stetig. Es gebe eine nihtnegtive Regelfunktion g : [, b) R, für die ds uneigentlihe Integrl über [, b) konvergiert: g() d < und die eine Mjornte von f t ist: f t (, t) g() für (, t) [, b) (, d). Wenn für ein t [, d] ds uneigentlihe Integrl f(, t ) d konvergiert, dnn ist f lokl gleihmäßig integrierbr und differenzierbr. Es gilt d dt f(, t) d = f(, t) d. t Beweis (Ableitung uneig. Prmeterint.). Es sei (b n ) n eine beliebige monoton whsende Folge in [, b), die gegen b konvergiert. Mn bilde die Funktionen Φ n (t) := n Nh Nh Stz 5.3.5 sind die Ableitungen Φ n(t) = n f(, t) d. f(, t) d für t (, d) t stetig, gleihmäßig beshränkt und konvergieren nh Vorussetzung gleihmäßig gegen Ψ(t) := f(, t) d. t Für ein t [, d) eistiert lim n Φ n (t ). Nh Stz 3.2.24 bzw. Feststellung 5.3.9 konvergieren die Stmmfunktionen Φ n lokl gleihmäßig gegen eine Grenzfunktion Φ und es gilt Φ = Ψ.
6. Juli 2 47 Beispiele 5.3.23 ( sin e t d = π 2 rtn t ) Es seien (vgl. Beispiel 5.3.3): t sin f(, t) := e, Φ(t) := t sin e d für t [, ). Die Prtielle Ableitung t f(, t) = e t sin ist nh Beispiel 5.3.5 lokl gleihmäßig uneigentlih integrierbr. Nh Stz 5.3.22 eistiert die Ableitung (vgl. Beispiel 5..8): Φ (t) = e t sin d = + t 2 für t (, ). Nh Beispiel 5.3.3 ist Φ stetig uf [, und folglih gilt: t dt Φ(t) = Φ() = Φ() rtn t für t [, ). + t2 Aus lim t Φ(t) = folgt Φ() = lim t rtn t = π/2. Bezeihnung 5.3.24 (Gmm-Funktion) Mn definiert die Gmm-Funktionuf der rehten Hlbebene {z z C, Re z > } durh ds uneigentlihe Integrl Γ : z e t t z dt für := Re z >. Bemerkung: Ds Integrl ist lokl gleihmäßig konvergent: (behte: t z = t ): e t t z dt Aus t n e t = t n k= t k k! t 2 (n + 2)! t dt = t e t t z dt (n + )! = < für Re z >. folgt für < Re z n N dt = (n + )! <. t2 Stz 5.3.25 (Funktionlgleihung der Gmm-Fnkt.). Die Gmm-Funktion Γ : (, ) R + ist stetig und unendlih oft differenzierbr. Es gilt Γ (k) () = (log t) k e t t dt für (, ).
6. Juli 2 48 2. Die Gmmfunktion erfüllt sie Funktionlgleihung Γ(z + ) = zγ(z) für Re z >. 3. Für ntürlihe Zhlen n N gilt Γ(n) = (n )!. Beweis (Funktionlgleihung der Gmm-Funktion).. D die uneigentlihen Integrle log t n e t }{{}}{{} e = y t dt (log t) n e t t dt }{{} t y n ee y( ) e y dy <, t n e t t dt < bsolut und lokl gleihmäßig konvergieren, folgt die Behuptung über die Ableitungen us Stz 5.3.2. 2. Mn integriere prtiell. Für t (, ) erhält mn (vgl. 5..7): Γ( + ) = e t t = e t t t= } {{ } = 3. Es ist Γ() =. Induktiv folgt nun us (2.) + Γ(n + ) = nγ(n) = n (n )! = n!. e t t dt = Γ(). Bemerkung.. Die Funktionlgleihung Γ(z) = zγ(z ) benutzt mn, um die Gmm-Funktion uh für z C \ {,, 2,... } zu erklären. 2. Die Gmmfunktion ergänzt die Fkultät zu einer nlytishen Funktion uf C \ {,, 2,... } (Guß 82). 3. Die Gmm-Funktion ist durh die Funktionlgleihung niht eindeutig bestimmt. Wenn f eine periodishe Funktion mit einer Periode ist, so erfüllt ds Produkt f Γ ebenflls die Funktionlgleihung. 4. Die Gmm-Funktion ht noh viele weitere Eigenshften, z.b. und (Guß 82) Γ(z)Γ( z) = π sin πz n!n z Γ(z) = lim n z(z + )... (z + n) für z C \ Z. für z C \ {,, 2,... }.
