Grezwerte vo Folge -E Ma Lubov Vassilevskaya
Berechug vo Grezwerte: Aufgabe Die Berechug vo Grezwerte ka oft ziemlich umstädlich sei. Die etwickelte Regel vereifache oft solche Berechuge. Diese Regel beruhe darauf, dass ma Folge addiere, subtrahiere, multipliziere ud dividiere ka. Aufgabe : Gegebe seie die Folge a = 5 3, b = 2 3 Die Grezwerte laute a = 5, b = 2 Bestimme Sie aus de beide Folge die Summe-, Differez-, die Produkt- ud die Quotietefolge ud bestimme jeweils de Grezwert - Ma Lubov Vassilevskaya
Berechug vo Grezwerte: Lösug a = 5 + 3, b = 2 3 a + b = 7 3 + 3, (a + b ) = 7 a b = 3 + 3 + 3, (a b ) = 3 a b = 0 5 + 2 3 3 4, (a b ) = 0 a b = 5 + 3 2 3, a b = 5 2-2 Ma Lubov Vassilevskaya
Regel für das Reche mit Grezwerte Es seie zwei kovergete Folge mit folgede Grezwerte a = a, b = b Da sid die Summe-, Differez-, Produkt- ud Quotietefolge ebefalls koverget ud es gibt: a b = a b = a b a b = a b = a b c a = c a = c a a b = a b = b a = b a b a = a b a = b a, b = a b b a = b a -3 Ma Lubov Vassilevskaya
Regel für das Reche mit Grezwerte Es seie zwei kovergete Folge mit dem gleiche Grezwert a: a = a, b = a Gilt für die Glieder der dritte Folge für alle Idizes, die größer als ei fester Idex sid, die Eischließug a c b so ist auch diese Folge koverget mit gleichem Grezwert a. -4 Ma Lubov Vassilevskaya
Das Reche mit Grezwerte: Aufgabe 2 Bestimme Sie folgede Grezwerte: a ) 2 + 5 4 7, 3 7 + 2, 6 + 5 4, b ) + 7 2 4 2 + 2, 5 2 9 5 2, 3 3 + 6 3 + 9 3, c ) 3 9 2 2 3 + 5, 2 4 7 + 5 2, 6 3 + 2 3 2 + 8, 2- Ma Lubov Vassilevskaya
Das Reche mit Grezwerte: Lösuge 2 a,b a ) 2 + 5 4 7 = 2 + 5 4 7 = 2 2 = 2, 5 = 5 = 0 4 = 4, 7 = 7 = 0 3 7 + 2 = 7, 6 + 5 4 = 3 7, b ) + 7 2 4 2 + 2 = 2, 5 2 9 5 2 = 3, 3 3 + 6 3 + 9 3 = 3 2-2 Ma Lubov Vassilevskaya
Das Reche mit Grezwerte: Lösug 2c c ) 3 9 2 2 3 + 5 = 3 3 9 3 2 3 3 2 + 5 3 = 3 2 9 2 + 5 2 = 0 2 4 7 + 5 2 = 0, 6 3 + 2 3 2 + 8 = 6 + 2 3 + 8 = 2-3 Ma Lubov Vassilevskaya
Das Reche mit Grezwerte: Aufgabe 3 Bestimme Sie folgede Grezwerte: a ) ( 6 7 ) 2 3 + 4 3 2 b ) ( 3 ) 3 + 2 4 + 5 2 + + c ) 5 2 2 0 2 + 6 2 + 3 2 d ) 3 7 2 + 9 cos 8 + 5 e ) 2 + 2 + + si 2 + + 3- Ma Lubov Vassilevskaya
Das Reche mit Grezwerte: Lösuge 3 a,b a ) ( 6 7 ) 2 3 + 4 3 2 = 4 0 = 0 ( 6 7 ) 2 = 2 2 = 4, 3 + 4 3 2 = 0 b ) ( 3 ) 3 + 2 4 + 5 2 + + = ( 3 ) 3 0 = 0 4 3 4 + 5 = 3 4 + 5 = 3 4 + 2 2 + + = 2 + 2 2 + + = 0 + 0 + 0 = 0 2 3-2 Ma Lubov Vassilevskaya
Das Reche mit Grezwerte: Lösuge 3 c,d c ) 5 2 2 0 2 + 6 2 + 3 2 = 2 2 = 5 2 2 0 2 + = 2, 6 2 + 3 2 = 2. d ) 3 7 2 + 9 cos 8 + 5 = 3 2 0 = 0 cos 8 + 5 < 8 + 5, 8 + 5 = 0 3-3 Ma Lubov Vassilevskaya
Das Reche mit Grezwerte: Lösug 3 e 2 + 2 + + si 2 + + = 2 2 si 2 = 2 si 2 = si 2 = = 0 si 2 2 2 2 2 2 = 0 si 2 = 0 2 2 si 2 = si 2 = 3-4 Ma Lubov Vassilevskaya
Das Reche mit Grezwerte: Aufgabe 4 Bestimme Sie folgede Grezwert: 2 + 4- Ma Lubov Vassilevskaya
Das Reche mit Grezwerte: Lösug 4 2 +. Variate: 2 = = 2 2 2 = 2 = = 2 + + = ( + 2 + ) < 2 2 = 2 = 0 4-2 Ma Lubov Vassilevskaya
Das Reche mit Grezwerte: Lösug 4 2 = 2 2. Variate: Biomische Reihe mit positive Expoete ± x m = ± m x m 0, x m m 2! x 2 ±... = 2, m =, x = 2 2 2 2 2 2 2 2 8 4 2 2 2 2 2 = 2 = 0 4-3 Ma Lubov Vassilevskaya
Wichtige Grezwerte Es seie eie reelle Kostate c ud eie reelle Zahl q <, da gilt ) 2 ) 3 ) 4 ) q = 0 c = =! = 5- Ma Lubov Vassilevskaya
Wichtige Grezwerte ) q = 0, q q q, q = a, a 0 Die Beroullische Ugleichug liefert da: q = a a a q a q = 0 2 ) c =, c R, c x = c c = x c = x c = x x x c c = x = 0 5-2 Ma Lubov Vassilevskaya
Wichtige Grezwerte 3 ) =, 2 =, = 0 = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 0 2 2 4 2 = 0 = = 5-3 Ma Lubov Vassilevskaya
Die Beroullische Ugleichug I der Mathematik versteht ma uter der Beroullische Ugleichug eie wichtige Ugleichug, mit der sich eie Potezfuktio ach ute abschätze lässt Für jede reelle Zahl x - ud jede icht egative Zahl 0 gilt Jakob Beroulli (655-705) ( + x) + x Beat ist die Ugleichug ach dem schweizerische Mathematiker Jakob Beroulli. Im Folgede werde wir zeige, wie wir diese Ugleichug bei Abschätzuge vo Grezwerte der Folge beutze köe. 6- Ma Lubov Vassilevskaya
Die Beroullische Ugleichug: Beweis Die Beroullische Ugleichug c c c R N Die Beroullische Ugleichug beweist ma mittels vollstädiger Iduktio: Iduktiosschritt : = 2 c 2 = 2 c c 2 2 c Iduktiosschritt 2: = 3 c 3 = 3 c 3 c 2 c 3 3 c Iduktiosschritt : we c c, das gilt auch für + c c c c c c c c c c 2 c 6-2 Ma Lubov Vassilevskaya