4.5. Erzwungene Schwingung. Exp. I 69: Pohl'sches Rad Bewegungsgleichung

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1 Erzwungene Schwingung Bewegungsgleichung In vielen Fällen schwingt ein Syste nicht frei, sondern an führt ih von außen Energie zu, inde an eine periodische Kraft a schwingenden Syste angreifen läßt. Exp. I 69: Pohl'sches Rad In diese Beispiel wird ein Drehpendel über einen Exzenter angeregt. Ein getriebener Oszillator, resp. eine erzwungene Schwingung wird durch folgende Bewegungsgleichung beschrieben: ẍ + β ẋ + ω o x = K(t)/, wobei K(t) eine äußere Kraft beschreibt. Ihn den eisten Fällen wird sie selber periodisch sein. Die äußere Kraft leistet a Syste Arbeit, so dass die Energie des Systes zu-, aber auch abnehen kann. Dies hängt davon ab ob die Kraft in Richtung der Geschwindigkeit oder in entgegengesetzter Richtung wirkt. Wir berechnen die de Syste zugeführte Leistung P = F v durch Multiplikation der obigen Gleichung it ẋ: P = K(t) ẋ = ẍ ẋ + β ẋ + ω o x ẋ = d/dt (/ ẋ + / c x ) + β ẋ. Die extern geleistete Arbeit fließt soit zu einen in die Änderung der echanischen (kinetischen plus potenziellen) Energie, und kopensiert die Reibungsverluste, die de Syste Energie entziehen. Die zugeführte Leistung ist positiv wenn K(t) und ẋ das gleiche Vorzeichen haben, d.h. wenn Kraft und Geschwindigkeit in Phase sind. Ist die Kraft hingegen it de Ort in Phase, also gegenüber der Geschwindigkeit 90 Grad außer Phase, so wird de Syste über eine Schwingung geittelt keine Energie zugeführt. Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

2 Wir haben hier also eine lineare, inhoogene Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die allgeeine Lösung eines solchen Systes wird durch zwei linear unabhängige Funktionen aufgespannt, welche zusaen zwei freie Paraeter enthalten, die durch die Anfangsbedingungen bestit werden. Der einfachste Weg zur allgeeinen Lösung folgt de Rezept allg. Lsg. der inh. DGl. = allg. Lsg. der hoog. Dgl + beliebige Lsg der inh. Dgl. Die allgeeine Lösung der hoogenen Gleichung haben wir oben bestit: x(t) = e -βt (A e iω st + A e -iω st ) = e -βt A cos(ω s t + φ). ω s = (ω o - β ) / jetzt benötigen wir zusätzlich eine (beliebige) Lösung der inhoogenen Gleichung Stationäre Lösung Eine relativ einfache Lösung, die auch häufig benötigt wird, ist die stationäre Lösung, d.h. der Zustand, der sich einstellt wenn die Anfangsbedingungen nicht ehr relevant sind. Wir betrachten dafür nur eine spezielle For der äußeren Kraft, nälich eine haronische Anregung. Wir verwenden hier die koplexe Schreibweise K(t) = K 0 e iωt, wobei die physikalische Kraft de Realteil entspricht, K p (t) = K 0 cos(ωt). Für die Lösung achen wir den Ansatz daß das Syste der äußeren Kraft it dessen Frequenz folgt, d.h. wir setzen x(t) = a(ω) e iωt = A(ω) e i(ωt+φ), it a(ω) = A(ω) e iφ als Aplitude in koplexer Schreibweise, und A(ω), φ(ω) reelle Aplitude und Phase. Offenbar sind. x(t) = i ω a(ω) e iωt = i ω x(t), ẋ(t) = -ω x(t). Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt Auflösen nach a ergibt (-ω + i β ω + ω 0 ) a(ω) = K 0 /. Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

3 a(ω) = A(ω) e iφ = K 0 ω + iωβ+ ω0. Dies ist bereits die Lösung in koplexer Schreibweise. Offenbar ist die Antwort des Systes proportional zur äußeren Anregung. Diese Proportionalität wird geschrieben als wobei a(ω) = K 0 Y(iω), Y(s) = s + βs+ ω0 die koplexe Transferfunktion des Systes darstellt. Sie stellt das Verhältnis zwischen einer haronischen äußeren Kraft und der Antwort des Systes dar. Diese einfache Beziehung gilt natürlich nur weil das Syste linear ist Real- und Iaginärteil Die physikalische Auslenkung entspricht de Realteil der koplexen Funktion x p (t) = Re{a(ω) e iωt } = Re{a(ω)} cos(ωt) - I{a(ω)} sin(ωt). Soit beschreibt der Realteil von a(ω) die In-Phase Koponente der Auslenkung, der Iaginärteil den Außer-Phase Teil. Wir können Real- und Iaginärteil erhalten inde wir it de konjugiert-koplexen des Nenners erweitern: a(ω) = K 0 (- ω - i ω β + ω o )/[(- ω + i ω β + ω o ) (- ω - i ω β + ω o )] Soit sind = K 0 (ω o - ω - i ω β)/[(ω o - ω ) + 4 ω β ]. Re[a(ω)] = K 0 (ω o - ω )/[(ω o - ω ) + 4 ω β ]. I[a(ω)] = - K 0 ω β /[(ω o - ω ) + 4 ω β ]. Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

