Präerezabhägge Werte m Rahme eer kaptalmarktoreterte Uterehmesbewertg ee krtsche Aalyse Ral Dedrch *, Stea Derkes ** d Has-Chrsta Gröger *** Zsammeassg: I der Lteratr zr kaptalmarktoreterte Uterehmesbewertg werde ür de Fall eer asymmetrsche Besteerg vo Soll- d Habezse a prvater Ebee zehmed präerezabhägge Uterehmeswerte bestmmt. Für de Bewertgstheore d de Bewertgspraxs resltert heras ee Rehe vo Probleme, wel klar blebt, welcher der ermttelte Uterehmeswerte der maßgeblche st. Der Betrag zegt, dass ach ter de der Lteratr zr präerezabhägge Bewertg ageommee Bedgge kee Notwedgket besteht, mt präerezabhägge Uterehmeswerte z argmetere. Z desem Zweck wrd ee Varate des CAPM etwckelt, de de asymmetrsche Besteerg vo Soll- d Habezse berückschtgt. Mt Hle deses Modells werde Marktwerte ür verschldete d verschldete Uterehme abgeletet, be dee es sch cht m präerezabhägge Größe hadelt. Des Wetere wrd gezegt, dass sch de präerezabhägge Uterehmeswerte als weg realstsche Grezälle deser Marktwerte terpretere lasse. * ** *** Pro. Dr. Ral Dedrch, Uverstät Lepzg, Wrtschatswsseschatlche Fakltät, Isttt ür Uterehmesrechg, Fazerg d Besteerg, Grmmasche Str. 12, 419 Lepzg, dedrch@wa.-lepzg.de Pro. Dr. Stea Derkes, Phlpps-Uverstät Marbrg, Fachberech Wrtschatswsseschate, Lehrsthl ür Allgemee Betrebswrtschatslehre d Cotrollg, Barüßertor 2, 3532 Marbrg, derkes@ww.-marbrg.de Dr. Has-Chrsta Gröger, VNG Verbdetz Gas AG, Berech Plag/Betrebswrtschat, Brastr. 7, 4347 Lepzg, has-chrsta.groeger@vg.de
Präerezabhägge Werte m Rahme eer kaptalmarktoreterte Uterehmesbewertg ee krtsche Aalyse 1 Problemstellg Theoretker d Praktker Detschlad sd sch darüber eg, dass de Besteerg a der Ebee der Kaptalgeber (persölche Steer) ebeso we de Besteerg a Uterehmesebee (Uterehmesteer) a Uterehmeswerte Elss mmt. 1 We ma persölche Steer de Bewertgskalküle korrekt berückschtgt, st jedoch och cht abschleßed geklärt. E wchtges d teressates Problem desem Zsammehag wrde vo Drkarczyk d Lobe agezegt. 2 I hre Uterschge komme de Atore z dem Schlss, dass der Wert des Steervortels as Fremdazerg agrd bestmmter Charakterstka des Halbeküteverahres, de ach ür das Abgeltgsteersystem gelte, davo abhägt, welche Vermögesposto agestrebt wrd. 3 De Wertterschede sd deser Überlegg olged a de Präereze des Bewertgssbjekts zrückzühre, weshalb sch der Lteratr der Begr präerezabhägge Bewertg estgesetzt hat. Mt Blck a kokrete Bewertge wrd ür ee Ad-hoc-Festlegg a ee der abgeletete Bewertgsormel plädert. 4 Deses Vorgehe schet zehmed Akzeptaz z de, da sch der Lteratr mehr d mehr aalog abgeletete präerezabhägge Bewertgsormel de. 5 S seres Asatzes st es, dese Etwcklg krtsch z hterrage. De Sbjektvtät vo Uterehmeswerte gehört berets set de sebzger Jahre des letzte Jahrhderts z de Grdpeler der Lehre vo der Uterehmesbewertg. 6 Das Kozept präerezabhägger Uterehmeswerte st vo daher wohlbekat; es hat m Kotext der sbjektve Bewertgslehre zweelhat see Berechtgg. De Argmetato zr Präerezabhäggket vo Uterehmeswerte st jedoch cht dese Zsammehag ezorde: Es geht dar cht m ee przpell sbjektv 1 2 3 4 5 6 Vgl. z. B. Copelad/Westo/Shastr (25), S. 57; Ballweser (27), S. 12; Drkarczyk/Schüler (27), S. 17.; Hetze et al. (28), S. 276; IDW S 1 (28), Z. 43. Sehe Drkarczyk/Lobe (21); Lobe (21); Drkarczyk/Lobe (22); Drkarczyk/Schüler (27), S. 182. Drkarczyk/Lobe (21), S. 15.; Drkarczyk/Schüler (27), S. 182. Sehe z. B. Drkarczyk/Schüler (27), S. 186. So ach Eberl (29), S. 278. Sehe z. B. Castedello/Davdso/Schlmberger (24), S. 37.; Kher/Maltry (26), S. 215.; Wese (26), S. 145.; Ballweser (27), S. 149.; Hommel et al. (28), S. 413.; Baetge et al. (29), S. 46.; Eberl (29), S. 258. Sehe Matschke/Brösel (27), S. 18.
agelegte Wertkozepto. De Präerezabhäggket vo Uterehmeswerte ergbt sch velmehr m Rahme eer kaptalmarktoreterte Betrachtg, de a Arbtrageüberlegge basert d sowet zächst a Marktwerte, also a potezelle Prese ür Uterehme, asgerchtet z se schet. 7 Marktprese sd jedoch be eem hreched vollkommee Kaptalmarkt ür alle Markttelehmer glech d desem Se präerezabhägg. Gleches mss da ach ür potezelle Marktprese gelte. Köte de der zterte Lteratr agestellte Betrachtge tatsächlch der Bestmmg vo Marktwerte dee, so sollte der Terms präerezabhägge Bewertg der begrlche Klarhet wege vermede werde. 8 Damt st es jedoch cht geta. De ee Argmetato, de a der Idee ees arbtrageree Kaptalmarktes abat, ka cht z dem Ergebs ühre, dass es zwe terschedlche potezelle Prese gbt. Aders asgedrückt: Nr ee der reslterede Bewertgsormel ka tatsächlch ee Marktwert zm Gegestad habe oder kee. Dass überhapt mehrere Formel agebote werde, lässt sch letztlch r damt erkläre, dass de agestellte Betrachtge vollstädg sd d cht asreche, m de (edetge) Ergebsse der Presbldg a eem arbtrageree Kaptalmarkt z charaktersere. Folglch ka vo keer der Bewertgsormel begrüdet behaptet werde, dass se a de Marktwert ührt. 9 Wr sehe daher r de Möglchket, de der Lteratr ageührte Überlegge als Asdrck eer sbjektve Uterehmesbewertg z terpretere. Etspreched äßer sch ach scho Drkarczyk d Lobe eer Qelle. 