Statistik II Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik

Leuphaa Uverstät Lüeburg Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Fakultät Wrtschaft Professur 'Statstk ud Free Berufe' Uv.-Prof. Dr. Joachm Merz Skrptum zur Vorlesug

Elfte verbesserte Auflage 05 Impressum: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk, herausgegebe vo der Leuphaa Uverstät Lüeburg, Fakultät Wrtschaft Uv.-Prof. Dr. Joachm Merz, Forschugssttut Free Berufe, Professur 'Statstk ud Free Berufe' www.leuphaa.de/ffb, Gedruckt auf 00% Altpaper ud chlorfre geblechtem Paper. Copyrght 05

Vorwort Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk st Thema deses Skrptums zu meer glechlautede Vorlesug a der Uverstät Lüeburg. Das Skrptum soll vorlesugsbegleted helfe, de Blck auf das Wesetlche, auf das Verstäds der Methode ud hrer Aweduge zu erlechter. Im Rahme eer awedugsoreterte Statstk stehe be der Auswahl des Stoffes Bespele ud Bezüge aus de Wrtschafts- ud Sozalwsseschafte m Vordergrud. Ich empfehle, de Stoff mt der agegebee Lteratur zu vertefe; machmal hlft e aderer Blckwkel, de Dge besser zu begrefe. Das Verstehe, das verstädge Umgehe mt der Statstk als e wesetlcher Bauste, Theore mt der Empre zu verbde, st mr e wchtges Alege. Für de problemoreterte Esteg ud de Umgag mt dem Computer werde verschedee Programmpakete we ET (Ecoometrcs Toolkt), LIMDEP, Stata, SPSS ud adere Programmpakete verwedet. De elfte eue Auflage etsprcht bs auf kleere Äderuge Kaptel 8 der bsherge Auflage. Ncht zu vergesse: Studum ud späterer Beruf solle auch Spaß mache. De Cartoos m Skrptum sd etsprechede Lockerugsübuge. Vel Spaß ud Erfolg! Lüeburg, m Februar 05 Uv.-Prof. Dr. Joachm Merz

IV Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Gock, Smth 993

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk V Prof. Dr. Joachm Merz STATISTIK II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk THEMENBEREICHE I II III IV V VI VII VIII IX X GRUNDZÜGE DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG ZUFALLSVARIABLEN UND WAHRSCHEINLICHKEITS- VERTEILUNGEN DISKRETE VERTEILUNGEN STETIGE VERTEILUNGEN INDUKTIVE STATISTIK, STICHPROBENFUNKTIONEN UND TESTVERTEILUNGEN PUNKTSCHÄTZUNG INTERVALLSCHÄTZUNG PARAMETERTESTS VERTEILUNGSTESTS COMPUTERPROGRAMME ZUR WAHRSCHEINLICH- KEITSRECHNUNG UND INDUKTIVEN STATISTIK FORMELSAMMLUNG SYMBOLVERZEICHIS LITERATUR

VI Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Prof. Dr. Joachm Merz STATISTIK II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk GLIEDERUNG I Grudzüge der Wahrschelchketsrechug... 3 Grudbegrffe... 3 Wahrschelchketsbegrffe... 5 3 Addtossatz... 7 4 Bedgte Wahrschelchket, Multplkatossatz... 5 Theorem der totale Wahrschelchket, Satz vo Bayes... 4 6 Kombatork... 0 7 Übugsaufgabe Wahrschelchketsrechug... II Zufallsvarable ud Wahrschelchketsverteluge... 6 Zufallsvarable... 6 Wahrschelchketsfukto ud Vertelugsfukto dskreter Zufallsvarable... 6 3 Dchte- ud Vertelugsfukto stetger Zufallsvarable... 30 4 Parameter edmesoaler Wahrschelchketsverteluge... 33 4. Erwartugswert ud Varaz... 33 4. Kozept der Momete: Schefe ud Exzeß... 37 5 Mehrdmesoale Wahrschelchketsverteluge... 4 5. Wahrschelchketsverteluge zwedmesoaler Zufallsvarable... 4 5. Parameter zwedmesoaler Verteluge: Erwartugswert, Kovaraz ud Kozept der Momete... 43 6 Stochastsche Smulato ud Pseudo-Zufallszahle... 44 III Dskrete Verteluge... 47 Glechvertelug... 47 Das Uremodell ud das Beroull-Expermet... 48 3 Bomalvertelug... 49 4 Hypergeometrsche Vertelug... 56 5 Possovertelug... 59 6 Geometrsche Vertelug... 60 7 Multomalvertelug ud allgemee Hypergeometrsche Vertelug... 6

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk VII IV Stetge Verteluge... 65 Glechvertelug... 65 Expoetalvertelug... 67 3 Gammavertelug... 67 4 Normalvertelug... 68 5 Normalvertelug als Näherugsvertelug... 78 V Iduktve Statstk, Stchprobefuktoe ud Testverteluge... 80 Zum Schluß vo der Stchprobe auf de Grudgesamthet... 80 Stchprobefuktoe... 8 3 Testverteluge... 85 3. Ch ( χ )-Quadratvertelug... 85 3. Studetvertelug (t-vertelug)... 87 3.3 F-Vertelug... 90 VI Puktschätzug... 9 Grudlage der Puktschätzug... 93 Egeschafte vo Schätzfuktoe... 93. Erwartugstreue... 94. Effzez (Mmale Varaz)... 95.3 Asymptotsche Erwartugstreue ud Kosstez... 96 3 Schätzmethode... 97 3. Methode der Momete (K. PEARSON)... 97 3. Methode der kleste Quadrate (MKQ/OLS)... 97 3.3 Maxmum Lkelhood Methode (R.A. FISHER)... 0 VII Itervallschätzug... 06 Kofdeztervall... 06 Kofdeztervall für das arthmetsche Mttel be ormalvertelter Grudgesamthet... 06. Kofdeztervall für µ be bekater Varaz σ der ormalvertelte Grudgesamthet... 09. Kofdeztervall für µ be ubekater Varaz σ der ormalvertelte Grudgesamthet... 0 3 Kofdeztervall für de Varaz... 3 4 Kofdeztervall für de Atelswert... 3 5 Bestmmug des otwedge Stchprobeumfags... 4 6 Kofdeztervall für de Dfferez zweer arthmetscher Mttel... 6 7 Kofdeztervall für de Dfferez zweer Atelswerte... 7 VIII Parametertests... 9 Methodsche Grudlage der Testtheore... 9. Przp ud Aufbau ees statstsche Tests... 9. Grudbegrffe der Testtheore... 0.3 Fehlermöglchkete be statstsche Tests...

VIII Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk.4 Testetschedug: Krtscher Wert ud p-value... 4.5 Beurtelugskrtere für statstsche Tests: Gütefukto ud Operatoscharakterstk... 5 Estchprobetest für de Atelswert... 9. Efache Hypothese ud efache Alteratve... 9. Zwesetge Fragestellug... 30.3 Esetge Fragestellug... 3 3 Estchprobetest für das arthmetsche Mttel be ormalvertelter Grudgesamthet... 34 3. Estchprobetest für µ be bekatem σ... 34 3. Estchprobetest für µ be ubekatem σ... 36 4 Estchprobetest für de Varaz be ormalvertelter Grudgesamthet... 40 4. Zwesetge Fragestellug... 40 4. Esetge Fragestellug... 40 5 Zwestchprobetest für de Dfferez zweer arthmetscher Mttel... 4 5. Zwestchprobetest für de Dfferez zweer arthmetscher Mttel be bekater Varaz... 43 5. Zwestchprobetest für de Dfferez zweer arthmetscher Mttel be ubekater Varaz... 45 6 Zwestchprobetests für de Quotete zweer Varaze... 50 6. Zwesetge Fragestellug... 5 6. Esetge Fragestellug... 53 7 Zwestchprobetests für de Dfferez zweer Atelswerte... 54 8 Tests m klasssche leare Regressosmodell... 59 8. Test der Gesamterklärugsgüte R (F-Test)... 59 8. Sgfkaztest für de ezele MKQ/OLS-Koeffzete b k (t-test)... 60 8.3 p-value/prob-value ud Testetschedug... 65 IX Vertelugstests... 69 Ch-Quadrat-Vertelugstest... 69. Efache Hypothese... 69. Zusammegesetzte Hypothese... 70 Kolmogorov-Smrov-Vertelugstest... 73 3 Ch-Quadrat-Uabhäggketstest... 75 X Computerprogramme zur Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk... 8 Awedugsmöglchkete m Rahme allgemeer Programmpakete... 8 SPSS, SAS ud BMDP... 8 3 ET, LIMDEP, GAUSS, GLIM ud Stata... 8 Formelsammlug... 84 Symbolverzechs... 35 Lteratur... 38

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Vorbemerkuge zu Statstk I ud II: Deskrptve Statstk, Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Statstk I Deskrpto: Beschrebede Statstk mt Verfahre zur Aufberetug statstscher Date bezoge auf de beobachtete Werte (Iformatosaufberetug) Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk: Zur Überprüfug allgeme gültger Theore; Iformatosbewertug durch Iferez- (schleßede) Statstk: Wahrschelchketsaussage über de Verebarket der de Date erfaßte Realtät (Empre) mt de aus eer Theore abgeletete Hypothese. Wahrschelchketsrechug otwedg, um vo kostegüstgere Telerhebuge (Stchprobe, 'sample') auf ee Grudgesamthet zu schleße (duktve Statstk). Telerhebuge statt Vollerhebuge: - aus Kostegrüde, - aus Zetgrüde, - aus techsche Grüde etc. De Schlußwese der Statstk Zum Aufbau vo Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Wahrschelchketsrechug ud Wahrschelchketsverteluge - Grudzüge - Zufallsvarable ud Wahrschelchketsverteluge - dskrete, stetge Verteluge Stchprobe ud Grudgesamthet - Iduktve Statstk, Stchprobefuktoe ud Testverteluge - Pukt- ud Itervallschätzug Formulerug ud Überprüfug vo Hypothese - Parametertests - Vertelugstests Computerprogramme

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Gock, Smth 993

Kaptel I Grudzüge der Wahrschelchketsrechug 3 I Grudzüge der Wahrschelchketsrechug Regel der Wahrschelchketsrechug als Grudlage für de duktve Statstk Wofür wrd de Wahrschelchketsrechug beötgt? Um de Bezehuge zwsche Stchprobe ud Grudgesamthet zu erfasse: Schätzug vo Kegröße der ubekate Grudgesamthet, Agabe vo Vertrauesbereche (Kofdeztervalle) aufgrud vo Stchprobeergebsse be vorgegebeer Scherhetswahrschelchket für dese Kegröße (Parameter). Überprüfug vo Hypothese über Zusammehäge der Grudgesamthet aufgrud vo Stchprobeergebsse Da es umöglch st, Bezehuge zwsche sozoökoomsche Varable Modelle exakt zu erfasse (determstsches Modell), soder jedes sozoökoomsche Merkmal durch vele Faktore mt Zufallseflüsse beeflußt wrd, sd auch Modelle über de Welt Zufallseflüsse zu berückschtge. Ma wrd de Modellaussage auf de wchtgste Faktore beschräke (systematsche Eflüsse), für de übrge m ezele cht erfaßte Faktore wrd e bestmmtes Vertelugsmodell uterstellt (Zufall). Damt besteht e stochastsches Erklärugsmodell aus eem systematsche ud eem zufällge Tel. De Wahrschelchketsrechug st vor allem für de Umgag mt dem zufällge Tel ud zur Fehlerabschätzug otwedg. Grudbegrffe De Grudlage der Wahrschelchketsrechug wurde m 6. ud 7. Jahrhudert vo Blase PASCAL (63 66) ud Perre FERMAT (60 668) gelegt; Abletug vo Wahrschelchkete für de Gewausschte vo Glücksspele. Umgagssprache: Kokreter: Wchtge Begrffe: Wahrschelch bestehe Se de Statstk II-Klausur. De Wahrschelchket, m Lotto mt 6 aus 49 sechs Rchtge zu habe, beträgt: 3 983 86. - Zufallsexpermet: Wrklch oder wegstes gedaklch wederholbarer Vorgag, desse Ergebs vom Zufall abhägt, also m voraus cht edeutg bestmmt werde ka. Bespele: Werfe eer Müze, ees Würfels; Wchtg: Ergebsse sd uabhägg voeader. - Elemetareregsse: Ergebsse (Realsatoe) des Zufallsexpermets: E

4 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk - Eregsraum G: Mege der Elemetareregsse G { E, E,, E} Bespel: Emalges Werfe ees Würfels: G {,,3,4,5,6 } - Eregs: Telmege vo G Bespel: Werfe eer ugerade Augezahl: A {,3,5 } - Verküpfug vo Eregsse: Aus Eregsse lasse sch mt bestmmte Operatoe eue Eregsse blde: Veregug zweer Eregsse A ud B: A B st de Mege aller Eregsse, de etweder zu A, zu B oder zu A ud B gemesam gehöre. Ve-Dagramm Durchschtt zweer Eregsse A ud B: A B st de Mege aller Elemetareregsse, de sowohl zu A als auch zu B gehöre. Der Durchschtt zweer Eregsse

Kaptel I Grudzüge der Wahrschelchketsrechug 5 De Mege A ud B schleße eader aus (A ud B sd dsjukt), we es ke Elemetareregs gbt, das zu bede glechzetg gehört: A B (leere Mege ) Zwe dsjukte Eregsse Komplemetäreregs A: Mege aller Elemetareregsse ees Eregsraums G, de cht A ethalte sd. Es glt: A A G ud A A A G A Bespele: G {,, 3, 4, 5, 6} Emalges Werfe ees Würfels A {,, 3} Eregs (Augezahl < 4) B {, 4, 5, 6} Eregs C {4, 5, 6} Eregs (Augezahl > 3) Veregug: A B {,, 3, 4, 5, 6} Durchschtt: A B {} Dsjukte Mege: A ud C, da A C Komplemetäreregs zu B: B {, 3} Wahrschelchketsbegrffe De Wahrschelchket st e Maß zur Quatfzerug der Scherhet bzw. Uscherhet des Etretes ees bestmmte Eregsses m Rahme ees Zufallsexpermets.

6 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk - Klassscher Wahrschelchketsbegrff (Perre Smo LAPLACE (749 87)): De Wahrschelchket für das Etrete des Eregsses A be eem Zufallsexpermet st glech dem Verhälts aus der Azahl der für das Etrete des Eregsses güstge Fälle ud der Azahl aller möglche Fälle (glechmöglche Fälle glechwahrschelche Elemetareregsse): Zahl der güstge Fälle g P (A) Zahl der glechmöglche Fälle Bespel: I eem Gefäß lege sechs brauchbare ud ver defekte Stücke. We groß st de Wahrschelchket, daß e zufällg gezogees Stück brauchbar (Eregs A) st? 6 P (A) g 0 0,6 Voraussetzug für de klasssche Wahrschelchketsbegrff: - edlche Azahl der Fälle; - ur auf Zufallsexpermete mt glechwahrschelche Elemetareregsse awedbar. - Statstscher Wahrschelchketsbegrff (Rchard v. MISES (883 953)): Be eem Zufallsexpermet, das aus eer lage Folge uabhägger Wederholuge besteht, versteht ma uter der Wahrschelchket P(A) ees Eregsses A de Grezwert der relatve Häufgket für das Auftrete des Eregsses A be uedlch häufger Wederholug des Zufallsexpermets: g P ( A) lm lm h A ( ) ( h ( A) relatve Häufgket vo A ach Wederholuge ) Bespel: Müzwürfe, ach jedem Wurf wrd de relatve Häufgket für Zahl bs dato regstrert: A Zahl

Kaptel I Grudzüge der Wahrschelchketsrechug 7 - Subjektver Wahrschelchketsbegrff (Leoard J. SAVAGE): Wertagabe für de Wahrschelchket werde als verüftge Glaubesaussage terpretert. Egag Etschedugsmodelle - Axomatscher Wahrschelchketsbegrff (A. N. KOLMOGOROV (geb. 903)): Her wrd cht mehr vo emprsche Beobachtuge ausgegage, soder: Wahrschelchkete als Zuordug vo reelle Zahle zu de Eregsse. Defto der mathematsche Egeschafte der Wahrschelchket 3 Axome (Axom mathematsche Aussage, de als Grudlage eer Theore det ud daher cht durch dese begrüdbar st): Gegebe se e System vo Eregsse R aus dem Eregsraum G. Ee Fukto P, de jedem Eregs A aus R ee reelle Zahl zuordet, heßt Wahrschelchket, we se folgede Egeschafte (Axome) erfüllt: P A 0, P A ΙR. P st reell, cht egatv: ( ) ( ) + 0. P st addtv: P ( A B) P( A) + P( B) für A B 3. P st ormert: P ( G ) bzw. 0 P ( A) Folgeruge aus dese Axome: - Wahrschelchket des Komplemetäreregsses A: wege A A G ud P(A) + P(A) st P(A) P(A) - Wahrschelchket des umöglche Eregsses: ( ) P( G) P 0 - Wahrschelchket für de Durchschtt zweer sch ausschleßeder Eregsse A ud B: P ( A B) P( ) 0 3 Addtossatz We hoch st de Wahrschelchket, daß be belebge, sch cht ausschleßede Eregsse ees Zufallsexpermets etweder A oder B oder A ud B gemesam auftrete? Also P(A B)? A B A (A B), wobe A ud A B sch ausschleße.

8 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Aus dem. Axom folgt: ( ) ( ) + ( ) [*] P A B P A P A B Ve-Dagramm zur Abletug des Addtossatzes Wetere Abletuge: ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) B A B A B P B P A B P A B Daraus folgt: P ( A B) P( B) P ( A B) Egesetzt [*] ergbt sch für belebge Eregsse der Addtossatz: ( ) ( ) + ( ) ( ) ( A ud B cht ausschleßed ) P A B P A P B P A B Schleße sch A ud B gegesetg aus, so folgt (Axom ): P ( A B) P( A) + P ( B) Addtossatz für 3 belebge Eregsse A, B, C: P ( A B C) P ( A) + P( B) + P( C) P( A B) P ( B C) P( A C) + P( A B C) Bespel (3 Eregsse): A {,, 3, 4} B {3, 4, 5, 6} C {, 3, 5, 7} 4 7 P ( A ) P ( B ) ( ) A 4 7 P C B { 3, 4} A C {,3} B C { 3,5} 7 ( B) P ( A C ) P ( B C ) P A A B C { 3} 7 4 7 7

Kaptel I Grudzüge der Wahrschelchketsrechug 9 P ( A B C) 7 ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) P A B C P A P B P C P A B P B C P A C P A B C 4 4 4 + + + 7 7 7 7 7 7 7 Hlfswese: A: 3 4 ɵ A B B: /3 4 /5 6 /ɵ B C C: 3 5 7 _ɵ A C 3 4 5 6 7 A B C

0 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Gock, Smth 993 Bespele (Addtossatz): a) I eer Ure mt 00 Kugel befde sch 40 rote ud 80 grüe Kugel. Wahrschelchket für das Zehe eer rote Kugel? 40 P (rot) 00 0, Wahrschelchket für das Zehe eer grüe Kugel? 80 P(grü) 00 0,4 Wahrschelchket für das Zehe eer grüe oder rote Kugel? P (grü rot) P (grü) + P (rot) 0,4 + 0, 0,6, da de Eregsse grü ud rot sch ausschleße. b) Wr betrachte u ee Würfel: A {de Augezahl < 4} {,, 3} mt P(A) 0,5 B {de Augezahl st gerade} {, 4, 6} mt P(B) 0,5 Wahrschelchket für A B? { Augezahl <4 oder gerade} {,,3, 4,6} A B ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) P A B P A P B P A B P A P B P 5 + 6 6

Kaptel I Grudzüge der Wahrschelchketsrechug 4 Bedgte Wahrschelchket, Multplkatossatz Be Etrete vo Eregsse Abhäggket vo bestmmte adere Eregsse (sch cht ausschleßede Eregsse): Bedgte Wahrschelchket: Wahrschelchket vo B uter der Voraussetzug, daß Eregs A vorher egetrete st, bzw. glechzetg mt B etrtt: P A P B A ( ) ( B) P ( A) (Also bezoge auf de Zahl der für de Bedgug güstge Elemetareregsse) Bespel: A Frau B Erwerbstätg Wahrschelchket, aus der Mege der Fraue ee erwerbstätge Frau auszuwähle: ( ) P Erwerbstätg Frau ( ) P( Frau) P Frau ud Erwerbstätg Stochastsche Uabhäggket legt da vor, we glt P ( B A) P ( B A) P ( B) Das Etrete des Eregsses B hägt cht vom Etrtt des Eregsses A ab. Aus der Defto der bedgte Wahrschelchket folgt der Multplkatossatz (Auflöse ach P ( A B) ( ) ( ) ( ) P( A) P( B A) P A B P B P A B ): Für stochastsch uabhägge Eregsse glt P ( A B) P ( A) P( B) Multplkatossatz für dre Eregsse A, A, A 3 be stochastscher Abhäggket (allgeme): ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) P A A A P A P A A P A A A be stochastscher Uabhäggket: ( ) ( ) ( ) ( ) P A A A P A P A P A 3 3 Bespele: - Werfe vo zwe deale Würfel: We hoch st de Wahrschelchket, mt dem erste Würfel ee Zwe ud mt dem zwete Würfel ee Sechs zu werfe?

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Das Werfe beder Würfel st stochastsch uabhägg: ({ } { 6} ) ( ) ( 6) P P P 6 6 36 - Ee Müze wrd mehrmals htereader geworfe: We groß st de Wahrschelchket, dremal Zahl htereader zu erhalte? P( Z Z Z3 ) P( Z ) P( Z ) P ( Z3 ) 8 - E Los vo 50 Bautele hat 0 % Ausschuß. Be der Abahmeprüfug werde dre Bautele acheader ohe Zurücklege ausgewählt. De Aahme erfolgt ur da, we alle dre Bautele ewadfre sd. We groß st de Aahmewahrschelchket? A st das Eregs "ewadfrees Bautel m -te Zug". Es legt stochastsche Abhäggket vor, da de Auswahlmöglchkete vo de Voreregsse abhäge (ohe Zurücklege!).. Zug:. Zug: ( ) ( ewadfree Fälle) 40 güstge Fälle P (A ) 50 glechmöglche Fälle 39 P A A E ewadfrees Bautel st scho gezoge worde. 49 3. Zug: P ( A3 A A ) Multplkatossatz be Abhäggket: 38 Zwe ewadfree Bautele sd scho gezoge worde. 48 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) P A A A P A P A A P A A A 40 39 38 50 49 48 0,504 Atwort: De Wahrschelchket für dre ewadfree Bautele beträgt 50,4 %. Zusammefassug: Addtossatz: be Verküpfug der Eregsse durch Veregug, logsches oder ( ) ( das Ee oder das Adere oder Sowohl als auch ) P ( A B) P( A) + P ( B) P( A B)

Kaptel I Grudzüge der Wahrschelchketsrechug 3 Multplkatossatz: be Verküpfug der Eregsse durch Durchschtt, logsches ud ( ) (ur Sowohl als auch ) P ( A B) P ( A) P ( B A) Gock, Smth 993

4 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 5 Theorem der totale Wahrschelchket, Satz vo Bayes A, A, A 3,... see sch gegesetg ausschleßede Eregsse, d. h. A A für j, j außerdem se A, A, A 3,... ee Zerlegug vo G, d. h. A A A... G 3 ε Etelug des Eregsraums Jedes belebge Eregs ε läßt sch we folgt darstelle: ( A ) ( A ) ε ε ε... Nach dem Addtossatz für sch gegesetg ausschleßede Eregsse glt: ( ε ) ( ε ) + ( ε ) + ( ε ) ( )... * P P A P A P A Nach dem Multplkatossatz für sch cht ausschleßede Eregsse glt: ( ε ) ( ε ) ( ) ( e Term (*)) P A P A P A Setzt ma des de obge Summe (*) e, da ergbt sch der Satz vo der totale Wahrschelchket: ( ε ) ( ε ) ( ) P P A P A Bespel: I eem Betreb werde täglch 000 Stück ees Produktes hergestellt. Davo lefert Masche M : M : M 3 : 00 Stück mt 5 % Ausschußatel, 400 Stück mt 4 % Ausschußatel ud 500 Stück mt % Ausschußatel. Aus eer Tagesprodukto wrd e Stück zufällg ausgewählt ud überprüft. A Eregs, daß deses Stück auf M hergestellt st; ε Eregs, daß deses Stück fehlerhaft st.

Kaptel I Grudzüge der Wahrschelchketsrechug 5 We groß st de Wahrschelchket, daß e ausgewähltes Stück fehlerhaft st? ( ε ) ( ) ( ε ) + ( ) ( ε ) + ( 3 ) ( ε 3 ) P P A P A P A P A P A P A 0, 0,05+ 0,4 0,04 + 0,5 0,0 0,03 De Frage u, we groß de Wahrschelchket st, daß e fehlerhaftes Stück auf der Masche M gefertgt wurde, wrd us zum sogeate Theorem vo Bayes führe. Her st de bedgte Wahrschelchket ( j ) P A ε gefordert (her: ( ) daß des e Utersched zu der bedgte Wahrschelchket P ( ε A j ) st! Es glt: P ( Aj ε ) P A P ( j ε ) ( ε ) Mt Hlfe des Multplkatossatzes (wege P (..)) erhält ma: ( j ε ) P A ( j ) ( ε j ) P A P A P ( ε ) P A ε ). Ma beachte, Wrd für P(ε) das Theorem der totale Wahrschelchket egesetzt, so ergbt sch der Satz vo Bayes: ( j ε ) P A ( j ) ( ε j ) P A P A ( ) ( ε ) P A P A Bespel: We groß st de Wahrschelchket, daß e fehlerhaftes Stück auf M produzert wurde? ( ε ) P A 3 ( ) ( ε ) P A P A ( ) ( ε ) P A P A 0, 0,05 0,63 0, 0,05 + 0, 4 0,04 + 0,5 0,0 P(A j ) (ubedgte) Wahrschelchket für das Etrete des Eregsses A j ; ( j ) P A ε bedgte Wahrschelchket für das Etrete des Eregsses A j uter der Bedgug, daß das Eregs ε egetrete st.

6 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Zur Awedug des Satzes vo Bayes: Das Theorem vo Bayes wrd be Etscheduge uter Uscherhet bzw. Rskostuatoe agewedet. Dabe hadelt es sch um Stuatoe der folgede Form: Es gbt mehrere sch gegesetg ausschleßede Zustäde (Alteratve) A, A,..., A ud Schätzuge der Wahrschelchkete P(A j ) für das Etrete der Zustäde bzw. Alteratve. P(A j ) heße a pror Wahrschelchkete. Über Realsatoe vo Zufallsexpermete ermttelt ma da de Wahrschelchkete ε. P ( A ) Für das Etrete des Eregsses ε (oder des Komplemets ε ) berechet ma uter Verwe- P A ε. dug des Theorems vo Bayes de bedgte Wahrschelchkete ( j ) ( j ) P A ε heße a posteror Wahrschelchkete. De a posteror Wahrschelchkete werde als Verbesseruge der a pror Wahrschelchkete terpretert, wel Zusatzformatoe verwedet werde.

Kaptel I Grudzüge der Wahrschelchketsrechug 7 Gock, Smth 993

8 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Gock, Smth 993

Kaptel I Grudzüge der Wahrschelchketsrechug 9 Gock, Smth 993 Verglech zum Bespel: ( ε ) P( fehlerhaftes Stück auf M produzert) P A

0 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 6 Kombatork Zur Berechug aller jewels möglche ud/oder güstge Fälle der Wahrschelchketsrechug werde de Ergebsse der Kombatork heragezoge. KOMBINATORIK Permutato (Aordugsmöglchkete) Wederholug (der gleche Elemete) ohe mt verschedee Elemete gruppewese detsche Elemete P ( )!! P (,..., K ; )!!...! K Varato (Auswahlmöglchkete, Rehefolge wchtg) (, ) V m! ( m)! (, ) V m m Kombato (Auswahlmöglchkete, Rehefolge uwchtg) C ( m, ) m + m C ( m, ) m! ; 0!, ; Azahl aller Elemete, m Auswahlazahl m m! ( m)! 0 Bespele: Permutato: Alle möglche Aorduge, Rehefolge. a) Füf Pferde köe P ( 5) 5! 3 4 5 0 verschedee Aorduge (Rehefolge) das Zel elaufe (Permutato ohe Wederholug). b) Azahl der Permutatoe aus de Elemete a, b, c? (ohe Wederholug) abc bac cab acb bca cba P(3) 3! 3 6 Azahl der Permutatoe aus de Elemete a, a, c? (mt Wederholug) aac aac caa aca aca caa 3 Vgl. z. B. Merz, J. 99, Mathematk I für Wrtschaftswsseschaftler Aalyss, Skrptum zur Vorlesug, Frakfurt am Ma, S. 40 45.