4 Offenbar ist dies i Wesentlichen eine Funktion der Frequenz ω, d.h. der Frequenz der äußeren Kraft. Mit ω o - ω = (ω o + ω) (ω o - ω) findet an zwei Maxia bei ω = ± ω 0. Sofern die Däpfung nicht zu groß ist, kann der Nenner vereinfacht werden: (ω o - ω ) = (ω o + ω) (ω o - ω) ~ 4ω o (ω o - ω). Wie die linke Figur zeigt betrachtet an dann nur noch den Beitrag der Resonanz bei positiven Frequenzen. In der Figur sind Realteil und Iaginärteil der koplexen Aplitude als Funktion der Frequenz ω dargestellt für K 0 / =, ω 0 =, β = 0.. Wesentlich ist, daß es sich u ein resonantes Verhalten handelt: Der Realteil, also der in-phase Teil wächst zunächst it zunehender Frequenz, bis er bei ω 0 -β ein Maxiu erreicht. Mit weiter zunehender Frequenz nit er wieder ab und geht auf der Resonanzfrequenz ω 0 durch 0. Hier erreicht jedoch der Iaginärteil sein Maxiu. Die Breite der Resonanzlinie ist gegeben durch die Däpfungskonstante β. Ein interessanter Grenzfall ist derjenige für kleine Frequenzen: Wenn die Frequenz der äußeren Anregung gegen Null geht, ω 0, verschwindet offenbar der Iaginärteil, während Re[a(0)] = K 0 ω o /((ω o ) = K 0 /( ω o ) = K 0 /c. Die Auslenkung ist soit gerade durch die Federkonstante c gegeben, wie wir es erwarten bei einer zeitunabhängigen äußeren Kraft. Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

5 Resonante Anregung Ein weiterer wichtiger Spezialfall ist derjenige für ω = ω 0 : Re[a(ω 0 )] = 0. I[a(ω 0 )] = - K 0 ω 0 β /(4 ω 0 β ) = - K 0 /( ω 0 β) = - K 0 /c ω 0 /( β). Der Realteil verschwindet also bei der Resonanzfrequenz, während der Iaginärteil sein Maxiu erreicht. Das Maxiu ist proportional zu Verhältnis der äußeren Kraft zur Kraftkonstante des Systes, und zu Verhältnis der Resonanzfrequenz zur Däpfung. Dieses Verhältnis wird auch als Gütefaktor des Systes bezeichnet. Bei echanischen Systeen ist es typischerweise in der Größenordnung von einigen 0 bis einigen 00. In atoaren Systeen kann diese Kreisgüte jedoch bis auf ehr als 0 5 anwachsen. Entsprechend ist die Resonanzüberhöhung dort extre groß. Das Verhalten kann it diese Experient Exp 95, 95a, 96: Getriebene Schwingung schön gezeigt werden. Das Pendel wird it eine Motor it variabler Frequenz angetrieben. Bei kleinen Geschwindigkeiten schwingt das Pendel in Phase it der äußeren Kraft; die Aplitude bleibt klein. Wenn wir die Geschwindigkeit des Motors, d.h. die Drehzahl, resp. Frequenz, erhöhen, gelangen wir in die Nähe der Resonanzfrequenz, wo die Auslenkung des Pendels sehr groß wird. Video: Tacoa Narrows Bridge Collapse Die Aplitude einer Schwingung kann sehr groß werden und zur Zerstörung des Objektes führen Absolutbetrag und Phase Wir können daraus auch Absolutbetrag und Phase erhalten, z.b. als Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

6 A(ω) = (Re[a(ω)] + I[a(ω)] ) / = K 0 /((ω o - ω ) + 4 ω β ) /. und tan(φ) = I[a(ω)] / Re[a(ω)] = β ω / (ω ω o ). Offenbar erreicht der Absolutbetrag sein Maxiu für ω = (ω 0 - β ) /. Die Figur zeigt Aplitude und Phase für die gleichen Paraeter wie oben. Die Aplitude erhält offenbar eine starke Überhöhung in der Nähe der Resonanzfrequenz ω = ω 0. Für kleinere Frequenzen ist die Phase 0, d.h. das Syste schwingt in Phase it der äußeren Anregung. Auf der Resonanz beträgt die Phase -π/, und für größere Frequenzen hinkt das Syste u 80 Grad hinter der Anregung her. Wir können dieses Verhalten i Experient anhand eines gedäpften elektronischen Schwingkreises beobachten. Exp.: RLC Kreis stationär Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