1 Im Kotext der sbjektve Bewertgslehre st he. E. allerdgs r ee gerge Bedetg bezmesse, da be sbjektve Bewertge der Regel ee Velzahl weterer Aspekte z berückschtge st. Ee beredgede Lösg st des bem hetge Stad der Bewertgstheore cht. De agrd des ortgeschrttee Etwcklgsstads der Kaptalmärkte habe sch 7 8 9 1 So det ma be Lobe (21), S. 651 de Assage: Im derzetge gültge Halbeküteverahre schet der Marktwert des Steervortels (zmdest) zwedetg z se. Drkarczyk/Schüler St (27) schrebe a S. 181: Der Marktwertvorsprg V d damt der Wert der Egetmsrechte F E hägt davo ab, welches Rskovea als Bezgspkt gewählt wrd. Z welcher Verwrrg de Begrlchkete ühre köe, zegt bspw. olgede Assage vo Eberl zm System der Abgeltgsteer: Hz trtt das möglche Problem eer Präerezabhäggket des Uterehmeswerts ach m Rahme eer kaptalmarktoreterte Bewertg. Deser Bewertgsasatz bestmmt de Uterehmeswert przpell abhägg vo dvdelle Präereze der Ivestore ahad exstereder Marktprese. Eberl (29), S. 252. Isoer st es weg überrasched, dass de Beträge zr Bestmmg präerezabhägger Uterehmeswerte de Krsgewsteer cht berückschtgt wrd. De es st ja klar, welcher Uterehmeswert de Bemessgsgrdlage der Krsgewsteer egehe soll. E ählches Problem ergbt sch, we das z bewertede Uterehme ee wertabhägge Fazergspoltk verolgt: Es wäre z kläre, a welche Uterehmeswert de m Zetabla bezbehaltede Fremdkaptalqote bezoge st. Vgl. Drkarczyk/Lobe (22), S. 2. 3
de letzte Jahre trotz der desbezüglch vorgebrachte d telwese berechtgte Krtk 11 Bewertgskalküle drchgesetzt, de zmdest m erste Schrtt a ee Ermttlg vo Marktwerte abstelle. Es stellt sch daher de Frage, ob cht ach ter de der Lteratr z präerezabhägge Uterehmeswerte zgrde gelegte Bedgge Marktwerte detzert werde köe. Der vorlegede Betrag zegt, dass des der Fall st. Als methodscher Asgagspkt det herbe e vo Brea etwckeltes Captal Asset Prcg Model (CAPM), mttels desse de Aswrkge terschedlcher Soll- d Habezssätze eer Welt ohe persölche Steer terscht wrde. 12 Da de Präerezabhäggket der Uterehmeswerte cht terschedlche Soll- d Habezssätze, soder der terschedlche Besteerg vo Soll- d Habezse a der persölche Ebee begrüdet st, wrd de Methodk deses Modells a ee Nachsteervarate des CAPM übertrage. Das reslterede Kaptalmarktglechgewcht lässt sch drch ee Redte- d Preszsammehag charaktersere, der de as adere CAPM-Varate bekate Strktr awest. De Asymmetre der Besteerg vo Soll- d Habezse a prvater Ebee spegelt sch eem zsätzlche Parameter wder, der drch das aggregerte Verschldgsverhalte der Markttelehmer determert st. A der Bass deser Zsammehäge lasse sch Bewertgsmaßstäbe ablete, de ür de Uterehmesbewertg getzt werde köe. A de Stelle der präerezabhägge Uterehmeswerte trete edetg bestmmte Marktwerte, de r weg realstsche Fälle de präerezabhägge Uterehmeswerte etspreche. Der Artkel st olgedermaße agebat. Im zwete Abschtt wrd de Argmetato erlätert, de zr Abletg präerezabhägger Uterehmeswerte ührt. Herbe wrd detlch, dass de Ursache der Präerezabhäggket abwechede Soll- d Habezse ach persölche Steer legt. Im drtte Abschtt wrd das Nachsteer CAPM be dvergete Soll- d Habezssätze ach persölche Steer etwckelt. A der Bass der Charakterstka des Kaptalmarktglechgewchts olgt Abschtt ver ee Uterschg des Zsammehags der Marktwerte vo verschldete d verschldete Uterehme m Eperodeall. De Marktwertderez zwsche dem verschldete d verschldete Uterehme wrd mt de etsprechede Agabe der Lteratr zr präerezabhägge Bewertg verglche. Im ü- 11 12 Sehe z. B. Schldbach (1998); Scheder (1998); Herg/Brösel (24); Herg (26); Matschke/Brösel (27). Sehe Brea (1971). Zr Krtk a der Ntzg des CAPM zm Zweck der Uterehmesbewertg sehe z. B. Ballweser (199), S. 175; Baetge/Krase (1994) S. 454.; Ashto (1995), S. 3; Scheder (1998), S. 1476.; Hachmester (2), S. 171.; Krag/Kasperzak (2), S. 93.; Ballweser/Coeeberg/Schltze (22), S. 242; Herg/Brösel (24), S. 938; Herg (26), S. 183. 4
te Abschtt werde Bewertgsormel ür de Bestmmg der Marktwerte vo Uterehme m Mehrperodeall mt eer Fremdazerg alle Perode abgeletet d wetere ormale Überestmmge mt der Lteratr zr präerezabhägge Bewertg agezegt. Der Artkel schleßt mt eem Fazt, dem es m Implkatoe ür de Uterehmesbewertg d m wetere Forschgsbedar geht. 2 De Argmetato zr Präerezabhäggket vo Uterehmeswerte De Überlegge zr Ermttlg präerezabhägger Uterehmeswerte werde m Folgede ahad ees vereachte Steersystems verdetlcht, das dem Abgeltgsteersystem ahekommt. Es wrd davo asgegage, dass Zse d Dvdede a prvater Ebee mt dem Steersatz τ d d Krsgewe mt dem Steersatz τ g besteert werde. De Derezerg der Steersätze olgt der Empehlg der Lteratr, vo eer perodebezogee Besteerg ach cht realserter Krsgewe aszgehe d herür ee vermderte Steersatz z verwede, m Steerstdgseekte z berückschtge. 13 Um de Asührge zächst so each we möglch z halte d ee Verglech z de as der Lteratr bekate Ergebsse z erlechter, wrd vorerst vo τ g = asgegage. 14 Das ür de Betrachtg etschedede Charakterstkm der Besteerg a prvater Ebee besteht dar, dass Zse ür Kredte, de zm Zweck des Kas vo Wertpapere ageomme wrde, cht als Werbgskoste berückschtgt werde düre, währed Zse ür Geldalage vollstädg der Besteerg terwore sd. 15 A Uterehmesebee werde Gewe aahmegemäß mt dem Steersatz τ c besteert. Es wrd davo asgegage, dass Fremdkaptalzse vollstädg vo der Bemessgsgrdlage ür de Uterehmesteer abzzehe sd. Im Wetere werde zwe Uterehme betrachtet, de der gleche Rskoklasse agehöre. Das erste Uterehme st verschldet d bestzt am Ede der betrachtete Perode de Wert V 1. De Tlde kezechet, dass es sch m ee Zallsvarable hadelt; der hochgestellte Idex detet a e verschldetes Uterehme h. Der tegestellte Idex kezechet de Aag, der Idex 1 das Ede der Perode. Das Uterehme geerert ee schere Cashlow ach Uterehmesteer 13 14 15 Vgl. IDW (27), Z. 18; Wese (27), S. 37.; Derkes/Dedrch/Gröger (29), S. 294; Hachmester/Wese (29), S. 61. De obe ageührte Pblkatoe vo Drkarczyk d Lobe bezehe sch a das Halbekütesystem d berückschtge ebealls kee Krsgewbesteerg. Vgl. 2 Abs. 9 EStG. 5