Kaptel I Grudzüge der Wahrschelchketsrechug P 3! / / 3,;3 3!! / / ( ) c) Wevele verschedee zehstellge Zahle lasse sch aus de Zffer der Zahl 7 844 673 77 blde? 0 ( 7) 4 ( 4) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) P ( ) 8 6 3 0! / / 3/ 4/ 5 6 7 8 9 0 4,,,,, ;0 75600 4!! / / 3/ 4/ Varato: De Auswahl vo m aus Elemete, wobe de Rehefolge wchtg st. a) Ncole etschleßt sch, vor Verlasse der UNI-DISCO och mt dre vo hre füf Freude zu taze (mmer mt eem adere). Wevele Tazmöglchkete hat Ncole, we de Rehefolge cht egal st? 5, m 3 5! 5! V ( 3,5) 3 4 5 60 Möglchkete 5 3!! ( ) We groß st de Wahrschelchket für ee Auswahl ( Tazset), z. B., daß Ncole erst mt Freud 4, da mt Freud ud schleßlch mt Freud 3 tazt? P ('4,,3' ) 0,067,67% 60 b) Ncole st ausahmswese beret, auch mehrmals mt eem hrer Freude zu taze. Auswahl mt Wederholug: V ( ) 3 3,5 5 5 Möglchkete c) Wevele verstellge Zahle sd m Dualsystem bzw. 5er-System darstellbar? m 4 bts 4 ( duales System) ( ) 4 5 ( Peta-System ) ( ) Kombato: V 4, 6 0,..., 5 V 4,5 5 65 0,..., 64 De Auswahl vo m aus Elemete, wobe de Rehefolge uteressat st. a) E Skatspel hat 3 Karte. E Speler erhält zeh Karte. Wevele voeader verschedee Zusammestelluge vo je zeh Karte gbt es? De Rehefolge st uwchtg, kee Wederholug Kombato 3 3! C ( 0,3) 64540 0 0! ( 3 0 )!

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk b) Studete ud Studete aus acht Fachbereche solle ee Delegato vo füf Studete blde. Wevele Delegatosmöglchkete gbt es? Auswahl vo 5 aus 8 8 m 5 mt Wederholug C 8+ 5! 8 9 0 5,8 79 5 5 5! ( 5 )! 3 4 5 ( ) Mt der Kombatork (Permutato, Varato, Kombato) lasse sch also alle güstge ud glechmöglche Fälle bereche Grudlage der Wahrschelchketsrechug mt güstge Fälle P (. ) glechmöglche Fälle 7 Übugsaufgabe Wahrschelchketsrechug Für de Prx de l Arc de Tromphe, dem große Pferderee Logchamps be Pars, sd de Pferde Beaujeux (B), Mees (M), Ilx (I) ud Nerede (N) geat. Es solle Seger ud Zwetplazerte vorausgesagt werde. a) We groß st de Wahrschelchket, daß. Beaujeux Seger wrd?. der Elauf (für Zweerwette) Nerede, Ilx se wrd? P ' Beaujeux wrd Seger' Es vo Vere 0, 5 4 bzw. Aorduge, Rehefolge, Permutatoe vo {B, I, M, N}. ( ) Plätze Plätze Plätze Plätze.. 3. 4... 3. 4... 3. 4... 3. 4. B I M N I B M N M B I N N B I M B I N M I B N M M B N I N B M I B M I N I M B N M I B N N I B M G B M N I I M N B M I N B N I M B B N I M I N B M M N B I N M B I B N M I I N M B M N I B N M I B Permutato ohe Wederholug Azahl! 4! 3 4 4 güstge Fälle 6 P (' B st Erster' ) 0,5 glechmöglche Fälle 4 4. P('Rehefolge N I'), 'sowohl N als auch I' Multplkatossatz, stochastsche Abhäggket ('ohe' Zurücklege)

Kaptel I Grudzüge der Wahrschelchketsrechug 3 P ( N I ) P( I ) P( N I ) ( ) P I ( ) P N I 4 P ( N I ) 4 3 3 Alteratve Berechugswese: {B, I, M, N} BI BM BN IB IM IN Glechmöglche Fälle: G MB MI MN NB NI NM Azahl der Fälle Auswahl m aus 4 ohe Wederholug, Rehefolge wchtg Varato:! 4! 3 4 V ( m, )! 4! ( m) ( ) güstge Fälle P (' NI ') 8,3% glechmöglche Fälle De Wahrschelchket, daß sch e Elauf Nerede vor Ilx ergbt, beträgt 8,3 %. b) De ver Pferde treffe am ächste Tag ereut aufeader. We groß st de Wahrschelchket, daß a bede Tage. B der Seger st?. de Rehefolge B, N glt? 3. de Rehefolge B, M, N, I glt?. P('Beaujeux st der Seger a bede Tage')? Logsches UND: Multplkatossatz, stochastsch uabhägg P (' Beaujeux st der Seger a bede Tage' ) ('B st der Seger am Tag ' ) P ('B st der Seger am Tag ' ) P 4 4 6 Alteratve Berechugswese: Alle möglche Fälle: Auswahl m aus 4 mt Wederholug V, 4 Rehefolge wchtg ( )

4 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Elemetareregsse V Tage (,4) 4 6 P(...)........ B B I B M B N B B I I I M I N I B M I M M M N M B N I N M N N N V,4 6 ( ). P('B, N a bede Tage')? ( Multplkatossatz) P (' B, N a bede Tage' ) ('B, N am Tag ' ) P( 'B, N am Tag ' ) P 0, 0069 44 Alteratve Berechugswese: Alle möglche Fälle: Auswahl... (komplex) zusammegesetzt Elemetareregsse: Tag : V(, 4) (sehe vore); jedes Eregs, das am erste Tag möglch war, ka auch am zwete Tag etrete: 44 P(...) 44 3. P('B, M, N, I a bede Tage')? 'Durchschtt', logsches UND: Multplkatossatz, stochastsch uabhägg (...) ('B, M, N, I erster Tag' ) ('B, M, N, I zweter Tag' ) P P P P('B, M, N, I'): Permutato ohe Wederholug!! 4! 3 4 4 P (' B, M, N, I' ) ( sehe vore) 4 P(...) 0,007 4 4 576 Alteratve Berechugswese: komplex zusammegesetztes Eregs, es st relatv schwerg (da umfagrech), alle Möglchkete darzustelle. Schlußfolgeruge: - Machmal st es sehr komplex, alle(!) Möglchkete zusammezustelle ud da de für de LAPLACE-Wahrschelchket güstge Möglchkete auszuwähle. - Deshalb: Addtossatz, Multplkatossatz awede; De dafür otwedge Telwahrschelchkete köe verefacht über de Kombatork berechet werde.

Kaptel I Grudzüge der Wahrschelchketsrechug 5 Keycocepts Zufallsexpermet Eregs Wahrschelchketsbegrff Kolmogorov sche Axome Bedgte/ubedgte Wahrschelchket Addtossatz Multplkatossatz Satz vo Bayes A pror Wahrschelchket A posteror Wahrschelchket Satz der totale Wahrschelchket

6 Kaptel II Zufallsvarable ud Wahrschelchketsverteluge II Zufallsvarable ud Wahrschelchketsverteluge Beschrebug der möglche Ergebsse ees zufällge Prozesses, Berechug der möglche Ausgäge ud der dazugehörge Wahrschelchkete Zufallsvarable Utersucht ma be eem Zufallsexpermet 'zwemalges Werfe eer Müze' de Frage, we oft 'Wappe' erschet, so sd her de möglche Werte 0, oder. Varable, we de 'Azahl Wappe' be eem mehrmalge Müzwurf oder das Zehe vo rote ud schwarze Kugel be eem Ureexpermet (mt/ohe Zurücklege), dere Werte vom Zufall abhäge, et ma Zufallsvarable. De beobachtete Auspräguge bestmmter Merkmale der Wrtschaft ud Gesellschaft sd, we ur ee zufällge Auswahl vo Merkmalsträger befragt werde, das Ergebs ees zufällge Prozesses ud damt Zufallsvarable. Zufallsvarable: X, Y, Z,... (große Buchstabe) 'radom varables' Realsato, Ausprägug davo: x, y, z,... (klee Buchstabe) Prob(X x) P(X x): Wahrschelchket, daß X de Ausprägug x ammt. Bespel: Zwemalges Werfe eer Müze: Zufallsvarable: X ('Azahl Zahl') Auspräguge: x 0, x, x 3. Deftosberech eer Zufallsvarable Eregsraum G; Werteberech Mege der reelle Zahle (m allgemee); Dskrete Zufallsvarable: m Werteberech lege ur edlch oder abzählbar uedlch vele Werte x, x,... (zählbar) (z. B. Zahl der 'faule' Kude, Azahl der Lottogewer); Stetge Zufallsvarable: m Werteberech legt jeder belebge Zahlewert ees Itervalls (kotuerlche Zufallsvarable, cht zählbar) (z. B. Temperatur, Bearbetugszet) Wahrschelchketsfukto ud Vertelugsfukto dskreter Zufallsvarable Der Prozeß, der de Auspräguge der Zufallsvarable geerert (der sogeate dategeererede Prozeß), ka durch see Wahrschelchketsfukto beschrebe werde:

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 7 De Wahrschelchketsfukto ('probablty fucto') f(x) lstet alle Ergebsse x (,...), de de Zufallsvarable X ammt, mt hre Etrttswahrschelchkete auf. f(x ) Prob(X x ) P(X x ) (Wahrschelchket, mt der X de Ausprägug x ammt) Egeschafte :. 0 f x ; ( ) ( x ). f ; Bespel: Dremalges Werfe eer deale Müze. Der Eregsraum G deses Zufallsexpermets besteht aus acht Eregsse: m 3 V m, V 3, 8 mt ( ( ) ( ) ) G ( Z, Z, Z );( Z, Z, W );( Z, W, Z );( W, Z, Z );( Z, W, W );( W, Z, W );( W, W, Z );( W, W, W ) { } Zufallsvarable X se 'Azahl der Wappe' (dskret): R 0,,,3. Auszähle Zuordug x aus dem Werteberech { } G x R x f ( x ) (Z, Z, Z) x 0 f(x 0) 0,5 (/8) Z, Z, W Z, W, Z x f(x ) 0,375 (3/8) W, Z, Z Z, W, W W, Z, W x 3 f(x 3 ) 0,375 (3/8) W, W, Z (W, W, W) x 4 3 f(x 4 3) 0,5 (/8) x. Also: X x 0 3 ( ) ( ) P X x f x 8 3 8 3 8 8 f (x) 0,375 0,50 0,5 0 0 3 x Wahrschelchketsfukto der dskrete Zufallsvarable 'Azahl der Wappe'

8 Kaptel II Zufallsvarable ud Wahrschelchketsverteluge De Vertelugsfukto ('cumulatve dstrbuto fucto (cdf)') F(X) gbt de Wahrschelchket a, daß de Zufallsvarable X höchstes de Wert x ammt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F X P X x f x ; mt f x F x F x ; x x Bespel: X 'Azahl Wappe' be dremalgem Müzwurf: x 0 3 F (X) 0,5 0,500 0,875,000 dskret Treppefukto Vertelugsfukto der dskrete Zufallsvarable 'Azahl der Wappe'

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 9 Gock, Smth 993

30 Kaptel II Zufallsvarable ud Wahrschelchketsverteluge 3 Dchte- ud Vertelugsfukto stetger Zufallsvarable Be eer stetge (kotuerlche) Zufallsvarable X ka ma de Wahrschelchket ur für Itervalle agebe. Wahrschelchketsdchte (Dchtefukto) ('probablty dstrbuto fucto' (pdf)) (desty fucto) b ( ) ( ) 0 P a x b f x dx Egeschafte: ( ) ( ). P a x b 0; f x 0 + ( ). f x dx. a De Fläche uter der Dchtefukto f(x) de Greze a ud b gbt de Wahrschelchket P(a x b) a: f (x) De Dchtefukto f (x) st also cht de Wahrschelchket für X x. 0 a b x Wahrschelchketsdchte (Dchtefukto, pdf) De Vertelugsfukto F(x) gbt be eer stetge Zufallsvarable weder de Wahrschelchket a, daß X höchstes de Wert x ammt. De Vertelugsfukto st her da kee Treppefukto, soder auch stetg. Vertelugsfukto: x ( ) ( ) ( ) F X P X x f t dt Egeschafte vo F(x): F ( x) ( ) < ( ) ( ) F ( x). 0 ;. F x mooto wachsed für x x glt F x F x ; 3. lm 0; x ( ) 4. lm F x. x +

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 3 Es glt: ( ) d F x f ( x) F ' x. Abletug der ' Stammfukto ' F x dx ( ) ( ) P a x b f x dx ( ) ( ) b a a a ( ) F ( a) F b P X a f x dx ( ) F ( a) F a 0 ( ) ( ) F (x) 0 x Vertelugsfukto F(x) (cdf) eer stetge Zufallsvarable f (x) F (x) F(a) 0 a x x a 0 a ( ) ( ) ( ) P X a F a f t dt De Fläche uter f(x) bs a Höhe vo F(x) be X a.

3 Kaptel II Zufallsvarable ud Wahrschelchketsverteluge Gock, Smth 993

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 33 4 Parameter edmesoaler Wahrschelchketsverteluge We de Häufgketsverteluge der deskrptve Statstk, so lasse sch auch de Wahrschelchketsverteluge vo Zufallsvarable durch etsprechede Maßzahle charaktersere. 4. Erwartugswert ud Varaz Erwartugswert (ɵ arthmetsches Mttel) Aus mt x ( x + x +...) x + x +... x ( ) lm P f x lm x lm x x f x ( ) ( ) µ ( ) + ( ) + + ( ) ( ) E X x f x x f x x f x x f x ( ) E X +... ( ) x f x x dskret ( ) µ stetg ( kotuerlch ) x f x dx x Bespel: De stetge Zufallsvarable se de Mute gemessee Verspätug ees Busses a eer bestmmte Haltestelle ud habe de folgede Dchtefukto f ( x) x für 0 x 4 8 0 sost. We groß st de Wahrschelchket, daß X m Itervall [, ] legt? P ( x ) f ( x) dx x dx 8 4 5 x x 0,35 6 6 6 6

34 Kaptel II Zufallsvarable ud Wahrschelchketsverteluge. We lautet de Vertelugsfukto F(x)? x F ( x) f ( t) dt t dt t t 8 6 also x x 6 0 für x < 0 F ( x) x x für 0 x 4 6 für x > 4 x 0 De gesuchte Wahrschelchket (aus ) vo e bs zwe Mute Verspätug fdet ma auch über de Vertelugsfukto: ( ) ( ) ( ) 0, 75 0, 4375 0,35 ( we obe! ) P x F F x 0 3. We groß st m Mttel de Bus-Verspätug? + E ( X ) µ x f ( x) dx x f ( x) dx x x dx 8 4 3 x x dx x x 8 4 4 0 0 4 0 Mute 3 3 b a 4 0 Im Mttel beträgt de Bus-Verspätug, 33 Mute. Varaz { } ( ) ( ) ( ) Var X σ E X E X E X µ ( ) Var X x ( x ) f ( x ) x f ( x ) µ µ X dskret + + ( x µ ) f ( x) dx x f ( x) dx µ X stetg 4 Stadardabwechug σx + σ x

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 35 Bespele: a) dskrete Zufallsvarable: Be eem Würfelspel wrd de gewürfelte Augezahl als Gew ausgezahlt, höchstes jedoch 4 Gold-DOLLARS. We groß st der Erwartugswert der ausgezahlte Gewsumme? X 'ausgezahlte Gewsumme' G x R x f x ( ) x ( ) x ( 3 ) x 3 3 ( 4 ),( 5 ),( 6 ) x 4 4 8 E ( X ) x f ( x ) µ 3 6 x ( ) f x ( ) 6 6 6 3 6 Auf lage Scht werde be desem Würfelspel m Durchschtt 3 Gold-DOLLARS pro Spel als Gewsumme ausgezahlt. We groß st de Varaz der ausgezahlte Gewsumme?. Möglchket: 4 ( x µ ) f ( x ) ( x 3) f ( x ). Möglchket: 4 6 6 3 6 6 8 6 3 3 ( 3) + ( 3) + ( 3 3) + ( 4 3) 6 6 6 6 4 3 + + 0 + 6 6 6 3 4 9 48 x f ( x ) µ + + + 9 6 6 6 6 0 9 3 3

36 Kaptel II Zufallsvarable ud Wahrschelchketsverteluge b) stetge Zufallsvarable: We groß st de Varaz m Falle des Bus-Verspätugsbespels?. Möglchket: + 4 Var ( X ) ( x µ ) f ( x) dx x x dx 3 8. Möglchket: 4 8 6 + 3 9 8 0 4 0 x x x dx 5 4 8 + + 8 6 9 9 3 x x x dx 4 0 4 5 3 7 8 x + x x + x 3 8 9 9 0 56 30 3 56 80 56 8 + + + 3 8 9 9 3 9 88 9 + ( ) ( ) Var X x f x dx µ Stadardabwechug 4 x x dx 0 4 3 x x dx 0 4 8 3 4 8 3 4 3 4 4 x x 6 3 0 3 7 8 3 9 9 0 8 Mute 8 σ x 0, 948 Mute Streuug 9 4 Tschebyscheffsche Uglechug zur Abschätzug vo P(X) eem Itervall c ( µ σ µ + σ ) P c x c Vgl. Schwarze 99, S. 67 ff.

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 37 Egeschafte des Erwartugswertoperators E bzw. des Varazoperators (Expected value, expectato, expectato operator E) ( + ) ( ) + (( ) ) ( ) ( + ) ( ). E a X b a E X b a, b Kostate. E a X a E X X, Y Zufallsvarable 3. Var a X b a Var X ( + ) ( ) + ( ) ( + ) ( ) + ( ) + ( ) 4. E X Y E X E Y 5. Var X Y Var X Var Y Cov X, Y Uabhäggket zweer Zufallsvarable X ud Y: ( ) ( ) ( ) ( ) 6. E X Y E X E Y 7. Cov X, Y 0 We zwe Zufallsvarable uabhägg sd, da st hre Kovaraz glech Null. Es ka aber cht der Umkehrschluß 'Kovaraz 0 Uabhäggket' gezoge werde. 4. Kozept der Momete: Schefe ud Exzeß Nebe Erwartugswert ud Varaz exstere aalog zur deskrptve Statstk Meda Wert der Zufallsvarable mt P(X) 0,50 Modus Realsato x mt f(x) max Erwartugswert ud Varaz sd Spezalfälle eer allgemee Klasse vo Parameter zur Charakterserug vo Wahrschelchketsverteluge: - Momete um Null - zetrale Momete -ter Ordug Zetrale Momete -ter Ordug: ( ( )) ( ) x E X f x dskreter Fall E (( X E ( X + )) ) ( x E ( X )) f ( x) dx stetger Fall Momete um Null: ledglch E(X) 0; Zwe besodere (ud bekate) Fälle: Schefe ('skewess') Exzeß, Wölbug ('kurtoss')

38 Kaptel II Zufallsvarable ud Wahrschelchketsverteluge Gock, Smth 993

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 39 Schefe 3 ( ) ( ) E X µ E X µ Maß der Asymmetre: Schefe egatv lksschefe/rechtsstele Vertelug,'log tal' der egatve Rchtug; Be Symmetre ( µ ) ( + µ ) 0 f x f x Schefe Exzeß (Wölbug) 4 (( ) ) E X µ Maß für de Wölbug ('thckess of tal'), je größer de Wölbug, desto flacher st de Vertelug Geerell also r (( ) ) µ r E X µ Da µ r explodert, we r groß wrd: Normerug µ σr r stadardserte Schefe µ σ3 3 µ 4 be Baserug auf 'Normalvertelug', stadardserte Wölbug 3 4 σ NV: Schefe 0 ud Wölbug 3 Zetrerte Zufallsvarable Y X µ mt E(Y) 0 Stadardserte Zufallsvarable Z X µ σ Es glt E(Z) 0 ud Var(Z). Bespele: We st de Schefe ud de Wölbug für das Busverspätugsbespel zu charaktersere? Bsher: Wahrschelchketsdchte: x für 0 x 4 f ( x) 8 0 sost

40 Kaptel II Zufallsvarable ud Wahrschelchketsverteluge Vertelugsfukto: 0 für x < 0 F ( x) x x für 0 x 4 6 für x > 4 E ( X ) 3 8 Var ( X ) 9 3 ( ) Welche Wert hat de Schefe E ( X µ ) + 3 3 (( µ ) ) ( µ ) ( ) E X x f x dx 4 4 x f ( x) dx 3 0 4 0 4 0 4 0 3? 4 4 x x x dx 3 3 8 8 6 + + 3 9 3 8 6 x x x x x dx 4 8 6 3 4 8 + + + + + 3 9 3 9 7 8 3 9 6 9 7 4 x 8 0 3 4 3 3 x x x x x x x x x x x dx 4 80 3 + x x + x dx 9 7 7 4 3 8 40 3 + + 40 4 9 7 7 0, 47 Schefe 0,47 > 0 lksstel ormert: µ σ 0, 47 0 948 0,, 56 3 3 3 5 4 3 x x x x x 4 0

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 4 4 ( ) Welche Wert hat de Wölbug (Exzeß) E ( X µ ) + 4 4 (( µ ) ) ( µ ) ( ) E X x f x dx Wölbug,8963 ormert: µ σ 4 0 4 0 4 4 x x dx 3 8... 4 4 4? 7 76 46 8 + + + 8 6 7 8 8 5 4 3 x x 4 x x x dx 7 76 08 8 + + + 48 30 8 8 8,8963, 8963 3 3, 40 3 0, 60 0, 948 6 5 4 3 x x x x x x Wölbug st weger flach, also stärker gewölbt, als de Normalvertelug (Normalvertelug st flacher). Graphsche Zusammefassug des Bus-Verspätugsbespels: 4 0 f(x) F(x) 0,5 0,33 3 4 E(X) 5 Mehrdmesoale Wahrschelchketsverteluge Zwe ud mehr Zufallsvarable werde glechzetg betrachtet (aalog mehrdmesoaler Häufgketsverteluge der Deskrpto): z. B. - glechzetges Würfel mt zwe Würfel; - Körpergröße ud -umfag Kofektosgröße; x

4 Kaptel II Zufallsvarable ud Wahrschelchketsverteluge zwedmesoale Zufallsvarable (X, Y) X, Y köe jewels dskret oder stetg se. 5. Wahrschelchketsverteluge zwedmesoaler Zufallsvarable De Wahrschelchketsfukto der dskrete Zufallsvarable (X, Y) gbt de Wahrschelchket a, daß de Zufallsvarable ee bestmmte Wert (x, y j ) mt der Wahrschelchket P j ammt: ( j ) ( ) ( ) P X x ud Y y P x, y P f x, y P, j j j j j aalog für stetge Zufallsvarable (X, Y), so daß für de gemesame Wahrschelchketsbzw. Dchtefukto ('jot desty fucto') glt: Prob ( a x b ud c y d ) a x b c y d b a d c (, ) (, ) f x y dskret f x y dy dx stetg Für de gemesame Vertelugsfukto F(x, y) (cdf) glt: F ( x, y) Prob ( X x, Y y) X x Y y x y f ( x y) ( ), dskret f t, s ds dt stetg Radverteluge (margale Verteluge) Uter der Radvertelug versteht ma de Vertelug vo (X, Y), de uabhägg davo st, ob X (oder Y) als Bezugsgröße ageomme wrd. Radwahrschelchkets- bzw. Raddchtefukto + f ( x, y j ) dskret j f y ( x) + f ( x, y) dy stetg Zwe Zufallsvarable sd statstsch (stochastsch) uabhägg, we glt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x, y f y f x f x,, x f x f x x y bzw. bzw. ( ) ( ) ( ) F x, y F y F x F x,, x F x F x x y Bedgte Vertelug Vertelug eer Zufallsvarable X uter der Bedgug, daß Y ee bestmmte Wert Y y ammt.

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 43 Bedgte Wahrschelchkets- bzw. Dchtefukto f ( x y) f ( x, y) ( y) f x Bedgte Vertelugsfukto ( ) F x y (, ) ( y) F x y F x Bespel: Das PORTFOLIO eer Ivestmetgruppe bestehe aus Dervate ud Akte. Ee Eschätzug der Gewetwcklug hat de verbudee Wahrschelchkete vo Dervate ud Akte zu berückschtge. 5. Parameter zwedmesoaler Verteluge: Erwartugswert, Kovaraz ud Kozept der Momete Defto Bezug auf de Radverteluge: Erwartugswert ( ) E X x f y ( x ) (, j ) (, j ) x f x y x f x y j j + x f y ( x) dx x f ( x, y) dy dx Varaz Var ( X ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) (, ) x E X f x x E X f x y ( x µ ) f y ( x) dx ( x µ ) f ( x, y) dy dx y j j Für de Streuug zwsche zwe Zufallsvarable X, Y glt Kovaraz ( ) ( ) ( ) Cov X, Y E X µ x Y µ y ( x µ x)( y j µ y ) f ( x, y j ) j E X Y µ µ σ ( ) xy We X ud Y uabhägg sd, da st ( ) ( ) ( ) f x y f x f y, y x x y

44 Kaptel II Zufallsvarable ud Wahrschelchketsverteluge ud ( ) ( ) ( ) ( ) x f x f y x y y [ x µ x ] f y ( x) y x ( ) x y f y y µ E ( X µ x ) E ( Y µ y ) σ µ µ xy y x x y 0 Das Vorzeche der Kovaraz gbt de Rchtug des Zusammehags zwsche X ud Y a. Durch ee Normerug ka de Uabhäggket vo der Skalerug errecht werde. Korrelatoskoeffzet (, ) r X Y ( ρ xy ) σ xy ρxy σ σ x y Iterpretato aalog zum chtstochastsche Fall (Deskrpto) Kozept der Momete µ rs E X µ x Y µ y r ( ) ( ) s z. B. zetrales Momet der Ordug (r, s) ( ; ): ( X Y ) E ( X E ( X )) ( Y E ( Y )) E ( XY ) E ( X ) E ( Y ) Cov, 6 Stochastsche Smulato ud Pseudo-Zufallszahle Smulato: Zelgerchtetes Expermetere a Modelle; Stochastsches Modell: Überlagerug ees determstsche Tels mt eer Zufallsschwakug ε: Y β x + ε k k k Stochastsche Smulato: aus vele Computerläufe köe da der Erwartugswert E(Y) ud adere Größe we Var (Y) etc. gebldet werde. 3 Pseudo-Zufallszahle sd geererte Zufallszahle. E besoderes Problem vo Pseudo-Zufallszahle (-geeratore) st de Vermedug vo wederkehrede Zykle! Es gbt verschedee Methode, um ee 'zuverlässge' Zufallszahl zu geerere. 3 Vgl. Yag, Robso 986, S. 5 f.

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 45 Bespele: - Glechvertelte Zufallsvarable z.b. mt der leare Kogruetemethode Startwert I 0 (ugerade Iteger-Zahl) ( ) I a I + c mod m U I m mod (m) bezechet her de modulo-operator, der als Ergebs de gazzahlge Rest eer Dvso durch m lefert (Bespel: 5 (mod 00) 5). De leare Kogruetemethode lefert ee Sequez vo glechvertelte Pseudozufallszahle ('uform pseudo radom umbers') U, U, U3,... Bespelswese verwedet das IBM/370-System folgede Werte für a, c ud m: 5 a 7 6807; c 0; 3 m. Dese Werte erfülle de Bedguge eer 'zuverlässge' Zufallszahl. - Normalvertelte Zufallsvarable Des stellt e besoderes Problem dar, da kee geschlossee Form der Wahrschelchketsfukto (Itegral!) exstert. Deses Problem wrd m Abschtt "Verteluge" och emal aufgegrffe. w l U U Zufallszahl, glechvertelt (0, ) Für 0 < U 0,5 a + a w+ a w X Φ U w 0 ( ) 3 + b w+ b w + b3 w mt a 0,5557 a 0,80853 a 0,00308 für 0,5 < U < : 4 X b,43788 b 0,8969 b 3 0,00308 ( U ) Φ wobe Φ - de Iverse der Stadard-Normalvertelugsfukto st (vgl. auch IV.4) Computerprogramme ud Pseudo-Zufallszahle I mache Computerprogramme gbt es vorberetete Prozedure, de ach Aufruf ee Zufallszahl produzere, de eer bestmmte Vertelug etsprcht: 4 Vgl. Yag, Robso 986, S. 53.