7 Bei geringer Däpfung ist die Resonanzlinie sehr schal. Die Aplitude ist hoch, die Phase wechselt rasch. Mit zunehender Däpfung wird das Maxiu niedriger und breiter, ebenso der Phasenwechsel. Die Resonanzfrequenz, also die Frequenz bei der die Aplitude axial wird, sinkt it zunehender Däpfung. Bei geringer Däpfung fällt das Maxiu der Aplitude it der Phasenverschiebung u π/ zusaen. Dies ist leicht einsichtig wenn wir die a Syste geleistete Arbeit betrachten: Diese ist allgeein gegeben als K(t) ẋ(t). Wenn die Phase bei π/ liegt, so ist die Auslenkung x(t) = A(ω) e i(ωt +φ) = -A(ω) i e iωt gegenüber der Kraft K(t) = K 0 e iωt gerade u -90 Grad außer Phase. Die Geschwindigkeit. x(t) = -i i A(ω) ω e iωt = A(ω) ω e iωt ist gerade in Phase it der äußeren Kraft, so daß die a Syste geleistete Arbeit axial wird. Das Syste erreicht dann einen stationären Zustand, wenn die hineinfließende Arbeit gerade gleich der herausfließenden ist. Diese ist durch die Däpfung gegeben, so daß die Aplitude auf der Resonanz A(ω 0 ) = K 0 /( ω 0 β) indirekt proportional zur Däpfungskonstante β wird. Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

8 Einschwingvorgang Nachde wir die allgeeine Lösung der hoogenen Gleichung (der freie gedäpfte haronische Oszillator) und eine spezielle Lösung der inhoogenen Gleichung (die stationäre Lösung) diskutiert haben, können wir die allgeeine Lösung der inhoogenen Gleichung als Sue der beiden diskutieren. Der freie gedäpfte Oszillator führt eine Schwingung it der Resonanzfrequenz durch, welche exponentiell gedäpft ist. Die spezielle Lösung der inhoogenen Gleichung ist die stationäre Lösung, d.h. eine Schwingung it konstanter Aplitude und der Frequenz der äußeren Störung. Die allgeeine Lösung der inhoogenen Gleichung entspricht soit einer Superposition dieser beiden Lösungen. Für lange Zeiten sollte das Syste sich de stationären Zustand nähern. Für kurze Zeiten wird sich das Syste ähnlich wie der freie Oszillator bewegen. In diese Bereich erwartet an eine Überlagerung der freien Schwingung it der getriebenen, und dait eine Schwebung. Dieses Exp: Getriebene Schwingung it schwacher Däpfung Verhalten kann gut beobachtet werden, wenn wir bei der getriebenen Schwingung die Däpfung gering halten. Der Einschwingvorgang, der bei der Frequenz des freien Oszillators liegt, überlagert sich der Schwingung, it der das Syste der externen Anregung folgt. Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

9 Zusaenfassung Wir fassen nochals des Verhalten von freien und erzwungenen Schwingungen in gedäpften und ungedäpften Systeen zusaen. Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

10 Schwingungen it ehreren Freiheitsgraden Das Doppelpendel Wir betrachten nun nicht ehr einzelne, unabhängige haronische Oszillatoren, sondern ehrere, die aneinander gekoppelt sind. Exp. III/6: Doppelpendel Wenn wir eines der gekoppelten Pendel anstoßen, so wird seine Energie auf das andere übertragen. Die Schwingung des ersten Pendels wird dabei gedäpft bis es ganz still steht, diejenige des zweiten Pendels baut sich auf, bis der Vorgang sich ukehrt. Offenbar wird hier Energie von eine Pendel auf das andere übertragen. Exp. 6a: Massen, 3 Federn Ein ähnliches Syste besteht aus zwei über Federn gekoppelten Massen. Wir können die Bewegungsgleichung des Systes schreiben als φ = - ω 0 φ + κ (φ -φ ) φ = - ω 0 φ + κ (φ -φ ), d.h. wir haben jetzt ein Syste von zwei gekoppelten Differentialgleichungen. I Allgeeinen kann an Systee von gekoppelten linearen Differentialgleichungen lösen inde an die Eigenwerte und Eigenvektoren bestit. In diese Fall handelt es sich u ein speziell einfaches Syste, bei de dies nicht notwendig ist. Wir können die Lösung finden inde wir Sue und Differenz dieser beiden Gleichungen bilden: φ + φ = ξ = - ω 0 (φ + φ ) = - ω 0 ξ. φ - φ = ξ = - ω 0 (φ - φ ) + κ (φ -φ ) = - (ω 0 + κ) ξ. Soit haben wir zwei voneinander unabhängige Differentialgleichungen für die Variablen (φ + φ ) und (φ - φ ) gefunden, welche jeweils eine haronischen Oszillator entsprechen. Soit sind die Lösungen für diese beiden Variablen φ + φ = ξ = A e i(ω 0t+φ), Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

11 wobei Aplitude A und Phase φ durch die Anfangsbedingungen bestit sind. Entsprechend findet an für φ - φ = ξ = B e i(ω t+δ) ω = ω0 + κ = ω 0 + κ ω 0 ~ ω 0 (+ κ ω 0 ). Die zweite Frequenz liegt soit ier höher als die Frequenz für die syetrische Mode. Die Erhöhung wird durch das Verhältnis aus Kopplungsstärke und Modenfrequenz bestit Eigenschwingungen Wir betrachten zunächst einige spezielle Situationen. Zunächst betrachten wir den Fall dass φ (0) = φ (0) = φ 0 ;. φ (0) =. φ (0) = 0, d.h. den Fall dass beide Pendel zur gleichen Seite ausgelenkt werden und aus der Ruhe losgelassen werden. Eingesetzt in die obigen Lösungen für ξ und ξ finden wir Exp. φ + φ = ξ = φ 0 e iω 0t, φ - φ = ξ = 0, oder φ = φ = φ 0 e iω 0t, d.h. beide Pendel schwingen it der gleichen Frequenz ω 0, gleicher Aplitude und gleicher Phase. Die Kopplungsfeder ist in diese Fall entspannt und hat deshalb keinen Einfluss auf das Syste. Man bezeichnet diesen Schwingungszustand als die erste Noralode des Systes. Als nächstes betrachten wir den Fall dass die beiden Pendel in entgegengesetzte Richtung ausgelenkt und aus der Ruhe losgelassen werden, φ (0) = - φ (0) = φ 0 ;. φ (0) =. φ (0) = 0. Aus dieser Anfangsbedingung erhalten wir φ - φ = ξ = φ 0 e iω t, φ + φ = 0 Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