X 1. Es wrd davo asgegage, dass der Cashlow ach Uterehmesteer vollstädg asgeschüttet wrd. 16 De erwartete Nachsteerzahlg a de Ihaber des Uterehmes am Ede der Perode belät sch somt a: (1 τ ) E[X ] + E[ V ] (1) d 1 1 Das zwete, verschldete Uterehme st asschleßlch der betrachtete Perode telwese remdazert. Der Marktwert des Fremdkaptals am Aag der Perode st F. Das Fremdkaptal st cht asallgeährdet d wrd am Ede der Perode klsve der Zse r F zrückgezahlt, wobe r de rskolose Zs symbolsert. Der ree Cashlow (Cashlow ach Uterehmesteer des verschldete Uterehmes) st agrd der Zgehörgket zr gleche Rskoklasse detsch z dem des zächst betrachtete verschldete Uterehmes. De erwartete Nachsteerzahlg a de Egekaptalgeber des Uterehmes am Ede der Perode beträgt demach: (1 τ ) (E[X ] +τ r F ( 1+ r ) F ) + E[V ] (2) d 1 c 1 Da sch de Fremdazerg aahmegemäß r a de betrachtete Perode bezeht, st ach das zwete Uterehme am Ede der Perode verschldet, so dass de Werte der bede Uterehme da überestmme. Be der Herletg der präerezabhägge Uterehmeswerte werde de Nachsteerzahlge des verschldete Uterehmes d de des verschldete Uterehmes drch de Kombato der Nachsteerzahlge des jewels adere Uterehmes mt eer prvate Verschldg bzw. Alage dplzert. Als Erstes wrd m Folgede gezegt, we der Ihaber des verschldete Uterehmes zr Zahlg as dem verschldete Uterehme gelage ka. De Zahlg (1) überstegt de Zahlg (2) m de schere Betrag (1 τd) (1 + (1 τc) r) F. Um (1) (2) z überühre, st e Kredt azehme, der z Zs- d Tlggszahlge Höhe deser Derez ührt. Dabe st z beachte, dass de Kredtzse steerlch cht abzgsähg sd. Bezechet l F de prvate Kredtaahme, so mss gelte: 16 Soer der Cashlow ach Uterehmesteer größer st als der Gew ach Uterehmesteer setzt des voras, dass etsprechede Gewrücklage vorhade sd, as dee asgeschüttet werde ka. Darüber has wrd m Folgede ageomme, dass das egebrachte Egekaptal (gezechetes Kaptal d Kaptalrücklage) bem verschldete d bem verschldete Uterehme m Zetabla kostat blebt. Heras olgt, dass e Fazbedar bem verschldete Uterehme über ee Erhöhg der Gewrücklage (Thesarerg) z decke st. 6
(1 τ ) (1 + (1 τ ) r ) F = F (1 τ ) (1 + (1 τ ) r ) F = (1+ r ) F (3) l d c l d c 1+ r Be eer prvate Kredtaahme Höhe l F d eer Betelgg a dem verschldete Uterehme stmme de Zahlge mt dee be eer Betelgg a dem verschldete Uterehme jeder Hscht übere. Demzolge mss ach der Wert des Egekaptals des verschldete Uterehmes l E mt dem Wert des verschldete Uterehmes überestmme: V abzüglch des prvate Kredtbetrags F l E = V F (4) l l Wrd weterh berückschtgt, dass der Wert des verschldete Uterehmes der Smme der Werte des Ege- d Fremdkaptals etsprcht, ür de Wert des verschldete Uterehmes: V = E + F, ergbt sch l l V τ + ((1 τ ) τ +τ ) r = V + F (5) l d d c d 1+ r Der Werttersched zwsche de Uterehme beträgt demach: τ + ((1 τ ) τ + τ ) r ΔV = F (6) l d d c d 1+ r Als Zwetes wrd m Wetere terscht, was der Ihaber des verschldete Uterehmes t müsste, we er de Zahlg as dem verschldete Uterehme rekostrere wollte. Herz st de Betelgg a dem verschldete Uterehme mt eer Alage estverzslche Wertpapere z kombere. 17 Da de Zse as der Alage Wertpapere besteert werde, st olgeder Alagebetrag l F voöte: l d c d F (1 τd) (1 + (1 τc) r ) = F 1+ (1 τ ) r (1 τ ) (1 + (1 τ ) r ) F = (1 + (1 τ ) r ) F d l (7) Be Alage vo l F Demach mss gelte: l l stmme de Zahlge der z verglechede Postoe übere. V = E + F (8) 17 Vgl. Drkarczyk/Lobe (22), S. 17. 7
De Bezehg V = E + F ührt da a olgede Wert des verschldete Uterehmes: l l V τ = V + + (1 τ ) τ r l d d c 1 + (1 τd ) r F (9) Als Werttersched zwsche dem verschldete d dem verschldete Uterehme ergbt sch demach: l τd + (1 τd) τc 1 + (1 τd ) r Δ V = r F (1) Verglecht ma de bede Operatoe, so ällt zächst a, dass der Kredtaahmebetrag l F vo dem Alagebetrag F l abwecht. Oebar lässt sch des a de asymmetrsche steerlche Behadlg vo prvate Soll- d Habezse zrückühre. As l F bzw. l F resltere de Uterehmeswerte (5) d (9). Der Wert des verschldete Uterehmes schet also davo abzhäge, ob asgehed vom verschldete Uterehme der Zahlgsstrom des verschldete Uterehmes oder ob mgekehrt, asgehed vom verschldete Uterehme, der Zahlgsstrom des verschldete Uterehmes rekostrert wrd. Heras wrd de Schlssolgerg gezoge, dass de Uterehmeswerte präerezabhägg sd: Präerert e Aleger ee Betelgg a eem verschldete Uterehme, so st ür h de Wertgröße (5) maßgeblch; wrd hgege ee Betelgg a eem verschldete Uterehme vorgezoge, so st Wertgröße (9) relevat. Der Werttersched zwsche dem verschldete Uterehme d dem verschldete Uterehme st deshalb vo de Präereze des Kaptalgebers ür de Zahlge des verschldete oder verschldete Uterehmes abhägg. Berets der Eletg wrde dara hgewese, dass de agestellte Überlegge obglech ee Marktkotext egebettet kee Marktwerte, soder sbjektve Werte zm Gegestad habe. De geschlderte Operatoe sd deshalb cht als möglche Arbtrageprozesse z terpretere, soder allealls als e Verglech vo Alteratve, be dem Presgreze ermttelt werde. Z. B. köte der potezelle Käer ees verschldete Uterehmes be der Bestmmg seer Presobergreze als Verglechsobjekt de Kombato as eer Betelgg a dem verschldete Uterehme d eer Kredtaahme herazehe. Der Kredtaahmebetrag lässt sch we gezegt so dmesoere, dass de Zahlge as dem Verglechsobjekt d dem Bewertgsobjekt überestmme; er resltert as (3). Ist der Pres des verschlde- 8
