HM2 Formelsmmlung Jn Höffgen 21. April 2013 Diese Zusmmenfssung wurde uf Bsis der Vorlesung Höhere Mthemtik II für Buingenieure im Sommersemester 2011 erstellt. Es besteht kein Anspruch uf Vollständigkeit oder Fehlerfreiheit. Fehler bitte der Fchschft melden.
INHALTSVERZEICHNIS Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 3 1.1 Grundrechenregeln Integrle....................................... 3 1.2 Stmmfunktion.............................................. 3 1.2.1 Grundintegrle.......................................... 3 1.3 Differentition von Integrlen mit vriblen Grenzen......................... 3 1.4 Prtielle Integrtion........................................... 3 1.5 Integrtion durch Substitution..................................... 4 1.5.1 Die erste Substitutionsregel................................... 4 1.5.2 Die zweite Substitutionsregel.................................. 4 1.6 Integrtion rtionler Funktionen.................................... 4 1.7 Elementr integrierbre Funktionen................................... 4 1.8 Uneigentliche Integrle.......................................... 4 1.8.1 Konvergenzkriterien für uneigentliche Integrle........................ 4 1.9 Numerische Integrtion......................................... 5 1.10 Anwendungsbereiche der Integrlrechnung............................... 5 1.10.1 Die Leibniz sche Sektorformel.................................. 5 1.10.2 Schwerpunkt eingeschlossener Flächen............................. 5 1.10.3 Bogenlänge einer Kurve..................................... 5 1.10.4 Volumen von Rottionskörpern nichtnegtiver Funktionen.................. 5 1.10.5 Mntelfläche von Rottionskörpern nichtnegtiver Funktionen................ 5 2 Funktionen mehrerer Veränderlicher 6 2.1 Grundbegriffe............................................... 6 2.1.1 Eindimensionle Schnittkurve.................................. 6 2.1.2 Höhenlinien............................................ 6 2.1.3 Abstnd zweier Punkte im R n................................. 6 2.1.4 Umrechnung krtesische Koordinten Zylinderkoordinten (P = (r, ϕ, ω))....... 6 2.1.5 Umrechnung krtesische Koordinten Kugelkoordinten (P = (r, θ, ϕ))......... 6 2.2 Stetigkeit................................................. 7 2.2.1 Folgen im R n........................................... 7 2.2.2 Grenzwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher..................... 7 2.2.3 Stetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher...................... 7 2.2.4 Eigenschften stetiger Funktionen............................... 7 2.3 Differenzilrechnung........................................... 7 2.3.1 Prtielle Ableitungen....................................... 7 2.3.2 Eigenschften differenzierbrer Funktionen.......................... 8 2.3.3 Der Grdient........................................... 8 2.3.4 Die Kettenregel.......................................... 8 2.3.5 Die Jcobi-Mtrix........................................ 8 2.4 Anwendungen der Differenzilrechnung................................. 8 2.4.1 Die Richtungsbleitung einer Funktion von zwei Veränderlichen............... 8 2.4.2 Der Stz über implizite Funktionen............................... 8 2.4.3 Der Stz von Tylor....................................... 9 2.4.4 Ds Newton-Verfhren im R n.................................. 9 2.4.5 Extrem.............................................. 