12 oder φ = - φ = φ 0 e iω t. Soit bewegen sich in diese Fall beide Pendel it gleicher Frequenz und Aplitude, diesal aber in Gegenphase. Dadurch ist die Feder in diese Fall ier axial gespannt, so dass die rücktreibende Kraft auf beide Pendel u den entsprechenden Wert größer wird. Die Resonanzfrequenz ω = ω 0 + κ für diese zweite Noralode ist deshalb u κ größer als die Grundfrequenz. Wir bestätigen diese Voraussage i Experient inde wir die Periode der beiden Schwingungen essen. Sie betragen T =.9 s T =.65 s. Wird die Feder in die Mitte der Pendel verschoben wird die Kopplungsstärke reduziert. Wir essen in diese Fall eine Periode von T 3 =.8 s Schwebungen Als dritten Fall betrachten wir die Situation dass einer der beiden Pendel ausgelenkt wird, während der andere in Ruhelage ist, und beide zunächst in Ruhe, d.h. φ (0) = φ 0, φ (0) = 0,. φ (0) =. φ (0) = 0. In den Variablen ξ und ξ uss die zeitliche Entwicklung soit φ + φ = ξ = φ 0 e iω 0t, φ - φ = ξ = φ 0 e iω t sein. Die Auslenkung der beiden Pendel wird dait φ = (ξ + ξ )/ = φ 0 / (e iω 0t + e iωt ) φ = (ξ - ξ )/ = φ 0 / (e iω 0t - e iωt ). In reeller Schreibweise entspricht dies für φ = φ 0 / [cos(ω 0 t) + cos(ω t)]. Mit Hilfe des Additionstheores Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

13 cos α + cos β = cos α+ β cos α β können wir dies uforen zu φ = φ 0 cos( ω 0 + ω t) cos( ω ω 0t) = φ 0 cos((ω 0 +κ)t) cos(κt). Für das zweite Pendel erhalten wir entsprechen φ = (ξ + ξ )/ = φ 0 / (e iω 0t + e iω t ) φ = (ξ - ξ )/ = φ 0 / (e iω 0t - e iω t ). In reeller Schreibweise entspricht dies für Offenbar schwingen beide Pendel jetzt it der ittleren ω ω Frequenz 0 +, wobei die Aplitude noch it der halben Differenzfrequenz κ oduliert ist. Man bezeichnet diese Erscheinung als Schwebung. φ = φ 0 / [cos(ω 0 t) - cos(ω t)] = φ 0 sin((ω 0 +κ)t) sin(κt) Gekoppelte elektronische Schwingkreise Wie echanische Schwingkreise können auch elektronische Schwingkreise gekoppelt werden. Wir betrachten hier als Beispiel ein Syste von zwei kapazitiv (d.h. über einen Kondensator) gekoppelten Schwingkreisen. Die beiden Schwingkreise sind unabhängig voneinander sofern der Kopplungskondensator C k sehr groß wird: in diese Fall wirkt er als Kurzschluss und der Punkt zwischen den beiden Spulen ist auf de Potenzial der Masse. Jeder der beiden Schwingkreise entspricht dann eine unabhängigen haronischen Oszillator. Ist der Widerstand klein, so beträgt die Eigenfrequenz Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

14 ω 0 = LC. Unter Berücksichtigung des Kopplungskondensators können wir die eine Eigenode des Systes finden wenn wir den Fall betrachten wo das Syste syetrisch schwingt, d.h. über den entsprechenden Koponenten auf beiden Seiten liegt jeweils die gleiche Spannung an. Aus Syetriegründen hat der Kopplungskondensator dann keine Wirkung. Das gesate Syste besitzt dann die Eigenfrequenz ω = LC = LC = ω 0. Sind die beiden Kreise i Gegentakt, fließt der Stro also durch den Kondensator C k, so wird die gesate Kapazität des Schwingkreises C tot = + C C k = CCk C+ Ck. Dait wird die Resonanzfrequenz ω = LC tot = L CC k C+ Ck. Wird der Kopplungskondensator sehr groß erhalten wir daraus wieder die Frequenz ω 0. Für sehr kleine Kopplungskondensatoren doiniert er und die zweite Resonanzfrequenz wächst auf ω LC k /. Exp. II/97: gekoppelte LC Kreise; Schwebung Offenbar kann diese Frequenz sehr hoch werden. Wir können die beiden Resonanzfrequenzen i Experient beobachten inde wir eine variable Wechselspannung anlegen und die Spannung über einer der beiden Spulen abgreifen. Für große Werte des Kopplungskondensators werden die beiden Resonanzfrequenzen praktisch identisch. Für kleine Werte nit die zweite Reso- Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