te Uterehmes bekat, so ka m ächste Schrtt as (4) der Betrag errechet werde, der alteratv zm Erwerb des verschldete Uterehmes vestert werde müsste, m z der gleche Zahlg we as dem verschldete Uterehme z gelage. Deser Betrag etsprcht der geschte Presobergreze des potezelle Käers, soer wetere sbjektve Faktore aßer Acht blebe. Frelch müsste m Rahme eer sbjektve Bewertg zächst geprüt werde, ob de der ageührte Argmetato berückschtgte Verglechsobjekte überhapt de tatsächlche Gegebehete bem Bewertgssbjekt etspreche, d. h. tatsächlch verügbar sd. Da dese Verglechsobjekte de Ka oder Verka eer Betelgg a eem verschldete bzw. verschldete, aber asoste detsche Uterehme z eem bekate Pres behalte, wrd des praktsch e der Fall se. Der Asba eer etsprechede Varate der sbjektve Bewertgslehre schet s daher weg zweckmäßg. Im Folgede wrd e aderer Weg beschrtte: Wr modellere e Kaptalmarktglechgewcht, das de Asymmetre der Besteerg vo Soll- d Habezse a prvater Ebee berückschtgt, d bestmme a deser Grdlage de Marktwert des verschldete Uterehmes. Es wrd sch zege, dass deser Marktwert aßer weg realstsche Grezälle weder der Wertgröße (5) och der Wertgröße (9) etsprcht. 3 E Nachsteer CAPM be dvergete Soll- d Habezse ach persölche Steer Das m Folgede dargestellte Modell basert a eer Uterschg vo Brea z de Aswrkge terschedlcher Soll- d Habezssätze a das Kaptalmarktglechgewcht des Stadard CAPM eer Welt ohe persölche Steer. 18 De Methodk deser Uterschg wrd a de Fall überestmmeder Vorsteerzssätze, aber terschedlcher Nachsteerzssätze übertrage. Z desem Zweck wrd vo de Aahme des Stadard CAPM asgegage d zsätzlch ee Besteerg a prvater Ebee egeührt. Das Steersystem bestzt de m letzte Abschtt geschlderte Charakterstka; es wrd vo schere Steersätze asgegage, de ür alle Markttelehmer Gültgket bestze d vo der Höhe der Bemessgsgrdlage abhägg sd. Um de Eekte der Krsgewbesteerg später weter verarbete z köe, wrd vo vorehere der Fall τ g berückschtgt. De Krsgewsteer st aah- 18 Vgl. Brea (1971). 9
megemäß am Ede eer Perode abhägg davo z etrchte, ob e Krsgew realsert wrde oder cht. 19 De Besteerg vo Krsgewe st symmetrsch, d. h. Krsverlste werde mt Steermderge assozert. 2 Am Kaptalmarkt sd J verschedee schere Wertpapere otert, de mt dem Idex j = 1,, J gekezechet werde. Der Idex j = wrd ür de aahmegemäß vorhadee d beschräkt tzbare schere Alage- d Verschldgsmöglchket verwedet. Es gbt I Markttelehmer, de mt dem Idex = 1,, I versehe werde. Der Betrachtgshorzot masst we m Stadard CAPM ee Perode. Jeder Markttelehmer bestzt z Beg deser Perode ee Erstasstattg W,, de hm ür see Dspostoe zr Verügg steht. Der Erwartgswert sees Edvermöges ach persölche Steer am Ede der Perode wrd mt E[W 1, ] bezechet. Er berückschtgt de erwartete Nachsteerredte der z Beg der Perode erworbee Wertpapere sowe Soll- d Habezse ach Steer olge der Ntzg der schere Alage- d Verschldgsmöglchket: J + ( ) E[W ] = x (1+ r ) x (1+ r ) + 1+ E[r ] p x (11) 1,, h, s j,j j, j= 1 De Symbole bestze olgede Bedetg: p p x r 1, j j r h r s, j j, Pres des Wertpapers j am Ede der Perode Pres des Wertpapers j am Aag der Perode Azahl der vo erworbee Wertpapere j Redte vo Wertpaper j ach Steer HabezssatzachSteer Sollzssatz ach Steer x +, st der schere Alage vesterte Betrag d x, kezechet de Iasprchahme der Verschldgsmöglchket. Um Arbtragegewe m Wege eer Kombato vo Alage d Verschldg aszschleße, wrd De Varaz des Edvermöges ach persölche Steer st: r s r vorasgesetzt. h 19 2 Des etsprcht der Empehlg der Lteratr, vo eer Besteerg ach cht realserter Krsgewe aszgehe d zm Asglech etwager Steerstdgseekte ee vermderte Steersatz azsetze, sehe z. B. IDW (27), Z. 18; Wese (27), S. 37.; Derkes/Dedrch/Gröger (29), S. 294; Hachmester/Wese (29), S. 61. Dahter steht de Aahme, dass Krsverlste mt Krsgewe verrechet werde köe d stets hreched hohe Krsgewe aalle, m etwage Krsverlste aszgleche. 1
J J J V[W1,] = V ( 1+ rj ) p,j x j, = C[r j, r k ] p,j p,k xj, x k, (12) j1 = j1k1 = = C st der Kovarazoperator. Es wrd davo asgegage, dass de Markttelehmer der Erwartgstzetheore olge d rskoavers sd. De Ntzektoe see so ( ) geartet, dass sch der jewelge Erwartgstze als Fkto U E[W 1,], V[W 1, ] des Erwartgswertes d der Varaz des Edvermöges ach Steer darstelle lässt d glt: 21 U ( E[W 1,], V[W 1, ]) U( E[W 1,], V[W 1,] ) >, < E[W] V[W] De Kaptalmarktdspostoe des Markttelehmers resltere as der Lösg des olgede Optmergsproblems: max U ( E[W 1, ], V[W 1, ]) + x,, x,, x 1,,, xj, ter de Nebebedgge J +, x, x,,j j, j= 1 W + p x (13) x, x +,, Be äherer Betrachtg wrd detlch, dass m dvdelle Optmm r ee der Etschedgsvarable x +, d x, ee Wert größer ll aehme ka: Wege r s r hat es kee S, sch z verschlde d glechzetg Mttel rskolos azlege. h Agrd der Kokavtät der Fkto U 22 sowe der Leartät der Nebebedgg sd de etsprechede Kh Tcker Bedgge otwedg d hreched ür e Maxmm. 23 As de Optmaltätsbedgge olgt: 24 21 22 23 24 Es hadelt sch m ee m Rahme der Abletg des CAPM geläge Aahme, sehe z. B. Igersoll (1987), S. 82. Zr Kokavtät der Ntzekto sehe Ahag 1; vgl. ach Aerbach/Kg (1983), S. 591. Vgl. Chag (1984), S. 739. Zr Abletg as de Kh Tcker Bedgge sehe Ahag 2, vgl. Brea (1971), S. 1199. Der hochgestellte Idex * kezechet de Asprägg eer Etschedgsvarable m Optmm. 11