9 2.4.6 Extremwertufgben mit Nebenbedingungen......................... 9 2.5 Kurvenintegrle erster Art........................................ 9 2.6 Flächenintegrle............................................. 9 2.6.1 Integrtion über Rechteckbereiche............................... 9 2.6.2 Integrtion über Normlbereiche................................ 9 2.6.3 Flächeninhlt und Schwerpunkt von Normlbereichen.................... 10 2.6.4 Die Substitutionsregel im R 2.................................. 10 2.6.5 Flächenintegrle 1. Art..................................... 10 2.7 Mehrdimensionle Bereichsintegrle................................... 10 2.7.1 Normlbereiche bezüglich der (x,y)-ebene........................... 10 2.7.2 Berechnung von Integrlen über Normlbereiche bezüglich der (x,y)-ebene........ 10 J.H. Fchschft Buingenieurwesen Seite 2
1 INTEGRALRECHNUNG 1 Integrlrechnung 1.1 Grundrechenregeln Integrle f(x)dx = 0 f(x)dx = b f(x)dx f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx, f(x) ± g(x)dx = b f(x)dx ± b g(x)dx b f(x)dx b f(x) dx c b f(x)dx b g(x)dx flls f(x) g(x), x [, b] 1.2 Stmmfunktion F ist eine Stmmfunktion zu f, wenn gilt: F (x) = f(x) Menge ller Stmmfunktionen: f(x)dx = F 1 (x) + c, c R f(x)dx = F () F (b) 1.2.1 Grundintegrle dx = tnhx + c, x R cosh 2 x dx = cothx + c, x 0 sinh 2 x dx cos 2 x = tnx + c, x (2k + 1) π 2, k Z dx = cotx + c, x kπ, k Z sin 2 x dx 1 x = rcsinx + c = rccosx + c, x ( 1, 1) 2 dx 1+x 2 = rctnx + c x, R dx 1+x = rsinhx + c, x R 2 dx x = rcoshx + c, x (1, ) 2 1 dx x2 = rcosh( x) + c, x (, 1) 1 dx 1 x 2 = rtnhx + c, x ( 1, 1) 1.3 Differentition von Integrlen mit vriblen Grenzen ( ) h(x) g(x) f(t)dt = f(h(x)) h (x) f(g(x)) g (x) 1.4 Prtielle Integrtion u(x) v (x)dx = u(x) v(x) u (x) v(x)dx J.H. Fchschft Buingenieurwesen Seite 3
1 INTEGRALRECHNUNG 1.5 Integrtion durch Substitution 1.5.1 Die erste Substitutionsregel f(g(x)) g (x)dx = f(z)dz = F (z) + c = F (g(x)) + c f(g(x)) g (x)dx = g(b) f(z)dz = F (g(b)) F (g()) g() 1.5.2 Die zweite Substitutionsregel f(x)dx = f(g(u)) g (u) du = H(u) + c = H(g 1 (x)) + c }{{} h(u) f(x)dx = g 1 (b) g 1 () f(g(u)) g (u) du = H(g 1 (b)) H(g 1 ()) }{{} h(u) 1.6 Integrtion rtionler Funktionen 1. Überprüfung, ob f(x) echt gebrochen ist. Flls nicht: Polynomdivision 2. Prtilbruchzerlegung durch (reelle und komplexe) Nullstellen und Koefizientenvergleich 3. Anwendung von Integrtionsformeln A dx = A (x α) k k 1 1 + c, A, α R bel. (x α) k 1 ( ) rctn 2x+p flls x 2 + px + q keine reellen Nullstellen besitzt 4q p 2 dx x 2 +px+q = 2 4q p 2 1.7 Elementr integrierbre Funktionen r(z) rtionle Funktion r(e x ) ist elementr integrierbr Substitution: z = g(x) = e x, dz = e x dx dx = dz z r(u,v) rtionle Funktion verkettete Funktion r(sinx, cosx) ist elementr integrierbr Substitution: z = g(x) = tn ( x 2 2 ) x = 2rctnz, dx = z 2 +1 dz sinx = 2z 1 z2 z 2 +1, cosx = z 2 +1 1.8 Uneigentliche Integrle 1 0 f(x)dx := lim 1 ɛ o+ ɛ f(x)dx c f(x)dx := lim 1 c 1 f(x)dx { } { konvergiert der Grenzwert divergiert existiert existiert nicht 1.8.1 Konvergenzkriterien für uneigentliche Integrle Ds Mjorntenkriterium f(x) g(x), x [, b] ds uneigentliche Integrl b g(x)dx sei konvergent b Ds Minorntenkriterium f(x) g(x) 0, x [, b] ds uneigentliche Integrl b g(x)dx sei divergent b } f(x)dx konvergiert f(x)dx divergiert J.H. Fchschft Buingenieurwesen Seite 4