15 nanzfrequenz stark zu. Man kann a gleichen Syste auch das freie Schwingungsverhalten beobachten inde an als äußere Spannung eine Stufenfunktion anlegt. Man beobachtet wie bei einzelnen RLC Kreis eine gedäpfte Schwingung, wobei in diese Fall auch eine Schwebung sichtbar ist. Mit zunehender Kopplungsstärke (kleinere Kondensator) nit die Periode der Schwebung ab, d.h. die Schwebungsfrequenz zu Die lineare Kette Von der Diskussion von zwei gekoppelten Massen gehen wir über zu einer Kette von Massen, welche über Federn aneinander gekoppelt sind. Die ist z.b. ein wichtiges Modell für die Diskussion von Schwingungen in kristallinen Festkörpern. Das Gitter eines Festkörpers ist dadurch definiert dass die Atoe sich an der Stelle befinden, welche die Gesatenergie der Anordnung iniiert. Dies ist deshalb die Position, die sie - abgesehen von der Nullpunktsbewegung - a absoluten Nullpunkt einnehen. Bei endlichen Teperaturen hingegen können sie aus dieser Position ausgelenkt sein und dait eine höhere Energie besitzen. Die rücktreibende Kraft des Potenzials führt dann zu einer Oszillationsbewegung. Als einfachstes Modell a für die Bewegung von Atoen in eine Festkörper betrachten wir zunächst die eindiensionale Kette. Die darin enthaltenen x s x s+ Atoe seien über Federn aneinander gekoppelt. Wichtig ist nun aber, dass in der Kette die Kraft, die auf ein Ato wirkt, nicht nur von seiner eigenen Position, sondern auch von der seiner Nachbaratoe abhängt. Für eine einatoige Basis gilt ẋ s = c(x s+ + x s- - x s ), wobei c die Kraftkonstante und die atoare Masse beschreibt. Jedes Ato ist in diese Modell an seine Nachbaratoe gekoppelt. Dies führt dazu dass die Auslenkung nicht auf eine Ato lokalisiert bleiben kann. Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

16 Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai Massen Wir betrachten als Beispiel ein Syste aus 5 durch Federn verbundenen Massen. Dies kann als erste Annäherung an schwingende Atoe in eine Festkörper betrachtet werden. Für ein einfaches Syste von 5 Massen, die durch Federn verbunden sind, lauten die Bewegungsgleichungen d dt x x x x x c x x x x x = Die Eigenvektoren dieses Systes sind ξ λ = = ; ω 0.5 c ξ λ 0 = = ; ω = c ξ λ = = ; ω 3.4 c ξ λ = = ; ω 4.73 c ξ λ = = ; ω 5.93 c Exp. 0: lineare Kette

17 Man sieht an diesen Eigenvektoren bereits ein interessantes Merkal wenn an die einzelnen Eleente grafisch aufträgt. Offenbar haben bei Eigenvektor it der niedrigsten Eigenwert alle Eleente das gleiche Vorzeichen. Bei den anderen Eigenwert wechselt das Vorzeichen jeweils,, 3, 4 al. Man erhält den 5ten Eigenvektor aus de ersten und den 4. aus de. inde jedes zweite Eleent invertiert wird. Dieses Verhalten ist sehr universell, an findet es sowohl bei Schwingungen und Wellen in klassischen Systeen wie auch in der Quantenechanik. So sind z.b. Molekülorbitale nach diese Schea aus Atoorbitalen zusaengesetzt. I Experient kann an die einzelnen Schwingungen anregen inde an die Frequenz der äußeren Störung verändert. Mit zunehender Frequenz werden höhere Moden, also Schwingungen it einer größeren Anzahl Knoten angeregt. Für jede einzelne Mode erhält an eine haronische Zeitabhängigkeit, d.h. alle Massen führen eine haronische Schwingung it der gleichen Frequenz aus. Für die k-te Mode z.b. lautet die Zeitabhängigkeit der Massen i x i (t) = A k (ξ k ) i e iω kt. Das charakteristische Merkal einer einodigen Schwingung ist, dass alle Massen gleichzeitig in Ruhelage und gleichzeitig bei der axialen Auslenkung sind. I allgeeinen können auch ehrere Moden gleichzeitig angeregt sein. Die Zeitabhängigkeit lautet dann In diese Fall Unendliche Kette x i (t) = Σ k A k (ξ k ) i e iω kt. Z: Unendliche Kette Einfacher als die Kette it fünf Gliedern ist die unendliche Kette. Dieses Syste wird einfacher weil jetzt die Bewegungsgleichung für alle Massen die gleiche ist. Es bleibt die Frage, was aus den Randbedingungen wird. Da wir von einer unendlich langen Kette ausgehen erwarten wir, daß das Resultat unabhängig ist von den Randbedingungen; es ist aber nützlich, zunächst in eine endlichen Syste geeignete Randbedingungen einzuführen und dann die Größe des Systes gegen unendlich laufen zu lassen. Z: Periodizität Es zeigt sich, daß es beque ist, periodische Randbedingungen einzuführen: Man betrachtet N Massen, wobei N eine große aber endliche Zahl ist, und ordnet diese Massen ringförig an. Die N-te Masse ist soit an die erste gekoppelt. Für die 5 Massen würde die Bewegungsgleichung dait zu Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

