Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik T1) i SoSe 011 Blatt 6. Schwingungen- Lösungsvorschlag Aufgabe 6.1. Räulicher Oszillator Ein Teilchen der Masse befinde sich in eine Potential der For: Vx, y, z) = 1 k xx + k y y + k z z ), k x,y,z > 0. a) Zeigen Sie, dass sich das Teilchen für k x = k y = k z auf einer ellipsenförigen Bahn bewegt. b) Für welche anderen Werte von k x, k y, k z ) erwarten Sie geschlossene Bahnkurven? Lösung. a) Die Lagrangefunktion ist L = ẋ + ẏ + ż ) 1 k xx + k y y + k z z ). I Spezialfall k x = k y = k z = k haben wir L = ẋ + ẏ + ż ) k x + y + z ). Die Bewegungsgleichungen sind ẍ + ω x = 0, ÿ + ω y = 0, z + ω z = 0. 1) Daher ist die Anziehungskraft ier parallel zu Radiusvektor und hängt nur vo Abstand vo Zentru ab. Deshalb ist der Drehipuls L = r v zeitlich konstant. Es folgt, dass die Bewegung ier in einer Ebene erfolgt r ist ier orthogonal zu L). Wählen wir die Koordinaten x, y, z so, dass diese Ebene die x y Ebene ist, also zt) = 0. Die allgeeine Lösung der Bewegungsgleichungen ist xt) = a cos ωt + α) yt) = b cos ωt + β) ) Wenn jetzt α = β + π wäre, könnten wir sofort die Ellipsengleichung schreiben: x a + y b = 1. Diese wäre eine Ellipsengleichung it Mittelpunkt in Koordinatenursprung. Hier aber ist α eine Integrationskonstante in der allgeeinen Lösung. Die Ellipse ist also gedreht.
Wir schreiben in Gl. ) das yt) u: yt) b und setzen δ β α. Dann Deshalb Oder = cos ωt + α) cos β α) sin ωt + α) sin β α), cos ωt + α) = x a, sin ωt + α) = cos ωt + α) cos δ sin δ y b sin δ = x cos δ a sin δ y b sin δ. x a ) x cos δ + a sin δ y ) = 1. b sin δ x xy cos δ + y a ab b = sin δ. Dieses ist eine Ellipsengleichung die zugehňörige quadratische For positiv definit ist). b) Die allgeeine Lösung ist xt) = a cos yt) = b cos zt) = c cos kx ky kz t + α t + β t + γ Die Perioden sind i allgeeinen Fall verschieden. Eine geschlossene Bahn ist nur dann öglich, wenn es eine geeinsae Periode gibt oder zwei von a, b, c gleich Null ist). Wenn abc 0, dann ist die Bedingung ist k x k y = l n, Wenn z.b. a = 0 und bc 0, dann nur k y k z = p q, k y = p, l, n, p, q N 3) k z q p, q N Wenn z.b. a = 0, b = 0, c 0, dann die Bewegung ist periodisch. Also wenn wir die Anfangsbedingungen nicht beschränken, uss die Bedingung 3) erfüllt werden, u eine periodische Lösung ier zu garantieren.
Aufgabe 6.. Gedäpfter, haronischer Oszillator Betrachten Sie einen gedäpften, haronischen Oszillator it Masse. Die Eigenfrequenz des ungedäpften Oszillators sei ω 0 und die Däpfungskonstante sei κ. Die Bewegungsgleichung lautet ẍ + κẋ + ω 0x = 0. 4) a) Lösen Sie die Bewegungsgleichung 4) für den Fall ω 0 > κ it Anfangsbedingungen x0) = x 0 und ẋ0) = v 0 über den Standardansatz xt) = expλt). b) Eritteln Sie die Lösung für den Fall ω 0 = κ als Grenzfall von a). c) Sei nun ω 0 = κ. Berechnen Sie für den Fall x 0 = 0 den Zeitpunkt t 1, bei de die axiale Auslenkung, also der Ukehrpunkt, erreicht wird. Lösung. a) Mit de Ansatz xt) = expλt) erhalten wir das charakteristische Polyno der Differentialgleichung 4) Mit ω = λ + κλ + ω o = 0, λ ± = κ ± i ω 0 κ. ω 0 κ erhalten wir ein Fundaentalsyste für die Lösungen der Bewegungsgleichung { exp κt + iωt), exp κt iωt) } oder alternativ { e κt sin ωt, e κt cos ωt }. Die allgeeine Lösung ist daher xt) = e κt c 1 sin ωt + c cos ωt), ẋt) = e κt ωc κc 1 ) sin ωt + ωc 1 κc ) cos ωt). Die Anfangsbedingungen liefern daher c 1 = 1 ω v 0 + κx 0 ), c = x 0. b) I Fall ω 0 = κ ist ω = 0 und dait die beiden Lösungen aus a) nicht ehr linear unabhängig. Da λ = κ nun doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynos ist, erhalten wir als ein Fundaentalsyste { e κt, te κt}. 3
