Ferienkurs Anlysis 1 WS 11/12 Florin Drechsler Antworten uf Anfrgen von Kursteilnehmern Zu Tylorreihen Zu folgender Aussge us den Multiple-Choice-Aufgben: Es gibt Funktionen f C (R) mit konvergenter Tylorreihe T f(x, ) = n=0 f (n) () (x ) n n! n einem Entwicklungspunkt R, sodß ein x 0 existiert mit T f(x 0, ) f(x 0 ) wurde gefrgt: Heißt ds lediglich, dss ein Fehler vorhnden ist, d ein Tylorpolynom Funktionen nur bis zu n-tem Grd pproximiert? Hierzu ist zunächst nzumerken, dß die Aussge eigentlich leider noch nicht genügend präzise formuliert wr. Die Rede ist von einer Funktion mit konvergenter Tylorreihe. Ds llein ist schon sehr ungenu, denn mn müßte klrstellen, wo Konvergenz der Reihe gefordert ist. Eine Tylorreihe konvergiert innerhlb ihres Konvergenzrdius, schlimmstenflls ist dieser 0, und selbst in diesem Fll muß f() = T f(, ) = ( ) n f (n) () n! gelten, wenn mn 0 0 = 1 vereinbrt. Somit ist irgendwo jede Tylorreihe konvergent zumindest nämlich im Entwicklungspunkt selbst. n=0 1
Läßt mn diese Rechthberei beiseite, so knn mn vermuten, dß der ursprüngliche Autor dieser MC-Frgen eine Funktion im Sinn htte, deren Tylorreihe einen Konvergenzrdius > 0 besitzt. Dß ein Tylorpolynom Funktionen nur bis zu n-tem Grd pproximiert und im Allgemeinen somit ein Approximtionsfehler entsteht, ist prinzipiell ntürlich richtig, ber dieses Problem ist hier nicht gemeint, d j von der gnzen Reihe die Rede ist und nicht nur von der bgeschnittenen Version dvon, dem Tylorpolynom. Gesucht ist lso eine Funktion, deren Tylorreihe zwr uch n einem Punkt x 0 bseits des Entwicklungspunktes konvergiert, llerdings nicht gegen den dortigen Funktionswert f(x 0 ). Zur Lösung sei hier ohne weitere Detils uf Husufgbe 13.1 verwiesen, wo folgende Funktion diskutiert wird: ψ(x) = { e 1 x x > 0 0 x 0 Für jedes x 0 > 0 gilt dnn ttsächlich ψ(x 0 ) T ψ(x 0, ), obwohl die Tylorreihe überll konvergiert (ws ihr nicht schwerfällt, d sie die Nullreihe ist). Zu Integrtion Die Aussge Stmmfunktionen sind eindeutig ist ntürlich flsch. Gegenbeweis/-beispiel. Sei f : D R eine reelle Funktion (D R), mit der Stmmfunktion F : D R, lso F = f. Sei G : D R gegeben durch G(x) = F (x) + 1 x D. Dnn gilt ebenflls G = f, ber F (x) G(x) x D. 2
Zu folgender Aussge us den Multiple-Choice-Aufgben, Kp. 8/Seitenzhl 10: Jede rtionle Funktion besitzt eine Stmmfunktion. wurde gefrgt: Rtionle Funktionen sind uf ihrem Def.bereich stetig soweit ich weiß, ber knn ich integrieren, wenn eine Definitionslücke vorhnden ist? Zunächst ist festzustellen, dß die Multiple-Choice-Aussge whr ist. Hier sind die Aussgen f besitzt uf D eine Stmmfunktion und f ist uf D integrierbr sorgfältig useinnderzuhlten. Ob f eine Stmmfunktion besitzt, ist von der Art des Definitionsbereiches ziemlich unbhängig. Die Existenz einer Stmmfunktion ist nur eine lokle Eigenschft, lso n einzelnen Punkten definiert, während Integrierbrkeit mehr ls nur lokl ist. Anders gesgt: Wir suchen lediglich eine Funktion F, deren Ableitung gleich einer bestimmten rtionlen Funktion f ist. Ws stört es die Funktion F, wenn f eine Definitionslücke besitzt? Um dies einzusehen, bechte dzu zunächst, dß jede rtionle Funktion eine Prtilbruchzerlegung (PBZ) besitzt, vgl. hierzu die Zentrlübungsufgbe Z14.1 c). Der Huptzweck einer PBZ ist meist, eine rtionle Funktion so umzuschreiben, dß wir Funktionen erhlten, deren Stmmfunktionen beknnt sind, nämlich Summnden der ij einfchen Form (x x i ) j. Wenn nun für f ein Definitionsbereich vorgegeben ist, der us einem Intervll besteht, von dem nur die Polstellen x j usgeschlossen sind ( Definitionslücken ), dnn muß mn, um die Integrierbrkeit zu untersuchen, zunächst Integrle über Intervlle [, b] betrchten, die gänzlich im Definitionsbereich enthlten sind, und sodnn je nch Sitution den Grenzwert eines solchen Integrls für x j oder b x j betrchten. Existiert die- 3
ser, so ist er der Wert des uneigentlichen Integrls x j f(x) dx bzw. x j f(x) dx. Auf diese Weise wird der Definitionsbereich in Teilintervlle zerlegt, und existieren uf ll diesen Teilintervllen die uneigentlichen Integrle, so ist f uf dem gesmten Definitionsbereich integrierbr. ij Die Frge nch Stmmfunktionen ber ist wesentlich einfcher: D eine PBZ stets existiert, und die Prtilbrüche uf ihrem Definitionsbereich stets Stmmfunktionen besitzen, so besitzt uch eine rtionle Funktion uf ihrem Definitionsbereich (x x i ) j stets eine Stmmfunktion. Die folgender Aussge, ebenflls us den Multiple-Choice-Aufgben, Kp. 8/Seitenzhl 10: Jedes konvergente uneigentliche Integrl ist uch bsolut konvergent. muß noch präzisiert werden es ist dvon uszugehen, dß etw folgende Aussge gemeint ist: Sei D = [, ), und f : D R eine Funktion, sodß ds uneigentliche Integrl f(x) dx, lso der Grenzwert lim f(x) dx, existiert und endlich ist. Dnn ist uch b ds uneigentliche Integrl f(x) dx definiert und <. Diese Aussge ist flsch. Gegenbeweis/-beispiel. Sei D = [1, ), und f gegeben durch 1 für x [1, 2) 1 2 für x [2, 3) 1 f(x) = 3 für x [3, 4) 1 4 für x [4, 5).. 4
Dnn ist lim b f(x) dx der Grenzwert der lternierenden hrmonischen Reihe, lso beknntlich π2 6 Reihe beträgt. (vgl. Vorlesung), während lim b f(x) dx ls Grenzwert der hrmonischen Die folgender Aussge, us den Multiple-Choice-Aufgben, Kp. 8/Seitenzhl 6, von Nédélec/Schröder: Ds Integrl f(x dx) ist für lle Treppenfunktionen endlich. ist whr. Dies ist direkt us der Definition 11.3 der Vorlesung ersichtlich. Die folgender Aussge, us den Multiple-Choice-Aufgben, Kp. 8/Seitenzhl 6, von Nédélec/Schröder: Ds Integrl f(x dx) ist für lle Regelfunktionen endlich. ist whr, wenn ich die in der Vorlesung getroffenen Konventionen richtig verstehe flls letzte Sicherheit gewünscht ist, wäre dies ber besser mit Herrn Schmitz zu klären! 5