U ( ) ) * E[W 1, ] E[r ] r α (r r p j h s h,j De Asprägg des Parameters J U * + 2 C[r * j,rk p,j p,k xk, V[W ] = 1, ] k= 1 (14) mt α 1 d ür j = 1,..., J α hägt davo ab, ob der betrachtete Kaptalmarktakter schere Alehe vestert ( α = ) oder ee Kredt ammt ( α = 1). Für Markttelehmer, de weder de schere Alehe vestere och ee Kredt aehme, glt <α <1. Drch Umstellg vo (14) ergbt sch: * * j 1, j h s h C[r, W ] = (E[r ] r α ( r r )) G mt α 1 d ür j = 1,..., J (15) De Größe G 1 U U = 2 E[W ] V[ W ] * * * bezechet herbe de dvdelle globale Rskotoleraz m Optmm. 25 Se st proportoal zr Grezrate der Sbsttto zwsche Erwartgswert d Varaz des Edvermöges ach persölche Steer. 26 Wrd (15) über alle Markttelehmer asmmert, olgt: I * * C[r j, W 1, ] α G I = 1 = 1 * * = E[r * j ] rh α ( rs rh ) mt α= d G = G * (16) G G Im ächste Schrtt wrd (16) mt dem wertmäßge Atel des Wertpapers j am Marktporteelle mltplzert d m Aschlss über alle Wertpapere j addert. Ma erhält: I * C[r m, W 1, ] = 1 = E[r * m ] rh ( rs rh ) G α (17) I = 1 25 26 Vgl. Ltzeberger/Ramaswamy (1979), S. 166; Kög (199), S. 99. Vgl. Brea (197), S. 421. 12
r m st de Nachsteerredte des Marktporteelles. Wrd (17) ach G * mgestellt d (16) egesetzt, ührt des z der geschte Charakterserg des Kaptalmarktglechgewchts (Wertpapermarktle): 27 j m j = h +α s h + m h α s h βj β j = V[ r m] E[r ] r (r r ) (E[r ] r (r r )) mt C[r, r ] (18) (18) zegt, dass de Wertpapermarktle e gewogees Mttel des Nachsteersoll- d des Nachsteerhabezssatzes egeht, wobe der Verschldgsparameter α als Gewchtgsaktor det. De Itervallgreze α = d α = 1 beschrebe de (realstsche) Fälle, dee ke Markttelehmer bzw. dee alle Markttelehmer de Verschldgsmöglchket tze. Vo eer Rämg des Marktes ür schere Alage d Verschldg st relch r aszgehe, we ür de Verschldgsparameter <α <1 glt. Be überestmmedem Soll- d Habezssatz ach Steer ( r = r ) geht (18) de Wertpapermarktle des Tax CAPM über. Für ee Darstellg a der Bass vo Vorsteergröße sd de Zsammehäge vo Vor- d Nachsteerredte z tze. De Redte des Wertpapers j vor persölche Steer berechet sch as: 28 d + p =, 1, j 1, j rj 1 p,j s h wobe d 1, j ür de Dvdedezahlg am Ede der Perode steht. De Wertpaperredte setzt sch as der Krsgewredte g j d der Dvdederedte δ j zsamme: p d r = g + δ, g 1, δ 1, j 1, j j j j j j p,j p,j Für de Nachsteerredte glt: (1 τd) d 1,j + p1,j τg ( p1,j p,j) r j = 1 p,j = ( 1 τ ) g + (1 τ ) δ = (1 τ ) r ( τ τ ) δ g j d j g j d g j (19) 27 28 Herbe st z beachte, dass I * 1, j = j m,m = 1 C[r, W ] C[r, r ] W d C[r, W 1, ] = V[r ] W mt W,m als dem Wert des Marktporteelles z Beg der betrachtete Perode glt. Vgl. z de Redtedetoe Gröger (28), S. 673. 13 I * m m,m = 1
Der Utersched zwsche de Nachsteerzssätze ür de schere Alage d Verschldg wrd we Abschtt 2 r a de asymmetrsche Besteerg vo Habe- d Sollzse zrückgeührt. Habezse terlege der Besteerg mt τ d, weshalb ür de Nachsteerzssatz r h = r (1 τ d) glt. Sollzse köe hgege steerlch cht gelted gemacht werde, so dass der Nachsteerzssatz mt dem Vorsteerzssatz überestmmt ( r s = r ). Im Wege der Umstellg vo (18) erhält ma: E[r ] = (1 τ) r + (E[r ] τ E[ δ ] (1 τ) r ) β + τ E[ δ ] (2) j z m d m z j d j Dabe sd: τ τ (1 α) τ τ τ d =, τ = 1 1 d g d g z τg τg De Wertpapermarktle (2) st sbesodere ür de Möglchket eer mttelbare Typserg der steerlche Stato des Bewertgssbjektes bedetsam, we se das Isttt der Wrtschatsprüer ür bestmmte Bewertgszwecke vorschlägt. 29 Iolge der Aahme eer grdsätzlch schere Dvdederedte mmt der Betaaktor her - aders als m Tax CAPM - ach systematsche Rske a, de sch a de Dvdederedte bezehe. 3 Für de Aalyse de acholgede Abschtte wrd de so geate Presglechg des CAPM heragezoge. Herz st (2) we olgt mzorme: E[d ] + E[p ] 1 E[d ] 1 = (1 τ ) r +φ C[(1 τ ) p + (1 τ ) d, r ] τ + p p 1,j 1, j d 1,j z g 1, j d 1, j m p,j,j j, De Größe (E[r ] τ E[ δ ] (1 τ) r ) φ = m d m z V[r m ] spegelt de Marktpres des Rskos wder. Drch Alöse ach p,j erhält ma de a de her zgrde gelegte Aahme agepasste Presglechg des CAPM: 29 3 Sehe IDW S 1 (28). De Aahme eer grdsätzlch schere Dvdederedte wrde getroe, m de Probleme aszblede, de be Aahme eer schere Dvdederedte etstehe; sehe daz Ma (26), Gröger (27). Natürlch wrd de emprsche Bestmmg vo Betaaktore be schere Dvdederedte erschwert. I wetere Uterschge wäre de Frage z kläre, ter welche Umstäde d mt welche Koseqeze ür das Bewertgskalkül ee schere Dvdederedte ageomme werde ka. 14
p,j (1 τ d ) E[d 1, j] + E[p 1,j] φ C[(1 τg ) p 1, j + (1 τd ) d 1, j, r m ] = 1 + (1 τ) r z (21) Der Term φ C[(1 τ ) p + (1 τ ) d, r ] bezechet de Rskopräme. g 1,j d 1,j m Aders als m Stadard CAPM halte de Markttelehmer dem drch (18), (2) d (21) beschrebee Marktglechgewcht terschedlch strktrerte Porteelles, obwohl de Nachsteerredte der schere Wertpapere ür alle Kaptalmarktaktere detsch sd. De Tob Separato glt cht. De Sachverhalt veraschalcht Abbldg 1. Erwartete Redte ach persölche Steer E E[r ] m r s A C B Krvestück, a dem dvdell ezete Porteelles lege r h D V[r ] 1/2 m Stadardabwechg der Redte ach persölche Steer Abbldg 1: Ezezkrve be dvergete Soll- d Habezse ach persölche Steer (I Alehg a Elto et al. (27), S. 316.) A st das Porteelle, das alle Markttelehmer halte, de agrd hrer asgeprägte Rskoaverso de schere Alagemöglchket tze. De ter Berückschtgg der Ivestto schere Alage errechte Posto st drch ee Pkt a der Strecke AD gekezechet. Porteelle B wrd vo alle Markttelehmer gehalte, de sch agrd hrer gergere Rskoaverso verschlde, m ee höhere Betrag schere Wertpapere vestere z köe. De realserte Posto bedet sch a der Halbgerade BE. Markttelehmer, de weder ee Kredt aehme och schere Alage vestere, halte e Porteelle, das zwsche de Pkte A d B a der Ezezkrve legt. Das Marktporteelle etsprcht der Zsammeassg aller d- 15