46 Kaptel II Zufallsvarable ud Wahrschelchketsverteluge Bespel: Ecoometrcs Toolkt ET RNU (0, ) RNG (µ, σ) RNP (µ) etc. glechvertelt logormalvertelt Posso-vertelt ET - Aufruf z.b.: CALC; Z RNU (0, ) $ Zur Geererug vo Pseudo-Zufallszahle Computerprogramme vgl. auch de Abschtt X. Keycocepts Zufallsvarable Auspräguge eer Zufallsvarable Dchte-/Wahrschelchketsfukto Vertelugsfukto Erwartugswert Varaz Kovaraz Schefe Wölbug Mehrdmesoale Wahrschelchketsvertelug

Kaptel III Dskrete Verteluge 47 III Dskrete Verteluge Darstellug der Wahrschelchkete des Auftretes bestmmter Auspräguge eer dskrete Zufallsvarable Sowohl der deskrptve, we auch der duktve Statstk lasse sch vele Berechuge durch de Verwedug vo Wahrschelchketsverteluge verefache. I der deskrptve Statstk dee de theoretsche Verteluge vor allem zur äherugswese Beschrebug emprsch beobachteter Verteluge. De Verefachug wrd am beste durch e Bespel deutlch: Würde ma bespelswese de Ekommesvertelug eer Gesellschaft beschrebe wolle, ohe auf ee theoretsche Vertelug zurückzugrefe, so wäre es erforderlch jedes ezele dvduelle Ekomme zu erhebe, evetuell Guppe zu aggregere ud auszuwerte. Fdet ma hgege ee theoretsche Vertelug, mt der sch de Ekommesvertelug der Gesellschaft gut beschrebe lässt (m Fall vo Ekommesverteluge z.b. de Logormalvertelug), st es häufg ur och erforderlch ege wege Parameter zu bereche (be der Logormalvertelug de Erwartugswert ud de Varaz), um Aussage über ezele Frage (Wevel Prozet der Gesellschaft verdee weger als?) treffe zu köe. I der schleßede (duktve) Statstk legt der Vortel der Verwedug vo Wahrschelchketsverteluge vor allem dar, dass se geschlossee, aalytsche Lösuge für Ergebsse vo Zufallsexpermete bete, dese also cht äherugswese (teratv) bestmmt werde müsse. Dskrete Verteluge: Zufallsvarable X st dskret Stetge Verteluge: Zufallsvarable X st stetg Vor wchtge Verteluge für stetge Zufallsvarable werde zuächst wchtge Verteluge ( geschlosseer Form) für dskrete Zufallsvarable behadelt. Glechvertelug Ist X ee dskrete Zufallsvarable mt x (,...,) als Realsatoe, de mt de Wahrschelchkete f(x ) auftrete, da heßt X glechvertelt, we jeder Wert x glech wahrschelch st. Wahrschelchketsfukto f x ( ) (,..., )

48 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Vertelugsfukto 0 für x < x F x für x x + für x x ( ) x < (,..., ) Bespel: Würfel mt eem fare Würfel: f x x 6 0 für x < F ( x ) für x < 6 6 für 6 x ( ) (,...,6 ) f (x) F (x) 0,5 0 3 4 5 6 x 0 3 4 5 6 x Das Uremodell ud das Beroull-Expermet Zur gedaklche Verefachug werde vele Zufallsexpermete das sogeate Uremodell überführt: Elemetareregsse: (glech große) grüe, rote, schwarze etc. Kugel; Zehe mt Zurücklege: uabhägge Eregsse Zehe ohe Zurücklege: abhägge Eregsse Für de Zehede: zufällges Eregs aus eer bestmmte Vertelug; Beroull-Expermet (J. Beroull (654 705)) Für jede Versuch gbt es ur zwe möglche Ergebsse: A ud das Komplemet A. De Erfolgswahrschelchkete p bzw. p der Eregsse A bzw. A sd kostat, äder sch also vo Versuch zu Versuch cht. De ezele Versuche sd voeader uabhägg.

Kaptel III Dskrete Verteluge 49 Des etsprcht eem Uremodell mt z. B. ur schwarze ud weße Kugel, wobe p f(x) Atel schwarzer ud - p Atel weßer Kugel st. Ma zeht also mt Zurücklege, damt p bzw. - p uverädert blebe. Bespel: De Eregsse Wappe oder Zahl bem Werfe eer Müze; Ee Folge vo Beroull-Versuche führt zur Bomalvertelug. 3 Bomalvertelug We groß st de Wahrschelchket, daß be uabhägge Wederholuge des Zufallsex- x -mal das Eregs A etrtt? permets x-mal das Eregs A ud damt ( ) Also: Versuche, wobe A mt der Wahrschelchket p ud A mt der Wahrschelchket p etrtt. X Azahl der Eregsse A be Versuche Gesucht: P(X x)? Ee Realsato: A, A, A,... x-mal A, A, A,... ( x)-mal Da de ezele Versuche uabhägg voeader sd, glt ach dem Multplkatossatz (logsches UND): ( p) ( p) ( p) p p p... P x-mal ( x-mal A)... ( x)-mal ( -mal A) ( ) x x p P ( x) p P(für ee bestmmte Realsato) p x ( p) - x

Kaptel III Dskrete Verteluge 5 Alle Realsatoe: Wevele verschedee Aorduge (Rehefolge, Möglchkete) gbt es, be Versuche x-mal das Eregs A zu erhalte? Kombatork: Auswahl x aus, Rehefolge uwchtg, ohe Wederholug ( AA ˆ AA).! Kombato : C ( x, ) x x! ( x)! Es gbt damt verschedee Möglchkete, um be Versuche x-mal das Eregs A zu x erhalte. Jede Aordug, Folge, Möglchket bestzt de gleche Wahrschelchket x x p p. ( ) Da sch de ezele Folge gegesetg ausschleße, addere sch de Wahrschelchkete für de ezele Rehefolge (Addtossatz für sch ausschleßede Eregsse (ODER)). Wahrschelchketsfukto der Bomalvertelug P X x fb x p p p x ( ) (, ) ( ) Vertelugsfukto x x X P X x F x p p p k 0 k ( ) B (, ) ( ) k k Bespel: a) We groß st de Wahrschelchket be 5 Würfe eer Müze geau x mal Zffer zu werfe? 5 ( ) ( 5; 0,5) 0,5 ( 0,5) 5 P X f B 0,35 b) We groß st de Wahrschelchket be 5 Würfe höchstes zwemal Zffer zu werfe (X x )? FB P X x F p p k 0 k ( ) B ( 5;0,5) ( ) k k 5 5 5 0 5! 0,035 + 0,5 0,065+ 0,35! 5! ( 5; 0, 5) F ( x ) 0,5 ( 0,5) + 0, 5 ( 0,5) + 0,5 ( 0,5) 0 5 0 5 5 ( ) 0,5

Kaptel III Dskrete Verteluge 53 Graphsche Bespele (Bomalvertelug): De Gestalt der Bomalvertelug hägt also vo de Parameter ud p ab! Erwartugswert Varaz E ( X ) p ( ) ( ) ( ) Var X p p p q Bomalverteluge sd umodale Verteluge, de für p q symmetrsch p < 0,5 lksstel sd.

54 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk ET: Probablty, Dscrete Dstrbutos, Bomal Dstrbuto Dscrete Bomal Posso 3 Geometrc 4 Hypergeom. 5 NEg. Bom Probabltes of x successes depedet trals from a populato whch the prob. of a success o ay draw s π. x 0,,..,the umber of successes p[x]cx π^x(-π)^(-x), Meaπ,Varace π(π) (Notato: Cx!/[x!(-x)!] x^y x to y power.) x Prob[Xx] x Prob[Xx] x Prob[Xx] x Prob[Xx] 0.000000 5.03684 0.6694 5.0033.000000 6.07086.399 6.000584.000584 7.399.07086 7.000000 3.0033 8.6694 3.03684 8.000000 4.0673 9.8547 4.0673 Success probablty π.500 0 < π < Sample sze, 8 0 < 99 Mea 9.0000, Std. Devato. Move the cursor to the computato you wat wth or, eter the value, the press Eter. EscExt Prob P[Xx] what s x? 6 P.07 -P.99 Cumul P[X x] what s x? P -P Rage P[a X b] what s a? b? P Ivrs x for P[X x]p: what s P? X Source: W. Greee, Ecoometrcs Toolkt, Verso 3.0, Ecoometrc Software, Ic. New York 99, S. 57 ff.

Kaptel III Dskrete Verteluge 55 Bespel: Zur Fertgug ees Werkstückes stehe acht Masche zur Verfügug. Ma hat festgestellt, daß de ezele Masche mt eer Wahrschelchket vo p 0,8 (uabhägg voeader) arbete. a) Wevele Masche arbete lagfrstg m Durchschtt? b) We groß st de Streuug? a) Bomalvertelug: 8 p 0,8 E(X) µ p 8 0,8 6,4 6,4 Masche arbete m Durchschtt. Var X p p p q 8 0,8 0,,8 b) ( ) σ ( ) σ, 8, 3 De Streuug beträgt,3 Masche. Satz: Sd X ud Y uabhägge Zufallsvarable ud bomalvertelt mt B(, p) bzw. B(m, p), so st de Zufallsvarable X + Y ebefalls bomalvertelt mt B(m +, p). Bomalvertelug ud Tabellewerte Formelsammlug (Ahag): f B, F B für,..., 0 mt jewels x 0,..., ud p 0,05 ; 0,0 ;...; 0,50 Für Werte p > 0,5: x x* x p p* p Bespel: Ee Ure st zu 70 % mt rote Kugel gefüllt. Zwölf Kugel werde acheader mt Zurücklege gezoge. Gesucht: P(X x 8 rote Kugel) x 8 p 0,7 da p > 0,5 Wahrschelchket P (X 8) f B : B (, ) B (, ) f x p f x p ( ) f 4 ;0,3 0,3 B

56 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Wahrschelchket P (X 8) F B : B (, ) B (, ) FB ( 8 ;0,3) FB ( 3 ;0,3) F x p F x p 0, 495 0, 5075 4 Hypergeometrsche Vertelug Uremodell ohe Zurücklege: Aus eer Ure mt M schwarze ud N M weße Kugel (also sgesamt N Kugel) wrd de Zufallsstchprobe etomme, ohe daß de ezele Kugel zurückgelegt wrd. We groß st de Wahrschelchket, daß uter de gezogee Kugel x schwarze zu fde sd?. De Azahl der Möglchkete eer Auswahl vo x schwarze Kugel aus M schwarze Kugel berechet ma durch (Kombatork): M x Aalog: Azahl der Möglchkete (Rehefolge), aus N M weße Kugel ( x) weße Kugel zu zehe: N M x. Da jede ezele Möglchket 'x aus M' mt jeder ezele Möglchket ' x aus N M' kombert werde ka, errechet sch de Gesamtazahl aller Möglchkete, daß geau x der Kugel schwarz sd durch: M N M x x 3. Als Gesamtzahl der Möglchkete, aus eer Ure mt N Kugel ee Auswahl (Stchprobe) mt zu zehe, ergbt sch: N

Kaptel III Dskrete Verteluge 57 4. Mt Hlfe des Laplacesche Wahrschelchketsbegrffs ergbt sch da de Hypergeometrsche Vertelug (Wahrschelchketsfukto, pdf) f H ( x N,, M ) M N M x x N Vertelugsfukto (Summato der Ezelwahrschelchkete, P(X x), cdf) F H ( x N,, M ) X st vertelt H(N,, M). Erwartugswert ( ) E X M N x k 0 M N M k k N Varaz M N M N Var ( X ) N N N Approxmato: Für große N, M, N M ud dazu relatv klee Wert ka de hypergeometrsche Vertelug gut durch de Bomalvertelug ageähert (approxmert) werde. Faustregel: M 0,05 ˆ p der Bomalvertelug N N Graphsches Bespel: Computerprogramm Ecoometrcs Toolkt ET: Befehlsequez : PROB Hypergeom. Parameter: her ET ( populato ) ( successes ) N P ' ' M m ' ' Stchprobe

58 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Bespele:. N P 5 M m 8 5 Mt welcher Wahrschelchket zeht ma geau dre schwarze Kugel aus eer etsprechede Ure mt 8 53,33 % schwarze Kugel? 5 8 7 3 pdf : P ( x 3 N 5, 5, M 8 ) 39, % 5 5 cdf: maxmal dre schwarze Kugel 8 7 3 k 5 k FH ( x 3 N 5, 5, M 8) 8,8% k 0 5 5 (ET: Set Parameters Cumulatve p5, 5, m8 Probabltes x3 F H ). P(6 Rchtge m Lotto '6 aus 49')? N 49 M 6 N M 43 x 6 M N M 6 43 x x 6 0 fh ( x 6 N 49, 6, M 6) N 49 6 7,5 0 N 49 49! 6 6! ( 49 6 )! P(5 Rchtge m Lotto '6 aus 49')? x 5, sost we obe: H 5 ( 5,, ) 0, 000084,845 0 f x N M 3. P(mdestes 5 Rchtge)? 8 5 5 7, 5 0 +, 845 0, 855 0 8

Kaptel III Dskrete Verteluge 59 5 Possovertelug Es hadelt sch her wederum um e Beroull-Expermet, wobe aber de Erfolgswahrschelchket sehr kle ud de Azahl der Expermete sehr groß st. Da st de Possovertelug (S. O. POISSON (837)) Grezfall der Bomalvertelug. I desem Fall wäre de Bomalvertelug ur sehr aufwedg zu bereche: p 0 p µ E(X) kostat x x lm p ( p) ( ohe Bewes! ) p 0 p cost. x µ e x x! µ Wahrschelchketsfukto der Possovertelug x µ µ e f p x e x! ( µ ),78... Vertelugsfukto der Possovertelug F p x ( x µ ) k µ e k k 0! µ Erwartugswert E ( X ) µ Varaz Var ( X ) µ Aufeaderfolgede Gleder der Wahrschelchketsfukto lasse sch mt der folgede Rekursosformel bereche: µ f x f x x + ( + µ ) ( µ ) Possovertelug: für Modelle mt Zähldate ('dscrete choce' - Modelle) Approxmato der Bomalvertelug durch Possovertelug: Faustregel: > 00 ud p < 0,05 Bespel: I eer Utersuchug zur Umweltbelastug der budesdeutsche Bevölkerug wurde 00 Arztpraxe de Zahl der Patete gezählt, de eem Jahr achweslch durch erheblche Umweltbelastuge tödlch erkrakt sd. Um das Datemateral wetere Überleguge

60 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk ezubrge, sollte versucht werde, de emprsche Häufgkete durch ee theoretsche Vertelug zu approxmere. Als Kaddat wurde de Posso-Vertelug vorgeschlage. De Posso-Vertelug habe de Parameter µ 0,63. Zahl der tödlch erkrakte Patete N p x (Posso) 0 3 4 5 54 3 0 0,54 0,3 0, 0,0 0,0 0,00 0,533 0,335 0,00 0,0 0,004 0,000 53 34 0 0 0 Relatv gute Approxmato des Datematerals durch ee Posso-Vertelug mt µ 0,63. 6 Geometrsche Vertelug Fragt ma u, we oft ma de Beroull-Prozeß durchführe muß, bs ma zum erste Mal das Eregs A beobachtet, so gelagt ma zur geometrsche Vertelug. De Zufallsvarable X bezeche de Azahl der Versuche bs eschleßlch zum erste Auftrete vo A. Da glt: Wahrschelchketsfukto der geometrsche Vertelug ( ) ( ) x f x p p p x,,... g Vertelugsfukto der geometrsche Vertelug F g ( x p) 0 für x < m ( p) für m x < m +; m,,... Erwartugswert ( ) E X p

Kaptel III Dskrete Verteluge 6 Varaz Var X p p ( ) Bespel: Bem Roulette beträgt de Wahrschelchket, daß ee rote Zahl fällt ( ) P rot 8 p. 37 We groß st de Wahrschelchket, daß bem 0. Spel zum erste Mal Rot etrtt? f g 8 9 0 0, 0008 37 37 ( p) Der Erwartugswert beträgt ( ) E X De Varaz beträgt 37,05556 p 8. 9 Var ( X ) 37,6975. 8 37 9 Im Mttel st etwas selteer als jedes zwete Spel rot. 7 Multomalvertelug ud allgemee Hypergeometrsche Vertelug Awedug be mehrdmesoale Eregsse A, A,..., A k Modelle mt Zurücklege: Multomalvertelug We k möglche Eregsse A, A,..., A k des ezele Versuchs exstere Voraussetzug: Uabhäggket der Versuche ud kostate Etrttswahrschelchkete p, p,..., p k der Eregsse - st de Wahrschelchket, daß be Versuche geau x mal A, x -mal A,..., x k mal A k etrtt, gegebe durch de Multomalvertelug! f x,..., x, p,..., p p p... p x x ( ) x k M k k k x! x!... xk! k mt x ud p k Voraussetzug: Zehe mt Zurücklege bzw. uedlch große Grudgesamthet X X,..., X st vertelt M, p,..., p ( ) ( ) k k

6 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Spezalfall: Bomalvertelug mt k, x x, p p Erwartugswert ( ) E X p Varaz ( ) ( ) Var X p p Bespel: Be eem Frageboge wrd ach dem Alter der befragte Perso Klasse (0-0, 0-40, 40-60 Jahre, älter als 60 Jahre) gefragt. Der Atel der Bevölkerug der -te Klasse beträgt p (,...,4) mt p. Es werde 000 Persoe befragt. We groß st de Wahrschelchket, daß höchstes 0% der Befragte bs zu 0 Jahre ud höchstes 0% älter als 60 Jahre sd? (Hartug 98, S. 0) l Ist x oder 0, je achdem ob de l-te Perso der -te Altersklasse legt oder cht, so st (,..., 4 ) ~ (,,, 4 ) l l l x x x M p p. 000 l De Zufallsvarable ( ) Gesucht: X X st da M 000, p,..., p vertelt. l 4 ( 00, 00) ( 00, + 000, 00) P X X P X X X X X X 4 3 4 4 00 00 0 j 0 0 j 0 (, 000, ) P X X + X j X j 3 4 00 00 000! p p p + p! j! ( ) 000 j 4 3 Modelle ohe Zurücklege: Allgemee Hypergeometrsche Vertelug Werde Stchprobe ohe Zurücklege gezoge, da st de Bomalvertelug durch de Allgemee Hypergeometrsche Vertelug zu ersetze. Werde z. B. füf Kugel aus eer Ure mt N 5 weße ud N 0 schwarze Kugel gezoge, da beträgt de Wahrschelchket für (x aus füf weße ud x 3 aus zeh schwarze Kugel) ( x + x, N + N N)

Kaptel III Dskrete Verteluge 63 AH (,,, ) f x x N N N N N N N x x x x N N 5 0 5! 0! 3! 3! 3! 7! 5 5! 5 5! 0! 0,3996 Be kleere N etsprcht dese Vertelug der Bomalvertelug. Allgeme glt für x,, x k Beobachtuge der Eregsse A,, A k : (,...,,,,..., ) f x x N N N AH k k k mt x ud N N k X (X,...X k ) st vertelt AH (, N,...,N k ) Erwartugswert ( ) E X N N N N Nk... x x xk N Varaz N N N Var ( X ) N N N Bespele: ;, N N b) Zahlelotto (Uremodell ohe Zurücklege): a) ET: für k N P ( ET ) N m( ET ) π ( ET ) z. B. '6 aus 49', Wahrschelchket für füf Rchtge: x 5, N 6 ; x, N N N 49 6 43, x + x 6

64 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk f AH ( 5 vo 6, vo 43) f AH ( 5, 6,6, 43) Wahrschelchket für sechs Rchtge: f AH ( 6,0 6,6,43) 6 43 6 49 6 5 5 6 5 49 49 6 6 6 43 0, 000084499 0,8 0 398386 6 43 6 0 49 398386 6 0, 000000075 0, 7 0 c) k > : rote, grüe, schwarze Kugel ( ) 3 A, A, A, uterschedlche Partee etc. 7 4

Kaptel III Dskrete Verteluge 65 ET: Dscrete Dstrbutos Source: W. Greee, Ecoometrcs Toolkt, Verso 3.0, Ecoometrc Software, Ic. New York 99, S. 56 ff. Keycocepts Dskrete Merkmale/Verteluge Stetge Merkmale/Verteluge Parameter vo Wahrschelchketsverteluge Beroull Expermet Bomal-, Hypergeometrsche-, Posso-, Geometrsche-Vertelug Multomalvertelug, Allgemee Hypergeometrsche Vertelug

Kaptel IV Stetge Verteluge 65 IV Stetge Verteluge Darstellug der Wahrschelchkete des Auftretes bestmmter Auspräguge eer stetge Zufallsvarable Stetge Vertelug auf der Bass stetger Zufallsvarable. Vo besoderem Iteresse: - Dchtefukto (Wahrschelchketsdchte) - Vertelugsfukto ('cumulatve dstrbuto fucto', cdf) ud zetrale Parameter we Erwartugswert ud Varaz Glechvertelug Glechvertelug: Jeder Wert der stetge Zufallsvarable X hat de gleche Etrttswahrschelchket. Dchtefukto der Glechvertelug f g ( x a, b) b a 0 für a x b sost Vertelugsfukto 0 für x < a x a Fg ( x a, b) für a x b b a für x > b

66 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk x a x x + x b a b Dchtefukto Vertelugsfukto x Erwartugswert Varaz ( ) E X ( ) Var X a + b ( b a) Bespele: a) Zege Se, daß sch de Vertelugsfukto eer glechvertelte Zufallsvarable mt F g ergbt? x x t x a x a F ( x) f ( t) dt dt b a b a b a b a b a a x a b) Warum habe E(X) ud Var(X) eer glechvertelte Zufallsvarabe X obges Ergebs? + b ( b + a)( b a) ( ) b b x b a b + a E ( X ) f ( x) x dx f ( x) x dx x dx µ b a b a ( b a) b a a a a + + Var ( X ) ( x E ( X ) ) f ( x) dx x f ( x) dx µ b b b + a 3 b + a x dx x b a b a 3 a b a ( b + a) 4( b a ) 3( b a)( b + a) 3( b a) 4 ( b a) 3 3 3 3 3 3 3 3 (4b 4a 3ba 6ab 3b 3a 6a b 3 ab ) + + + ( b a) a 3 3 ( b a + 3a b 3 ab ) ( b a)( b a) ( b a) q. e. d. ( b a) ( b a)

Kaptel IV Stetge Verteluge 67 Expoetalvertelug Dchtefukto eer expoetalvertelte Zufallsvarable f E λx λ e für x 0 mt λ > 0 ( x λ) 0 sost De Expoetalvertelug st ur vo λ abhägg! Dchtefukto der Expoetalvertelug für λ 0.; 0,5; De Vertelugsfukto (cdf) P (X x) erhält ma durch Itegrere: F E Erwartugswert Varaz 0 für x < 0 ( x λ) λx e für x 0 ( ) E X Var X λ λ ( ) 3 Gammavertelug De Gamma (Γ)-Vertelug wrd bspw. verwedet zur Aalyse vo Ekommesverteluge ud Produktosfuktoe.

68 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Dchtefukto der Gammavertelug f G r λ e Γ( r) λx x r wobe Γ r t ( r) t e dt, Γ( r) ( r 0 Vele bekate Verteluge sd Spezalfälle we z. B.: - Expoetalvertelug (r ) - Ch-Quadratvertelug (λ ; r ) )! (r gazzahlg) Gammafukto heßt. Erwartugswert E(X) r λ Varaz Var(X) r λ 4 Normalvertelug Bedeutug der Normalvertelug: - als emprsche Vertelug: Sozoökoomsche Faktore verhalte sch aäherd ormalvertelt, (QUETELET, 9. Jhdt); - als Vertelugsmodell m Zusammehag mt dem zetrale Grezwertsatz: I eer Ure befde sch vele Kugel mt uterschedlchem Gewcht. Ma zeht u Stchprobe mt Zurücklege. Bestmmt ma da das durchschttlche Gewcht der Kugel de Stchprobe, also das arthmetsche Mttel, so werde dese Mttelwerte für jede Stchprobe verschede se. I desem Se stelle de Mttelwerte also ee Zufallsvarable dar, de be geüged großem Stchprobeumfag ormalvertelt st. Des st davo uabhägg, we de Gewchte aller Kugel der Ure vertelt sd. - als mathematsche Bassvertelug: De Normalvertelug st de Bassvertelug der χ -, der t- ud der F-Vertelug (Vgl. auch Abschtt V.3). De Normalvertelug lefert häufg auch gute Approxmatoe für adere Verteluge (Bsp. Bomalvertelug). - als statstsche Fehlertheore: Messuge vo ökoomsche Varable werde häufg vo Zufallsfehler überlagert, wobe oft vele Fehlerfaktore exstere. Ma wll zum Bespel x messe, ka aber ur y beobachte, wobe der folgede Zusammehag glt: y x + ε. We vele Wederholugsmessuge durchgeführt werde, ka ma für ε ee Stadardormalvertelug a-

Kaptel IV Stetge Verteluge 69 ehme (ε N(0, )). Gemäß der Bezehug y x + ε läßt sch ε bestmme: ε y x. De Normalvertelug st daher de wchtgste statstsche Vertelug. Grudlegede Arbete stamme vo GAUß aus de Jahre 809 ud 86 (Gaußsche Glokke- oder Fehlerkurve). Dchtefukto (symmetrsch) der Normalvertelug ( x µ ) f x e für x σ π σ N ( µ, σ ) < < + ; σ > 0; e,78...; π 3,45 ; X heßt ormalvertelt mt de Parameter µ ud σ : X ~ N(µ, σ ) Egeschafte: symmetrsch, glockeförmg, Modus Meda Erwartugswert Maxmum be: x µ Wedepukte: x µ ± σ zwsche de Wedepukte: ca. /3 der Fläche Nagelbrett ud Normalvertelug Nagelbrett ud Normalvertelug Nägel bewrke, daß de Kugel mt p 0,5 rechts oder lks falle. Für großes ähert sch also de Bomalvertelug a de Normalvertelug (Glockekurve).

70 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Graphsches Bespel: Computerprogramm Ecoometrcs Toolkt ET: Befehlssequez: PROB Normal Graphc Mehrere Grafke: Multple plots Graphk: N(µ,σ ) : N(0,) : N(0,4) 3: N(0,5) 4: N(7,9) 4 3 Dchtefuktoe vo Normalverteluge mt verschedee Parameter µ ud σ Vertelugsfukto (cht mehr elemetar) x t µ σ FN ( x µ, σ ) e dt σ π 0,5 Fläche a 0 Dchtefukto x a 0 Vertelugsfukto x

Kaptel IV Stetge Verteluge 7 Wchtge Trasformatosegeschaft Ist X ormalvertelt, da st auch jede leare Trasformato vo X ormalvertelt: X N ( µ, σ ) a + b X N ( a + b µ, b σ ) Ee besodere Trasformato: a µ b Z X µ ; σ σ σ Z st stadardormalvertelt mt µ 0, σ ; N(0, ) Dchtefukto Stadardormalvertelug Z ~ N(0,) φ( z) fn ( z) e π z f (z) N Wedepukt -3-3 z 68,7 % 95,45 % 99,73 %

Kaptel IV Stetge Verteluge 73 Gock, Smth 993

74 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Vertelugsfukto Stadardormalvertelug t Φ ( Z) FN ( z) e dt π z Tabellewerte: a - µ X - µ b µ Es glt: Prob( a < X < b) Prob < < σ σ σ x µ also FN ( x) FN ( z) z σ Φ ( z) Φ ( z) Symmetre f ( z) f ( z) z p z p Bespele: Der Durchmesser vo Bretter se ormalvertelt mt µ, cm ud σ 0,006 cm. a) We groß st de Wahrschelchket, daß der Durchmesser ees zufällg ausgewählte Brettes größer als,8 cm st? P ( X >,8) P ( X,8) P ( Z z), x µ,8, wobe z σ 0,04 ( >, 8) ( ) ( ) P X P Z F N 0,9773 0,07 über ET oder Tabelle ( ) Tabelle : F, F, F F F z 0,9773 Z Z b) We groß st de Wahrschelchket, daß der Durchmesser zwsche,8 ud,6 cm legt? ( ) ( ) P,8 X, 6 P z Z z ; z u, 8, 0,5 z o, 6,,5 0, 04 0, 04 (,8, 6) ( 0, 5,5 ) FN (,5 ) FN ( 0,5) FN (, 5) ( FN ( 0,5) ) P X P Z u 0,933 0,3085 o 0, 647

Kaptel IV Stetge Verteluge 75 Ee wetere geläufge Trasformato der Normalvertelug führt zur Logormalvertelug. We der Logarthmus vo X ormalvertelt st, st X selbst logormalvertelt: l X N( µ, σ ) X LN( µ, σ ) De etstehede lksstele Vertelug ka recht gut zur Beschrebug eer Velzahl emprscher Verteluge, we bspw. Vermöges-, Ekommes-, aber auch Frmegröße verteluge, verwedet werde. Dchtefukto Logormalvertelug X~LN ( l x µ ) f x e für x e xσ π σ LN ( µ, σ ) > 0; σ > 0;,78...; π 3,45 ; Dchtefukto der Expoetalvertelug für µ 0, σ Vertelugsfukto (cdf) P (X x) 0 (l t µ ) σ e FLN ( X ) dt σ π t x Erwartugswert Varaz ( ) E l X µ E( X ) e ( ) σ ( µ + ) ( + ) µ σ σ Var l X σ Var( X ) e *( e )

76 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk ET: Probablty, Cotuous Dstrbutos, Normal Dstrbuto Cotuous 6 Normal 7 t 8 F 9 Ch squared 0 Logormal A Beta Mea, µ.000 Stadard devato, σ.000 σ < 0 Mea 0.000, Std. Devato.000 Set parameters Probabltes Graph dst. Multple plots Use or ltr. ESCext to meu Move the cursor to the computato you wat wth or, eter the value, the press Eter. EscExt Eter P,C,R,or,I for the type of computato Prob P[Xx] what s x? P -P Cumul P[X x] what s x? - P.59 -P.84 Rage P[a X b] what s a? b? P Ivrs x for P[X x]p: what s P? X Plot? (y/) Y Source: W. Greee, Ecoometrcs Toolkt, Verso 3.0, Ecoometrc Software, Ic. New York 99, S. 6 ff.