6. Juli 2 49 Beispiele 5.3.26 (Γ( 2 ) = π) Ein häufig benutzter Zusmmenhng ist: Beweis (Γ( 2 ) = π). Γ( 2 ) = e y2 dy = π. Mit der Substitution s = y 2 erhält mn Γ( 2 ) = e t t 2 dt = e y2 y 2y dy = 2 e y2 dy = π Ds letztere Integrl berehnen wir im folgenden Beispiel 5.3.27 Beispiele 5.3.27 ( e y2 dy = π) Ds Integrl e y2 dy und die zugehörige Normlverteilung spielen in der Whrsheinlihkeitstheorie eine wihtige Rolle. Beweis ( e y2 dy = π). Mn shreibe den Integrnden ls Stmmfunktion der Ableitung nh dem Prmeter t und vertushe die Integrtionsreihenfolge: e (+2 )t 2 + 2 d = ( + 2 t ) e (+2 )τ 2 2τ dτ d = π t 4 2e τ 2 e (τ)2 d(τ) dτ = π t ( τ ) 4 2e τ 2 e y2 dy dτ = π ( t 2 4 e dτ) τ 2. D die linke Seite für t gegen Null konvergiert, folgt e y2 dy = π 2. Feststellung 5.3.28 (Stmmfnkt. uneig. Prm.-Int.) Die Funktion f : [, b) [, d] R, f : (, t) f(, t)
6. Juli 2 42 sei stetig und ds uneigentlihe Integrl Φ : [, d] t sei gleihmäßig konvergent. Φ ist lso stetig. Dnn konvergiert ds uneigentlihe Integrl d f(, t) d dt = f(, t) d d d f(, t) dt d und es gilt: f(, t) dt d. Beweis (Stmmfnkt. uneig. Prm.-Int.). Es sei ε >. D ds uneigentlihe Integrl f(ξ, t) dξ gleihmäßig konvergiert, gibt es ein [, b) (vgl. 5.3.), so dß f(ξ, t) dξ f(ξ, t) dξ < ε für [, b). Die Doppelintegrle: d 5.3.8). f(ξ, t) dξ = Für [, b) folgt nun die Abshätzung: d d f(ξ, t) dξ f(ξ, t) dξ d d = f(ξ, t) dξ Also eistiert: d f(ξ, t) dt dξ = d d f(ξ, t) dξ vertushen (vgl. Stz f(ξ, t) dξ < ε d. f(ξ, t) dξ dt. Feststellung 5.3.29 (nihtnegtive uneig. Doppelint.) Die niht negtive Funktion f : [, b) [, d) R +, f : (, t) f(, t) sei stetig. Die beiden uneigentlihen Integrle Φ : [, d) t Ψ : [, b) d f(, t) d, f(, t) dt seien lokl gleihmäßig konvergent. Φ und Ψ sind lso stetig. Wenn eines der beiden untenstehenden uneigentlihen Doppelintegrle konvergiert, dnn konvergiert uh ds ndere und si sind gleih. In R { } gilt lso immer (vgl Bez. 5.2.5): d f(, t) d dt = d f(, t) dt d.
6. Juli 2 42 Beweis (nihtnegtive uneig. Doppelint.). Es sei zunähst lle t [, d) d t f(, t) dt d <. Nh Feststellung 5.3.28 folgt dnn für f(, τ) d dτ = t d f(, τ) dτ d Also konvergiert ds uneigentlihe Integrl und es gilt: Anlog folgt nun d d f(, τ) d dτ f(, t) dt d d d f(, t) dt d <. f(, t) dt d <. f(, τ) d dτ. Also sind die beiden uneigentlihe Doppelintegrle gleih. Stz 5.3.3 (bsolut konvergente uneig. Doppelint.) Die Funktion f : [, b) [, d) C, f : (, t) f(, t) sei stetig und die beiden uneigentlihen Integrle t f(, t) d <, d f(, t) dt < seien lokl gleihmäßig konvergent. Dnn sind uh die Integrle t f(, t) d und d f(, t) dt lokll gleihmäßig konvergent und stetig. Wenn ds Doppelintegrl konvergiert: d f(, t) d dt < dnn konvergieren die folgenden Doppelintegrle und es gilt: d f(, t) d dt = d f(, t) dt d. Bemerkung (zum Beweis des Stzes 5.3.3). Wenn f reellwertig ist, zeige mn: Die uneigentlihen Doppelintegrle der beiden nihtnegtiven, stetigen Funktionen f ± : (, t) m{±f(, t), },