1 INTEGRALRECHNUNG 1.9 Numerische Integrtion +b f(x)dx (b )f( 2 ) Mittelpunktsregel b f(x)dx 2 (f() + f(b)) Trpez-Regel f(x)dx b 6 +b (f() + 4f( 2 ) + f(b)) Simpson-Regel besser: summierte Regeln uf Teilintervllen Genuigkeitsgrd MR, TR: 1, SR: 3 1.10 Anwendungsbereiche der Integrlrechnung 1.10.1 Die Leibniz sche Sektorformel Gegeben: Kurve in Polrkoordinten K : r = f(ϕ), ϕ [α, β], β α 2π, f integrierbr und nichtnegtiv über [α, β] Flächeninhlt des eigeschlossenen Sektors s = 1 β 2 α f 2 (ϕ)dϕ 1.10.2 Schwerpunkt eingeschlossener Flächen F = b (g(x) f(x))dx b x s = 1 F x(g(x) f(x))dx y s = 1 b 2F (g2 (x) f 2 (x))dx 1.10.3 Bogenlänge einer Kurve L = b 1 + (f (x)) 2 dx 1.10.4 Volumen von Rottionskörpern nichtnegtiver Funktionen V = π b f 2 (x)dx bei Rottion um die x-achse V = 2πy S F mit y S =y-koordinte des Schwerpunkts V = π f(b) f() (f 1 (z)) 2 dz = π b x2 f (x)dx bei Rottion um die z-achse 1.10.5 Mntelfläche von Rottionskörpern nichtnegtiver Funktionen M = 2π b f(x) 1 + (f (x)) 2 dx J.H. Fchschft Buingenieurwesen Seite 5
2 FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 2 Funktionen mehrerer Veränderlicher 2.1 Grundbegriffe Reelle Funktion von x: z = f mit x = ntürlicher Definitionsbereich: D f = R n Wertebereich: W f = {z = f x D f } 2.1.1 Eindimensionle Schnittkurve x 1. x n x D f Schneiden der Fläche z = f(x, y) mit Ebene prllel zur { } K : g(y) = f(c, y), x Dg Schnittkurve K : h(x) = f(x, c), x D h Formeln von Schnittkurven Kreis mit Rdius r und M(d,e): (x d) 2 + (y e) 2 = r 2 { y-z-ebene (x = c) x-z-ebene (y = c) Ellipse mit Achsenschnittpunkten (±, 0), (0, ±b): ( x )2 + ( y b )2 = 1 Hyperbel mit x-achsenbschnitt ± und Asymptoten y = ± b x: ( x )2 ( y b )2 = 1 Hyperbel mit y-achsenbschnitt ±b und Asymptoten y = ± b x: ( y b )2 ( x )2 = 1 2.1.2 Höhenlinien Höhenlinie zur Höhe c: Menge ller Punkte (x, y) D f mit f(x, y) = c, c R 2.1.3 Abstnd zweier Punkte im R n d( x, y) = y x = ( y x) T ( y x) nichtnegtiv erfüllt die Dreiecksungleichung: d( x, z) d( x, y) + d( x, z) verschiebungsinvrint: d( x + z, y + z) = d( x, y) 2.1.4 Umrechnung krtesische Koordinten Zylinderkoordinten (P = (r, ϕ, ω)) x = r cos ϕ r = x 2 + y 2 y = r sin ϕ cos ϕ = x r, sin ϕ = y r (ϕ [0, 2π), r > 0) z = ω z = ω 2.1.5 Umrechnung krtesische Koordinten Kugelkoordinten (P = (r, θ, ϕ)) x = r sin θ cos ϕ r = x 2 + y 2 + z 2 y = r sin θ sin ϕ cos ϕ = x x z = r cos θ, sin ϕ = y (ϕ [0, 2π)) 2 +y 2 x 2 +y 2 cos θ = z r (θ [0, π], r > 0) } liefert eindimensionle J.H. Fchschft Buingenieurwesen Seite 6
2 FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 2.2 Stetigkeit 2.2.1 Folgen im R n Eine (Punkt-)Folge {P k } k=1 oder { x} k=1 im Rn ist eine Menge von unendlich vielen Punkten x k R n Konvergenz gegen x : lim k x k = x lim k x k x = 0 Punktfolgen nur konvergent, wenn die Zhlenfolgen ller Komponenten konvergieren Beschränktheit: lle Punkte lssen sich von einer Kugel umschließen Jede konvergente Folge ist beschränkt. Jede beschränkte Folge besitzt (mindestens) eine konvergente Teilfolge. 