Kaptel IV Stetge Verteluge 77 ET: Cotuous Dstrbutos Source: W. Greee, Ecoometrcs Toolkt, Verso 3.0, Ecoometrc Software, Ic. New York 99, S. 6 ff.

78 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 5 Normalvertelug als Näherugsvertelug De Normalvertelug det als Näherugsvertelug für: - Bomalvertelug: De Approxmato st um so besser, je äher p be 0,5 legt. Faustregel: p ( p) 9 Als stadardserte Zufallsvarable erhält ma her: Z * X p p q ( p E ( X ) der Bomalvertelug; p ( p) Var ( X ) Bomalvertelug; wobe q ( p) ) der - Possovertelug: De Approxmato ka verwedet werde, we µ Faustregel: µ 9 Als stadardserte Zufallsvarable erhält ma her: ɵz X µ µ ( µ E ( X ) der Possovertelug; Var ( X ) µ der Possovertelug) - Hypergeometrsche Vertelug: De Approxmato ka verwedet werde, we M p ( p) 9 mt p ud 0, 05. N N Wetere eger Bezehug zur Normalvertelug stehede Verteluge: - gestutzte ('tucated') Normalvertelug - Logormalvertelug - Ch ( χ ) - Vertelug - t - Vertelug sehe uter V.3 - F - Vertelug

Kaptel IV Stetge Verteluge 79 Ü b e r g ä g e z w s c h e d e V e r t e l u g e N o r m a l v e r t e l u g B o m a l v e r t e l u g P o s s o v e r t e l u g H y p e r g e o m e t r s c h e V e r t e l u g Keycocepts Glechvertelug Expoetalvertelug Gammavertelug Normalvertelug Stadardserug eer ormalvertelte Zufallsvarable Stadardormalvertelug Logormalvertelug Normalvertelug als Näherugsvertelug Übergäge zwsche de Verteluge

80 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk V Iduktve Statstk, Stchprobefuktoe ud Testverteluge Der Schluss auf de Grudgesamthet: Berechuge aus der Stchprobe ud Eführug de Testverteluge Zum Schluß vo der Stchprobe auf de Grudgesamthet De duktve Statstk (auch: Iferezstatstk, schleßede Statstk) hat das Zel, vo eer Auswahl (Stchprobe) auf de Allgemehet (Grudgesamthet, Populato) zu schleße. Bespele: Aus eer Fertgug vo CD-ROM-Laufwerke werde zufällg ege zur Qualtätskotrolle herausgeholt. Was ka mt dem Fehleratel deser Auswahl über de Gesamtprodukto gesagt werde? E weterer Berech st de emprsche Überprüfug vo allgemee Hypothese a Stchprobeergebsse: Ee Utersuchug brachte folgedes Ergebs zu Tage: 30 vo Fraue geschrebee Statstkklausure wese ee um zwe Pukte höhere Durchschtt als vo 40 Mäer geschrebee Statstkklausure auf. Ka daraus geschlosse werde, daß Fraue geerell bessere Statstkklausure schrebe als Mäer? Wchtge Begrffe: Populato, Grudgesamthet Stchprobe Zufallsstchprobe Geschchtete Stchprobe Klumpestchprobe alle potetell utersuchbare Ehete Telmege der Utersuchugsehete zufällge Auswahl aus der Grudgesamthet Grudgesamthet wrd homogee Gruppe (Schchte, 'strata') utertelt ud da Stchprobe aus jeder Schcht gezoge Grudgesamthet wrd kleere Klumpe ('cluster') aufgetelt. Jede Beoabachtug vo zufällg ausgewählte Klumpe wrd betrachtet (z. B. Wohugsumfrage eer Stadt: Auftelug der Stadt Wohbezrke, zufällge Auswahl der Wohbezrke, Utersuchug aller Wohuge de ausgewählte Bezrke). proportoal geschchtete oder stratfzerte Stchprobe Merkmalsvertelug der ezele Schcht ('strata') ɵ Vertelug der Populato (z. B. Kosumverhalte: Atele Geschlecht, Alter, Haushaltsgröße etc. we der Grudgesamthet)

Kaptel V Iduktve Statstk, Stchprobefuktoe ud Testverteluge 8 Zel der duktve Statstk: Schluß vo der Stchprobe auf de Gesamthet zu ermöglche bzw. aus eer Stchprobe Erketsse über de Gudgesamthet zu gewe Stchprobefuktoe De Werte eer Stchprobe x ( x,..., x ) see durch Zufallsexpermete gewoe worde. Jeder Stchprobewert x ka da als Realsato eer Zufallsvarable X (,...,) aufgefaßt werde: Zufallsstchprobe Realsato der -dmesoale Zufallsvarable X ( X,..., X ) Zur Durchführug ees statstsche Verfahres wrd u oft cht de Stchprobe selbst, soder e daraus berecheter Fuktoswert (z.b. Mttelwert, Streuug, ) verwedet w g ( x,..., x ); der Fuktoswert st Realsato eer Zufallsvarable W g ( X,..., X ). De Stchprobefukto ( W ) det als - Schätzfukto (zur Schätzug ees Parameters) - Testfukto (zur Durchführug ees Tests) Aus der Grudgesamthet ka ma verschedee Stchprobe mt hre Stchprobekewerte ermttel: x, s x, s 3 3 x, s x, x, x 3 Stchprobefuktoe (Stchprobekewerte) sd z. B. der Mttelwert (x) ud de Streuug (s). E Bespel für ee Stchprobefukto st X g ( X, X, X,...). De Stchprobefukto 3 st ee Fukto vo Zufallsvarable, de de Iformato eer Stchprobe zusammefaßt.

8 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Stchprobefuktoe habe (da se Zufallsvarable sd) bestmmte Verteluge (Stchprobeverteluge). Wchtge Stchprobefuktoe: - arthmetsches Mttel der Stchprobe X X Für de Erwartugswert vo X glt: (großes X, da Zufallsvarable) E ( X ) E ( X + X +... + X ) E X + E X + + E X wege E ( X ) E (X )... µ st ( ) E X µ µ Für de Varaz vo ( X ) glt: Var( X ) Var ( X + X +... + X ) + + + [ Var ( X ) Var ( X )... Var ( X )] ( ) ( ) wege Var X Var X... σ st Var ( X ) σ σ σ X σ ( ) ( ) ( ) Frage: Welche Vertelugsform hat de Zufallsvarable X? We alle X ormalvertelt mt µ ud σ sd, da st de Summe X + X + X 3 +... + X (uabhägge Zufallsvarable) ebefalls ormalvertelt; damt st auch X ormalvertelt. Falls de Vertelug der X ubekat st, da läßt sch aufgrud des zetrale Grezwertsatzes folgede Aussage mache: De Vertelug vo X vo uabhägge detsch vertelte Zufallsvarable X strebt mt wachsedem Stchprobeumfag gege ee Normalvertelug mt E(X) µ ud Var (X) σ De stadardserte Zufallsvarable Z X µ X µ σ σ (Faustregel: > 30) (vgl. Abbldug). st uter dese Bedguge approxmatv stadardormalvertelt.

Kaptel V Iduktve Statstk, Stchprobefuktoe ud Testverteluge 83 Gock, Smth 993

84 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk - Varaz der Stchprobe De Stchprobevaraz S ( X X) st als Fukto vo Zufallsvarable ebefalls ee Zufallsvarable. Bespele zum zetrale Grezwertsatz:

Kaptel V Iduktve Statstk, Stchprobefuktoe ud Testverteluge 85 3 Testverteluge De Ch-(χ )-Quadrat, t-(studet)vertelug ud F-Vertelug sd wchtge Testverteluge für de och folgede Schätzasätze (Iferezmethode). Se fde hre Awedug be Parametertests (Kaptel VIII) ud Vertelugstests (Kaptel IX). Alle Testverteluge häge vo der Azahl der Frehetsgrade (df degrees of freedom) ab. De Frehetsgrade gebe de Azahl der och frewählbare Iformatoe ach Berückschtgug gegebeer Parameter a. 3. Ch (χ )-Quadratvertelug De Formel geht auf de Astroome HELMERT (875) zurück. De Namesgebug erfolgte durch PEARSON (900). De χ -Vertelug etsprcht folgedem stochastsche Modell: Sd Z, Z,..., Zν uabhägg stadardormalvertelte Zufallsvarable, so hat de Quadratsumme χ... ν Z + Z + + Z ee χ -Vertelug mt ν Frehetsgrade, (df 'degrees of freedom'): χ ~ χ (ν). Dchtefukto der χ -Vertelug ( ν ) t x x e t dt 0 ν z f ( z ν ) C z e, z > 0 χ ν ν mt C( ν ) Γ Γ ( ) 0,4 0,3 0, 0, υ υ 3 υ 5 υ 0 0 5 0 5 0 χ Dchtefukto der χ -Vertelug für ν, 3, 5, 0 Frehetsgrade De χ -Vertelug legt Abhäggket vo ν tabellert vor.

86 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Erwartugswert Varaz E ( χ ) ν ( ) Var χ ν Aus dem zetrale Grezwertsatz folgt: χ ν ν ν N ( 0, ) Aus der Stchprobevaraz etwckelt ma ee χ -vertelte Zufallsvarable Z X µ σ ( Z stadardormalvertelt ) X µ vertelt mt Frehetgrade Z st χ σ Wrd µ durch X ersetzt, so verlert ma ee Frehetsgrad, d. h., χ X X S mt S ( X ) X σ σ st χ -vertelt mt ( ) Frehetsgrade (X st Zufallsvarable). Tabellewerte: Zu de agegebee Frehetsgrade ν sd de Werte χ ( c ) P 0< χ < χ α de m Tabellekopf agegebee Werte errecht. tabellert, be dee Z. B. ν 5: χ 34 38,, also st de Wahrschelchket P ( χ ) 0 < 34,38 0,9.

Kaptel V Iduktve Statstk, Stchprobefuktoe ud Testverteluge 87 3. Studetvertelug (t-vertelug) Vo GOSSET 908 uter dem Pseudoym 'Studet' veröffetlcht. Sd zwe Zufallsvarable Z ud U voeader uabhägg vertelt mt Z ~ N(0,) ud U ~ χ (ν), so st de Zufallsvarable T T Z U t vertelt mt ν Frehetsgrade. ν Dchtefukto der t-vertelug f t (z ν ) C( ν ) z ν + z + ν ν + Γ mt C( ν ) ν ν π Γ De t-vertelug st Abhäggket vom Parameter ν tabellert. Se st wchtg für Sgfkaztests der Parameter ökoometrsche Modelle (vgl. VIII. 9). f(t) ν 0 ν 4 ν Dchtefuktoe der t-vertelug mt ν, 4, 0 Frehetgrade t

88 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Ab ν 30 ka de t-vertelug gut durch de Normalvertelug ageähert werde. Erwartugswert E(T) 0 Varaz Var(T) ν ν für ν > De Stchprobefukto X µ X µ σ T mt S ( X ) X S σ S X µ X µ X µ σ σ σ X X S S S χ σ σ σ da χ σ st t-vertelt mt ν Frehetsgrade, da X µ ~ N 0, σ / ( ) S ~. σ ud χ ( ) Tabellewerte: Für verschedee Frehetsgrade ν ud für verschedee P ( T < t) sd de t-werte tabellert. P(T< t) P T < t 0 +t z. B.: ν 3 P ( T < + t) 99,5 % t 3,0 t

Kaptel V Iduktve Statstk, Stchprobefuktoe ud Testverteluge 89 Gock, Smth 993

90 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 3.3 F-Vertelug Nach FISHER glt: Der Quotet aus zwe voeader uabhägge χ -vertelte ud durch hre Frehetsgrade dvderte Zufallsvarable U ud U st F-vertelt: U ν U ν F U U ν ν Dchtefukto der F-Vertelug f F ( z, ν ) C( ν, ν ) ( ν + ν z) ν z ν, z > 0 ν +ν mt C( ν, ν ( ν / ) ( ν / ) ν ν ) ν ν Γ Γ ν ν Γ + Erwartugswert ν E( F) ν für ν Varaz ν ( ν + ν ) Var( F) ν ( ν ) ( ν 4) für ν > 4 Tabellewerte: I Abhäggket vo ν ud ν sd de Werte F tabellert, be dee de Vertelugsfukto de Wert 0,90 bzw. 0,995 ammt: z. B. ν 4, ν 8 ; F 0,99 7,0. Für zwe voeader uabhägge Stchprobe mt Umfag bzw. aus derselbe Grudgesamthet, also σ σ, ergbt sch: S ( X X ) S ( X X ) S σ ~ χ ( ) S σ ~ χ ( )

Kaptel V Iduktve Statstk, Stchprobefuktoe ud Testverteluge 9 Stchprobefukto S F σ S σ S S χ χ st F-vertelt mt ud Frehetsgrade. De F-Vertelug st wchtg für Sgfkaztests der Parameter ökoometrsche Modelle (vgl. VIII.9) Keycocepts Iduktve Statstk Stchprobefukto Zetraler Grezwertsatz Testverteluge t-vertelug χ²-vertelug F-Vertelug

9 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk VI Puktschätzug Schätzug ezeler Werte der Grudgesamthet aus de Ergebsse der Stchprobe De Parameter der Grudgesamthet sd mest ubekat. Daher versucht ma ee Aäherug durch de Stchprobeparameter (Schluß: Stchprobe Grudgesamthet). Puktschätzug Aufgrud der Stchprobeergebsse (mt Zufallsprzp) werde ubekate Parameter der Grudgesamthet geschätzt. Der geschätzte Parameter wrd herbe exakt agegebe, allerdgs wrd der wahre Parameter aus der Grudgesamthet ur mt eer sehr gerge Wahrschelchket auch wrklch geau dem geschätzte Wert etspreche. Das Ergebs eer solche Schätzug köte bespelswese laute: Das durchschttlche Ekomme der Grudgesamthet legt be 4.35,35 (mt eer Wahrschelchket vo * 0-0 ). De hohe Geaugket der Agabe bs auf zwe Nachkommastelle wrd also erkauft durch ee recht gerge Wahrschelchket, dass der Wert cht etwa 4.35,36 (oder 4.35,34 ) st. Itervallschätzug Es werde Vertrauesbereche (Geaugket ud Scherhet) der Schätzergebsse berechet. Herbe wrd für de gesuchte Parameter e Berech agegebe, dem er mt eer relatv hohe Wahrschelchket lege wrd. Ee typsche Aussage, de sch aus eer Itervallschätzug ablete leße, wäre, um das obge Bespel weder aufzuehme: Das durchschttlche Ekomme der Grudgesamthet legt mt 95%er Wahrschelchket zwsche 4.595,36 ud 44.3,56. De höhere Ugeaugket be Agabe des Wertes führt herbe zu eer höhere Wahrschelchket, dass der wahre Wert der Grudgesamthet tatsächlch m Schätzberech legt. Testverfahre Es wrd gefragt, ob Hypothese über Egeschafte der Grudgesamthet zutreffe. Bespelswese köte de Hypothese, dass das durchschttlche Ekomme der Grudgesamthet uter 40.000 legt, mt Hlfe vo Testverfahre verworfe oder geschert werde.

Kaptel VI - Puktschätzug 93 Grudlage der Puktschätzug Wahrer aber ubekater Parameter der Grudgesamthet: θ (Theta) (z. B. µ, σ, p,...) Der Schätzwert für θ st ee Fukto der Stchprobeergebsse (Stchprobefukto) ud damt we dese vom Zufall abhägg: θ ɵ g ( x, x,..., x ). Deser Schätzwert ka als Realsato eer spezelle Stchprobefukto, de ma auch als Schätzfukto bezechet, terpretert werde: θ ɵ g ( X, X,..., X ). Bespele: Schätzfukto für de Mttelwert µ µ ɵ X X mt Schätzwert z.b. θ ɵ µ ɵ g (,3,5,8) 4 ( + 3+ 5+ 8) 4, 5, 4 wobe ma x, x 3, x 3 5 ud x 4 8 als Realsato oder als Stchprobeergebs bezechet. Schätzfukto für ee Grudwahrschelchket p X pˆ ( relatvehäufgket) mt Schätzwert z. B.: ˆ θ pˆ g (), 60 60 pˆ 0, 60 Egeschafte vo Schätzfuktoe E Grudproblem be Puktschätzuge legt der Auswahl der Schätzfukto. Aus der Mege der zu Verfügug stehede Schätzfuktoe muss dejege ausgewählt werde, de de ubekate Parameter der Grudgesamthet am beste schätzt. Ma muß also geegete Krtere zur Beurtelug der Güte vo Schätzfuktoe etwckel: Wr werde feststelle, daß z. B. Erwartugstreue ud Effzez wüscheswerte Egeschafte vo Schätzfuktoe sd.

94 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk. Erwartugstreue Ee Schätzfukto ˆ θ g ( X, X,..., X ) für de ubekate Parameter θ heßt erwartugstreu, we E [ ˆ θ ] θ, de Schätzug also m Mttel de gesuchte wahre Wert trfft. Als Verzerrug ('bas') eer Schätzfukto bezechet ma da de Dfferez: E [ ˆ θ ] θ. Falls für dese Dfferez E ɵ θ θ 0 glt, da heßt θ ɵ erwartugstreu. θ st erwartugstreu, da E ɵ θ θ, d. h., Bas 0. Bespele: a) Ist de Schätzfukto ɵp X für de ubekate Parameter p eer bomalvertelte Zu- fallsvarable X erwartugstreu? X E ( pˆ ) E E ( X ) p p ˆ X E θ θ p, also st p ˆ erwartugstreu. b) Schätzfukto für de Mttelwert µ: X X E X E X E X E X E X ( ) ( ) + ( ) +... + ( ) Da X aus eer Grudgesamthet stammt, glt: ( ) ( ) E X E X... µ ( ) ˆ E X µ µ E θ X X θ µ, also st X erwartugstreu c) Klasssche leare Regresso: Erklärugsmodell:

Kaptel VI - Puktschätzug 95 y β + β x + β x + + β x + ε 0... K K Schätzfukto für β: ( ' ) ˆ θ θ β, Ma ka E ( b OLS ) also zege, daß b erwartugstreu st. OLS b X X X ' y (sehe mee Vorlesug: Regressosaalyse Eführug de Ökoometre).. Effzez (Mmale Varaz) Es köe verschedee erwartugstreue Schätzfuktoe mt der Egeschaft E ( θ ɵ ) θ exstere, de sch aber hrer Varaz uterschede, d. h., de Abwechuge vom Mttelwert köe für verschedee erwartugstreue Schätzfuktoe verschede groß se. OLS (Relatve) Effzez Ist de Streuug (Varaz) eer erwartugstreue Schätzfukto ɵ θ kleer als de Streuug eer adere erwartugstreue Schätzfukto ɵ θ, da heßt ɵ θ effzet bezug auf de Schätzfukto ɵ θ (relatve Effzez). (Absolute) Effzez Ist de Streuug (Varaz) der Schätzfukto ɵ θ mmal, d. h. kleer als de Streuug aller adere erwartugstreue Schätzfuktoe, da heßt ɵ θ absolut effzet.

96 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk.3 Asymptotsche Erwartugstreue ud Kosstez Asymptotsche Erwartugstreue ud Kosstez sd Schätzegeschafte für große Stchprobe. Asymptotsche Erwartugstreue De Erwartugswerte vo mmer größer werdede Stchprobe weche mmer weger vo θ ab: ˆ ˆ( ) E E ( θ ) lm ( θ ) θ, wobe de Stchprobegröße darstellt. Bas 00 00 Stchprobegröße Kosstez De Verzerrug ud Varaz geht mt wachsedem Stchprobeumfag gege Null.

Kaptel VI - Puktschätzug 97 300 50 0 plm ˆ θ θ { ˆ θ θ δ} lm prob 0 3 Schätzmethode De Schätzmethode dee zur Bestmmug geegeter Schätzfuktoe zur Schätzug ees Parameters θ. 3. Methode der Momete (K. PEARSON) De Parameter der Stchprobe werde als Schätzer für de etsprechede Parameter der Grudgesamthet verwedet. De Methode der Momete wrd sbesodere da agewedet, we de Vertelug der Grudgesamthet cht bekat st. De mt der Mometemethode abgeletete Schätzfuktoe bestze m allgemee ur wege der wüscheswerte Schätzegeschafte. Bespele: - Schätzfukto für µ der Possovertelug: ɵµ X - Schätzfukto für µ ud σ der Normalvertelug: µ ɵ X ud σɵ s 3. Methode der kleste Quadrate (MKQ/OLS) MKQ: Methode der kleste Quadrate (OLS: Ordary least Squares) MKQ: Aus der Mmerug aller quadrerte Abwechuge zwsche beobachtete Werte ud Werte auf der zu fdede Ausglechsgerade werde de Parameter der Ausglechsgerade (R : Hyperebee) berechet. (Zur Methode: vgl. z. B. Merz 993, Statstk I Deskrpto)

98 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Im klasssche leare Regressosmodell (Classcal Lear Regresso, CLR) wrd MKQ m Rahme ees stochastsche Modells mt wederholte Beobachtuge eer Stchprobe verwedet. Stochastsches Modell: y β0 + βx + + β K xk + ε µ systematscher Efluß f x ε zufällger Efluß ε Fehler mt bestmmter Vertelug: N( µ, σ ) β zu schätzeder, ubekater Parameter der Grudgesamthet k x erklärede Größe k y zu erklärede Größe Zu jedem x gbt es mehrere Beobachtuge y, bzw. es werde m Stchprobe be gleche x gezoge ('fxed repeated samples'): Wahrschelchketsvertelug der y Zufallsvarable (Stchprobe der Größe mt l uterschedlche X-Werte): X Y Mttelwert y x y y... y m y x y y... y m y................ x l y l y l... y lm y l y x y 0 + β x β + ε

Kaptel VI - Puktschätzug 99 Ey E [ β + β x + ε ] β + β x + Eε ( 0) 0 β + β x 0 0 Schätzug der Regressoskoeffzete aus (x, y ), (x, y )...: β 0 + β x +... + β K xk + ε Grudgesamthet y b0 + b x+... + bk xk + e Stchprobe yˆ Xbmt yˆ b + b x +... 0 + b K x K als Schätzer für Ey( Ausglechsgerade) MKQ/OLS: Mmerug der Fehlerquadratsumme: ( y yˆ ) m! ( ( )) y b b x bk xk e + +... + ( ) m! 0 De otwedge Bedguge für e Mmum sd de zu fdede Werte b K, de de erste Abletuge der Fehlerquadratsumme ach de ß K Null setze (Normalglechugssystem): ' X Xb X ' y Lösug des K+-Glechugssystems be exstereder Iverse ( X' X) ( K+, K+ ) ergbt ˆ b OLS b ( X ' X ) β X ' y b( b OLS ) st BLUE: Best Lear Ubased Estmator, d. h., b OLS ud effzet. st lear, erwartugstreu Bespele: a) Se y de Körpergröße des Kdes ud x de Körpergröße der Mutter deses Kdes. CLR-Asatz: y β + β + ε, ε ~ N (0, σ ) 0 x Stochastsches Modell: Zu jeder Mutter mt der Körpergröße x gbt es e oder mehrere Kder mt jewelger Körpergröße. Mehrere Mütter köe de gleche Körpergröße habe (ɵ mehrere Stchprobe) ud jewels e oder mehrere Kder ('fxed repeated samples'). Das bedeutet, es gbt zu jeder Beobachtug x (Muttergröße) ee Vertelug der Kdergröße y. Im klasssche leare Regressosmodell wrd für dese Vertelug jewels de Normalvertelug ageomme. Aus de Beobachtuge der Stchprobe st da e Schätzer für de ubekate Parameter β ud β der Grudgesamthet z. B. mt MKQ/OLS zu fde. 0 ET-Befehle:? ---------------------------------? ET hkd: ols by matrx algebra? ---------------------------------

00 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk?? read data? y : hkd? x0: oe? x: hmother read; flehkd.dat;var;ames$ lst; hkd, hmother$?? create X'X (XSX) ad X'y (XSy)? ------------------------------- amelst; Xoe,hmother$ matrx; XSXxdot(X)$ matrx; XSyxdot(X,hkd)$?? create vers of (X'X)? ------------------------------- calc; DET XSX(,)*XSX(,) - XSX(,)*XSX(,)$ matrx; A XSX$ calc; a -*XSX(,) ; a -*XSX(,)$ matrx; A(,) XSX(,) ; A(,) a ; A(,) a ; A(,) XSX(,)$ matrx; C /DET*A$ matrx; XSXINVgv(XSX)$?? compute ols? ------------------------------- matrx; bolsxsxinv XSy$?? regresso by et? ------------------------------- regres; dephkd; doe,hmother$ ET-Ergebs: ET: CLR, Stochastsche Regresso (OLS) DATA LISTING (Curret sample) Observato HKID HMOTHER 54.00 60.00 5.00 58.00 3 56.00 64.00 4 60.00 68.00 5 6.00 66.00 6 63.00 65.00 7 58.00 60.00 8 50.00 60.00 9 58.00 64.00 0 53.00 60.00. Matrx -> XSXXDOT(X) <<<< XSX >>>> COLUMN ROW 0.0000 65.00 ROW 65.00 646.. Matrx -> XSYXDOT(X,HKID)

Kaptel VI - Puktschätzug 0 <<<< XSY >>>> COLUMN ROW 566.00 ROW 54579. >>> DET 985.0000 <<<. Matrx -> AXSX <<<< A >>>> COLUMN ROW 0.0000 65.00 ROW 65.00 646. >>> A -65.000 <<< >>> A -65.000 <<<. Matrx -> A(,)XSX(,). Matrx -> A(,)A 3. Matrx -> A(,)A 4. Matrx -> A(,)XSX(,). Matrx -> C/DET*A <<<< C >>>> COLUMN ROW 68.84 -.64975 ROW -.64975.053E-0. Matrx -> XSXINVGINV(XSX) <<<< XSXINV >>>> COLUMN ROW 68.84 -.64975 ROW -.64975.053E-0. Matrx -> BOLSXSXINV XSY <<<< BOLS >>>> COLUMN ROW -4.9859 ROW.0558 d. h., OLS über ET-Matrx-Algebra ergbt: β 4, 9859 ud β, 0558. 0 Ordary Least Squares Depedet Varable HKID Number of Observatos 0 Mea of Dep. Varable 56.6000 Std. Dev. of Dep. Var. 4.3545 Std. Error of Regr..75 Sum of Squared Resduals 60.599 R - squared.6444 Adjusted R - squared.59996 F(, 8) 4.4977 Prob. Value for F.0058 Varable Coeffcet Std. Error t-rato Prob t >x Mea of X Std.Dev.of X ------------------------------------------------------------------------------ Costat -4.9736 45.07 -.33.7485 HMOTHER.05584.773 3.808.0058 6.50000 3.3084

0 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk b) f ( Ekomme, Prese, sozoökoomsche Charakterstka) + ε Nachfrage oder Ivestto e ( Zssatz, Betrebsgröße, ) ε f + De OLS-Methode ud das klasssche leare Regressosmodell werde ausführlch meer Vorlesug: Regressosaalyse Eführug de Ökoometre behadelt. 3.3 Maxmum Lkelhood Methode (R.A. FISHER) De Schätzfukto ɵ θ für de ubekate Parameter θ wrd her so bestmmt, daß de Wahrschelchket ('Lkelhood') dafür, daß de beobachtete Stchprobe aus der ageommee Grudgesamthet stammt, maxmert wrd (ML-Przp; R. A. FISHER (890 96)). Bespel: Es exstere e Lagerbestad vo N glech 0 000 'Schokoladeregel'. Es wrd ageomme, daß de Ausschußquote 0 % oder 0 % beträgt. Ma zeht ee Stchprobe vom Umfag 0, um ee Etschedug über de Ausschußatel zu fälle. De Zahl der fehlerhafte Schokoladeregel der Stchprobe st approxmatv bomalvertelt. Damt erhält ma folgede Bomalverteluge für de Stchprobe: x 0 3 4 f B (x 0; 0,) 0,349 0,387 0,94 0,057 0,0 f B (x 0; 0,) 0,07 0,68 0,30 0,0 0,088 Maxmum Lkelhood (ML) Przp: Ma etschedet sch für de Grudgesamthet, be der das beobachtete Stchprobeergebs de größere Wahrschelchket bestzt.we bespelswese für de Stchprobe x Ausschuß glt, da stammt de Stchprobe mt größerer Lkelhood (38,7 % zu 6,8 %) aus eer Grudgesamthet mt p 0,, d. h. 0 % Ausschußatel.