vdell optmale Porteelles scherer Wertpapere. Es legt a dem Krvestück zwsche A d B d wrd der Grak bespelhat drch de Pkt C symbolsert. 31 4 Marktwerte verschldeter d verschldeter Uterehme be asymmetrscher Besteerg vo Soll- d Habezse a prvater Ebee Nach dese Vorarbete ka de Problemstellg, mt der sch de Lteratr zr präerezabhägge Bewertg aseadersetzt, weder agegre werde. Dabe werde de gleche Aahme we Abschtt 2 zgrde gelegt; mt Blck a weterührede Überlegge wrd der allgemeere Fall τ g berückschtgt. Der Marktwert des verschldete Uterehmes bestmmt sch gemäß Presglechg (21) as: 32 V E[V 1 ] + (1 τ ) E[X ] φ C[(1 τg) V 1 + (1 τd) X 1), r m] = 1 + (1 τ ) r 1 + (1 τ ) r d 1 z z (22) Da davo asgegage wrd, dass das verschldete Uterehme am Ede der betrachtete Perode sämtlches Fremdkaptal zrückzahlt d ke ees Fremdkaptal ammt, ergbt sch ür das Egekaptal des verschldete Uterehmes: E E[ V 1 ] + (1 τ ) (E[X ] +τ r F (1 + r ) F ) = 1 + (1 τ ) r l d 1 c z φ C[(1 τg) V1 + (1 τd) X 1, r m] 1+ (1 τ ) r z (23) De Rskopräme des verschldete Uterehmes stmmt demach mt derjege des verschldete Uterehmes übere. Da das Fremdkaptal cht asallgeährdet st, trage de Egekaptalgeber weterh das gesamte Rsko. Uter Berückschtgg vo V = E + F ergbt sch olgeder Marktwert ür das verschldete Uterehme: l l τ + [(1 τ) τ + ( τ τ)] r V = V + F l d d c d z 1 + (1 τz ) r (24) De drch (24) bemessee Größe st edetg bestmmt d ür alle Markttelehmer gültg. Se relektert de Präereze, de dere Alageetschedge egegage 31 32 Vgl. Elto et al. (27), S. 315. Iolge der Aahme eer vollstädge Cashlowasschüttg zahlt das verschldete Uterehme Dvdede Höhe vo X 1. 16
sd, st selbst aber präerezabhägg. Uter de üblcherwese ageommee Gegebehete (Compettvty d Spag 33 ) wrd der potezelle Käer des verschldete Uterehmes ee Pres maxmal deser Höhe z zahle beret se. Der potezelle Verkäer des Uterehmes wrd kee gergere Pres akzeptere. Der Wertvortel des verschldete Uterehmes beträgt: τ + [(1 τ ) τ + ( τ τ )] r Δ V = F d d c d z 1 + (1 τz ) r (1 τd) τc r F τd F ( τ τ ) r F = + + 1 + (1 τ ) r 1 + (1 τ ) r 1 + (1 τ ) r d z z z z Uterehme- Asschüttgs- Zssteereekt steereekt derezeeekt (25) We as dem zwete Tel vo (25) erschtlch, lasse sch dre addtv verküpte Eekte solere. Alle dre Eekte sd as der Lteratr bekat: Der Uterehmesteereekt wrd drch de gleche steerlche Behadlg vo Fremdkaptalzse a Uterehmesebee d a prvater Ebee verrsacht. 34 Der Asschüttgsdereze- d Krsgewsteereekt resltert as der vo Dvdede abwechede steerlche Behadlg omaler Fremdkaptaläderge. 35 Der Zssteereekt schleßlch trtt be Steersysteme a, de ee terschedlche Besteerg vo Dvdede d Zse vorsehe; er wrd z. B. der Lteratr zm Halbeküteverahre behadelt. 36 Her wrd zwar vo gleche Steersätze ür Dvdede d Habezse asgegage, jedoch st agrd der asymmetrsche steerlche Behadlg vo Soll- d Habezse mt τ z e besoderer (modzerter) Steersatz a Zse z berückschtge, der vo τ d abweche ka. τ z st sbesodere vo dem Verschldgsparameter α [, 1] d damt vo de aggregerte Alage- d Verschldgsdspostoe der Markttelehmer abhägg. Um ee Bezg z de Abschtt 2 abgeletete Wertdereze herzstelle, werde de Grezälle α = d α= 1 m Folgede äher betrachtet: Grezall 1: α= Alle Markttelehmer kombere hre Wertpaperalage mt eer schere Alage ( α= erordert α = ür alle = 1,, I). Für de Marktwertderez glt da: 33 34 35 36 Sehe herz Grossma/Stgltz (1977); DeAgelo (1981). Sehe z. B. Kher/Maltry (26), S. 214. Sehe z. B. Gröger (29), S. 173. Sehe z.b. Schltze (25), Formel (23) a S. 243. 17
τ τ + (1 τ ) τ r d g d c Δ V = 1 τg + (1 τd) r F (26) Ohe Krsgewbesteerg ( τ g = ) ergbt sch Δ gemäß (1) Abschtt 2. l V Grezall 2: α= 1 I desem Fall kombere alle Markttelehmer hre Wertpaperalage mt eer Kredtaahme ( α= 1 erordert α = 1 ür alle = 1,, I). Der Marktwertvortel des verschldete Uterehmes st: τ τ + (1 τ ) τ r + τ r Δ V = F d g d c d 1 τg + r (27) Geht ma vo τ g = as, so olgt Δ gemäß (6) as Abschtt 2. l V De bede Grezälle zege, dass der Marktwertvortel r weg realstsche Statoe de Größe etsprcht, de der Lteratr zr präerezabhägge Bewertg agegebe sd. Vor allem wrd detlch, dass see Höhe jedealls cht präerezabhägg st, soder marktdetermert. 5 Der Marktwert vo Uterehme m Mehrperodeall Im Folgede wrd der drch (18), (2) d (21) beschrebee Redte- d Preszsammehag getzt, m Marktwerte ür Uterehme m Mehrperodeall abzlete. Zel st es, de as de vorastehede Betrachtge reslterede Bewertgsormel mt dejege der Lteratr z vergleche, de ter der Überschrt präerezabhägge Bewertg z de sd. As modelltheoretscher Scht st ee Übertragg der ür de Eperodeall gewoee Erketsse relch r möglch, we drch zsätzlche Aahme schergestellt st, dass de Abschtt 3 abgeletete Bezehge m Mehrperodeall Bestad habe. Etsprechede Aahme wrde mt Bezg a das Stadard CAPM vo Fama ormlert. 37 De Aahme vo Fama zele dara ab, tertemporale Dverskatosmöglchkete aszschleße, so dass sch de Dspostoe der Markttelehmer as Überlegge ablete lasse, de r ee Perode betree. De z Beg des Betrachtgszetpktes erwartete Wertpaperredte kütger Perode werde herür determstsch gestellt. Darüber has wrd davo asgegage, dass de Erwartge bezüglch der Wertpaperzah- 37 Sehe Fama (1977). 18