Die allgeeine Lösung ist daher xt) = c 1 t + c )e κt, ẋt) = c 1 c 1 κt c κ)e κt. Die Anfangsbedingungen liefern daher erneut c 1 = v 0 + κx 0, c = x 0. Diese Lösung ergibt sich auch durch Grenzwertbetrachtung. Füt ω 0 gilt sin ωt li = t, li cos ωt = 1. ω 0 ω ω 0 Dait erhalten wir direkt aus der Lösung aus Teil a) li xt) = v0 + κx ) 0 ω 0 e κt sin ωt + x 0 cos ωt ω = e κt v 0 + κx 0 ) t + x 0 ). c) Sei nun x 0 = 0. A Ukehrpunkt bei t 1 ist ein lokales Maxiu, so dass gilt 0 = ẋt 1 ) = v 0 v 0 κt 1 )e κt 1 t 1 = 1 κ. Aufgabe 6.3. Erzwungene Schwingung Der gedäpfte, haronische Oszillator aus Aufgabe 6.. werde nun von einer Kraft angetrieben. Ft) = F cos ωt 5) a) Finden Sie die allgeeine Lösung xt) und betrachten Sie den Fall später Zeiten b) Skizzieren Sie die Abhängigkeit der Aplitude der erzwungenen Schwingung von der Frequenz ω für kleine Däpfung, κ ω 0 und starke Däpfung. c) Diskutieren Sie die Aplitude und die Phasenverschiebung für schwache Däpfung und ω ω 0. Lösung. Diese Aufgabe ist i Wesentlichen L&L 6. 4
a) Die Differentialgleichung für die erzwungene Schwingung lautet in Erweiterung von Gleichung 4) u die äußere Kraft Ft) ẍ + κẋ + ω 0 x = F cos ωt. 6) Die allgeeine Lösung setzt sich zusaen aus der allgeeinen Lösung der hoogenen Gleichung aus Aufgabe Aufgabe 6.. und einer partikulären Lösung xt) = x ho t) +x } {{ } part t) e κt t x part t). Da die hoogene Lösung stets einen exponentiell abfallenden Faktor enthält, spielt sie i eingeschwungenen Zustand also für große Zeiten t keine Rolle ehr. Wir üssen noch eine partikuläre Lösung finden. Auf Grund der Linearität der Differentialgleichung 6) gilt das Superpositionsprinzip und wir können sie zur einfacheren Lösung in eine äquivalente Differentialgleichung für koplexe xt) uwandeln. Da Ft) = F cos ωt = Re Fe i ωt), gilt für jede koplexe) Lösung der koplexifizierten Differentialgleichung ẍ + κẋ + ω 0 x = F ei ωt, 7) dass Rext)) eine Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung 6) ist. Wir erwarten, dass durch den Antrieb eine Schwingung it der Frequenz der äußeren Kraft induziert wird. Der Oszillator wird der äußeren Kraft folgen, es kann aber eine Phasenverschiebung auftreten. Wir achen daher für die partikuläre Lösung von 7) Ansatz Einsetzen in 7) liefert x t) = ae i ωt ϕ). a ) ω + iκ ω + ω 0 e i ωt ϕ) = F ωt ei ω 0 ω + iκ ω = F a eiϕ. Auf der rechten bzw. linken Seite dieser letzten Gleichung steht jeweils eine koplexe Zahl in kartesischer Darstellung bzw. in Polardarstellung. Die beiden Zahlen sind gleich, wenn ihre Beträge und ihre Iaginärteile gleich sind, also ω 0 ω ) + 4κ ω = F a, κ ω = F sin ϕ. a Daraus erhalten wir für die Aplitude a und Phase ϕ unserer Lösung a = tan ϕ = F ω, 8) 0 ω) + 4κ ω κ ω. 9) ω ω 0 5