Kaptel VI - Puktschätzug 03 Isgesamt glt her für x fehlerhafte Schokoladeregel: x : Etschedug für pɵ 0, x > : Etschedug für pɵ 0, Allgemee ML-Vorgeheswese Das Merkmal X bestzt de Wahrschelchkets- bzw. Dchtefukto f ( X θ ) ferer ee Zufallsstchprobe ( x,..., ) x.. Ma bestze De Wahrschelchket ('Lkelhood'), dese Stchprobe zu erhalte, beträgt uter der Bedgug der stochastsche Uabhäggket der Zufallsvarable X,..., X : L ( θ ) f ( x θ ) f ( x θ )... f ( x θ ) f ( x θ ) Oftmals logarthmert ma de Lkelhoodfukto L(θ), bevor ma se maxmert. De logarthmsche Trasformato verschebt de Extremwerte cht, d. h., L(θ) bestzt gerade dort e Maxmum, wo auch l L(θ) e Maxmum bestzt. De Logarthmerug verefacht aber de Maxmerug, da ee Summe sch lechter als e Produkt dfferezere läßt ll ( θ ) l f ( x θ ) l f ( x θ ). Der Schätzwert ɵ θ für θ st der Wert, der de Lkelhoodfukto maxmert: L( ɵ θ ) max. Dazu bldet ma we be jedem Optmerugsproblem de erste Abletug vo L(θ ) bzw. l L(θ ) ud setzt dese glech Null: L l L 0 bzw. 0 θɵ θ θ Bespele: ) ML-Schätzer für de Parameter θ µ vo possovertelte Zufallsvarable X,..., X : Lkelhoodfukto: ll ( µ x,..., x ) L ( µ x,..., x ) l( µ ) x µ e x! µ x µ l e x! [ x l( µ ) l( x!) µ ] x l( µ ) x x l( µ ) µ l l l ( x!) ( x!) µ ( x!) µ µ

04 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Notwedge Bedgug (. Abletug Null setze): µ µ µ µ µ l ɵ ɵ ɵ! L x x x x 0 Das heßt, das arthmetsche Mttel der Stchprobe x st der ML-Schätzer für µ, de ubekate Posso-Parameter. ) De Lebesdauer X der Computer Chps vo CHIO CHONG geüge eer Vertelug mt der Dchte > sost x für e x f x 0 0 ) ( θ θ Der Chptest vo füf Tele ergebe de folgede Lebesdauer ( Betrebsstude): 0, 00, 90, 40, 60 a) Bestmme Se de ML-Schätzwert vo θ allgeme! L f x f x f x f x e x (, ) (, ) (, )... (, ) θ θ θ θ θ θ 0 ) ( l Notwedge Bedgug : l l l l l l l l! 0 x x L x x x e x e L θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ x x x opt ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ θ θ θ θ θ

Kaptel VI - Puktschätzug 05 Das arthmetsche Mttel st der ML-Schätzer θ ɵ opt. Der ML-Schätzwert θ ɵ opt st der Parameter, der das Stchprobeergebs x,..., x mt größter Wahrschelchket lefert. b) We lautet der ML-Schätzer für dese Stchprobe? ɵ θ x ( + + + + ) ( ) 5 0 00 90 40 60 500 00 5 x 00 e für x> 0 f ( x, θ 00) 00 0 sost ~ Seθ x : x 50 ~ e für x> 0 f ( x, θ 50) 50 0 sost x f(x, θ ɵ 00) f(x, θ ɶ 50) 60 0,00549 0,0060 90 0,00407 0,0033 00 0,00368 0,007 0 0,00333 0,00 40 0,0047 0,00 L( θ ɵ ) f ( x, θ ɵ 00) 6, 7635 0 L( θ ɶ ) f ( x, θ ɶ 50), 4654 0 3 3 Damt maxmert gerade ɵ θ 00 gegeüber jedem adere Schätzer (we bspw. ɶ θ 50) de Lkelhood. Keycocepts Puktschätzug Ubekater wahrer Parameter Erwartugstreue Effzez Asymptotsche Erwartugstreue Kosstez Methode der kleste Quadrate (MKQ), Ordary Least Squares (OLS) Maxmum Lkelhood

06 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk VII Itervallschätzug Schätzug vo Wertebereche (Itervalle), dee e Wert der Grudgesamthet mt hoher Wahrschelchket legt Kofdeztervall Be der behadelte Puktschätzug wrd für ee ubekate Parameter θ, we z. B. e Mttelwert, e Atelswert oder ee Stadardabwechug, als Schätzwert de Realserug eer Zufallsvarable, also e bestmmter Zahlewert agegebe. Auch we de dazugehörge Schätzfukto sehr gute Schätzegeschafte bestzt, wrd der Schätzwert m allgemee vom ubekate Parameter der Vertelug der Grudgesamthet mehr oder weger stark abweche. Zel der Itervallschätzug st es, e Itervall azugebe, das ' de meste Fälle' de ubekate Parameter θ tatsächlch ethält. De Itervallschätzug lefert also e Itervall, dem der zu schätzede ubekate Parameter θ mt eer bestmmte Wahrschelchket ( α) erwartet wrd. Dese Itervalle bezechet ma als Kofdez- oder Vertrauestervalle. Aufgrud der Stchprobeergebsse werde de Itervallgreze bestmmt. De Itervallgreze sd de Stchprobefuktoe ɵ θ u ud ɵ θ o. Allgeme glt da: P u o ( θ ɵ θ θ ɵ ) α. De Irrtumswahrschelchket α bezechet de Wahrschelchket, mt der das Schätzverfahre e Itervall lefert, das de Parameter cht ethält (zugelassee Irrtumwahrschelchket). De Kofdezwahrschelchket (Vertraues- oder Scherhetswahrschelchket) α bezechet de Wahrschelchket, mt der de Schätzug e Itervall lefert, das de ubekate Parameter θ tatsächlch ethält. α wrd auch als Kofdezveau bezechet. Kofdeztervall für das arthmetsche Mttel be ormalvertelter Grudgesamthet Be ormalvertelter Grudgesamthet (bzw. über de zetrale Grezwertsatz be geüged große Stchprobe) st das arthmetsche Mttel, de Zufallsvarable X, ebefalls ormalvertelt mt: ( ) E X µ ( ) σ Var X Var ( X ) σ x

Kaptel VII - Itervallschätzug 07 Gock, Smth 993

08 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk f ( X µ;σ N X ) 0,95 0,05 0,05 0 _ µ,96 σ µ µ +,96 σ X _ X _ X -,96 0,96 Z X_ µ σ X _ Abb. Kofdeztervall für X mt α 0,05 Zum Kofdezveau vo 95 % ergbt sch für X das symmetrsche Kofdeztervall ( x X x ) P µ, 96 σ µ +,96 σ α 0, 95. Ist allgeme z α der Wert der stadardormalvertelte Zufallsvarable be dem de Vertelugsfukto de Wert α ammt, ud setze wr astelle vo 95 % allgeme α, so ergbt sch statt,96 bzw.,96 allgeme z α/ bzw. z α/ mt P( µ + zα/ σ x X µ + z α / σx ) α. Wege der Symmetre der Normalvertelug glt zα/ z α/ ud damt: P( µ z σ X µ + z σ ) α α/ x α/ x I desem Itervall legt X mt der Wahrschelchket α. De Kostrukto des Kofdeztervalls für X zu eem gegebee α veraschaulche de folgede Abblduge:

Kaptel VII - Itervallschätzug 09 0-3 - - 0 3 z Abb. Kostrukto des Kofdeztervalls für X be gegebeem α. Kofdeztervall für µ be bekater Varaz σ der ormalvertelte Grudgesamthet Gesucht wrd u das Kofdeztervall für das ubekate arthmetsche Mttel µ der Grudgesamthet be bekater Varaz. Dazu wrd das Kofdeztervall des Stchprobemttelwertes ur umgerechet. Aus der obge Itervallbezehug ( α x α x ) P µ z σ X µ + z σ α / / wrd durch Subtrakto vo µ erhalb der Klammer ud Multplkato mt der Klammer: ( α x α x ) P z σ X + µ z σ α. / / De Addto vo X der Klammer lefert: ( α x α x ) P X + z σ µ X z σ α / /

0 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk bzw. ( α x α x ) P X z σ µ X + z σ α. / / Das Itervall X z α / σx, X + z α / σx st ee Zufallsvarable, wel X ee Zufallsvarable st ud damt auch de Greze des Itervalls Zufallsvarable sd. Es überdeckt de ubekate wahre Parameter θ µ mt der Wahrschelchket α. Be mehrmalge, häufge Wederholuge der Stchprobeerhebuge werde ( α ) Itervalle de Parameter µ überdecke. % der Przpell ka her für de Kofdeztervallberechug de dazu otwedge Mttelwertstadardabwechug σ X aus der Varaz bzw. Stadardabwechug σ der Zufallsvarable X aus σ X σ berechet werde (sehe obe). Korrektur be eer Stchprobe ohe Zurücklege ud N σ X σ N N 0, 05 : ( Stchprobeumfag, N Umfag der Grudgesamthet).. Kofdeztervall für µ be ubekater Varaz σ der ormalvertelte Grudgesamthet Ausgehed vo eer ormalvertelte Grudgesamthet, st de Zufallsvarable Z µ X σ x stadardormalvertelt. We ka u de ubekate Varaz des arthmetsche Mttels Var ( X ) σ X aus der Stchprobe geschätzt werde? Aus dem Kaptel V. Stchprobefuktoe wsse wr, daß ( ) Var X σ σ. X Würde wr allee de Varaz der Zufallsvarable X S X X ( ) verwede, hätte wr kee erwartugstreue Schätzfukto für σ (es wäre E ( S ) σ ).

Kaptel VII - Itervallschätzug Erst mt etsprecheder (Besselscher) Korrektur / ( ) erhält ma ee erwartugstreue Schätzug für de Varaz vo X der Grudgesamthet ɵσ S ud weter de erwartugstreue Schätzer für de gesuchte Varaz des arthmetsche Mttels σɵ X σɵ S S S σɵ X. bzw. Korrektur be eer Stchprobe ohe Zurücklege ud N ɵσ X S N. N 0, 05 : Durch Esetze des erwartugstreue Schätzers ɵσ X Z erhält ma de eue Zufallsvarable T X X µ σɵ, de mt ν Frehetsgrade studetvertelt st. Dese Zufallsvarable T wurde berets be der Behadlug der t-vertelug als Bespel heragezoge. Werde mt t α/, ν bzw. t α/, ν de Pukte bezechet, be dee de Vertelugsfukto der t-vertelug mt ν Frehetsgrade de Werte α/ bzw. α/ ammt, so ergbt sch P t X µ α. α /, t α /, ˆ σ X Da de t-vertelug symmetrsch st, glt t α/, tα/, : t. Somt st das Kofdeztervall ( X X ) P X t ˆ σ µ X + t ˆ σ α. Für Frehetsgrade vo ν 30 ka de t-vertelug durch de Normalvertelug approxmert werde.

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Gock, Smth 993

Kaptel VII - Itervallschätzug 3 3 Kofdeztervall für de Varaz De Zufallsvarable ( X ) X S U σ σ st be ormalvertelter Grudgesamthet χ -vertelt mt ν Frehetsgrade (eer der Frehetsgrade der Stchprobe wrd durch de Verwedug vo X 'verbraucht'). Werde mt χ α/, ν bzw. χ de Pukte bezechet, be dee de Vertelugsfukto α /, ν der Ch-Quadrat-Vertelug de Werte α / bzw. α / ammt, da ergbt sch S χ χ α. σ P α /, α /, Als Kofdeztervall für de ubekate Varaz ergbt sch da: S P χ S α. σ α /, χα /, 4 Kofdeztervall für de Atelswert Der Atelswert ɵp eer Stchprobe aus eer dchotome Grudgesamthet st be geüged großem Stchprobeumfag ormalvertelt (etspreched der Approxmatosbedguge für de Bomalvertelug ud de Hypergeometrsche Vertelug) mt ( ) E pˆ p ud p ( p) Var ( pˆ ) σ pˆ ( Modell mt Zurücklege) p ( p) N Var ( pˆ ) ( Modell ohe Zurücklege ud > 0,05). N N Aus der stadardserte Zufallsvarable ɵ pɵ Z p p σ läßt sch das Kofdeztervall für das ubekate p der Grudgesamthet ablete: ( pˆ pˆ ) P pˆ z σ p pˆ + z σ α. Da p ubekat st, muß auch für σ ɵp e Schätzer egesetzt werde. Damt ergbt sch da: Modell mt Zurücklege pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) P pˆ z p pˆ + z α.

4 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Etspreched glt für das Modell ohe Zurücklege pˆ ( pˆ ) N pˆ ( pˆ ) N P pˆ z p pˆ + z α N N. z st z α/, also abhägg vom gewählte Sgfkazveau α. 5 Bestmmug des otwedge Stchprobeumfags Bsher wurde Frage ach µ, σ, p be eem gegebeem Kofdezveau α beatwortet, z. B.: µ legt dem Kofdeztervall X z σ ; X + z σ. Setzt ma u µ z σ x als Maß für de Geaugket, so ka ma ach dem otwedge Stchprobeumfag frage: σ µ z σx z absoluter Fehler Daraus ermttelt ma: z σ ( µ ) Aalog bestmmt ma de otwedge Stchprobeumfag be Vorlege eer dchotome Grudgesamthet (0/-Vertelug). Für das Kofdeztervall ergbt sch: pɵ z σ ;ɵ p + z σ pɵ pɵ Aus der halbe Brete des Kofdeztervalls für das Modell mt Zurücklege st, p z σ z pˆ pˆ ( pˆ ), lässt sch de gewüschte Stchprobegröße erreche: Notwedger Stchprobeumfag (Modell mt Zurücklege) z pˆ ( pˆ). ( p) Der absolute Fehler für das Modell ohe Zurücklege beträgt: p z pˆ ( pˆ) N. N X X p, was detsch mt dem absolute Fehler

Kaptel VII - Itervallschätzug 5 Notwedger Stchprobeumfag (Modell ohe Zurücklege) z N pˆ ( pˆ). ( p) ( N ) + z pˆ ( pˆ) Als Schätzwert für p ka der Stchprobeatelswert ɵp eer Vorstchprobe oder e aus frühere Erhebuge bekater Wert egesetzt werde. We ma kee Vorstellug vo ɵp bestzt, sollte p ɵ 0, 5 verwedet werde. Gock, Smth 993

6 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 6 Kofdeztervall für de Dfferez zweer arthmetscher Mttel Aus zwe große Grudgesamthete Nr. ud Nr. wrd je ee Stchprobe des Umfags ud etomme. De Stchprobemttel X ud X sd Zufallsvarable. Falls X ud X cht aus ormalvertelte Grudgesamthete stamme, sd se uter de bede Aahme - Uabhäggket der bede Stchprobe - geüged große Stchprobeumfäge (Faustregel: > 30, > 30) da ach dem zetrale Grezwertsatz ormalvertelt mt dem Erwartugswert ( ) ( ) E D E X X µ µ ud der Varaz σ σ Var ( D) Var ( X X ) + Bewes zur Varaz: ( ) ({( µ ) ( µ )} ) ( ) {( ) ( µ µ )} Var X X E X X E X X. ( µ ) ( µ ) ( µ ) ( µ ) E X + E X E X X σ σ + σ D q.e.d. Für de ormalvertelte Zufallsvarable D glt da: ( ) P E (D) z σ D E (D) + z σ α bzw. ausführlcher: D (( ) D ( ) D ) P X X z σ µ µ X X + z σ α. D 0 be Uabhäggket der Stchprobe Sd σ ud σ ubekat, da muß σ D geschätzt werde.

Kaptel VII - Itervallschätzug 7 Falls σ σ, da ergbt sch: S ( S + S ) bzw. + + S + S ˆ σ S + + ˆ σ ˆ D σ + ˆ σ + S + S + + Als Kofdeztervall erhält ma: (( ) D ( ) D ) P X X t ˆ σ µ µ X X + t ˆ σ α mt t t α/, +. Bespele: - Helugswahrschelchket zweer verschedeer Medkamete; - Ausschußwahrschelchket zweer Masche; - mttlere Erträge be Verwedug zweer (atürlcher!) Dügemttel. 7 Kofdeztervall für de Dfferez zweer Atelswerte De Dfferez zweer voeader uabhägge Stchprobeatelswerte st be geüged große Stchprobeumfäge ormalvertelt mt E ( D) p p p Var ( D) Var (ɵ p pɵ ) ( p ) p ( p ) +. Damt erhält ma als Kofdeztervall: (( ) D ( ) D ) P pˆ pˆ z σ p p pˆ pˆ + z σ α. Als Schätzfukto für σ D wrd verwedet ɵ ( ɵ ) ɵ ( ɵ ) σɵ p p p p D +. Voraussetzug für de Normalvertelug st her: ( ) ( ) p p 9 p p 9.

8 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Keycocepts Vertrauesberech/Kofdezberech Kofdezwahrschelchket Irrtumswahrschelchket Kofdeztervalle für arthmetsches Mttel, Varaz ud Atelswerte Notwedger Stchprobeumfag Kofdeztervalle für de Dfferez zweer arthmetscher Mttel ud zweer Atelswerte

Kaptel VIII - Parametertests 9 VIII Parametertests Überprüfug vo Vermutuge über de Grudgesamthet mt Hlfe der Stchprobe Schätztheore: Für ubekate (Vertelugs-)Parameter eer Grudgesamthet (GG) wrd versucht, mthlfe vo Stchprobeergebsse ee umersche Wert zu schätze (Puktschätzug), bzw. e Itervall azugebe, das de wahre Wert mt eer vorgegebee Scherhetswahrschelchket ( α) ethält (Itervallschätzug). Testtheore: Her geht es um de Frage, ob Aahme (Hypothese) für ee Grudgesamthet durch e Stchprobeergebs mt eer vorgegebee Irrtumswahrschelchket α abgeleht werde müsse oder cht. Parametertests: Überprüfug vo Hypothese über ubekate Parameter eer Grudgesamthet (üblcherwese als θ (Theta) bezechet). Vertelugstests: Überprüfug vo Hypothese über de ubekate Vertelugsform eer Grudgesamthet. Methodsche Grudlage der Testtheore. Przp ud Aufbau ees statstsche Tests Das Przp ees statstsche Testes soll ahad der folgede Geschchte erläutert werde, de vo R. A. FISHER stammt (Hochstädter 99, S. 573): Be eer Gesellschaft behauptet ee Dame X: Setze ma hr ee Tasse Tee vor, der etwas Mlch begegebe wurde, so köe se m allgemee ewadfre schmecke, ob zuerst Tee oder ob zuerst Mlch egegosse worde se. We prüft ma dese Behauptug? Scher cht so: Zwe äußerlch völlg glechartge Tasse vorsetze, wobe de erste zuerst Mlch ud da Tee (Rehefolge MT) ud de zwete zuerst Tee ud da Mlch (TM) egegosse wurde. Würde ma jetzt de Dame wähle lasse, so hätte se offebar ee Chace vo 50 %, de rchtge Atwort zu gebe, auch we hre Behauptug falsch st. Besser st folgedes Vorgehe: Acht äußerlch gleche Tasse werde der Dame vorgesetzt. Davo sd ver der Rehefolge TM, de adere ver der Rehefolge MT gefüllt worde. De Tasse werde zufällg über de Tsch vertelt ud daach de Dame herbegerufe. Ma telt hr mt, daß vo de Tasse je ver vom Typ TM bzw. MT see. Ihre Aufgabe bestehe dar, de ver TM Tasse herauszufde. Jetzt st de Wahrschelchket, ohe de Soderbegabug de rchtge ver Tasse zu fde, sehr gerg geworde. Aus acht Tasse ka ma ämlch auf

0 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 8 87 65 70 verschedee Möglchkete ver Tasse auswähle. 4 43 Vo dese 70 Kombatoe st aber ur ee ezge de Rchtge. De Wahrschelchket, ohe Soderbegabug, also zufällg, de rchtge Kombato zu treffe, beträgt daher ach Laplace /700,043 oder etwa,4 %, se st also sehr gerg. Wählt de Dame u wrklch de rchtge ver Tasse aus, so wrd ma de Nullhypothese H 0 : de Dame bestzt dese Soderbegabug cht verwerfe ud hr dese besodere Fähgket zuerkee. Dabe mmt ma ee Irrtumswahrschelchket vo,4 % Kauf. Natürlch köte ma dese Irrtumswahrschelchket dadurch verrger, daß ma de Azahl der Tasse erhöhe würde, z. B. auf, wobe weder de Hälfte ach TM bzw. MT gefüllt wäre. I desem Fall würde de Irrtumswahrschelchket auf α 0, % ske. Przp des statstsche Tests: Aufstelle eer Nullhypothese H 0, de verworfe wrd, we e Ergebs beobachtet wrd, das be Gültgket deser Nullhypothese uwahrschelch st. Deswetere wrd ee Alteratvhypothese H A formulert, de alle möglche Ergebsse umfasst, de cht vo H 0 abgedeckt werde. E Bespel: Ee Nullhypothese Der ubekate Parameter st postv oder Null. ( H : 0 0 θ ) würde als etsprechede Gegehypothese de Aussage Der ubekate Parameter st egatv. ( H A : θ < 0 ) ach sch zehe. Aufbau ees statstsche Tests 5 Schrtte:. Aufstelle der Parametermege Θ, der Nullhypothese H 0, der Alteratvhypothese H A ; Festlegug des Sgfkazveaus.. Festlegug eer geegete Prüfgröße ud Bestmmug der Testvertelug uter H 0. 3. Bestmmug des krtsche Berechs. 4. Berechug der Prüfgröße. 5. Etschedug ud Iterpretato. Zur Etschedug ud Iterpretato: Fällt das Stchprobeergebs de krtsche Berech mt Prob(Eregs H 0 ) α, da wrd H 0 abgeleht (α etsprcht dem Atel, mt dem m Durchschtt H 0 abgeleht wrd). De Schrtte ud 4 köe auch zusammegefasst werde.. Grudbegrffe der Testtheore Wr uterschede wr zwsche efache ud zusammegesetzte Hypothese. Dabe heßt ee Hypothese efach, we se geau e Elemet ethält ud zusammegesetzt, we se mehr als e Elemet ethält.

Kaptel VIII - Parametertests H 0 : θ θ 0 H A : θ θ 0 H 0 : θ oder < θ 0 efache Nullhypothese zusammegesetzte Alteratvhypothese zusammegesetzte Alteratvhypothese Eführedes Bespel: CHIO CHONG produzert Computerchps. Als Produzet ees Masseartkels behauptet CHIO CHONG, daß der Ausschußatel eer Leferug höchstes 0 % betrage. Ausgagshypothese, Nullhypothese: H0: p 0% Alteratvhypothese, Gegehypothese: ( H ): p 0% H A > Je ach Problemstellug werde Null- ud Alteratvhypothese we folgt bestmmt:. Fall: De Parametermege Θ ( Mege aller möglche Parameter) hat ur zwe Elemete: Θ { θ,θ } Bespel: Zwe Masche produzere dasselbe Gut mt uterschedlche Ausschußatele vo % bzw. 5 %. Mt eer Stchprobe soll etschede werde, vo welcher Masche ee Leferug stammt. Θ { %;5% } H 0 : Leferug vo der Masche mt % Ausschuß, H A : Leferug vo der Masche mt 5 % Ausschuß. Allgeme: Formal: H 0 : Der wahre (aber ubekate) Parameter θ st θ. H A : Der wahre (aber ubekate) Parameter θ st cht θ, soder θ. H 0 : θ θ H A : θ θ Ma sprcht her vo eer efache Null- bzw. Alteratvhypothese.. Fall: De Parametermege Θ hat mehr als zwe Elemete z. B. Θ IR, Θ IR 0, Θ 0,,... + Geerell muß u zwsche zwesetge ud esetge Fragestelluge uterschede werde. a) Zwesetge Fragestellug ('zwesetger Test'): H 0 : Der wahre Parameter θ st θ 0. H A : Der wahre Parameter θ st cht θ 0.

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Formal: H 0 : θ θ 0 H A : θ θ 0 (efache Nullhypothese) (zusammegesetzte Alteratvhypothese). Bespel: De Fa. Bossma hat ee Masche, de Apfelwe Flasche abfüllt. Als se eu war, betrug de durchschttlche Mege Apfelwe eer Flasche,0 Lter mt eem Stadardfehler vo 0,00 Lter. Nach eem Jahr wrd überprüft, ob de Durchschttsfüllmege och,0 Lter beträgt. Dazu hat de Frma ee Stchprobe vo 30 Flasche aus der laufede Produkto etomme. Θ R + 0 H : 0 θ,000l H A : θ,000l b) Esetge Fragestellug ('esetger Test'): H 0 :θ θ 0 (zusammegesetzte Nullhypothese) bzw. H A :θ > θ 0 (zusammegesetzte Alteratve) H : θ θ 0 H A : θ< θ 00 Bespel: CHIO CHONG mt Θ [0,] ud H 0 : θ 0, sowe H A : θ>0,..3 Fehlermöglchkete be statstsche Tests De Etscheduge be eem statstsche Test basere auf stochastsche Eregsse, d. h., es besteht das Rsko eer Fehletschedug. Es st daher wchtg, de Wahrschelchkete solcher Fehletscheduge (für de lagfrstge Durchschtt) äher zu betrachte. Aufgrud eer Stchprobe wrd H 0 etweder abgeleht (d. h., H A st statstsch geschert) oder H 0 bebehalte. I bede Fälle ka de Etschedug rchtg oder falsch se. Damt ergebe sch de der folgede Überscht dargestellte ver Möglchkete: I Wrklchket glt Etschedug H 0 ablehe H 0 bebehalte H 0 st rchtg Fehler. Art (α) ke Fehler H 0 st falsch ke Fehler Fehler. Art (β)

Kaptel VIII - Parametertests 3 Fehler. Art: Ma sprcht vo eem Fehler. Art, we H 0 abgeleht wrd, obwohl H 0 Wrklchket rchtg st. De Wahrschelchket für dese Fehler soll kleer oder glech eem vorgegebee Sgfkazveau α se. Be eem Test wrd de Wahrschelchket für ee Fehler. Art vom Prüfede festgelegt. Fehler. Art: Ma sprcht vo eem Fehler. Art, we H 0 bebehalte wrd, obwohl H A Wrklchket rchtg st. De Wahrschelchket für dese Fehler wrd mt β bezechet. De Größe des β-fehlers hägt dabe vo dem Abstad zwsche der wahre ud der uter der Nullhypothese ageommee Vertelug ab, we de folgede Grafk zegt. Uter der Nullhypothese wurde herbe ee Vertelug um de vermutete Mttelwert µ 0 500 ageomme. Der wahre Mttelwert legt jedoch be µ 50. Der β-fehler ergbt sch u als de lke Schttfläche der bede Verteluge. Da u der Praxs der wahre Parameter ubekat st (dese versucht ma ja gerade über de Test zu ermttel), st der β-fehler, der ja vom wahre Parameter abhägt, der Regel ubekat. Es lässt sch allerdgs zege, daß der folgede Zusammehag glt: Je kleer de Wahrschelchket für ee Fehler. Art st, desto größer st de Wahrschelchket für ee Fehler. Art. Grafk: Ee Verkleerug des Fehlers. Art würde bedeute, dass de Greze der rechte schrafferte Fläche ach rechts verschobe wrd. Da der Fehler. Art (de lke schrafferte Fläche) drekt a deser Greze aschleßt, vergrößert sch der β-fehler etspreched. Es st festzuhalte, daß de Wahrschelchket, H 0 abzulehe, obwohl H 0 rchtg st, maxmal α beträgt (Fehler. Art). Dese Wahrschelchket ka durch de Utersuchede festgelegt werde ud sollte möglchst kle se, so dass de Etschedug für ee Ablehug vo H 0 zemlch scher st. De Wahrschelchket, H 0 azuehme, obwohl H 0 falsch st, hat aber ee ubekate, möglcherwese sehr große Wert. Ee Etschedug für H 0 st daher cht aäherd so scher we ee Etschedug für H A. 5 Praktker der emprsche Wrtschafts- ud Sozalfor- 5 Bamberg ud Baur (99) betoe, daß, we H 0 cht abgeleht werde ka, des cht bedeutet, daß H 0 bestätgt st. Velmehr reche desem Fall de Beobachtugsdate cht zu eer Ablehug vo H 0 aus (sozusage ee Stmmeethaltug oder e Frespruch aus Magel a Bewese). Vgl. herzu Bamberg ud Baur 99, S. 8.