6. Juli 2 422 eistieren und vertushen: d f ± (, t) d dt = d f ± (, t) dt d <. Aus f = f + f folgt dnn die Behuptung des Stzes: d f(, t) d dt = d f + (, t) d dt d f (, t) d dt = = d f + (, t) dt d d f(, t) dt d Wenn f komplewertig ist, betrhte mn Re f und Im f. d f (, t) dt d Beweis (bsolut konvergente uneig. Doppelint.). Es reiht, die Doppelintegrle für f ± zu untersuhen. D f ± f ist, folgt us der lokl gleihmäßigen Konvergenz der Integrle (vgl. Bemerkung 5.3.2 und Festst. 5.3.2): t f(, t) d <, d f(, t) dt <, dß die entsprehenden Integrle für f ± lokl gleihmäßig konvergieren und stetig sind. Aus folgt nun t d f ± (, t) d f ± (, t) d dt d f(, t) d <, f(, t) d dt <. Nh Feststellung 5.3.29 vertushen die Dopplelintegrle von f ± und folglih uh die Doppelintegrle von f = f + f. Beispiele 5.3.3 (nohml: sin = π/2) Es sei < r < R <. Für t [r, R] ist ds uneigentlihe Integrl (vgl. Beispiel 5.3.5 und Beispiel 5..8)) e t sin d = + t 2 gleihmäßig konvergent und stetig. Nh Feststellung 5.3.28 knn mn ds folgende Doppelintegrl vertushen und erhält: rtn t R r = = R r R r e t sin d dt e t sin dt d = (e r e R ) sin d.
6. Juli 2 423 Ds uneigentlihe Integrl e t sin / d ist nh Beispiel 5.3.3 gleihmäßig konvergent für t [, ). Mn bilde nun die Grenzwerte r und R. (vgl. uh 5.3.23). Beispiele 5.3.32 (nohml: e 2 d = π) Wir verwenden eine ähnlihe Idee wie in Beispiel 5.3.27. Die uneigentlihen Integrle t e (+t2 ) 2 d, e (+t2 ) 2 dt sind lokl gleihmäßig konvergent und folglih stetig. Nh Feststellung 5.3.29 knn mn in dem uneigentlihen Doppelintegrl e (+t2 ) 2 d dt die Reihenfolge der Integrtion vertushen. Dies ergibt:! = π 4 = 2 = dt + t 2 = e (+t2 ) 2 dt d = ( ) e y2 dy e 2 d = e (+t2 ) 2 d dt ( ) e (t)2 }{{} dt e 2 d =dy ( 2 e d) 2. Bemerkung. Ds folgende Beispiel zeigt, dß die Vertushung der Integrtionsreihenfolge bei niht bsolutkonvergenten uneigentlihen Doppel-Integrlen i.. zu untershiedlihen Ergebnissen führt: Beispiele 5.3.33 (Vertush. von uneig. Doppel-Int.) Mn bilde die zweite prtielle Ableitung + + 2 y rtn y = 2 y 2 ( 2 + y 2 ) 2 für, y (, ). ( ( 2 y 2 ) ( 2 + y 2 ) 2 dy d = 2 y 2 ( 2 + y 2 ) 2 d ) dy = + + [ y 2 + y 2 [ 2 + y 2 y= = d = π 4, dy = π 4.
6. Juli 2 424 Beispiele 5.3.34 (Vertush. von uneig. Doppel-Int.) (e t 2e 2t )dt d = Die ndere Integrtionsreihenfolge ergibt: (e t 2e 2t )d dt = Behte: nh dem Mittelwertstz ist für > : e e 2 d e 2 d <. e y e 2y dy y e 2y dy >. < e e = e ξ für ein ξ (, ). 5.3. Approimtionsstz von Weierstrß Ziel. Der Approimtionsstz von Weierstrß besgt, dß mn eine stetige Funktion f uf einem kompkten Intervll gleihmäßig durh Polynome pproimieren knn. Für den Beweis wählen wir eine Methode, die sih uf viele ndere Approimtionsprobleme übertrgen läßt. Die Grundidee ist, in jedem Punkt ein Mittelwert der Funktionswerte zu bilden, wobei jedoh die Werte in einer kleinen Umgebung U von viel stärker gewihtet werden. Wir rihten es so ein, dß die gemittelten Funktionen Polynome sind. Läßt mn diese Umgebung U shrumpfen, so wirken sih bei der Mittelung nur noh die Punkte gnz in der Nähe von us. D die ursprünglihen Funktion f stetig ist, konvergieren die Mittelwerte gegen f(). Die Konvergenz ist gleihmäßig. Bemerkung. Die obige Mittelung der Funktionswerte relisieren wir durh die Fltung mit einer Dir-Folge. Die Fltung von Funktionen tritt n vielen Stellen in der Mthemtik uf. Diese Bildung findet mn, wenn der Definitionsbereih eine belshe Hlbgruppe oder Gruppe ist. Bsp. (Fltung uf den Hlbgruppen N und R + )