18 d dt x x x3 x 4 x5 0 0 x 0 0 x c = 0 0 x3 0 0 x x5 Wir suchen jetzt die Eigenfunktionen dieser Bewegungsgleichungen, also diejenigen Lösungen dieser Bewegungsgleichung, die eine haronische Zeitabhängigkeit aufweisen. Ein öglicher Ansatz, der die periodischen Randbedingungen erfüllt, ist x s = X 0 e iksa e iω nt, Z: Auslenkungen wobei k die Diension einer inversen Distanz hat und a den Abstand zwischen nächsten Nachbarn darstellt. Aufgrund der periodischen Randbedingungen uß das Eleent N+ it de ersten identisch sein, d.h. x N+ = x Z: Periodizität und dait e ikna =. Dies ist öglich wenn k = π n/(n a), n = 0,,,... also wenn k ein ganzzahliges Vielfaches von π durch die Länge des Rings ist. Offenbar ist der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Werten von k relativ groß wenn N klein ist, aber für N gegen unendlich verschwinden die Abstände, d.h. k wird kontinuierlich. k wird als Wellenvektor bezeichnet; der Nae deutet darauf hin, dass an solche Schwingungen auch als stehende Wellen verstehen kann. Zwischen benachbarten Atoen ändert sich die Phase der Schwingung u ka; die räuliche Periode ist soit λ = π/k. Eine vollständig kontinuierliche Schreibweise der Auslenkung erhält an it der Substitution s a r, k π/λ : x s = X 0 e iπ r/λ e iω nt. Durch Einsetzen in die Bewegungsgleichung erhalten wir ẋ s = c(x s+ + x s- - x s ), Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

19 ω = c/(exp(i k a) + exp(-i k a) - ) = -(c/)(-cos(ka)) = -4(c/) sin (ka/). Daraus erhalten wir ω = c ka sin( ). Jedes Wertepaar (k,ω) charakterisiert eine Eigenschwingung der Kette. Innerhalb der haronischen Näherung sind diese Schwingungen unabhängig voneinander. In einer Kette it N Gliedern gibt es N diskrete Moden, wobei N die Anzahl der Einheitszellen des Kristalls darstellt. In einer unendlichen Kette wird daraus eine kontinuierliche Funktion des Wellenvektors k. Die Beziehung zwischen k und ω, welche als Dispersionsrelation bezeichnet wird, ist in der nebenstehenden Figur eingezeichnet. Für kleine Wellenvektoren, also große Wellenlängen geht die Frequenz gegen Null. Hier gilt: ω -π/a 0 π/a π/a k ω c ka, d.h. die Frequenz ist direkt proportional zu Betrag des Wellenvektors. Ein kleiner Wellenvektor, resp. große Periodenlänge bedeutet, daß benachbarte Atoe praktisch in Phase schwingen. Z: Auslenkungen Z: Benachbarte Atoe in Gegenphase Anders sieht es bei Wellenvektor k = π/a aus. Hier sind benachbarte Atoe gerade in Gegenphase. Hier wird gleichzeitig die Frequenz unabhängig vo Wellenvektor k. Wenn wir zu noch größeren Wellenvektoren, also kürzeren Wellenlängen gehen, so wird die Auslenkungsdifferenz zwischen benachbarten Atoen wieder kleiner. Dies äußert sich auch in der Frequenz, wie an in der Dispersionsrelation erkennen kann. Offenbar ist die Frequenzabhängigkeit periodisch in k, it Periode π/a. Dies ist eine direkte Konsequenz des diskreten Modells: Es ist physikalisch nicht öglich, Schwingungen zu unterscheiden, deren Wellenvektor sich u π/a unterscheidet. Z: Wellen / Sapling Theore Anders ausgedrückt: die relative Auslenkung zweier Atoe ist identisch wenn ihre Phasendifferenz π/ oder 5π/ ist. Physikalisch von Bedeutung ist deshalb nur der Bereich Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

20 - 8 - zwischen -π/a < k < π/a. Diese Unterscheidung wird in der Festkörperphysik von großer Bedeutung, wo dieser Bereich als die erste Brillouin-Zone bezeichnet wird Transversalschwingungen Die Atoe können nicht nur in Richtung der Achse ausgelenkt werden, sondern auch senkrecht dazu. Man spricht i bisher diskutierten Fall von Longitudinalschwingungen, i andern Fall von Transversalschwingungen. Wir werden solche Schwingungen i Kapitel 5 (Wellen) diskutieren. In den eisten Fällen existieren zwei voneinander unabhängige transversale Schwingungsoden. Eine zweidiensionale Schwingung kann an z.b. auf de Luftkissentisch realisieren. In vielen Fällen ist es jedoch öglich, die beiden Diensionen zu trennen und die Bewegungsgleichungen getrennt zu diskutieren. Wenn wir bei solchen Schwingungen zu kontinuierlichen Grenzfall übergeht erhält an die Schwingungen einer Saite. Diese sollen auch i Kapitel "Wellen" genauer diskutiert werden. Qualitativ soll jedoch das Ergebnis hier vorweggenoen werden: Es gibt unendliche viele Eigenschwingungen, welche die For y n = sin(n x π/l) cos(ω n t) besitzen. Hier stellt n eine laufende Zahl dar, welche die Eigenschwingungen ordnet, x die Koordinate entlang der Saite, L ihre Länge, und ω n die Eigenfrequenz der Schwingung. Jede Eigenode entspricht einer haronischen Auslenkung der Saite, und die Auslenkung zeigt eine haronische Zeitabhängigkeit. Da die Saite a Rand eingespannt ist verschwindet dort die Auslenkung ier, ebenso an den dazwischen liegenden Knoten, also den Nulldurchgängen der Auslenkung. Die n-te Eigenode besitzt n- Knoten. Die Frequenzen sind Vielfache der Grundfrequnenz, d.h. ω n = n ω, Exp. 7: zweidiensionaler Federschwinger und die Grundfrequenz ist indirekt proportional zur Länge der Saite. Je länger eine Saite desto niedriger soit die Frequenz. Dies ist ein Grund dafür dass tiefe Töne von großen Musikinstruenten erzeugt werden. Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