lge eer Perode m Zetabla eem Martgal olge. Oeschtlch lasse sch dese Aahme ach a de Abschtt 3 etwckelte Varate des CAPM awede. De Awedg der Abschtt 3 abgeletete Bezehge m Mehrperodeall lässt sch so a aaloge Wese we de Awedg des Stadard CAPM m Mehrperodekotext begrüde. 38 Be mehrperodscher Awedg der Abschtt 3 abgeletete Zsammehäge ergbt sch der m Bewertgszetpkt ür t 1 erwartete Marktwert des verschldete Uterehmes as: (1 τ ) E[ X ] + E[V ] τ (E[V ] E[V ]) d t t g t t 1 t 1 = ür t = 1,, T (28) E[V ] 1+ k Der als kostat ageommee Kaptalkostesatz ach Steer k resltert as der Wertpapermarktle (2). Drch Alösg ach dem erwartete Marktwert erhält ma: E[V ] (1 τ ) E[ X ] + E[V ] d t t t 1 = 1+ k mt k k ür t = 1,, T (29) 1 τ g Drch skzessves Esetze ergbt sch: 39 V (1 τ ) X d E[ t ] T = t t= 1 (1 + k ) (3) Der Marktwert des verschldete Uterehmes m Bewertgszetpkt st demach drch Abzsg des ree Cashlow ach Steer z bestmme. De Krsgewbesteerg wrd drch Awedg ees adjsterte Steersatzes berückschtgt. Für de Abzsg kommt e adjsterter Kaptalkostesatz ach Steer zr Awedg, der as (18) abzlete st d we olgt bestmmt wrd: k = (1 τ) r + (E[r ] τ E[ δ ] ( 1 τ ) r ) β (31) z m d m z j Für de Abletg eer Bewertgsormel ür e verschldetes Uterehme wrd wederm davo asgegage, dass de Zahlge a de Fremdkaptalgeber cht asallgeährdet sd. Des Wetere wrd ageomme, dass das Uterehme ee ato- 38 39 Allerdgs möge de Aahme vo Fama her agrd des Wegalls der Tob Separato als eschededer empde werde als Bezg a das Stadard CAPM. Vgl. Derkes/Dedrch/Gröger (29), S. 278. Ee etwage steerree Rückzahlg omale Egekaptals am Ede des Betrachtgszetrams st cht berückschtgt. 19
ome Fazergspoltk verolgt. 4 De Fremdkaptalbestäde F 1,..., F T 1 sd demach zm Bewertgszetpkt mt Scherhet bekat. Asgehed vo de m letzte Abschtt geschlderte Überlegge ergbt sch der Marktwertvortel des verschldete Uterehmes as: 41 (1 τ) τ r F τ ΔF ( τ τ) r F Δ V = + T T T d c t 1 d t d z t 1 t t t t= 1 (1 + (1 τz ) r ) t= 1 (1 + ( 1 τz) r ) t= 1 (1 + (1 τz) r) (32) Dabe st ΔFt Ft Ft 1. Der Marktwertvortel setzt sch as de m letzte Abschtt erörterte Kompoete zsamme: dem Uterehmesteereekt, dem Asschüttgsdereze- d Krsgewsteereekt sowe dem Zssteereekt. Der Marktwert des verschldete Uterehmes be atoomer Fazerg belät sch damt sgesamt a: V (1 τ ) E[ X ] (1 τ ) τ r F τ ΔF ( τ τ ) r F (1 + k ) τ (33) T T T T v d t d c t 1 d t d z t 1 = + t t + t t t= 1 t= 1 (1 + (1 τz) r ) t= 1 (1 + (1 τz) r ) t= 1 (1 + (1 z) r) Für de Verglech mt Bewertgsormel as der Lteratr werde weder de Extremälle α= (alle Markttelehmer kombere hre Wertpaperalage mt eer Geldalage) d α= 1 (alle Markttelehmer kombere hre Wertpaperalage mt eer Kredtaahme) betrachtet: Grezall 1: α= Für de Marktwert des verschldete Uterehmes olgt: V (1 τ ) E[ X ] (1 τ ) τ r F τ Δ F ( 1+ k ) ) 1 r ) T T T v d t d c t 1 d t = + t t t= 1 t= 1 (1 + (1 τd ) r t= 1(1 + ( τd) t (34) (34) det sch be Derkes/Dedrch/Gröger. 42 De Atore gehe be hre Betrachtge davo as, dass Soll- d Habezse glechermaße mt τ d besteert werde, was z deselbe Koseqeze we de Aahme α = ühre mss. Geht ma vo τ g = as, so vereacht sch (34) weter z: 4 41 42 Es st dara hzwese, dass de Aahme eer atoome Fazergspoltk mt der Argmetato vo Fama cht kompatbel st; vgl. herz Gröger (29), S. 183. Isoer habe de olgede Asührge - we ach etsprechede Betrachtge der Lteratr - herstsche Charakter. Ee detallerte Abletg det sch Ahag 3. Vgl. Derkes/Dedrch/Gröger (29), S. 289, Formel (31). 2
V (1 τ ) E[ X ] (1 τ ) τ r F τ Δ F (1 k ) ) ) T T T v d t d c t 1 d t = + t t t= 1 + t= 1 (1 + (1 τd) r t= 1(1 + (1 τd) r t (35) (35) st ee der Bewertgsormel, de Qelle zr präerezabhägge Bewertg typscherwese be sogeater Präerez ür e verschldetes Uterehme z de sd. 43 Grezall 2: α= 1 Für de Marktwert des verschldete Uterehmes ergbt sch: V τ (1 τ) τ r F + r F d T T d c t 1 t 1 T v (1 d) E[ Xt ] 1 τg d ΔFt = τ τ + t t t t= 1 t= 1 (1 + r ) t= 1(1 + ) (1 + k ) r (36) Ohe Krsgewbesteerg ( τ g = ) olgt: V (1 τ ) E[ X ] (( 1 τ ) τ +τ ) r F τ Δ F T T T v d t d c d t 1 d t = + t t t t= 1 (1 + k ) t= 1 (1 + r ) t= 1 (1 + r ) (37) (37) bldet vor dem Htergrd der agezegte Zsammehäge weg überrasched der Lteratr zr präerezabhägge Bewertg das Gegestück z (35) be sogeater Präerez ür e verschldetes Uterehme. 44 6 Implkatoe ür de Uterehmesbewertg d Forschgsbedar De vorstehede Überlegge bestze sowohl ür de Bewertgstheore als ach ür de Bewertgspraxs wchtge Implkatoe. Vor allem st estzhalte, dass der präerezabhägge Bewertg, we se de Lteratr zr Uterehmesbewertg Egag gede hat, ke kozeptoeller Asatz zgrde legt, der a Marktwerte ührt. Darüber has spegel de reslterede Bewertgsormel we gezegt wrde r weg realstsche Grezälle de Marktwert vo Uterehme wder. Svoll st das Vorgehe r als Asdrck eer sbjektve Bewertg z terpretere, de da allerdgs a sehr ege Awedgsbedgge rekrrert. Der Ntze der Formel, de ter der Überschrt präerezabhägge Bewertg der Lteratr 43 44 Vgl. z.b. Baetge et al. (29), de Formel (VII.52), (VII.57), (VII.6) d (VII.62), sowe ür das Halbeküteverahre Kher/Maltry (26), S. 236; Wese (26), (C.5.3) d (C.5.36); Ballweser (27), S. 145. Vgl. z.b. Baetge et al. (29), de Formel (VII.52), (VII.53), (VII.56) d (VII.61), oder bezoge a das Halbeküteverahre Wese (26), de Formel (C.5.22) d (C.5.37) (Soer, we bem System der Abgeltgsteer, ke Werbgskosteabzg zlässg st, glt m Neer vo (C.5.37) θ =.); Ballweser (27); S. 145. γκ, 21