2.2.2 Grenzwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher Grenzwert c = lim x xo f der Funktion f n der Stelle x 0 Jede Folge us D f mit x k x 0 konvergiert gegen c Untersuchung in Polrkoordinten: lim r 0, ϕbel. f(r cos ϕ, r sin ϕ) Mehrere unterschiedliche Höhen in einem Punkt Grenzwert existiert nicht 2.2.3 Stetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher lim x xo f = f( x 0 ) f ist stetig in x 0 Grundfunktionen stetig uf ihrem ntürlichen Definitionsbereich Kompositionen und Verkettungen stetiger Funktionen sind stetig 2.2.4 Eigenschften stetiger Funktionen f stetig, D f R 2 beschränkt und bgeschlossen f besitzt bsolutes Minimum m und Mximum M ZWS: f( x 1 ) = m < M = f( x 2 ), x 1 und x 2 durch stetige Kurve K : u = g(t), t 1 t t 2 verbunden [m, M] W f (f nimmt jeden Wert zwischen m und M n) 2.3 Differenzilrechnung z = f, x D f R n ist differenzierbr n der Stelle x es gibt eine tngentile Hyperebene z = H = f( x ) + n j=1 α j(x j x j ) x x 0 α 1 im R 2 : H : y y 0 α 2 = 0 z 1 z 0 α 1 := f x (x 0, y 0 ), α 2 := f y (x 0, y 0 ) (totles) Differenzil von f im Punkt x : l = n j=1 α jx j 2.3.1 Prtielle Ableitungen Jede in x (totl) differenzierbre Funktion ist in x bezüglich jeder Vriblen prtiell differenzierbr f x (x 0, y 0 ) = f(x0,y0) f(x x = lim 0+h,y 0) f(x 0,y 0) f(x h 0 h, f y (x 0, y 0 ) = lim 0,y 0+h) f(x 0,y 0) h 0 h Prtielles Ableiten durch Annhme ller Vriblen, nch denen nicht bgeleitet wird, ls konstnt Differenzitionsregel wie bei Funktionen einer Veränderichen f xy (x, y) = f yx (x, y) J.H. Fchschft Buingenieurwesen Seite 7
2 FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 2.3.2 Eigenschften differenzierbrer Funktionen f in x differenzierbr f in x stetig f in x differenzierbr f ist bezüglich jeder Vriblen prtiell differenzierbr f xj ( x ) existieren in Umgebung U( x ) und sind stetig in x f ist differenzierbr lle prtiellen Ableitungen erster Ordnung stetig f stetig differenzierbr 2.3.3 Der Grdient Grdient von f n der Stelle x : grd f( x ) = (f x1 ( x ) f x2 ( x )... f xn ( x )) (Zeilenvektor) totles Differenzil: df( x ) x = grdf( x ) x Gleichung der Tngentilebene: z = f(x 0, y 0 ) + grdf(x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ) Normlenvektor: n = f y (x 0, y 0 ) 1 2.3.4 Die Kettenregel ( ) x x0 y y 0 x k F ( x ) = grdf( g( x )) x k g( x ) (prtielle Ableitungen der Funktion z = f( u) = f( g) n der Stelle x ) 2.3.5 Die Jcobi-Mtrix ( ) J f = fi x j = grdf 1. grdf n = f 1 x 1 f 2 x 1. f n x 1 f 1 f x 2... 1 x n f 2 f x 2... 2 x n..... f n f x 2... n x n 2.4 Anwendungen der Differenzilrechnung 2.4.1 Die Richtungsbleitung einer Funktion von zwei Veränderlichen Richtungsbleitung von f im Punkt P = (x 0, y 0 ) in Richtung h = f (x f(x h 0, y 0 ) = lim 0+th 1,y 0+th 2) f(x 0,y 0) t 0 t Berechnung: Flls f differenzierbr: f h (x 0, y 0 ) = grdf(x 0, y 0 ) h Richtung des steilsten Anstiegs ist Richtung des Grdienten ( h1 h 2 ) mit h = 1: Der Grdient n der Stelle (x 0, y 0 ) steht senkrecht uf der Höhenlinie im Punkt (x 0, y 0 ). Der Grdient n der Stelle (x 0, y 0, z 0 ) steht senkrecht uf der Fläche im Punkt (x 0, y 0, z 0 ) 2.4.2 Der Stz über implizite Funktionen Gegeben: Funktion F (x, y), (x, y) D f R 2, Punkt (x 0, y 0 ) D f. Es gelte: F (x 0, y 0 ) = 0 F ist in einer Umgebung von (x 0, y 0 ) stetig differenzierbr F y (x 0, y 0 ) 0 Dnn: Es gibt ein Intervll (,b) mit < x 0 < b und genu eine differenzierbre Funktion y = f(x), x (, b), sodss gilt: f(x 0 ) = y 0 F (x, f(x)) = 0 für lle x (, b) f (x 0 ) = Fx(x0,y0) F y(x 0,y 0) J.H. Fchschft Buingenieurwesen Seite 8