21 Schwingungen von ehrdiensionalen Systeen Ähnliche Schwingungen treten auch in ehrdiensionalen Systeen auf. Ein klassisches Beispiel sind die Schwingungen einer Mebran. Unter einer Mebran versteht an ein zweidiensionales schwingungsfähiges Syste. Dazu gehören z.b. Troeln, wo eine elastische Mebran a Rand eingespannt ist. Exp 9, 9a: Mebranschwingungen, Chladny'sche Klangfiguren In diese Experient ist die "Mebran" eine Platte aus Metall oder Glas, welche i Zentru eingespannt ist. Mit Hilfe eines Bogens werden Schwingungen angeregt. Diese können sichtbar geacht werden inde Sand auf die Oberfläche gestreut wird. Die Schwingung entspricht einer periodischen Z: Moden Auslenkung, bei der Teile der Mebran sich nach oben verbiegen, andere nach unten. Nach einer halben Periode ist die Auslenkung ugekehrt. Es existieren jedoch Linien auf der Mebran, welche nie ausgelenkt werden. Diese werden als Knotenlinien bezeichnet. Entlang der Knotenlinien saelt sich der Sand und acht diese so sichtbar. Je größer die Anzahl der Knotenlinien, desto höher die Frequenz der entsprechenden Moden. Moden existieren in jede schwingungsfähigen Syste. I Bild sind die Moden in eine Weinglas dargestellt, welche z.b. durch akustische Wellen angeregt werden können Akustische Schwingungen, Musikinstruent Dreidiensionale Schwingungen in kontinuierlichen Medien sind z.b. akustische Schwingungen in Musikinstruenten. Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

22 Akustische Schwingungen sind hörbar wenn sie sich in eine Frequenzbereich von ca. 0 Hz bis 5 khz befinden. Schwingungen können in Musikinstruenten ähnlich wie in den gezeigten Mebranen angeregt werden. Jedes Musikinstruent hat entsprechend eine Reihe von Eigenschwingungen. Zwar können z.b. bei einer Geige alle Töne erzeugt werden, doch werden nicht alle gleich gut wiedergegeben. Die Kobination der Eigenoden ist für den Klang eines Instruentes verantwortlich. Wie eine Geige oder Gitarre gebaut werden uss war deshalb lange Zeit ein kau nachvollziehbares Geheinis der Instruentenbauer. Nicht nur die For des Instruentes ist wichtig, da sie die Lage der Moden bestit, auch das Material, welches z.b. die Däpfung und dait die Breite der Resonanzen itbestit. Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

23 Allgeein gilt dass größere Instruente tiefere Töne ergeben. Dieser Zusaenhang wird ebenfalls i Kapitel 5 Wellen noch diskutiert. Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

24 Molekülschwingungen Eine endliche Zahl von gekoppelten Oszillatoren tritt z.b. in Molekülen Z: H O auf. Als Moleküle bezeichnet an eine kleine Zahl von Atoen, welche in einer bestiten Anordnung aneinander gebunden sind. Die Kräfte zwischen den einzelnen Atoen werden durch die elektronische Struktur bestit und sind ier stark gerichtet, d.h. ein bestites Ato ist nicht an alle weiteren Atoe gebunden, sondern nur an eine kleine Zahl von Nachbaratoen. Diese Zahl liegt zwischen und Anzahl der Noralschwingungen Ein Molekül it N Atoen besitzt 3N Freiheitsgrade. Deentsprechend erwarten wir 3N Noralkoordinaten. Wenn wir die entsprechenden Schwingungsfrequenzen ausrechnen finden wir allerdings, daß sie für einige der Koordinaten null werden. Z: Verschiebung Dies sieht an einfach wenn an alle Atoe u den gleichen Vektor verschiebt. Dies entspricht einer Verschiebung des Koordinatensystes und lässt die potenzielle und kinetische Energie des Moleküls konstant. Dait ist die Federkonstante c = 0 und die Oszillatorfrequenz ω 0 = c = 0 ebenso. Z: Rotation Das gleiche gilt für eine Rotation. Diese Freiheitsgrade, welche deren Rückstellkraft und dait Frequenz verschwindet, werden als nichtoszillatorische Freiheitsgrade bezeichnet. Jedes Molekül besitzt 3 translatorische Freiheitsgrade und i.a. auch 3 rotatorische Freiheitsgrade. Z: Rotation lineares Molekül Ein lineares Molekül hat nur rotatorische Freiheitsgrade, deren Rotationsachse senkrecht zur Syetrieachse liegen. Die Rotation u die Syetrieachse lässt das Molekül invariant. Die verbleibenden Freiheitsgrade entsprechen Oszillationen. Bei eine linearen Molekül it N Atoen erwartet an soit 3N-(3+), bei eine nichtlinearen 3N-6 oszillatorische Freiheitsgrade. Wir betrachten als Beispiel für ein lineares Molekül das CO -Molekül. Wir erwarten 3N- 3- = 4 oszillatorische Freiheitsgrade. Wir betrachten zunächst die Koordinaten in Richtung der Syetrieachse. Wenn alle Atoe in die gleiche Richtung ausgelenkt werden, so ändert sich die Z:CO Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