z de sd, st ach vo daher azzweel. Im Ergebs komme wr z dem Schlss, dass vo der Awedg deser Formel m Allgemee abgerate werde mss. Statt ees wetere Asbas der präerezabhägge Bewertg empehle sch seres Erachtes emprsche Aalyse, de de Parameter α as de obestehede Betrachtge zm Gegestad habe. 45 Für solche Aalyse betet de Wertpapermarktle (19) ee geegete Aküpgspkt. Nach de Erahrge mt der emprsche Bestmmg vo Betaaktore st zwar cht mt edetge Ergebsse z reche, e emprsch gestütztes Vorgehe st jedoch allemal besser als de ad-hoc Festlegg eer Bewertgsormel. Ach modelltheoretscher Hscht besteht weterer Klärgsbedar. Z. B. legt es ahe, de Derezerg vo Soll- d Habezssätze cht a Nachsteersätze z beschräke, soder scho vo derezerte Zssätze vor Steer aszgehe. De herür erorderlche Äderge a dem Abschtt 3 geschlderte CAPM sd gergügg. Des Wetere wäre m Se eer erlechterte emprsche Bestmmg vo Betaaktore der Fall scherer Dvdederedte z tersche, da das Abschtt 3 geschlderte Modell och vo schere Krs- d Dvdederedte asgeht. I desem Zsammehag werde da ach Frage der Asschüttgspoltk bedetsam. Schleßlch sd z (33) aaloge Bewertgsormel ür de Fall alteratver Fazergspoltke, sbesodere eer wertabhägge Fazergspoltk, z etwckel. Isoer betet der Betrag ee theoretsche Bass ür de Bearbetg eer Velzahl wetergeheder Forschgsrage. 45 I desem Se st dem Vorschlag Ballwesers zzstmme, de Präerez der Egetümer emprsch z erorsche. Ballweser (27), S. 126. 22
Ahag 1: Kokavtät der Fkto U Lt. Vorassetzg bestzt der Etschedgsträger ee streg mooto stegede d streg kokave Ntzekto d es glt: U ( ) E[W 1, ],V[W 1, ] = E W 1, ( ) Bezeche W 1, d Y 1, zwe möglche Edvermögespostoe ach persölche Steer, so olgt as de Egeschate der Ntzekto ür < θ< 1: 46 ( ) ( ) θ W 1, + (1 θ) Y < θ W 1, + (1 θ) Y ( ) 1, 1, Damt glt ach ( ) ( ) θ E W 1, + (1 θ) E Y 1, < E ( θ W1, + (1 θ) Y 1, ) bzw. θ U ( E[W 1, ],V[W 1, ]) + (1 θ) U E[Y 1, ],V[Y 1, ] ( ) ( 1, + 1, θ 1, + θ 1, ) < U E[ θ W (1 θ) Y ],V[ W (1 ) Y ] De Edvermögespostoe W 1, d Y 1, lege de Porteelles = ( +,,,..., ) d y ( y +,,y,,y 1,,..., yj,) x x x x x,, 1, J, = zgrde. Wege W = W (x ), Y = W (y ) d θ W( x ) + (1 θ) W(y ) = W( θ x + (1 θ) y ) glt demach: θ U ( E[W 1,(x ) ],V[W 1,(x ) ]) + (1 θ) U E[W 1, (y ) ],V[W1,(y ) ] < U E[W ( θ x + (1 θ) y) ],V[W ( θ x + (1 θ) y) ] ( ) ( ) Damt st ach U (x ) streg kokav. 46 Sehe Chag (1984), S. 342. 23
Ahag 2: Abletg der otwedge Bedgg (14) Das z lösede Optmergsproblem st: max U ( E[W 1, ], V[W 1, ]) + x,, x,, x 1,,, xj, ter de Nebebedgge x J +, x, x,,j j, j= 1 W + p x, x +,, De Lagrage Fkto latet: J + + L[x, x, x,..., x, λ ] = U ( E[W 1, ],V[W1, ]) +λ W + x, x, p x j= 1,, 1, J,,,j j, De Kh Tcker Bedgge sd: J U U * * ( 1+ E[r j ] * ) p,j + 2 C[r * j, rk ] p,j p,k x k, p,j j 1,...,J E[W λ = = 1, ] V[W 1, ] k= 1 U ( ) * h E[W 1, ] 1+ r λ * x * +, U E[ ( ) * h W 1, ] * * + 1+ r λ x, = U ( ) * * 1 r * s, E[W 1, ] + +λ x U ( ) * * 1+ r * s +λ x, = E[W 1, ] W J * * *,, x +, p,j x j, j1 = + x * λ J * * + * * W, + x, x, p,j xj, λ = j= 1 Notwedg ür e Optmm st damt sbesodere: U U ( ) * ( 1+ r ) * s λ 1+ r * h E[W 1, ] E[W 1, ] Des st gea da erüllt, we e * U λ = α + + α + E[W 1, ] ( ) (1 r s ) (1 * ) (1 r h ) α 1 exstert mt Egesetzt de zoberst ageührte Kh Tcker Bedgg ergbt (14). 24
Ahag 3: Herletg vo (32) (32) olgt as eer rekrsve Betrachtg. Vo V = V F wrd asgegage. v T T = T = De m Bewertgszetpkt erwartete Marktwerte des verschldete bzw. des verschldete Uterehmes T 1 sd: E[ V (1 τ) E[X ] φ C[(1 τ ) X, r ] d T d T m T 1] = 1 + (1 τz) r 1 + (1 τz) r (1 τ) (E[X ] +τ r F (1 + r ) F ) φ C[(1 τ ) X, r ] v d T c T 1 T 1 d T EE [ T 1] = 1 + (1 τz) r 1 + (1 τz) r m Wege E = V + ΔV F olgt v T 1 T 1 T 1 T 1 (1 τd) τc r F T 1 τd FT ( τd τz) r F E[ ΔV Δ + T 1] = 1 + ( 1 τ) r z Es glt ΔFt Ft Ft 1 ür alle t. Δ VT 1 st demach as der Scht des Bewertgszetpktes ee schere Größe. Zr Vereachg der Notato se davo asgegage, dass φ perodeabhägg st. Mt Bezg a T 2 olgt ür das verschldete Uterehme: E[V T 2 ] E[V ] + (1 τ ) E[X ] φ C[(1 τg) V T 1+ (1 τd) X T 1, r m] 1 + (1 τ ) r 1 + (1 τ ) r = T 1 d T 1 z Für das verschldete Uterehme glt: E[E T 1 E[E ] + (1 τ ) (E[X ] +τ r F r F +ΔF ) v v T 1 d T 1 c T 2 T 2 T 1 T 2] = 1 + (1 τz ) r v φ C[(1 τg) E T 1+ (1 τd) X T 1, r m] 1 + (1 τ ) r z z Da Δ VT 1ee schere Größe st d E[E E = V +ΔV F glt, olgt: v T 1 T 1 T 1 T 1 E[V ] +Δ V F + (1 τ ) (E[X ] +τ r F r F + ΔF ) v T 1 T 1 T 1 d T 1 c T 2 T 2 T 1 T 2] = 1 + (1 τz ) r φ C[(1 τg) V T 1+ (1 τd) X T 1, r m] 1 + (1 τ ) r z v De Marktwertderez belät sch gemäß Δ VT 2= E T 2+ FT 2 V T 2 a: (1 τ) τ r F τ Δ F + ( τ τ) r F + ΔV Δ VT 2= 1 + (1 τ ) r d c T 2 d T 1 d z T 2 T 1 z 25
Es hadelt sch wederm m ee determstsche Größe. Wrd de Betrachtg bs zm Bewertgszetpkt ortgeührt, so olgt: (1 τ) τ r F τ ΔF ( τ τ) r F Δ V = + T T T d c t 1 d t d z t 1 t t t t= 1 (1 + (1 τz ) r ) t= 1 (1 + ( 1 τz) r ) t= 1 (1 + (1 τz) r) 26
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