4 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk schug wähle daher dejege Hypothese als Gegehypothese H A, de se bestätge oder statstsch utermauer wolle. Geerelles Zel ees Testverfahres st also: E vorgegebees Sgfkazveau α (Irrtumswahrschelchket) st ezuhalte, wobe β möglchst kle se sollte..4 Testetschedug: Krtscher Wert ud p-value Das Sgfkazveau α gbt a, welche Irrtumswahrschelchket höchstes zugelasse wrd, ee Fehler. Art zu begehe. Be eem Sgfkazveau vo α 0,05 darf de Wahrschelchket H 0 abzulehe, obwohl dese rchtg st, höchstes 5% betrage. Aus dem Sgfkazveau α lässt sch mt Hlfe eer Testvertelug aus eer Tabelle e krtscher Testwert ermttel. E Verglech des krtsche Testwerts mt der Prüfgröße aus der Stchprobe führt zur Testetschedug. Legt de Prüfgröße m krtsche Berech, so wrd H 0 abgeleht. Legt de Prüfgröße m Kofdezberech (außerhalb des krtsche Berechs), so ka H 0 cht abgeleht werde. De Testetschedug ka aber auch über de probablty-value (p-value) getroffe werde. Der p-value gbt für ee Prüfwert der Stchprobe de Wahrschelchket a, de Fehler. Art zu begehe. Ist der p-value kleer als de zugelassee Irrtumswahrschelchket α, ka H 0 abgeleht werde. Für ee p-value größer als de zugelassee Irrtumswahrschelchket muss H 0 bebehalte werde. Testetschedug Krtscher Wert p-value H 0 cht ablehe Prüfgröße < Krtscher Wert p-value > Sgfkazveau α H 0 ablehe Prüfgröße > Krtscher Wert p-value < Sgfkazveau α Grafsch lässt sch das Sgfkazveau α terpretere als de Fläche uterhalb der jewelge Wahrschelchkets(Dchte-)fukto ab desem krtsche Wert. Der p-value wrd durch de Fläche ab dem Prüfwert dargestellt. Für ee Stadardormalvertelug ergebe sch bespelswese folgede Blder:

Kaptel VIII - Parametertests 5.5 Beurtelugskrtere für statstsche Tests: Gütefukto ud Operatoscharakterstk Statstsche Tests solle zwe Krtere erfülle:. De Wahrschelchket, de Fehler. Art (de Nullhypothese wrd fälschlcherwese abgeleht) zu begehe, darf höchstes α betrage.. De Wahrschelchket de Fehler. Art (de Nullhypothese wrd fälschlcherwese bebehalte) zu begehe, soll uter Geltug der. Bedgug möglchst gerg se. Grudsätzlch ka der Fehler. Art ur da begage werde, we der ubekate, wahre Parameter θ m Berech der Nullhypothese ( Θ 0 ) legt; der Fehler. Art ur, we θ außerhalb deses Berechs legt. De Wahrschelchket ee deser bede Fehler zu begehe hägt also vom Wert des wahre Parameters θ ab. Um zu beurtele, wewet e Parametertest de o.g. Aforderuge geügt, wrd de Gütefukto (Teststärke, power des Tests) sowe de Operatoscharakterstk heragezoge. De Wahrschelchkete für de Fehler. ud. Art köe mt Hlfe deser Fuktoe berechet werde. Legt der wahre Wert m Berech der Nullhypothese ( θ Θ0 Wahrschelchket für ee Fehler. Art a: G( θ ) P(" H " H ) α für alle θ Θ. A 0 0 ), gbt de Gütefukto de Gütefukto: De Gütefukto gbt de Wahrschelchket eer Ablehug der Nullhypothese ( Abhäggket vo möglche Parameterwerte θ) a: G( θ ) P(Prüfgröße m Ablehugsberech vo H 0 θ ) P(" H A " θ ). Legt der wahre Wert m Berech der Alteratvhypothese ( θ Θ A ), da gbt de Operatoscharakterstk de Wahrschelchket für ee Fehler. Art a: OC( θ ) G( θ ) P(" H " H A ) β für alle θ Θ. 0 A Operatoscharakterstk (OC): De Operatoscharakterstk st de Wahrschelchket der Nchtablehug der Nullhypothese, wederum Abhäggket vo de möglche Parameterwerte θ: OC( θ ) G( θ ) P(Prüfgröße cht m Ablehugsberech vo H θ ) P(" H " θ ). 0 0 Aus Gütefukto ud Operatoscharakterstk wrd deutlch: Legt der wahre Parameter θ m Berech der Nullhypothese ( θ Θ A ), so st de Wahrschelchket für de Fehler. Art höchstes α. Legt θ m Berech der Alteratvhypothese, so mmt de Wahrschelchket für de Fehler. Art mt zuehmede Abstad vo θ zur H0 ab. Bespele: Nachstehed fdet sch de grafsche Darstellug der Gütefukto für ee rechtssetge, lkssetge sowe ee zwesetge Parametertest. Herbe st de Wahrschelchket de Fehler. Art zu begehe (y-achse) für verschedee Werte vo θ (x-achse) abgetrage. De Wahrschelchket für de Fehler. Art ergbt sch da aus G( θ ).

6 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Test rechtssetg H0 : µ 000; H A > 000 Test lkssetg H0 : µ 000; H A : µ < 000 : Rechtssetger Test H0 : µ 000; H A > 000 Ist der wahre Wert θ kleer als 000, legt de Wahrschelchket de Fehler. Art zu begehe uter α. Beträgt θ000, so st de Wahrschelchket für dese Fehler geau α. De Wahrschelchket für de Fehler. Art lässt sch also als Ordatewert (Strecke) uterhalb der Gütefukto ablese. Nmmt θ jedoch ee Wert über 000 a, besteht de Gefahr ee Fehler. Art zu begehe. De Wahrschelchket für de Fehler. Art ergbt sch aus G( θ ). Des st grafsch als Strecke oberhalb der Gütefukto abzulese. Es wrd deutlch, dass de Wahrschelchket für de Fehler. Art skt, we θ zummt. Lkssetger Test H0 : µ 000; H A : µ < 000 Be eer lkssetge Fragestellug st de Argumetato geau umgekehrt. Nmmt θ Werte über 000 a, legt de Wahrschelchket für de Fehler. Art uter α. Für Werte kleer als 000 besteht de Wahrschelchket für de Fehler. Art. Je edrger de Werte vo θ sd, desto gerger st de Wahrschelchket ee Fehler. Art zu begehe. Zwesetger Test H0 : µ 000; H A : µ 000 : I desem Fall beträgt de Wahrschelchket ee Fehler. Art zu begehe geau α, we der wahre Wert 000 st. Ist θ uglech 000 st es ur och möglch ee Fehler. Art zu begehe. We be de adere Tests wrd der Fehler. Art uterhalb der Gütefukto ud der Fehler. Art oberhalb der Gütefukto abgelese.

Kaptel VIII - Parametertests 7 Gock, Smth 993

Kaptel VIII - Parametertests 9 Estchprobetest für de Atelswert Uter eem Estchprobetest versteht ma ee statstsche Test auf der Grudlage des Ergebsses eer Stchprobe.. Efache Hypothese ud efache Alteratve Bespel zur Testetwcklug: E Schraubeproduzet betrebt zwe Masche, dere Ausschußatele 0 % bzw. 50 % betrage. I eer Stchprobe vom Umfag 0 wurde x 6 defekte Schraube festgestellt. Frage: Wrd damt de Behauptug, de Leferug stamme vo der Masche mt p 0, be eem Sgfkazveau vo α 0,05 wderlegt?. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Prüfgröße Parametermege: Θ { 0,;0,5 } Nullhypothese: H : p 0, 0 Alteratvhypothese: : p0, 5 H A Sgfkazveau: α 0, 05. Schrtt: Testvertelug De Stchprobe st aus eer dchotome Grudgesamthet. De Azahl der defekte Schraube der Stchprobe st (/N kle) bomalvertelt 6 mt 0 ud p 0, oder p 0,5. De Prüfgröße X 'Azahl der defekte Schraube' st für klees /N uter H 0 bomalvertelt mt 0 ud p 0,: X ~ B(0; 0,) 3. Schrtt: Krtscher Berech 0 Sd der Stchprobe weg defekte Schraube, so st H : p 0, plausbel. Werde dagege vele defekte Schraube gezählt, so st H 0 zuguste der Alteratve H A : p 0, 5 abzulehe. Geüge x 6 defekte Schraube scho, um sch für H A zu etschede? Wo st de Greze zwsche der Etschedug für H A ud der Bebehaltug vo H 0 zu zehe? Gesucht wrd her also e krtscher Wert x c, der für folgede Regel egesetzt werde soll: Lehe H 0 ab, falls x x c; Lehe H 0 cht ab, falls x < x c. 6 Be dem beschrebee Expermet hadelt es sch um e Zehe ohe Zurücklege. Voraussetzug für de Awedug der Bomalverteug st aber de uabhägge Wederholug ees Zufallsexpermets (Zehe mt Zurücklege). Näherugswese glt des aber auch och bem Zehe ohe Zurücklege, we der Auswahlsatz /N verachlässgbar kle st, d. h. N wet größer als st.

30 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Da als Sgfkazveau α 0,05 gewählt wurde, muß gelte: ( X x p0,) 0, 05 P c Zusätzlch sollte x c so kle se, daß α möglchst ausgeschöpft wrd. X st uter H 0 B(0;0,)-vertelt, d. h. k xc p k m Bespel: k ( p) k α k xc 0 k 0, 0,8 k xc k 0 0 k 0 k 0, 0,8 k 0,05 0 k 0,95 (*) Gesucht wrd also das kleste x c, das (*) erfüllt. Aus der Tabelle ermttelt ma: 6 k 0 7 k 0 0 0, k 0,8 0 k F ( X 6 p 0,) 0,933 0,95 < k 0 0, k 0,8 0 k ( 7 0, ) 0,9679 0,95 F X p k Also 7 x x 8 c c Aahmeberech: {0,,..., 7} Krtscher Berech: {8, 9, 0,...} 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße x 6 defekte Schraube sd der Stchprobe. 5. Schrtt: Etschedug ud Iterpretato x 6 legt cht m krtsche Berech, x 6 legt also m Aahmeberech: H 0 : p 0,0 wrd bebehalte.. Zwesetge Fragestellug Bespel zur Testetwcklug: Der Gummbärchehersteller HARRY PO wll überprüfe, ob der Atel der rote Bärche 5 % beträgt. Er etmmt 50 Bärche aus der laufede Produkto ud zählt zeh rote Bärche. Ist damt de Hypothese, daß durchschttlch e Vertel der Bärche rot sd, be eem Sgfkazveau vo α 0,05 wderlegt?

Kaptel VIII - Parametertests 3. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Parametermege: Θ 0, Nullhypothese: H0: p 0, 5 Alteratvhypothese: HA: p 0, 5 Sgfkazveau: α 0, 05. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug Als Schätzfukto ka her ɵp X 0 verwedet werde. Es ergbt sch p ɵ, 50 0 0. Uter H 0 st X ~ B(50; 0,5), da /N kle st. Da p ( p) 50 0,5 ( 0,5 ) 9,375> 9 st, ka für ɵp uter H 0 auch approxmatv ee Normalvertelug ageomme werde. 7 E(ɵ p) p 0, 5 ud p ( p),, Var(ɵ p p) 0 5 0 75 0, 00375 50 Testvertelug: Normalvertelug Als stadardormalvertelte Prüfgröße ka her da verwedet werde: Z pɵ 0, 5 ~ N(0, ) 0, 00375 3. Schrtt: Krtscher Berech De Nullhypothese H 0 : p 0,5 wrd verworfe, we der Atel der gezählte rote Bärche der Stchprobe vo p 0,5 'wet' ach obe oder ute abwecht. Krtscher Berech für de Prüfgröße Z: ( ] [ z, + ) z., u o Be eer zwesetge Fragestellug erschet es svoll, de Irrtumswahrschelchket α symmetrsch α / aufzutele: α wähle z u so, daß ( Z z p 0,5) ; P u α wähle z o so, daß ( Z z p 0,5). P o Da Z äherugswese stadardormalvertelt st, sd zu zα/ ud z zu etehme: α 0, 05 z, 96, z +, 96 Aus der Tabelle ergbt sch: u o o z α/ aus der Tabelle 7 Vgl. herzu auch de Abschtt IV.5 Normalvertelug als Näherugsvertelug.

3 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk F F Z ( Z ) 0,95ud z F ( 0,95) ( Z ) 0,975 z,96. bzw. 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße Für de Prüfgröße ergbt sch aus der Stchprobe: z pˆ E Var ( pˆ ) ( pˆ p) 0,0 0,5 0,05 0,8 0,00375 0,064 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato Da, 96< z 0, 8< +, 96 st, ka H0: p 0, 5 cht verworfe werde. De Hypothese, daß m Durchschtt e Vertel der Bärche rot sd, ka be α 0,05 cht wderlegt werde. Alteratv ka ma auch ee Etschedug über de krtsche Atelswerte treffe: z z u o p p p σ cu pɵ p σ co pɵ wobe Var( pˆ p) pˆ p p + z σ ; 0 0 cu 0 u pɵ p p + z σ co 0 o pɵ σ ud p E( pˆ ), 0. Für das Bespel ergbt sch her kokret: p cu 0, 5, 96 0, 00375 0, 5 0, 0, 3; p co 0, 5+, 96 0, 00375 0, 5+ 0, 0, 37 Da 0, 3< p ɵ 0, 0< 0, 37 st, wrd H 0 bebehalte, e Atel der rote Bärche vo 5 % ka cht wderlegt werde (be α 0, 05)..3 Esetge Fragestellug Bespel zur Testetwcklug: Wr betrachte her ereut das Uterehme CHIO CHONG aus dem eletede Bespel. Als Produzet ees Masseartkels hatte CHIO CHONG behauptet, daß der Ausschußatel eer Leferug höchstes 0 % betrage. Wr wolle her de Behauptug 'p 0,0' überprüfe. Ee Stchprobe ohe Zurücklege hat be eem Umfag vo 00 x 3 defekte Chps zu Tage gebracht. Ka de Behauptug be eem Sgfkazveau vo α 0,05 wderlegt werde?. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Parametermege: Θ 0, Nullhypothese: H0: p 0, 0

Kaptel VIII - Parametertests 33 Alteratvhypothese: HA: p > 0, 0 Sgkazveau: α 0, 05. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug Uter H 0 st de Azahl X der defekte Chps bomalvertelt ( ( 00;0,0 )) B. Wederum wolle wr her aehme, daß /N kle geug st, um ee Bomalvertelug für gerechtfertgt zu halte. De Schätzfukto ɵp X st da approxmatv ormalvertelt, we p ( p) 9 st. Offeschtlch st dese Uglechug erfüllt, we p 0, 0 glt, aber cht für 0 p < 0, 0. Ma beötgt aber ee Prüfgröße, für de de Testvertelug uter der gesamte Nullhypothese agegebe werde ka. Muß ma deses Testproblem deshalb mt der Bomalvertelug löse? Wr werde m drtte Schrtt sehe, daß des cht otwedg st. 3. Schrtt: Krtscher Berech De Nullhypothese H0: p 0, 0 wrd verworfe, we sch sehr vele defekte Chps der Stchprobe befde. Krtscher Berech: k c, De Greze k c st so zu wähle, daß de Wahrschelchket, H 0 zu verwerfe, obwohl se rchtg st, für jedes p 0; 0, 0 höchstes α st. Gesucht wrd also das kleste k c, für das gerade och glt: 8 P ( X k p) α für alle 0 p 0,. c Aschaulch st klar, daß P( X k p) c mt wachsedem p größer wrd, d. h., daß de Wahrschelchket also (uter H 0 ) für p 0,0 maxmal st. Des bedeutet folglch: Aus P( X k p 0, 0) α folgt P ( X k 0 p 0, 0) α, c wel P ( X k 0 p 0, 0) P( X k p 0, 0) α st. c c We ma für p 0,0 e k c gefude hat, das das Sgfkazveau α ehält, so wrd mt k c das Sgfkazveau α be jedem 0 p 0, 0 auch egehalte. Damt geügt es also, e k c Abhäggket vo p 0,0 zu kostruere. Damt köe wr de Bomalvertelug her durch de Normalvertelug approxmere: E ( pˆ p 0,0 ) Var ( pˆ p 0,0 ) X E p 0,0 0,0; p ( p) 0,0,9 σ p 00 ˆ Für p 0,0 st ɵp ~ N(0,; 0,03 )-vertelt. Prüfgröße: ( pˆ ) ( pˆ p) c 0,0009. pˆ E pˆ 0, Z, wobe Z ~ N(0, )-vertelt st. Var 0,03 8 De Abletug fdet sch Hujer 99, S. 86 ff.

34 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Als Etschedugsregel ergbt sch da: H 0 sollte verworfe werde, falls de Stchprobe e z> z α lefert. Her ergbt sch: ( Aus : z F ( z),645) z α z0,95,645 z Krtscher Berech:, 645; 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße pɵ x 3, 00 0 3 pɵ,,,, z 0 0 3 0 0 0 03 0, 03 0, 03 0, 03 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato z <, 645, d. h., de Stchprobe lefert her ee Wert für z, der cht de krtsche Berech fällt. Ho: p 0, 0 ka also cht verworfe werde. Alteratv ka ma her auch ee Wert für de krtsche Atelswert p c bestmme: z c p p 0 c σp ɵ mt p0 E( pˆ p) ud pˆ Var( pˆ p) Es ergbt sch: p p + z c 0 c σp ɵ 0, 0+, 645 0, 03 0, 4935. σ. Be 3 defekte Chps ( 00) ka H 0 cht verworfe werde. Erst ab 5 defekte Chps st de Leferug zu beastade. 3 Estchprobetest für das arthmetsche Mttel be ormalvertelter Grudgesamthet De Testgröße m letzte Kaptel baue auf bomalvertelte Zufallsvarable auf. Be bekatem Stchprobeumfag st de Bomalvertelug ur vo dem Parameter p abhägg. De Normalvertelug st aber vo zwe Parameter abhägg: µ ud σ. Ma uterschedet be Tests für das arthmetsche Mttel zwe Fälle:. De Varaz σ st bekat, d. h., es blebt e ubekater Parameter, ämlch das zu testede µ.. De Varaz σ st ubekat. Her gbt es ee Prüfvarable, de uabhägg vo σ st.

Kaptel VIII - Parametertests 35 3. Estchprobetest für µ be bekatem σ De folgede Tests solle a eem Apfelwebespel etwckelt werde: Be der letzte Apfelwe-Kampage hat ee Abfüllmasche mt µ,0 l ud σ 0,00 l gearbetet. Jetzt soll überprüft werde, ob de durchschttlche Füllmege och be,0 l legt. Dazu werde 30 Flasche aus der laufede Produkto etomme ud achgemesse. De Stchprobe lefert e x 0,9995 l. Hat sch de durchschttlche Füllmege sgfkat be α 0,05 verädert?. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Parametermege: Θ 0, Nullhypothese: H 0 : µ, 0 Alteratvhypothese: H A : µ, 0 Sgfkazveau: α 0, 05. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug De Zufallsvarable X st ormalvertelt. Uter H 0 bestzt X ee Mttelwert µ 0, 0. We ma ammt, daß sch der Stadardfehler σ 0, 00 cht geädert hat, st X uter H 0 folglch N(,0;0,00 )-vertelt. Stadardsere lefert damt de stadardormalvertelte Prüfgröße Z X µ 0 X µ 0 Var ( X ) σ X We be der Kofdeztervallberechug ergbt sch de Mttelwertvaraz σ X aus der Varaz σ der Zufallsvarable X aus Var ( X ) σ σ bzw. σ X X σ. Korrektur be eer Stchprobe ohe Zurücklege ud N 0, 05 : σ X σ N N 3. Schrtt: Krtscher Berech Für de zwesetge Test etmmt ma der Tabelle der Stadardormalvertelug de krt- α 0,05 : sche Werte ( ) z o c u c, 96 z, 96 Der krtsche Berech hat her de Form: (,96] [,96; ) ;. 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße Mt de Werte der Stchprobe (mt Zurücklege) erhält ma:

36 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk x z µ 0 0, 9995, 000 σ 0, 00 0, 0005 30 30, 74. 0, 00 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato z, 74<, 96. Damt wrd H 0 abgeleht. z c u Mt eer Irrtumswahrschelchket vo 5 % hat sch de durchschttlche Füllmege des fee 'Stöffches' also verädert. Auch her ka ma ee esetge Test durchführe: H 0 : µ µ 0 H 0 : µ µ 0 bzw. H A : µ < µ 0 H A : µ µ Als krtscher Berech ergbt sch her: ( ] ;z α > 0 [ z ) α ;+ 3. Estchprobetest für µ be ubekatem σ Wr betrachte her weterh das Apfelwebespel. De Stchprobe soll her als zusätzlches Ergebs ee Stadardabwechug vo s 0,0035 l gelefert habe. De Aahme, daß σ ach we vor be 0,00 l legt, wrd jetzt fallegelasse.. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Parametermege: Θ 0, Nullhypothese: H 0 : µ, 0 Alteratvhypothese: H A : µ, 0 Sgfkazveau: α 0, 05. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug De stadardserte Prüfgröße st aalog zur Kofdeztervallberechug T X µ 0 X µ 0 Var ˆ ˆ σ ( X ) X mt ɵσ X S bzw. be Korrektur für ee Stchprobe ohe Zurücklege ud N 0, 05 : ɵσ X S N. N De Prüfgröße T st uter H 0 t-vertelt mt ν Frehetsgrade.

Kaptel VIII - Parametertests 37 3. Schrtt: Krtscher Berech Für de zwesetge Test etmmt ma der Tabelle der t-vertelug de krtsche Werte α 0,05 : ( ) t o c u c, 045 ud t, 045 ν 9 Damt erhält ma als krtsche Berech: ( ;,045] [,045; ) 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße Mt de Werte der Stchprobe st: x µ t 0 s 0, 9995, 000 0, 0005, 99. / ( ) 0, 0035/ 9 0, 0005 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato u c o c t, 045<, 99 t <+, 045 t, d. h. H : µ, 0 wrd cht abgeleht. Auch her ka ma ee esetge Test durchführe: H 0 : µ µ 0 H 0 : µ µ 0 bzw. H A : µ < µ 0 H A : µ µ Als krtscher Berech ergbt sch da: 0 > 0 ( t α ] [ + ) ; ; t α ; ; Für > 30 ka de t-vertelug durch de Normalvertelug approxmert werde.

Kaptel VIII - Parametertests 39 Gock, Smth 993

40 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk 4 Estchprobetest für de Varaz be ormalvertelter Grudgesamthet Im letzte Kaptel wurde das arthmetsche Mttel getestet; u steht de Varaz als zwete zetrale Kegröße m Vordergrud des Iteresses. 4. Zwesetge Fragestellug Für user Apfelwebespel wrd u de Frage utersucht, ob sch der Stadardfehler σ der Füllmege sgfkat be α 0, 05 verädert hat.. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Parametermege: Θ IR Nullhypothese: H 0 : σ 0, 00 Alteratvhypothese: H A : σ 0, 00 Sgfkazveau: α 0, 05. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug De Prüfgröße χ0 S σ 0 st uter H 0 χ -vertelt mt ν Frehetsgrade. 3. Schrtt: Krtscher Berech + Für de zwesetge Test etmmt ma der Tabelle der χ -Vertelug de krtsche Werte α 0,05, ν 9 : ( ) χ χ cu co 6, 047 45, 7 ud 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße S χ σ 0 0,0035 30 0,00 30 (,35) 54,675. 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato χ co 45, 7< 54, 675 χ, d. h., H 0 : σ 0,00 wrd abgeleht: der Stadardfehler der Füllmege hat sch also sgfkat verädert. 4. Esetge Fragestellug Wr wolle user Apfelwebespel her weter betrachte, aber u überprüfe, ob sch der Stadardfehler σ sgfkat vergrößert hat.