6. Juli 2 425 Cuhy-Produkt zweier Potenzreihen n nz n, m b mz m. Die Koeffizienten k der Produktreihe sind (vgl. 4.4.28) k = k l b k l l= Die Lösungen von lineren Differentilgleihungen mit konstnten Koeffizienten hben die Form (vgl. 3.4.6) f(t) = t Φ(t τ)γ(τ) dτ Bezeihnung 5.3.35 (Fltung von Funktionen uf R) Es seien f, g : R C Regelfunktionen. Wenn ds uneigentlihe Integrl für lle R konvergiert, definiert mn die Fltung f g durh f g : R t f()g(t ) d Bemerkung. Die Fltung wird später mit dem Lebesgue-Integrl untersuht. Bemerkung 5.3.36 (Fltung kommuttiv) Es seien f, g : R C Regelfunktionen. Wenn ds Fltungsintegrl konvergiert, dnn gilt f g(t) = f()g(t ) d = f(t )g() d = g f(t). Bemerkung 5.3.37 (integrierbr beshränkt) Es seien f, g : R C Regelfunktionen.. Wenn f bsolut integrierbr und g beshränkt ist: f() dy <. g sup := sup{ g() <, R dnn ist die Fltung t f g(t) gleihmäßig bsolut konvergent und beshränkt: f g(t) f() dy g sup. 2. Wenn f oder g stetig ist, dnn ist f g gleihmäßig stetig uf R:
6. Juli 2 426 Bezeihnung 5.3.38 (Dir-Folge) Eine Folge (K n ) n von Funktionen uf R heißt eine Dir-Folge, wenn sie die folgenden Eigenshften ht:. Die K n : R R sind stetig, bsolut uneigentlih integrierbr über (, ) und K n () d =. 2. Zu jedem ε > und jedem δ > gibt es ein n N, so dß für n N mit n n stets gilt: Dnn ist ε < δ δ δ K n () K n () d + für [ δ, δ], K n () d < + ε. δ K n () d < ε. Bemerkung. Mnhml fordert mn sttt 5.3.38(.) nur lim n Mnn knn die Folge dnn normieren. K n () d =. Stz 5.3.39 (Dir-Approimtion) Es sei (K n ) n eine Dir-Folge uf R (vgl. Bezeihnung 5.3.38). Für eine stetige, beshränkte Funktion g : R R konvergiert die Folge (K n g) n lokl gleihmäßig uf R gegen g: lim n Bemerkung zum Beweis: k n ()g(t ) d = g(t) D K n() d = ist, knn mn die Differenz K n g g folgendermßen shreiben: K n g(t) g(t) = Nun wird die rehte Seite bgeshätzt. K n () ( g(t ) g(t) ) d.
6. Juli 2 427 Beweis (Dir-Approimtion). Es sei I R kompkt. Zu ε > gibt es ein δ >, so dß g(τ) g(t) < ε für τ R, t I mit τ t δ. Zu ε und δ gibt es ein n N, so dß für lle n n gilt: δ K n g(t) = K n () K n () d + δ + δ δ für [ δ, δ], δ K n () d < ε. K n ()(g(t ) g(t)) d K n () g(t ) g(t) d + < ( + ε)ε + ε g sup. δ K n () g(t ) g(t) d Stz 5.3.4 (Aproimtionsstz von Weierstrß) Es sei I ein kompktes Intervll und f : I C stetig. Dnn gibt es eine Folge (P n ) n von Polynomen, die gleimäßig uf I gegen f konvergiert. lim f P n sup. n Bemerkung zum Beweis Zur Vereinfhung des Beweises knn mn o. E. nnehmen, dß I = [, ] und f() = f() = sind. Sonst bilde mn für t [, ] die Hilfsfunktion f : (t) f( + t(b )) ( f() + t(f(b) f()) ) und pproimiere f durh Polynome. Wenn mn f durh fortsetzt, erhält mn eine stetige beshränkte Funktion uf R. Beweis (Aproimtionsstz von Weierstrß). Mn bilde die Dir-Folge (K n ) n mit { ( 2 ) n k n () := n für [, ], für R \ [, ]. wobei n := ( 2 ) n d ist. Die Folge P n := K n f, n N konvergiert gleihmäßig uf [, ] gegen f I = f. Die P n sind Polynome.