Vektoren, Tensoren, Operatoren Tensoren Rang 0 Skalar p,ρ,t,... Rang 1 Vektor F, v, I,... Rang 2 Dyade }{{} σ, τ,... Spannungstensor Differential-Operatoren Nabla- / x Operator / y in kartesischen / Koordinaten 1
Vektoren, Tensoren, Operatoren Divergenz (div): div v = v = u x + y v + w (inneres Produkt) Gradient (grad): gradp = p = ( p x, p y, p )T Rotation (rot): rot v = v = w y v u w x v x u y (äußeres Produkt) 2
Vektoren, Tensoren, Operatoren LAPLACE- Operator in kartesischen Koordinaten = 2 = = 2 x 2 2 2+ 2+ y 2 p = 2 p = 2 p x 2 + 2 p y 2 + 2 p 2 v = 2 u x 2 + 2 u y 2 + 2 u 2 2 v x 2 + 2 v y 2 + 2 v 2 2 w x 2 + 2 w y 2 + 2 w 2 3
Rechenregeln 1. Skalar - Vektor Vektor a b x ab x b = a b y = ab y = c b z ab z 2. Vektor - Vektor Skalar (inneres Produkt) b x a b = (a x,a y,a z ) b y = a x b x + a y b y + a z b z = c b z 3. Vektor - Vektor Vektor (äußeres Produkt) a b = i j k a x a y a z b x b y b z = a y b z a z b y a z b x a x b z a x b y a y b x 4 = c
Rechenregeln 4. Vektor - Vektor Dyade (dyadisches Produkt) a a x a x b x a x b y a x b z b = a y (b x,b y,b z ) = a y b x a y b y a y b z = c a z a z b x a z b y a z b z 5. Vektor - Dyade Vektor b xx b xy b xz a b = (ax,a y,a z ) b yx b yy b yz = b zx b zy b zz a x b xx + a y b yx + a z b zx a x b xy + a y b yy + a z b zy a x b xz + a y b yz + a z b zz 5
Identitäten rot (grada) = ( a) = 0 div (rot v) = ( a) = 0 w u v (rot v) = v u w y v w x v x u y = 1 2 v2 ( v ) v 6
Partielle Ableitungen Totales Differential einer Funktion f(x, y, z) df = f f f dx + dy + x y dz Das totale Differential beschreibt den Zuwachs einer Funktion v = v(t,x,y,z) d v = v v v v dt + dx + dy + t x y dz : dt d v dt = v t + v x dx }{{} dt u + v y dy }{{} dt v + v dz }{{} dt w 7
Substantielle Ableitung d v }{{} dt substantiell = lokal {}}{ v t + u v x + v v y + w v }{{ } konvektive Beschleunigung 8
Zusammenfassung: Vereinfachungen stationär: t = 0 nicht d dt = 0 inkompressibel: ρ = konst. Symmetrie: Normalkomponente der Geschwindigkeit = 0 θ = 0 reibungsfrei η = 0 (λ = 0 (Wärmeleitfähigkeit)) 9
Zusammenfassung: Vereinfachungen 2-dimensional Verminderung der Anzahl der Gleichungen Verringerung der Anzahl der Ableitungen ausgebildete Strömung x = 0 Kontinuität u x + w = 0 w = 0, wegenw = 0 an der Wand 10
3.1 Bahnlinie t>0 3 2 1 t=0 t<0 u Stromlinie x 11
3.1 ruhende Umgebung, konstante Geschwindigkeit u instationäre Strömung für den festen Beobachter stationäre Strömung für den mitbewegten Beobachter Stromlinien: Tangential zum monentanen Geschwindigkeitsfeld Bahnlinien: Trajektorien eines Fluidpartikels in einem Zeitintervall In einer stationären Strömung verlaufen die Bahnlinien entlang der Stromlinien. instationäre Strömung: Bahnlinie Stromlinie stationäre Strömung: Bahnlinie = Stromlinie 12
4.2 a) Ein Kolben bewegt sich mit der Geschwindigkeit v Kolben (t) in einem unendlich langen Rohr mit konstanten Querschnitt A. Das Fluid innerhalb des Rohres besitzt eine konstante Dichte. Bestimmen Sie die substantielle Beschleunigung des Fluids in dem Rohr. 13