2 FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 2.4.3 Der Stz von Tylor T 1 (x, y) = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) T 2 (x, y) = T 1 (x, y) + 1 2! (f xx(x 0, y 0 )(x x 0 ) 2 + 2f xy (x 0, y 0 )(x x 0 )(y y 0 ) + f yy (x 0, y 0 )(y y 0 ) 2 ) 2.4.4 Ds Newton-Verfhren im R n x (k+1) = x (k) (J f ( x (k) )) 1 f( x (k) ) konvergiert lokl gegen x, wenn f in einer Umgebung von x zwei ml stetig differenzierbr ist und in x eine Nullstelle ht. 2.4.5 Extrem Notwendige Bedingung: Sttionäre Punkte: grdf( x 0 ) = 0 Hinreichende Bedgingung: D := f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) f 2 xy(x 0, y 0 ) > 0 reltives Extremum in x 0 f xx (x 0, y 0 ) < 0 Mximum f xx (x 0, y 0 ) > 0 Minimum D<0: kein Extremum D=0: genuere Untersuchung erforderlich 2.4.6 Extremwertufgben mit Nebenbedingungen Auflösen der NB: Überführung in eine eindimensionle Extremwertufgbe durch Auflösen der NB nch x oder y und Einsetzen in die Funktion Verwendung einer Prmeterdrstellung der NB: Einsetzen der Prmeterdrstellung in die Funktion führt zu eindimensionler Extremwertufgbe Verfhren von Lgrnge: Besitzt f(x, y) unter der NB g(x, y) = 0 ein Extremum im Punkt (x 0, y 0 ), so löst (x 0, y 0 ) ds Gleichungssystem 1. f x (x, y) + λ g x (x, y) = 0 2. f y (x, y) + λ g y (x, y) = 0 3. g(x, y) = 0 2.5 Kurvenintegrle erster Art ( ) x = ϕ(t) Für J-Kurve K :, t b, und f uf K stückweise stetig: y = ψ(t) K f(x, y)ds = b f(ϕ(t), ψ(t)) ϕ 2 (t) + ψ 2 (t)dt f Mssendichte, f(x, y)ds Msse K Bogenlänge: L = K 1ds = b 1 ϕ 2 (t) + ψ 2 (t)dt 2.6 Flächenintegrle 2.6.1 Integrtion über Rechteckbereiche Zwischen z = f(x) und R = [, b] [c, d] eingeschlossenes Volumen: V = R f(x, y)d(x, y) = ( b ) d x= y=c f(x, y)dy dx = ( d ) b y=c x= f(x, y)dx dy 2.6.2 Integrtion über Normlbereiche Normlbereich bezüglich x: N := {(x, y) R 2 x b, g 1 (x) y g 2 (x)} Normlbereich bezüglich y: N := {(x, y) R 2 c y d, h 1 (x) x h 2 (x)} Zwischen z = f(x) und N eingeschlossenes Volumen: N f(x, y)d(x, y) = b x= ( g2(x) y=g 1(x) f(x, y)dy ) dx J.H. Fchschft Buingenieurwesen Seite 9
2 FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 2.6.3 Flächeninhlt und Schwerpunkt von Normlbereichen Flächeninhlt: F N = 1d(x, y) N x-koordinte des Schwerpunkts: x S = 1 F N xd(x, y) N y-koordinte des Schwerpunkts: y S = 1 F N yd(x, y) N 2.6.4 Die Substitutionsregel im R 2 M f(x, y)d(x, y) = N f( ψ(u, v)) detj ψ (u, v) d(u, v) ( ) für eine uf einer kompkten Menge injektive, stetig differenzierbre Funktion ψ ψ1 (u, v) = mit ψ 2 (u, v) ) detj ψ (u, v) = det 0 und uf M = {(ψ 1 (u, v), ψ 2 (u, v)) (u, v) N} stetige Funktion z=f(x,y). ( (ψ1,ψ 2) (u,v) detj ψ (r, ϕ) = r für Polrkoordinten, detj ψ (r, ϕ) = br für ψ(r, ϕ) = 2.6.5 Flächenintegrle 1. Art ( ) r cos ϕ (Ellipse) br sin ϕ S fdσ = D f( ψ(u, v)) ψ u ψ v d(u, v): Flächenintegrl 1. Art für beschränktes Gebiet D R 2, uf D beschränkte, stetig differenzierbre, injektive Funktion ψ = ψ 1(u, v) ψ 2 (u, v) mit ψ u ψ v 0 und für f uf S = { ψ(u, v) (u, v) D} stetig und beschränkt. ψ 3 (u, v) Flächeninhlt: F S = S 1dσ = D 1 ψ u ψ v d(u, v) 2.7 Mehrdimensionle Bereichsintegrle 2.7.1 Normlbereiche bezüglich der (x,y)-ebene A := {(x, y, z) R 3 (x, y) D, g 1 (x, y) z g 2 (x, y)} Normlbereich für beschränkte Menge D R 2, deren Rnd eine stetige, stückweise gltte geschlossene Jordn-Kurve ist, und uf D stetige Funktionen z = g 1 (x), z = g 2 (x) mit g 1 g 2 2.7.2 Berechnung von Integrlen über Normlbereiche bezüglich der (x,y)-ebene A f(x, y, z)d(x, y, z) = D ( g 2(x,y) z=g 1(x,y) f(x, y, z)dz)d(x, y) J.H. Fchschft Buingenieurwesen Seite 10