Mit diesen Paraetern ist die erzwungene Schwingung als Lösung von 6) gegeben durch xt) = Re x t) ) = Re ae i ωt ϕ)) = a cos ωt ϕ), vt) = ẋt) = a ω sin ωt ϕ). b) Für sehr große ω fällt die Aplitude in beiden Fällen wie 1/ ω ab. Für schwache Däpfung doiniert für kleine Frequenzen der Ter ω 0 ω) Abb. 1a)). Für starke Däpfung wird die Aplitude durch κ ω bestit Abb. 1b)). a/a0) 5 1.0 a/a0) 4 0.8 3 0.6 0.4 1 0.5 1.0 1.5.0 ω/ω 0 0.5 1.0 1.5.0 ω/ω 0 a) Schwache Däpfung b) Starke Däpfung Abbildung 1: Frequenzabhängigkeit der Aplitude c) Wir schreiben die treibende Frequenz als ω = ω + ɛ, it ɛ 1. Mit κ ω 0 haben wir ω ω 0 ω 0 ɛ. Dait ergeben sich Aplitude und Frequenz zu a = tan ϕ = κ ɛ. F ω 0 ɛ + κ, Da die Phasenverschiebung stetig sein uss, sehen wir aus Gl. 9), dass 0 ϕ π, d.h. die erzwungene Schwingung folgt ier der treibenden Schwingung hinterher. In Resonanz ist die Phasenverschiebung genau π/ und für sehr große ω nähert sie sich schnell an π. Aufgabe 6.4. Massenpunkte auf Schienen Zwei gleiche Massen gleiten reibungsfrei und ohne Einwirkung der Schwerkraft) auf zwei parallelen, geradlinigen Schienen, welche i Abstand a entlang der x-achse orientiert seien Abbildung ). Die beiden Massen seien durch eine haronische Feder Feder-Konstante k, Ruhelänge l) iteinander verbunden. a) Forulieren Sie die potentielle Energie der Anordnung. Bestien Sie die Ruhelagen der beiden Massen und deren Stabilität für die Fälle a > l und a < l. b) Geben Sie die Lagrange-Funktion des Systes an. Verwenden Sie dazu die generalisierten Koordinaten Q = 1 x 1 + x ) und q = x 1 x. 6
c) Bestien Sie die Bewegungsgleichungen des Systes. Linearisieren Sie die Bewegungsgleichungen für kleine Auslenkungen aus der Ruhelage beachten Sie die Fallunterscheidung aus a). d) Forulieren Sie den Energie-Erhaltungssatz und erklären Sie die verschiedenen Bewegungsarten des Systes qualitativ. a x1 x x Abbildung : Zwei Massen auf Schienen. Lösung. a) Die Länge der Feder ist x 1 x ) + a. Deshalb E pot = 1 k x 1 x ) + a l). Die Ruhelagen sind solche x 1 und x, dass E pot ein Extreu hat. Allerdings hängt E pot nur von x 1 x ab. Bezeichnen wir q x 1 x ; dann E pot q) = 1 k q + a l). Das Extreu ) de pot dq = 0 = kq q + a l = kq q + a kql q + a ergibt q = 0 und q = ± l a falls a < l. Die Stabilität bestien wir, inde wir d E dq pot berechnen: d dq E pot = d dq kq kql q + a = k kl q + a + kq l q + a ) 3/ = k 1 a l q + a ) 3/. Dieses ist positiv also ein Miniu der Energie) wenn Jetzt betrachten wir die zwei Fälle. a 4 l < q + a ) 3. 10) Wenn a > l, wir haben nur ein Extreu bei q = 0. Dann ist Gl.10) it a 4 l < a 6 erfüllt. Also wir haben ein Miniu der potentiellen Energie, eine stabile Ruhelage. Wenn a < l, wir haben drei Extrea: q = 0 und q = ± l a. Bei q = 0, ist Gl.10), a 4 l < a 6 nicht erfüllt. Also ist q = 0 keine stabile Ruhelage. Bei q = ± l a, ergibt Gl.10) a 4 l < l 6. Also sind q = ± l a stabile Ruhelagen. 7
b) Die kinetische Energie ist E kin = ẋ ) 1 + ẋ. Deshalb die Lagrange-Funktion ist L = E kin E pot = ẋ 1 + ẋ) 1 k q + a l). Verwenden wir dann die verallgeeinerte Koordinaten q = x 1 x, Q = 1 x 1 + x ): wir haben x 1 = Q + q, x = Q q, L = ) 1 q + Q 1 k q + a l). c) Bewegungsgleichungen: Q = 0, q = kq + kql q + a = d dq E pot. Die erste Gleichung ist bereits linear. Zur Linearisierung der zweiten schreiben wir q = q 0 + w, wobei q 0 eine Ruhelage ist, und w eine kleine Auslenkung. Dann ist die linearisierte Gleichung ẅ = d E pot dq w = k 1 a l q=q0 q + a ) 3/ w. Bei q 0 = 0, Bei q 0 = ± l a, d) Gesatenergie ist erhalten: E tot = E kin + E pot = ẅ = k 1 l ) w. 11) a ẅ = k 1 a l ) w. 1) ) 1 q + Q + 1 k q + a l) = const Die Bewegung it Q = 0 ist Qt) = C 1 +C t, also die gleichförige Bewegung des Schwerpunktes beider Massen. Die Bewegung der Koordinate qt) ist oszillatorisch u eine stabile Ruhelage, und exponentiell wachsend u eine instabile. 8