4.2 b) Ein Fluid mit konstanter Dichte strömt mit der konstanten Geschwindigkeit v = v 0 in einen Diffusor, dessen Querschnitt durch A(x) beschrieben sei. Bestimmen Sie die substantielle Beschleunigung des Fluids entlang der Koordinatenachse x. 14
4.2 a) substantielle Ableitung: dv dt = v t + v v x Kontinuität: A v = konst. mit A = konst. v x = 0 aber v t = v Kolben t nur lokale Beschleunigung dv dt = v Kolben t 15
4.2 b) wieder: dv dt = v t + v v x konstante Einströmgeschwindigkeit: v = v 0 v t = 0 Kontinuität: A(x) v(x) = konst. 1. Ableitung: A(x) x v(x) v(x) + A(x) x = 0 wegen: V = v 0 A 0 = v(x)a(x) v(x) x = v(x) A(x) A(x) x dv dt = (x) v2 A(x) A(x) x v(x) = v 0A 0 A(x) dv dt = v2 0 A2 0 A A 3 (x) x 16
4.4 Ein inkompressibles Fluid mit der Zähigkeit η strömt laminar und stationär zwischen zwei parallelen Scheiben. Die Strömung sei nur radial nach außen gerichtet. 17
4.4 Die bestimmenden Differentialgleichungen, gegeben in Polarkoordinaten, sind: ρ ( 1 r v r v r r + v Θ r (ρ r v r ) r v r Θ v2 Θ r + 1 (ρ v Θ ) r Θ ) v r + v z + (ρ v z) = p r + η = 0 ( r ( 1 r + 1 2 v r r 2 Θ 2 2 v Θ r 2 Θ + 2 v r 2 ) (r v r ) r ) Vereinfachen Sie diese Gleichungen für obiges Strömungsproblem. 18
4.4 1 r (ρ r v r ) r + 1 r (ρ v Θ ) Θ + (ρ v z) = 0 ρ = konst. radiale radiale Strömung Symmetrie parallele Platten (r v r) r = 0 Kontinuität 19
4.4 ρ ( v r v r r + v Θ r radial v r Θ v2 Θ r Symmetrie radial parallel ) + v z v r Symmetrie = p r + η Symmetrie Kontinuität ( ( 1 (r v r ) r r r ) + 1 2 v r r 2 Θ 2 2 v Θ r 2 Θ + 2 v r 2 ) ρv r v r r = p r + η 2 v r 2 radiale Impulsgleichung 20
4.6 Gegeben sind die Navier-Stokes Gleichungen für instationäre, inkompressible Strömungen in einem Schwerefeld g: v = 0 ρ d v dt = p + η 2 v + ρ g Formulieren Sie die Gleichungen für eine stationäre, reibungsfreie zweidimensionale Strömung in den kartesischen Koordinatenrichtungen (x, y). Kontinuität: v = ( x, y )( u v ) = u x + v y = 0 21
4.6 Impuls: reibungsfrei: η = 0 x-richtung: ρ du dt = p x + ρg x ρ( u t =0 + u u x + v u y ) = p x + ρg x y-richtung: ρ dv dt = p y + ρg y ρ( v t =0 + u v x + v v y ) = p y + ρg y 22
4.5 Gegeben sind die Navier-Stokes Gleichungen für rotationssymmetrische, instationäre, inkompressible Strömungen in Zylinderkoordinaten: ρ ( vr t + v v r r r + v z ρ ( vz t + v v z r r + v z 1 (r v r ) r r ) v r ) v z ( ) T ρc p t + v T r r + v T z { ( vr ) 2 ( vr +2η + r r + v z = 0 = p r + η [ r = p [ 1 + η r r = dp [ 1 dt + λ r ) } 2 ) 2 + ( vz 23 ( ) 1 r r (rv r) r + η ( r v ) z r ( r T r ) ( vz r + v r ] + 2 v r 2 ] + 2 v z 2 ] + 2 T 2 ) 2
4.5 Betrachtet wird eine stationäre, laminare, ausgebildete, inkompressible Rohrströmung mit zeitlich und räumlich veränderlicher Temperaturverteilung. Vereinfachen Sie die Gleichungen für diesen Fall. 24
4.5 v r stationäre Strömung t = v z t = 0 ausgebildete Strömung v r = v z = 0 inkompr. Strömung ρ = konst (rv r ) Kontinuitätsgl.: = 0 = v r = 0 r p Impulsgl.: r = 0 p + η ( r v ) z = 0 r r r Energiegl.: ( T ρc p t + v T z ) ( p = v z + λ 1 r r ( r T ) r ) + 2 T 2 + η ( vz r ) 2 25