25 Energie des Moleküls nicht - es handelt sich u eine Translationsbewegung des Gesatoleküls. Die andern beiden Linearkobinationen werden als syetrische, resp. antisyetrische Streckschwingung bezeichnet Syetrie Es lohnt sich ier, die Syetrie eines Moleküls in die Überlegungen it einzubeziehen. I Falle des CO -Moleküls hatten wir gezeigt, daß das Molekül 4 oszillatorische Freiheitsgrade besitzt. Geäß der allgeeinen Herleitung uß in diese Fall die Säkulargleichung einer 4x4 Matrix gelöst werden - oft eine schwierige Aufgabe. Das Proble wird aber sehr einfach wenn wir die Syetrie des Systes berücksichtigen. Es lässt sich zeigen, daß jeder Eigenvektor geäß einer irreduziblen Darstellung des Moleküls transforiert, d.h. daß die Schwingungen die Syetrie des Moleküls widerspiegeln. I Falle des CO besitzt das Molekül einerseits Rotationssyetrie u die Z: CO Achse, andererseits Inversionssyetrie a C-Ato. Aufgrund der Rotationssyetrie können wir die Auslenkungen entlang der Achse unabhängig von den Auslenkungen senkrecht dazu betrachten. Die drei z-koordinaten der Atoe ergeben soit drei unabhängige Noralschwingungen. Eine davon entspricht der Translationsbewegung. Die beiden andern können durch ihre Transforationseigenschaften bezüglich der Inversion unterschieden werden: Die syetrische Streckschwingung entfernt beide O-Atoe gleichzeitig vo C-Ato, während die antisyetrische Streckschwingung das eine Ato entfernt und das andere Ato annähert. Die Auslenkungen haben soit ugekehrtes Vorzeichen, sind also antisyetrisch Anwendungen: IR-Spektroskopie Die Messung von Vibrationsfrequenzen in Molekülen ist eine der wichtigsten analytischen Methoden bei der Untersuchung von olekularen Substanzen. Man regt dabei das Molekül it elektroagnetischer Strahlung von geeigneter Wellenlänge an und isst die Absorption der Strahlung als Funktion der Wellenlänge. Aus der geessenen Absorptionswellenlänge kann an die Kraftkonstanten des untersuchten Moleküls ausrechnen. Bei eine zweiatoigen Molekül geht dies relativ einfach, inde an die Forel nach der Kraftkonstante c auflöst. ω = (c/µ) / = (c/ + c/ ) / Z: Prinzip IR-Spektroskopie Bei polyatoaren Molekülen ist dies nicht ehr so direkt öglich, da i Prinzip sätliche Atoe an einer Noralschwingung beteiligt sind. Allerdings hatten wir gesehen, daß lokalisierte Schwingungen, deren Frequenz weit voneinander entfernt ist, nur schwach koppeln. Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

26 Deshalb kann an in den eisten Fällen die beobachteten Absorptionsbanden einer bestiten lokalisierten Schwingung zuordnen. Ein solches Beispiel eines Spektrus zeigt, wie auch in eine relativ einfachen Molekül eine große Zahl von Absorptionsbanden beobachtet werden kann. Während es in der Praxis schwierig ist, ohne aufwändige nuerische Rechnungen die einzelnen Banden eindeutig einer bestiten Noralkoordinate zuzuordnen, kann an direkt Aussagen achen, welche Bereiche welcher Art von Schwingungen zugeordnet werden kann. Die höchsten Frequenzen sind ier den Streckschwingungen des Wasserstoffatos zuzuordnen, da hier die geringste Masse bewegt wird. Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00

27 Physikalische Cheiker haben eine große Zahl von spektralen Bereichen charakterisiert. Diese Übersicht stellt eine grobe Klassifizierung dar. Sehr viel genauere Aussagen sind öglich wenn größere Teile von Molekülen verglichen werden, und aus Abweichungen von den errechneten Werten kann an Rückschlüsse auf strukturelle Besonderheiten ziehen. Die epirischen Erfahrungen, welche in solchen Tabellen liegen sind bis heute auch relativ aufwendigen quantenechanischen Rechnungen noch überlegen. Inhaltsverzeichnis Physik B SS 0 6. Mai 00