Kaptel VIII - Parametertests 4. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Parametermege: Θ + IR Nullhypothese: H 0 0 00 :, σ Alteratvhypothese: H A :, σ > 0 00 Sgfkazveau: α 0 05,. ud 3. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug, krtscher Berech De Prüfgröße χ σ S st χ -vertelt mt ν Frehetsgrade, σ st der wahre Parameter. Als Prüfgröße wählt ma her χ σ 0 0 S, de st σ σ 0 0 00,, da st χ σ 0 0 S ( ) χ -vertelt, ud ma etmmt der Tabelle für de χ -Vertelug de krtsche Wert ( ) 0,05 α : ( ) 557 4, 9 c χ, ud es glt für jedes σ : ( ). α σ χ σ σ χ χ c c S P P We σ σ 0 glt, da st: ( ) ( ) α σ σ χ χ σ σ σ σ χ σ σ σ χ σ σ σ σ σ χ σ σ σ χ χ χ χ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c c c c c P S P S P S P P c

4 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Damt st gezegt, daß für de Prüfgröße χ 0 c P ( χ χ σ ) α für jedes σ σ. 0 0 S σ 0 glt: Als Ergebs ka festgehalte werde, daß mt der Prüfgröße χ 0 ud dem krtsche Wert χ e Test kostruert st, der für jedes σ aus H 0 das Sgfkazveau α ehält. c ( ) 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße χ S 0 σ 0 0,0035 30 0,00 54,675 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato Da χ 0 54, 675> 4, 557 χc st, wrd de Nullhypothese H 0 : σ 0, 00 abgeleht. 5 Zwestchprobetest für de Dfferez zweer arthmetscher Mttel Wr betrachte u de Fall, daß aus zwe Grudgesamthete je ee Stchprobe vom Umfag bzw. gezoge wurde. De bede Stchprobe lefer de arthmetsche Mttel x ud x. Ka ma u aus der beobachtete Dfferez auf de Dfferez µ µ der Grudgesamthet schleße? Wr wolle her zwe Modellvoraussetzuge aehme: - De bede Stchprobe sd voeader uabhägg. - Bede Stchprobe stamme aus ormalvertelte Grudgesamthete. Bespel: Mt Hlfe der Masche M ud M wrd Tee verpackt. Es soll u überprüft werde, ob de Masche M mt dem gleche durchschttlche Füllgewcht arbetet we M. Dazu wrd je ee Stchprobe vo jeder Masche erhobe: Stchprobe : Stchprobe :, x 30 gr. 0, x 7 gr. De Füllgewchte der bede Masche solle aäherd ormalvertelt se. Als Sgfkazveau wrd α 0,0 festgelegt. Zur bessere Überscht wolle wr de Zwestchprobetest für de Dfferez zweer arthmetscher Mttel a desem Bespel getret für bekate (5.) ud ubekate Varaze (5.) durchführe. We auch aus dem Kaptel über Kofdeztervalle erschtlch wrd, wrd der przpelle Utersched der Vorgeheswese ledglch der Verwedug uterschedlcher Testverteluge lege:

Kaptel VIII - Parametertests 43 bekate Varaz: ubekate Varaz: Stadardormalvertelug Studet (t)-vertelug (da Varaz geschätzt wrd). I bede Abschtte (5. mt bekater Varaz sowe 5. mt ubekater Varaz) werde jewels zwe Fälle uterschede: Fall : De Stadardabwechug beder Masche st glech (Varazhomogetät) Fall : De Stadardabwechug beder Masche st uglech (Varazhomogetät) Korrektur be Stchprobe ohe Zurücklege ud / N 0, 05: De Varaze für X müsse mt ( )/( N ) multplzert werde. N ud für X mt ( N ) ( N ) 5. Zwestchprobetest für de Dfferez zweer arthmetscher Mttel be bekater Varaz / Mt bekate Varaze der Grudgesamthet ud dem obge Bespel wrd u der Zwestchprobetest für de Dfferez zweer arthmetscher Mttel durchgeführt.. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Parametermege: µ IR: Θ IR bzw. µ µ µ IR: Θ IR Θ IR Also: Θ Θ Θ IR IR Nullhypothese: H 0 : µ µ H 0 : µ µ 0 Alteratvhypothese: H A : µ µ H A : µ µ Sgfkazveau: α 0, 0 α 0, 0 0. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug Wr ermttel für de Stchprobefukto ( X X ) de Erwartugswert ud de Varaz: E( X X ) E( X ) E( X ) µ µ Var Var ( X X ) Var( X ) + Var( X ) σ σ +. (wege Uabhäggket, ( X X ) Var( X ) + Var( X ) Cov( X X ), 0 (wege Uabhäggket, vgl. VII.6) σ σ + σ D Fall : Varazhomogetät, σ σ : σ (bekat) + Var D σ ( ) X + X σ σ vgl. VII. 6)

44 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Für de stadardormalvertelte Prüfgröße Z erhalte wr mt der Nullhypothese µ µ 0: X µ Z σ ( X X ) ( µ µ ) σ D X X σ D σ X X + ( X X ) σ Z st uter H 0 N(0,)-vertelt. + Fall : Varazhomogetät, σ Var Prüfgröße: ( X X ) σ (bekat) σ σ σ + σ σ D + Z X X X X X X σ D σ + σ σ + σ Z st uter H 0 N(0,)-vertelt. 3. Schrtt: Krtscher Berech De krtsche Bereche köe her we m Estchprobetest kostruert werde. Da de Prüfgröße Z für de Fälle ud (Varazhomogetät ud -homogetät) stadardormalvertelt sd, erhalte wr für bede Fälle de folgede krtsche Bereche (zwesetge Fragestellug): (, z ] [ z, + ). u o Aus der Tabelle der Stadardormalvertelug etmmt ma da de Werte: zu zα ud zo z α. Mt der Irrtumswahrschelchket α 0,0 st zu z0, 005, 5758 ud zo z0, 995, 5758. Krtscher Berech: (,,5758] [,5758, + ).

Kaptel VIII - Parametertests 45 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße Fall : Varazhomogetät, σ σ : σ (bekat) Mt der bekate Varaz vo σ bzw. σ σ σ, 0 gr. st: x x z σ + 30 7, 0, 3, 3355 4, 9543 0 + 0 Fall : Varazhomogetät, σ σ (bekat) Mt de bekate ugleche Stadardabwechuge σ, 3gr. ud σ, 9gr. z σ + σ 0 x x 30 7 (,3) + (,9 ) 3 0,9545 9,809 3,3503 0 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato Fall : Varazhomogetät, σ σ : σ (bekat) z 4, 9543>, 5758, z o d. h., de Hypothese H 0 : µ µ wrd abgeleht. Fall : Varazhomogetät, σ z 3, 3503>, 5758, z o σ (bekat) d. h., de Hypothese H 0 : µ µ wrd auch desem Fall abgeleht. 5. Zwestchprobetest für de Dfferez zweer arthmetscher Mttel be ubekater Varaz I der Praxs sd de Varaze σ ud σ jedoch mest ubekat. Häufg muß auch de Aahme σ σ fallegelasse werde. We m Estchprobetest köe de Varaze aber durch hre Schätzer ersetzt werde, wodurch ma t-vertelte Prüfgröße erhält. Wr betrachte weter das Verpackugsmaschebespel, wobe wr de Modfkato vorehme, daß jetzt zusätzlch de Stchprobestadardfehler ermttelt werde, aber dafür de wahre Varaze σ ud σ ubekat se solle: - Stchprobe :, x 30 gr., s, gr.

46 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk - Stchprobe : x gr s gr 0 7 8,.,,.. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Parametermege: µ IR IR : Θ bzw. µ µ IR µ IR IR : Θ Θ IR Also: Θ Θ Θ IR Nullhypothese: H 0 : µ µ H 0 0 : µ µ Alteratvhypothese: H A : µ µ H A : µ µ 0 Sgfkazveau: α 0 0, α 0 0,. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug Uterschede zum Fall bekater Varaze ergebe sch jedoch für de Prüfgröße: Fall : Varazhomogetät, σ σ σ (ubekat) We uter VII.. ausgeführt, ka de ubekate Varaz erwartugstreu geschätzt werde allgeme durch ( ) ( ) ˆ X X X X S σ Mt de bede Telstchprobe ud ( ) ˆ X X S σ wobe S X X ( ) ( ) ˆ X X S σ S X X ( ) st da der erwartugstreue Schätzer für de Gesamtvaraz ( ) ( ) ˆ ˆ + + + + + + + + + + S S S S S S S S σ σ ( ) ( ) ˆ + + X X X X σ

Kaptel VIII - Parametertests 47 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ + + + + + + S S X X X X σ σ σ Für S S S st ɵσ + + S Egesetzt de Varaz der Stchprobefukto ( ) X X ( ) + + X X Var D σ σ σ σ erhalte wr de erwartugstreue Schätzer für σ D mt. ˆ ˆ ˆ + + + + + S S D σ σ σ De Prüfgröße erhalte wr dadurch, daß wr de ubekate Varaz σ durch hre Schätzer ɵσ ersetze ( ) 0 µ µ : ( ) ( ) ( ). ˆ ˆ ˆ ˆ D D D X X X X X X X X T σ σ σ σ µ µ + T st wege der geschätzte Varaz t-vertelt mt ν + Frehetsgrade. Fall : Varazhomogetät, σ σ, (σ σ, ubekat) Deses sogeate Behres-Fscher-Problem st cht exakt lösbar. Für praktsche Zwecke geeget st e Asatz mt ɵ ɵ σ σ S S egesetzt als Schätzer für σ ud σ ( ) X X Var D + σ σ σ.

48 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Also σɵ Prüfgröße: ɵ σ + σɵ D T S X X + S σɵ + σɵ S + S Dese Prüfgröße st aber ur aäherd t-vertelt. De Zahl der Frehetsgrade bestmmt ma u über ν* w ( ) + w σɵ 0< w <. σɵ + σɵ mt Da ν* der Regel kee gaze Zahl se wrd, erhält ma de Zahl der Frehetsgrade durch Abrude: ν ν *. 3. Schrtt: Krtscher Berech Da de Varaze σ bzw. σ ud σ ubekat sd, sd de Prüfgröße t-vertelt bzw. aäherd t-vertelt. Krtscher Berech: ( t ] [ t ; + ) ; u o Aus der Tabelle der t-vertelug etmmt ma de krtsche Werte: t u t α/, ν ud to t α/, ν. De Fälle ud werde der Regel cht deselbe Azahl vo Frehetsgrade aufwese. I userem Bespel sd de Zahle aber so gewählt, daß ν ν*. Im Bespel glt: s s, 4, 84, 8 3, 4 0 Fall : Varazhomogetät, σ σ σ (ubekat) ν + + 0 0 to t0, 0, 995, 845, t u to, 845

Kaptel VIII - Parametertests 49 Fall : Varazhomogetät,σ σɵ σɵ 4, 84 5, 8 s 0 3, 4 3, 60 s 9 w σɵ ɵ σ + σɵ ν w + σ, (σ, σ ubekat) 5, 8 0 5, 8 5, 8 0, 55 5, 8 0+ 3, 60 5, 8+ 43, 0 96 ( w) ( 0,55) ( 0,45) 9 0,075+ 0,05 0,05 * to t0, 0, 995, 845, t u to, 845 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße Fall : Varazhomogetät, σ σ σ (ubekat) T X X ɵσ + + 0 ( s + ) + s s σ ɵ ( 4,84 + 0 3,4) 90,48 4,7 + + s + 0, + 4 7 0, 0488, 079, 69 30 7 0 t, 69 + 0, 405, 3355 3, 94 Fall : Varazhomogetät,σ T X X σɵ + σɵ + σ, (σ, σ ubekat) 0

50 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk ɵ 4, 84 5, 8 s σ ɵ 0 3, 4 3, 60 s 9 σ t 30 7 3 0 0, 9545 3, 354 0 5, 8+ 3, 60 96 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato Fall : Varazhomogetät, σ σ σ (ubekat) t 3, 94>, 845 t o Fall : Varazhomogetät,σ t 3, 354>, 845 t o σ, (σ, σ ubekat) De Hypothese µ µ wrd also bede Fälle abgeleht. Auch her ka ma für bede Fälle esetge Fragestelluge utersuche. Wr betrachte her de esetge Test H : µ µ 0 H A : µ > µ bzw. Wr erhalte userem Bespel: H : µ µ 0 H A µ µ 0 : > 0. De Varaze σ bzw. σ ud σ sd bekat: Als krtsche Wert ermttel wr her ( α 0,0) : zc z0, 99, 363. I bede Fälle (Varazhomogetät ud -homogetät) st z> z c. Daher wrd de Hypothese µ µ verworfe. De Varaze σ bzw. σ ud σ sd ubekat: Als krtsche Wert ermttel wr her ( α 0,0) : tc t0, 0, 99, 58. Auch her st bede Fälle (Varazhomogetät ud -homogetät) t > t c, so daß µ µ verworfe wrd. 6 Zwestchprobetests für de Quotete zweer Varaze Zwe Voraussetzuge werde bebehalte: - De bede Stchprobe sd uabhägg voeader. - Bede Stchprobe stamme aus ormalvertelte Grudgesamthete.

Kaptel VIII - Parametertests 5 Zwestchprobetests für de Quotete zweer Varaze solle ahad ees Bespels etwckelt werde. Als Bespel betrachte wr her de Verglech vo Ekommesverteluge. Es soll utersucht werde, ob de Streuug der Ekomme A uglech oder größer st als B (A, B see Läder, Betrebe usw.). Ee Stchprobe A vom Umfag hat ee Stadardabwechug vo s 3 DM ergebe. I B wurde ee Stchprobe vom Umfag 6 erhobe, de ee Stadardabwechug vo s 88 DM ergab. Ist de Streuug der Ekomme A uglech oder größer als B, we α 0, 05 gewählt wrd? Wr uterschede weder ach zwesetger (6.) ud esetger Fragestellug (6.). 6. Zwesetge Fragestellug. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau + Parametermege: ( ) Θ IR bzw. Θ IR Nullhypothese: H 0 : σ σ H 0 : σ σ + Alteratvhypothese: H A : σ σ H A : σ σ Sgfkazveau: α 0, 05 α 0, 05. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug De Varaze bzw. hre (erwartugstreue) Schätzer ɵσ S ud ɵσ S sd über S ud S voeader uabhägg χ -vertelte Zufallsvarable. Da glt, daß der Quotet zweer voeader uabhägge χ -vertelte ud durch hre Frehetsgrade dvderte Zufallsvarable F-vertelt st, 9 ka als Prüfgröße heragezoge werde: ɵ σ S / ( ) F σɵ S / ( ). Dese Prüfgröße st uter H 0 : σ F F ( ν,ν ). 3. Schrtt: Krtscher Berech σ F-vertelt mt ν ud ν Frehetsgrade: Je mehr der Quotet ɵ σ /ɵ σ vo abwecht, desto eher wrd ma H 0 : σ / σ ablehe. Wel F IR + st, wrd ma H 0 ablehe, we der beobachtete F-Wert ahe be 0 legt oder sehr groß wrd. Krtscher Berech: [ 0, F ] [ F, ). u o 9 Vgl. herzu auch de Abschtt V.3.

5 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Da es sch her um ee zwesetge Test hadelt, wrd α symmetrsch aufgetelt: F F ud F F o α/ ; ν, ν u α/ ; ν, ν. Für ege α fdet ma de tabellerte Werte vo F α/ ; ν, ν (für Werte größer als es), cht jedoch für F α/ ; ν, ν (für Werte kleer als es). Dese Wert berechet ma durch F u F α/ ; ν, ν Des glt, wel σ F ɵ σɵ ~ F ν, ν ɵ σ G σɵ ~ Fν, ν F. α P u u G Fu Fu Also glt: ( F F ) P F P G P G st. α P G. F u Da G F ν, ν, folgt F α/ ; ν, ν. Also st F F u F α/ ; ν, ν. u Aus der Tabelle der F-Vertelug erhält ma für das Bespel: Fo F0, 975; 0, 5, 7559 ud F u F 573 0,, 3886. 0, 975; 5, 0 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße I userem Bespel habe wr de Werte s s 3, 88, 6. De erwartugstreue Schätzer für de Varaze sd: ˆ σ s ˆ σ s 3 08868, 0 6 88 88473,6 5 ˆ σ 08868, F,3. ˆ σ 88473,6

Kaptel VIII - Parametertests 53 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato Da F u 0,3886 F,3,7559 F o, ka de Hypothese De Ekomme A ud B bestze de gleche Streuug cht abgeleht werde, H 0 wrd also bebehalte. 6. Esetge Fragestellug Wr wolle auch her de esetge Fragestellug utersuche, d. h., wr wolle überprüfe, ob H 0 :σ σ glt.. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Parametermege: Θ IR Nullhypothese: H 0 : σ σ Alteratvhypothese: H A : σ σ + Sgfkazveau: α 0, 05. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug F * ɵ σ σ st Fν ; ν vertelt. σɵ σ > Uter der Nullhypothese der zwesetge Fragestellug ud für σ σ der Hypothese der esetge Fragestellug erhält ma durch Kürze: σ F ɵ σɵ F ν ν ;. Mt adere Worte: Falls σ σ, ka de Prüfgröße F* F ohe Kets der Grudgesamthetvaraze berechet werde. De Prüfgröße etsprcht der des zwesetge Tests. 3. Schrtt: Krtscher Berech Der krtsche Berech hat de Form: [ F, + ). c Behauptug: Der Test hält das Sgfkazveau e, we ma F c F α ν ν ;, setzt.

54 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Bewes: Uter H 0 glt: α P ( F * > F ) ˆ σ σ P > F c ˆ σ σ ˆ P σ > F c σ ˆ σ σ Fc c ˆ σ P > F ˆ σ Her ergbt sch: c P( F> Fc ). Fc F0, 95; 0, 5, 33 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße Wr erhalte her we be der zwesetge Fragestellug F,3. 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato Da F,3 <,33 F c st, ka H 0 (we be dem zwesetge Test) cht abgeleht werde. 7 Zwestchprobetests für de Dfferez zweer Atelswerte Wr wolle herbe de folgede Voraussetzuge treffe: - De bede Stchprobe sd voeader uabhägg. - De Stchprobeumfäge ud solle so groß se, daß de Atelswerte als ormalvertelt agesehe werde köe. Als Bespel zur Etwcklug des Zwestchprobetests soll der folgede Zusammehag utersucht werde: I zwe Vororte vo Hamburg wurde das Jahresekomme der Haushalte erhobe. Im Vorort A wurde be eem Stchprobeumfag vo 400 x 39 Haushalte gezählt, de e Jahresekomme vo mehr als 60.000 DM erzelte. Im Vorort B ergab ee Stchprobe vom Umfag 300 x 45 Haushalte mt eem Jahresekomme vo mehr als 60.000 DM. Ist der Atel der Haushalte mt eem Jahresekomme vo mehr als 60.000 DM bede Vororte verschede groß (α 0,05)?. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Parametermege: Θ 0, 0, bzw. Θ, Nullhypothese: H0: p p H : p p 0 0 Alteratvhypothese: HA: p p HA: p p 0

Kaptel VIII - Parametertests 55 Sgfkazveau: α 0, 05 α 0, 05. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug Uter de Modellvoraussetzuge st Z ( pˆ pˆ ) ( p p ) p ( p ) p ( p ) + x stadardormalvertelt, wobe ɵ p,,. Mt der Gültgket vo H0: p p p ergbt sch: Z pɵ pɵ p ( p) + ~ N(0,). Da p cht bekat st, muß p geschätzt werde: ɵ ɵ pɵ p + p + x + x + Mt deser Schätzug erhält ma als Prüfgröße Z pɵ pɵ pɵ ( pɵ) + de aäherd stadardormalvertelt st. 3. Schrtt: Krtscher Berech, Wr habe her ee zwesetge Fragestellug, so daß α symmetrsch aufgetelt wrd. Als krtscher Berech ergbt sch her: ( z ] [ z, + ), α / α / Für α 0,05 etmmt ma der Tabelle z z z, 96 o z z z, 96. u α/ 0, 975 α/ α/ 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße x pɵ 39, 400 0 0975 x pɵ 45, 300 0 5 pɵ x + x 39 + 45, + 400+ 300 0

56 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk z pˆ ˆ p pˆ ( pˆ ) + 0,0975 0,5 400 300 0, 0,88 400+ 300 0,055 3,093 0,35,50 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato Da z,5 <,96 z u st, wrd de Hypothese H 0 : p p verworfe. De Hypothese Der Atel der Haushalte mt eem Jahresekomme vo über 60.000 DM st bede Vororte glech wrd also abgeleht, d. h., H A : p p wrd ageomme. Bespel: ET: Hypothess Tests for Two Varables Tests: t, F, fts, dstrbutos ( SAMPLE) Aus zwe Stchprobe see wöchetlche Arbetszete (HOURS, HOURS) (we uter DATA LISTING) ermttelt worde. De Stchprobe ethalte uabhägge Beobachtuge. We laute de ET-Testetscheduge auf Glechhet/Uglechhet der Stchprobe? Geerell (ET): Prob < α vorgegebe H 0 ablehe oder Prob > α vorgegebe H 0 bebehalte. DATA LISTING (Curret sample) Observato HOURS HOURS 38.000 3.000 40.000 34.000 3 4.000 8.000 4 8.000 5.000 5 0.000 5.000 6 35.000.000 7 9.000 3.000 8 36.000 5.000 9 44.000 3.000 0 38.000 4.000 40.000 8.000 44.000 36.000 3 48.000 35.000 4 8.000 7.000 5 43.000 36.000

Kaptel VIII - Parametertests 57 Tests based o varables XHOURS XHOURS 0 OK, ow compute test results Equalty of meas, t test Equalty of varaces, F test 3 Pared t test for equal meas 4 Z ad t test of 0 correlato 5 Kol.-Smr. test, same dstrb 6 ANOVA, F test for equal meas 7 Specfy dfferet varables Choose test(s). ESC Ext. Equalty of meas, t test Meas are 35.5333 ad 7.4667 Varaces are 94.838 ad 47.554 Pooled varace 7.95 If varaces are assumed to be equal t[ 8].6, Prob.04 If varaces are ot assumed to be equal t[ 5].6, Prob.048 Equalty of varaces, F test Meas are 35.5333 ad 7.4667 Varaces are 94.838 ad 47.554 F rato [ 4, 4].994, Prob.044 3 Pared t test for equal meas Mea dfferece 8.0667 Stadard devato.3783 t[ 5] 5.85, Prob.0000 4 z ad t test of 0 correlato Correlato.8480 Approxmate t[ 3] 5.769, Prob.000 Fsher z (ormal) 4.37, Prob.000 Bespel: SPSS: Mttelwertverglech zweer uabhägger Stckprobe Gruppestatstke SAMPLENO N Mttelwert Stadardabwechug Stadardfehler des Mttelwertes HOURS,00 5 35,5333 9,73849,5447,00 5 7,4667 6,8958,78049

58 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Test be uabhägge Stchprobe Levee-Test der Varazglechhet F Sgfkaz T df Sg. (- setg) T-Test für de Mttelwertglechhet 95% Kofdeztervall der Dfferez Mttlere Stadardfehler Dfferez der Dfferez Utere Obere HOURS Varaze,53,5,6 8,04 8,06667 3,080,75548 4,37785 sd 9 8 glech Varaze,6 5,,05 8,06667 3,080,7397 4,40936 sd 8 9 cht glech. Test auf Glechhet der Mttelwerte be Aahme glecher Grudgesamthetsvaraze: ( 8 ).6, Pr ob. 04 t ν H0: X X, mt α, 4% ka H 0 verworfe werde. HA : X X be Aahme cht glecher Grudgesamthetsvaraze: t ( ν 5) H 0 wrd mt α, 48% verworfe.. Test auf Glechhet der Varaze (F-Test) H ( X ) Var ( ) : Var X 0 ( X ) Var( ) H A : Var X H 0 ka mt α 0, 44 % verworfe werde. 3. Gepaarter t-test auf Glechhet der Mttelwerte Paarwese (z. B. gleche Perso produzere bede Testrehe) H0: X X wrd mt α.0000 verworfe. 4. Test auf Null-Korrelato σx X H0: r σ σ HA: r 0 X X 0

Kaptel VIII - Parametertests 59 Für ee approxmatve t-test ud Fshers stadardormalvertelte z-wert zege größere errechete als krtsche Tabellewerte a, daß H 0 eer Nullkorrelato abgeleht wrd. Mt r 0, 8480 ud hohe t- bzw. z-werte wrd H 0 be α.000 verworfe zuguste eer Assozato/Korrelato zwsche HOURS ud HOURS (klee (große) Werte HOURS etspreche klee (große) Werte vo HOURS). 8 Tests m klasssche leare Regressosmodell Das klasssche leare Regressosmodell spezfzert ee Erklärugsasatz aus 0 y β0 + β x + β x+... + βk xk +... + βk xk + ε,..., determstscher Tel ( ), stochastscher Tel mt de zu schätzede Parameter β k der Grudgesamthet (k 0,, K). Der Zufallsterm (Störterm, Errorterm, Resdual) ε geügt eer bestmmte Vertelug, wobe häufg de Normalvertelug verwedet wrd. Das klasssche leare Regressosmodell st also e stochastscher Asatz. y wrd zum Tel stochastsch erklärt. De Koeffzete β k der Regressosglechug werde mt Hlfe der OLS-Methode geschätzt: b OLS ( X ' X ) X ' y Ma erhält als geschätzte Regressosglechug: yɵ b + b x + b x +... + b x +... + b x. 0 k k K K De geschätzte Koeffzete b k (k 0,, K) sd dabe stochastsch. De Schätzergebsse sollte statstsch abgeschert, d. h., se sollte getestet werde. Des gescheht uter aderem mt Hlfe vo zwe Tests: - Gesamterklärugsgüte: Test auf R (F-Test); - Sgfkaztest der geschätzte Parameter b k (t-test). 8. Test der Gesamterklärugsgüte R (F-Test) Das Bestmmthetsmaß B R st e Maß für de Apassugsgüte ('goodess of ft'): ( yˆ y) ( y y) erklärte Varaz s B R Gesamtvaraz s B R st ormert: 0 B. Je größer B st, desto besser st de Apassug. yˆ y. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Parametermege: Θ IR K. 0 Vgl. herzu auch de Abschtt VI.3 ud Merz, J., Regressosaalyse Eführug de Ökoometre, Skrptum, Lüeburg 993 ud Merz, J., Statstk I Deskrpto, Skrptum, Lüeburg 994.

60 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Nullhypothese: H : β β... βk... βk 0 0 Alteratvhypothese: H : β 0 ( k K ) Sgfkazveau: α 0, 05 A k,..., Es wrd also getestet, ob alle Parameter außer der Kostate β 0 Null sd. Statt α 0,05 ka atürlch auch e aderes Sgfkazveau gewählt werde.. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug Prüfgröße: R F R ( K ). K Dese Prüfgröße st F-vertelt mt ν K ud ν K Frehetsgrade: F F α; K; K. 3. Schrtt: Krtscher Berech Krtscher Berech: [ F ; + ). c De krtsche Wert F c etmmt ma der Tabelle der F-Vertelug. ( F ). 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße F R K R K beob.. Fc α ; K; K Je größer R², desto eher legt der Wert der Prüfgröße m krtsche Berech (esetger Test). Dese Wert lefert auch der Output ees statstsche Programmpakets (z. B. ET). 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato H 0 wrd verworfe, falls F beob. > Fc. H 0 ka cht abgeleht werde, falls F beob. Fc. We H 0 verworfe wrd, lestet der Erklärugsasatz ee sgfkate Betrag zur Erklärug vo y. Ka H 0 dagege cht abgeleht werde, st der Erklärugsasatz eu zu spezfzere. 8. Sgfkaztest für de ezele MKQ/OLS-Koeffzete b k (t-test) Ausgehed vo der OLS-Schätzug b OLS ( X ' X ) X ' y überprüft ma u de Sgfkaz der ezele Koeffzete β k.

Kaptel VIII - Parametertests 6. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Parametermege: Θ IR Nullhypothese: H 0 :β k 0 Alteratvhypothese: H A :β k 0 Sgfkazveau: α 0, 05 Es wrd also e ezeler Koeffzet β k getestet, ob er sgfkat vo Null verschede st. Statt α 0,05 ka atürlch auch her e aderes Sgfkazveau gewählt werde.. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug Prüfgröße: wobe ud bk t s ( βk 0), b k Var ˆ e' e K ( b ) ( X ' X ) sb k k kk e y ɵ. y De Prüfgröße t st t-vertelt mt ν K Frehetsgrade. Im Computerprogramm ET wrd de Prüfgröße t als t-rato bezechet ud agegebe. 3. Schrtt: Krtscher Berech Krtscher Berech: ] ; t ] [ t ; + [ c c De krtsche Werte etmmt ma der Tabelle der t-vertelug ( tc t α /, K ). Ma verwedet her α/, wel es sch um ee zwesetge Test hadelt. 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße t beob bk. 0 s b k Deser Wert muß etweder ausgerechet oder dem Output ees statstsche Programmpakets etomme werde (z. B. ET). 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato H 0 wrd verworfe, falls t beob. > tc. H 0 ka cht abgeleht werde, falls t beob. tc.

6 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk We H 0 verworfe wrd, st β k sgfkat vo Null verschede, d. h., de Varable x k lestet ee sgfkate Betrag zur Erklärug vo y. Ka H 0 dagege cht abgeleht werde, da lestet de erklärede Varable kee sgfkate Betrag zur Erklärug vo y. Bespel: Das dvduelle Arbetsagebot vo Fraue ud Mäer soll ahad vo Mkrodate erklärt werde. De mkroökoomsche Theore lefert ee Erklärugsasatz ( wage, sozoökoomsche Charakterstka ) + ε hours f. Mt ET werde ahad vo 5 Beobachtuge mt OLS de Parameter geschätzt (vgl. das folgede ET-Ergebsprotokoll), wobe hours Wochestude wage Studeloh sex 0 Mäer, Fraue age Alter hhsze Haushaltsgröße ET-Befehle:? ---------------------------------? ET hours: ols by matrx algebra? ---------------------------------?? read data? y : hours? x0: oe? x: wage? x: sex (0male,female)? x3: age? x4: hhsze? read; flehours.dat;var5;obs5 ;ames$ lst; hours, wage, sex, age, hhsze$?? create X'X (XSX) ad X'y (XSy)? ------------------------------- amelst; Xoe,wage,sex,age,hhsze$ matrx; XSXxdot(oe,wage,sex,age,hhsze)$ matrx; XSyxdot(X,hours)$?? create vers of (X'X)? ------------------------------- matrx; XSXINVgv(XSX)$?? compute ols? ------------------------------- matrx; bolsxsxinv XSy$?? regresso by et? ------------------------------- regres; dephours; doe,wage,sex,age,hhsze$

Kaptel VIII - Parametertests 63 ET-Ergebs: DATA LISTING (Curret sample) Observato HOURS WAGE SEX AGE HHSIZE 38.000 0.000.00000 7.000.0000 40.000 4.000.00000 3.000 3.0000 3 4.000 8.000.00000 35.000 4.0000 4 8.000 5.000.00000.000.0000 5 0.000 5.000.0000.000.0000 6 35.000.000.0000 7.000 3.0000 7 9.000 3.000.0000 3.000 4.0000 8 36.000 5.000.00000 34.000 3.0000 9 44.000 3.000.0000 45.000 3.0000 0 38.000 6.000.0000 48.000 3.0000 40.000 8.000.0000 36.000 4.0000 44.000 36.000.0000 38.000 5.0000 3 48.000 35.000.0000 35.000.0000 4 8.000.000.00000 9.000 3.0000 5 43.000 4.000.0000 34.000.0000. Matrx -> XSXXDOT(ONE,WAGE,SEX,AGE,HHSIZE) <<<< XSX >>>> COLUMN 3 4 5 ROW 5.0000 383.000 9.00000 495.000 4.0000 ROW 383.000 068.0 49.000 988.0 08.00 ROW 3 9.00000 49.000 9.00000 36.000 6.0000 ROW 4 495.000 988.0 36.000 703.0 447.00 ROW 5 4.0000 08.00 6.0000 447.00 38.000. Matrx -> XSYXDOT(X,HOURS) <<<< XSY >>>> COLUMN ROW 533.000 ROW 4395.0 ROW 3 33.000 ROW 4 839.0 ROW 5 535.00. Matrx -> XSXINVGINV(XSX) <<<< XSXINV >>>> COLUMN 3 4 5 ROW.6793 -.59590E-0.355 -.38948E-0.385E-0 ROW -.59590E-0.473E-0 -.503406E-0 -.44843E-03 -.95554E-03 ROW 3.355 -.503406E-0.340583 -.757404E-0.80766E-0 ROW 4 -.38948E-0 -.44843E-03 -.757404E-0.089E-0 -.5435E-0 ROW 5.385E-0 -.95554E-03.80766E-0 -.5435E-0.655948E-0. Matrx -> BOLSXSXINV XSY <<<< BOLS >>>> COLUMN ROW -.84474 ROW.733063 ROW 3-4.9396 ROW 4.7060 ROW 5 -.4748

64 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Ordary Least Squares Depedet Varable HOURS Number of Observatos 5 Mea of Dep. Varable 35.5333 Std. Dev. of Dep. Var. 9.738485 Std. Error of Regr. 6.95 Sum of Squared Resduals 386.85 R - squared.70866 Adjusted R - squared.59 F( 4, 0) 6.080 Prob. Value for F.00954 Varable Coeffcet Std. Error t-rato Prob t >x Mea of X Std.Dev.of X --------------------------------------------------------------------------- Costat -.844767 8.059 -.05.9859 WAGE.733063.350 3.0.0088 5.53333 8.0555 SEX -4.9397 3.630 -.83.647.60000.50709 AGE.7060.856.488.0308 33.00000 7.40656 HHSIZE -.4748.593 -.70.48780.80000.07 F-Test auf Gesamterklärugsgüte: Fbeob. F(4,0) 6, 080 Prob. Value for F 0,00954 d. h., ab eem Sgfkazveau vo 0,95 % ka H0 : β β β K 0 zuguste vo H : β 0 k,, K 4 abgeleht werde. A k ( ) Für α 5% gbt es ee sgfkate Gesamterklärugsasatz. t-test auf Sgfkaz der ezele Parameter: De t beob. sd als t-rato zu jedem ( k0,,4) b k sowe de zugehörge Irrtumswahrschelchket α Prob t > x agegebe. Für α 5% sd somt wage ud age sgfkat vo Null verschede. t c ( α 0,05) t ( 0,0,05),8 ν k c Bespel: SPSS-Ausdruck Modellzusammefassug Modell R R-Quadrat Korrgertes R- Quadrat Stadardfehler des Schätzers,84 a,709,59 6,95 a. Eflußvarable : (Kostate), HHSIZE, SEX, WAGE, AGE

Kaptel VIII - Parametertests 65 ANOVA b Modell Quadratsumme df Mttel der Quadrate F Sg. Regresso 940,909 4 35,7 6,08,00 a Ncht stadardserte Resdue 386,85 0 38,68 Gesamt 37,733 4 a. Eflußvarable : (Kostate), HHSIZE, SEX, WAGE, AGE b. Abhägge Varable: HOURS Koeffzete a Ncht stadardserte Koeffzete Stadardserte Koeffzete Modell RegressoskoeffzetB Stadardfehler Beta T Sg. (Kostate) -,845 8,059 -,05,99 WAGE,733,35,604 3,0,0 SEX -4,94 3,630 -,4 -,83,64 AGE,7,86,540,488,03 HHSIZE -,47,593 -,4 -,70,488 a. Abhägge Varable: HOURS 8.3 p-value/prob-value ud Testetschedug Ee gewählte Irrtumswahrschelchket α. bestmmt de zugehörge krtsche Wert eer Testvertelug. Zu dem krtsche Wert eer Testvertelug geerell gehört also ee bestmmte Irrtumswahrschelchket α, das Sgfkazveau des Tests. Zu dem Prüfwert aus dem aktuelle Problem ud der zugehörge kokrete Stchprobe gehört de sogeate exakte Irrtumswahrschelchket, de auch als p-value oder probabltyvalue bezechet wrd. Der p-value st also der für dese Stchprobe exakte Fehler. Art. Damt ka ee Testetschedug über zwe Wege gefude werde: H0 wrd cht abgeleht, we Wert der Prüfgröße m Kofdezberech oder p-value > Sgfkazveau

66 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk H 0 wrd abgeleht, we : Wert der Prüfgröße m krtsche Berech oder p-value < Sgfkazveau Bespel: Regresso zum Arbetsagebot F-Test (esetger Test) So gehört m obge Arbetsagebotsbespel für de Test der Gesamterklärugsgüte mttels ees F-Tests zu dem Prüfwert des Bespels Fbeob. F(4,0) 6,08 der p-value vo 0,00954. α p-value F 3, 48 F. 6, 08 c beob Testetschedug: Fbeob. F(4,0) 6,08 > Fc 3,478 (α0,05) p-value 0,00954 < α0,05 Also: H 0 ke sgfkater Gesamterklärugsasatz wrd zuguste eer sgfkate Gesamterklärugskraft abgeleht t-test (zwesetger Test): Im obge Arbetsagebotsbespel st für de geschätzte WAGE-Koeffzete der Prüfwert t beob 3,0 der etsprechede p-value 0,0088.

Kaptel VIII - Parametertests 67 p value p value α α -3, -,8 0 t c, 8 t beob. 3, Testetschedug: tbeob. 3,0 > tc,8 (ν -K-0, α0,05) p-value 0,0088 < α0,05 bzw. p-value/ 0,00544 < α/0,05 Also: H 0 ke sgfkater Efluss des Lohsatzes wrd zuguste ees sgfkate Eflusses abgeleht Keycocepts Przp ud Aufbau ees Tests Krtscher Berech Prufgröße Fehler. Art (α-fehler) Fehler. Art (β-fehler) Sgfkazveau Irrtumswahrschelchket Güte ees Tests Estchprobetest: Atelswert, arthmetsches Mttel ud Varaz Zwestchprobetest für de Dfferez zweer arthmetscher Mttelwerte, Quotete zweer Varaze ud Dfferez zweer Atelswerte Test m klasssche leare Regressosmodell: F-Test, t-test P-Value/Prob-Value

Kaptel IX - Vertelugstests 69 IX Vertelugstests Aahme über de Vertelug ees Merkmals der Grudgesamthet überprüfe Mt Vertelugstests wrd überprüft, ob de eer Stchprobe beobachtete Vertelug mt eer theoretsche Vertelug aus der Grudgesamthet überestmmt. Ma utersucht also de Güte der Apassug eer emprsche Vertelug a ee theoretsche Vertelug. Ch-Quadrat-Vertelugstest. Efache Hypothese Wr wolle e Bespel für ee dskrete Vertelug eer Grudgesamthet betrachte. Be 90 Würfe ees Würfels see folgede absolute Häufgkete beobachtet worde: Augezahl 3 4 5 6 9 3 4 7 5 Es soll überprüft werde, ob e dealer (symmetrscher) Würfel de Würfe zugrudelegt α 0,05. ( ). Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Parametermege: Mege aller Verteluge auf {,,...,6 } Nullhypothese: H 0 : Augezahle sd glechvertelt auf der Mege {,,...,6 } Alteratvhypothese: Sgfkazveau: α 0, 05. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug H A : Augezahle sd cht glechvertelt auf der Mege,,...,6 { } Uter der Gültgket vo H 0 würde jede Augezahl glech häufg auftrete. Theoretsche Häufgkete: p 90 für 6 5,,..., 6 Prüfgröße: ( p ) k χ. p Dese Prüfgröße st χ -vertelt mt ν k Frehetsgrade, wobe k de Azahl der Merkmalsauspräguge darstellt. Amerkug: De Azahl der Frehetsgrade st ν k, wel mt der Kets vo p,..., p k auch p k festgelegt st. Ma sollte be der Awedug folgede Faustregel beachte:

70 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk p 5 für,..., k 3. Schrtt: Krtscher Berech Krtscher Berech: [,+ ) χ. c Be eem Sgfkazveau vo α 0, 05 ud ν 6 5 erhält ma aus der Tabelle zur χ -Vertelug de Wert χ c, 07. Esetger Test, da Prüfgröße be größerem (+, ) Abstad 'esetg' mmer größer wrd. 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße Ma berechet de ormerte quadrerte Abstad zwsche de Verteluge: ( 9 5) ( 3 5 ) ( 4 5) ( 5) ( 7 5) ( 5 5 ) χ + 5 5 6+ 4+ + 9+ 4+ 0 5,67 + 5 + 5 + 5 + 5 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato Da χ, 67, 07 χc, ka H 0 cht abgeleht werde, d. h., ma ka davo ausgehe, daß e dealer Würfel vorlegt.. Zusammegesetzte Hypothese Als Bespel soll de Frage utersucht werde, ob de Lebesdauer ees bestmmte Bautels eer Masche ormalvertelt st (α 0,05).. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Parametermege: Mege aller möglche Verteluge st de Mege aller Verteluge auf IR Nullhypothese: H 0 : De ubekate Vertelug st ee Normalvertelug Alteratvhypothese: Sgfkazveau: α 0, 05. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug H A : De ubekate Vertelug st ee Vertelug auf IR, aber kee Normalvertelug Wederum sollte de Prüfgröße, we scho m Fall der efache Hypothese, de Etferug zwsche theoretscher ud emprscher Vertelug messe. Zuächst muß de Frage beatwortet werde, welche Vertelug aus H 0 als theoretsche Vertelug heragezoge wrd. Um be userem Bespel zu blebe: Welche Normalvertelug st her de theoretsche Vertelug? De Normalvertelug hägt vo de Parameter µ ud σ ab. Über ee Parameterschätzug ka ma µ ud σ schätze: ɵ,ɵ N ˆ µ, ˆ σ. µ σ. De theoretsche Vertelug st da ( )

Kaptel IX - Vertelugstests 7 Allgeme wählt ma über ee Schätzug ee Vertelug aus H 0 aus. We sch de Verteluge aus H 0 ur durch ee oder mehrere Parameter uterschede, ka ma dese Parameter am beste mt Hlfe der Maxmum-Lkelhood-Methode schätze. I userem Bespel soll sch be 80 Beobachtuge e arthmetsches Mttel x 3, 4 ud ee Varaz s 0, 49 ergebe habe. Als theoretsche Vertelug verwede wr daher N 3,4;0,49. ( ) Wel her e stetges Merkmal vorlegt, führe wr ee Utertelug k Klasse durch: Prüfgröße: Klasse Lebesdauer Jahre Azahl der Bautele k χ p p u x < x x 0< x, 95 4, 95< x, 45 3, 45< x, 95 8 4, 95< x 3, 45 30 5 3, 45< x 3, 95 0 6 3, 95< x 4, 45 0 7 x>4, 45 6 80 ( ), de mt ν k m Frehetsgrade χ -vertelt st, wobe m de Azahl der geschätzte Parameter der Vertelug darstellt. Im Bespel st m. Zur Berechug vo χ sd de theoretsche relatve Häufgkete p der Klasse zu ermttel. Dazu bestmmt ma de Werte der Normalvertelug für de obere Klassegreze x o : wobe F ( x µ ɵ,ɵ σ ) F ( z ), z N o o x o µ ɵ σɵ N o,,,..., k o o o x x z 3, 4 o 0, 7 FN ( z ),95 -,086 0,085,45 -,37 0,085,95-0,657 0,556 3,45 0,057 0,57 3,95 0,77 0,7797 4,45,486 0,934 >4,45,0000 o

7 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Nu ermttel wr p : o p FN ( z ) FN ( z ) o Klasse Lebesdauer Azahl der Bautele rel. Häufgkete p 80 p u o x < x x p (theoretsche Azahl) 0 < x,95 4 0,085,48,95 < x,45 0,0667 5,34 3,45 < x,95 8 0,704 3,63 4,95 < x 3,45 30 0,67,37 5 3,45 < x 3,95 0 0,570 0,56 6 3,95 < x 4,45 0 0,57,4 7 x > 4,45 6 0,0686 5,49 80,0000 80,0 Als Faustregel für de Awedug glt: p 5 für,..., k. Da der. Klasse p <5 st, fasse wr de bede erste Klasse zu eer Klasse zusamme: Klasse Lebesdauer Azahl der Bautele rel. Häufgkete p 80 p u o x < x x p (theoretsche Azahl) 0 < x,45 6 0,085 6,8,45 < x,95 8 0,704 3,63 3,95 < x 3,45 30 0,67,37 4 3,45 < x 3,95 0 0,570 0,56 5 3,95 < x 4,45 0 0,57,4 6 x > 4,45 6 0,0686 5,49 3. Schrtt: Krtscher Berech Der krtsche Berech hat de Form: [ χ ; + ). c Wr habe ach der Zusammefassug k 6 Klasse. De Zahl der geschätzte Parameter beträgt m. Damt ergbt sch für de Zahl der Frehetsgrade: ν k m 6 3. Da α 0,05 gewählt wurde, erhält ma als krtsche Wert: χ c 7, 85

Kaptel IX - Vertelugstests 73 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße χ k ( p ) ( 6 6,8) ( 8 3,63 ) ( 30,37 ) ( 0 0,56) ( 0,4 ) ( 6 5,49) 6,8 6,349 p + 3,63 +,37 + 0,56 +,4 + 5,49 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato Da χ 6, 349 < χc 7, 85, ka H 0 cht abgeleht werde. De Lebesdauer des Bautels st also ormalvertelt. Kolmogorov-Smrov-Vertelugstest Auch der Kolmogorov-Smrov-Apassugstest verglecht de emprsche ud theoretsche Vertelugsfukto. Er testet efache Hypothese. Im Gegesatz zum Ch-Quadrat-Apassugstest ka er scho be klee Stchprobe agewedet werde. De Awedug wrd am folgede Bespel llustrert: Es soll mt α 0,05 geprüft werde, ob de Körpergröße vo zwölfjährge Kder ormalvertelt st. Ee Stchprobe vom Umfag 0 lefert de folgede Werte (Körpergröße m): Körpergröße m,66,38 3,56 4,53 5,47 6,59 7,34 8,57 9,4 0,49. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Parametermege: Alle Verteluge auf IR sd möglch. Nullhypothese: H 0 : De Körpergröße -jährger Kder st ormalvertelt mt µ,60 m ud σ 0,0 m. Alteratvhypothese: Sgfkazveau: α 0, 05 H A : De Körpergröße -jährger Kder st cht ormalvertelt mt µ,60 m ud σ 0,0 m.

74 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug Für de Kostrukto der Prüfgröße verwedet ma de Vertelugsfukto der Grudgesamthet ( F e ( z), expected) ud de Summehäufgketsfukto der Stchprobe ( F o ( z), observed). Als Prüfgröße wrd jetzt de größte Abwechug der beobachtete vo der erwartete Vertelugsfukto verwedet: d max F z e F max z F ( z) F e e ( z ) F ( z ) F o ( z) o o ( z ( z ) ) Abb.: Beobachtete ud erwartete Vertelugsfukto (Hujer 99, S.) De Vertelug der Prüfgröße d st ach dem Satz vo Kolmogorov für alle stetge Verteluge deselbe. Se st ur vom Stchprobeumfag abhägg. 3. Schrtt: Krtscher Berech Der krtsche Berech hat de Form [ d c;+ ). Als krtscher Wert ergbt sch für 0 ud α 0,05 aus der Tabelle der Kolmogorov-Smrov-Vertelug d c 0,409.

Kaptel IX - Vertelugstests 75 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße x x, 6 z 0, F o ( z ) e o e F ( z ) ( z ) F ( z ) F z o F z,34,6 0, 0,005 0,005 0,095,38, 0, 0,04 0,086 0,86,4,9 0,3 0,09 0,7 0,7,47,3 0,4 0,097 0,03 0,303,49, 0,5 0,36 0,64 0,364,53 0,7 0,6 0,4 0,58 0,358,56 0,4 0,7 0,345 0,55 0,355,57 0,3 0,8 0,38 0,38 0,48,59 0, 0,9 0,460 0,340 d 0,440,66 0,6,0 0,76 0,74 0,74 e e z. B. F (,6) F (,6) 0,9953 0,0047 0, 005 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato F ( ) ( ) Da d 0,440 > 0,409 d c, wrd H 0 verworfe. De Körpergröße zwölfjährger Kder st cht ormalvertelt mt µ,60 m ud σ 0,0 m. 3 Ch-Quadrat-Uabhäggketstest Der Ch-Quadrat-Uabhäggketstest utersucht, ob zwe omalskalerte (qualtatve) Merkmale voeader stochastsch uabhägg sd. Wr wolle auch her ahad ees Bespels vorgehe. Über ee spezfsche Egugstest hat ma etschede, ob de Bewerber mt verschedee Abschlüsse (Dplom-Sozalökoom, Dplom-Kaufma, Dplom-Volkswrt) für ee Aufgabe geeget sd oder cht. De Beobachtuge wurde der folgede Kotgeztabelle festgehalte: Abschluß (B) Dplom-Sozalökooma (B Dplom-Kauf- Dplom-Volkswrt Egug (A) 3 ) (B ) (B ) geeget (A ) 4 0 3 6. 40 ugeeget(a ) 6 5 3 9. 60. 30. 35.3 35 00. Schrtt: Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau Nullhypothese: H 0 : Egug (A) ud Abschluß (B) sd voeader uabhägg. Alteratvhypothese: Sgfkazveau: α 0, 05 H A : Egug (A) ud Abschluß (B) sd voeader abhägg.

76 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug De margale relatve Häufgkete (Radhäufgkete) der Merkmale betrage ud h h ( A ), wobe,..., r. j ( B ), wobe j,..., s j Be Uabhäggket vo A ud B glt: bzw. h( A Bj) j h( A Bj). j Wr wolle de absolute Häufgkete, de sch be Uabhäggket vo A ud B ergebe, mt ɶ j bezeche: ɶ j j (absolute Häufgkete be Uabhäggket) Der Utersched zwsche j ud ɶ j wrd der Prüfgröße zugrude gelegt. χ r s ( j ~ j ) j ~ j Dese Prüfgröße st χ -vertelt mt ν ( r )( s ) Frehetsgrade. 3. Schrtt: Krtscher Berech Der krtsche Berech hat de Form: [ χ, + ). c Mt α 0,05 ud ν ( r )( s ) Frehetsgrade ergbt sch der krtsche Wert zu χ c 5, 99.

Kaptel IX - Vertelugstests 77 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße Um de Prüfgröße zu bereche, muß ma de absolute Häufgkete be Uabhäggket ermttel: Abschluß (B) Dplom-Sozalökooma (B Dplom-Kauf- Dplom-Volkswrt Egug (A) 3 ) (B ) (B ) geeget (A ) ɶ ɶ 4 ɶ 3 4. 40 ugeeget(a ) ɶ 8 ɶ ɶ 3. 60 ɶ. 30 ɶ. 35 ɶ. 3 35 00 Damt erhält ma für χ : ( 4 ) ( 0 4 ) ( 6 4 ) ( 6 8 ) ( 5 ) ( 9 ) χ,937. + 4 + 4 + 8 + + ~ j 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato Da χ, 937 < χc 5, 99, wrd H 0 cht abgeleht. Es ka her cht achgewese werde, daß de Merkmale Egug (A) ud Abschluß (B) voeader abhäge. Bespel: ET: Tests: t, F, fts, dstrbuto (NORMALITY) Mt ET köe Tests auf de wchtge Aahme eer Normalvertelug vorgeomme werde (Greee 993, S. 98 ff.) Mt de Wochearbetszete des letzte ET-Bespels ergbt sch DATA LISTING (Curret sample) Observato HOURS HOURS 38.000 3.000 40.000 34.000 3 4.000 8.000 4 8.000 5.000 5 0.000 5.000 6 35.000.000 7 9.000 3.000 8 36.000 5.000 9 44.000 3.000 0 38.000 4.000 40.000 8.000 44.000 36.000 3 48.000 35.000 4 8.000 7.000 5 43.000 36.000 Normalty Tests Varable Ch-squared P-Value Kolmogorov-Smrov P-Value HOURS.9576.37575.5.5337 HOURS.04.60308.445.964

78 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Der Ch-Quadrat Test verwedet 'skewess (Schefe)' ud 'kurtoss (Wölbug)'. (Be eer Normalvertelug: skewess 0, kurtoss 3) ( ν ) χ ( 4, α 5% ) χ k χ c 3, 685 Da, 9576 χ c 3, 685 H 0 (HOURS st ormalvertelt) cht ablehe HOURS st ormalvertelt. P - Value > α vorgegebe : Ch - squared < χ c ( ) 3,685 5% : 37,575% > 5%,9576 < 3,685 H 0 bebehalte Mt relatv klee χ -Werte (ud relatv große α P Value - Werte) st de zugrudelegede Vertelug für HOURS aber auch für HOURS ormalvertelt. Der Kolmogorov-Smrov Test basert auf der Dfferez zwsche emprscher kumulatver Vertelug ud theoretscher Normalvertelug mt glechem Mttelwert ud Varaz. Auch hermt st de Normalvertelugshypothese bezubehalte. Der 'Normal-Quatle Plot' verglecht de emprsche (her für HOURS) mt der theoretsche Normalvertelug. Wäre de emprsche Vertelug ormalvertelt, da läge alle Pukte auf der Dagoale. Keycocepts Ch-Quadrat-Vertelugstest Kolmogorov-Smrov-Vetelugstest Ch-Quadrat-Uabhäggketstest

Kaptel IX - Vertelugstests 79 Gock, Smth 993

8 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk X Computerprogramme zur Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Kurze Vorstellug vo Computerprogramme, de der Praxs für statstsche Berechuge egesetzt werde Awedugsmöglchkete m Rahme allgemeer Programmpakete Berechuge der Kombatork ud der Prüfgröße köe durch allgemee Berechugsmod fast jedem Programm durchgeführt werde. Ege Programme lefer auch Tabellewerte vo wchtge Testverteluge. SPSS, SAS ud BMDP Wchtge statstsche Programmpakete sd SPSS, SAS oder BMDP. 3 ET, LIMDEP, GAUSS, GLIM ud Stata Für Statstk I Deskrpto ud her Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk wrd bspw. ET (Ecoometrcs Toolkt) als e efaches aber scho mächtges, meuegesteuertes PC-Programmpaket verwedet. Mt der ebeso möglche Befehlssprache köe vele Dge für alle Beobachtuge allee über Varableame berechet werde (Tests, Matrze, Iverse vo Matrze etc.). De gleche Befehlssprache st Grudlage vo LIMDEP, eem Programmpaket spezell für beschräkt abhägge Varable-Probleme (Lmted Depedet Varables, LIMDEP). ET/LIMDEP st deshalb auch Grudlage meer wetere Lehrverastaltuge m Rahme eer emprsche Wrtschaftsforschug (z. B. für Dskrete Etschedugsmodelle Mkroökoometre). GAUSS ud GLIM sd Bespele mächtger, auf Matrze aufbaueder statstscher Programmpakete mt vele ezele Baustee (z. B. MAXLIK be GAUSS zur teratve Maxmum Lkelhood Berechug). Stata st e mächtges Programmpaket mt vele ökoometrsch ausgerchtete Module, das bestmmte Probleme z.b. Regressosrechug mt Paeldesg ud vele statstsche Tests kompakt ud komfortabel mt eer Metasprache löst. Darüber haus gbt es och ee Velzahl vo adere brauchbare statstsche Programmpakete. Ejoy t!

84 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Ahag I: Formelsammlug Zusammefassug der Formel I Grudzüge der Wahrschelchketsrechug Laplacesche Wahrschelchketsdefto ( ) P A Azahl der Elemetareregsse A Azahl der Elemetareregsse G G Mege aller Elemetareregsse (Eregsraum) A Eregs (Telmege vo G) Kolmogorov-Axome. Axom: P( A) 0, P( A) R + 0. Axom: P( A A A ) P( A) P( A ) P( A )... + + +..., 3 3 falls A, A,... eader paarwese ausschleßede Eregsse aus demselbe Eregsraum sd. 3. Axom: P(G) Bedgte Wahrschelchket ( ) P B A ( ) P( A) P A B Stochastsche Uabhäggket vo Eregsse P( B A) P( B A) P( B)

Ahag I - Formelsammlug 85 Sätze der Wahrschelchketsrechug Addtossatz - für dsjukte Eregsse: P( A B) P( A) + P( B) P( A B C) P( A) + P( B) + P( C) - für cht-dsjukte Eregsse: P( A B) P( A) + P( B) P( A B) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) P( A C) P( B C) + P( A B C) P A B C P A P B P C P A B Multplkatossatz - für stochastsch uabhägge Eregsse: P( A B) P( A) P( B) P( A B C) P( A) P( B) P( C) - für stochastsch abhägge Eregsse: ( ) ( ) ( ) P( B) P( A B) P A B P A P B A P( A B C) P( A) P( B A) P( C A B) Satz vo der totale Wahrschelchket De Eregsse A sd dsjukt ud blde ee edlche Zerlegug der Grudgesamthet. Für e belebges Eregs ε erhalb G glt da: ( ε) ( ε ) ( ) ( ε ) P P A P A P A Satz vo Bayes ( j ε) P A ( j) ( ε j) P A P A ( ) ( ε ) P A P A

86 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk II Zufallsvarable, Wahrschelchketsverteluge Dskrete Zufallsvarable Wahrschelchketsfukto ( X x ) f( ) P x Egeschafte: 0 f x. ( ) f x. ( ) 0 f 3. ( x ) Vertelugsfukto F ( X) P( X x) f( x ) x x Egeschafte: ( ) 0 F x Für x x glt F( x ) F( ) Erwartugswert E x ( X) x f( x ) µ Varaz Var ( X) x f( x ) µ σ x Stetge Zufallsvarable Wahrschelchketsdchte f ( x) df dx ( x) F '( x) Egeschafte:. f ( x) 0

Ahag I - Formelsammlug 87 +. ( ) f x dx Vertelugsfukto x ( ) ( ) ( ) F x P X x Egeschafte:. F( x) 0 f t dt. Für x x glt F( x ) F( x ) 3. F( x) lm 0 x 4. F( x) lm x + Erwartugswert Varaz + ( ) ( ) E X x f x dx µ + ( ) ( ) Var X x f x dx µ σ x III Dskrete Verteluge Glechvertelug Parameter Stchprobeumfag Wahrschelchketsfukto P( X x) f ( x),...,

88 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Vertelugsfukto 0 für x< x F x für x x x+ für x x ( ) < (,..., ) Bomalvertelug Parameter Stchprobeumfag p Erfolgswahrschelchket des Elemetareregsses Wahrschelchketsfukto ( ) B(, ) B(, ) P X x f x p f x p fb x p p p x x (, ) ( ) Vertelugsfukto x ( ) B( ) B(, ) FB ( x, p) P X x F x F x p x FB x p p p k 0 k Erwartugswert k (, ) ( ) E( X) p k Varaz ( ) ( p) Var X p Hypergeometrsche Vertelug Parameter Stchprobeumfag N Umfag der Grudgesamthet M Zahl der Elemete der Grudgesamthet mt eer bestmmte Egeschaft

Ahag I - Formelsammlug 89 Wahrschelchketsfukto ( ) H(,, ) P X x f x N M H (,, ) f x N M Vertelugsfukto H (,, ) F x N M Erwartugswert M E( X) N M N M x x N x k 0 M N M k k N Varaz M N M N Var( X) N N N Possovertelug Parameter µ: Erwartugswert Varaz Wahrschelchketsfukto ( ) P( ) P X x f x µ P ( µ ) f x x µ e x! Vertelugsfukto µ x k µ e P( X x) FP( x µ ) k 0 k! µ

90 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Rekursosformel µ x+ (( + ) µ ) f ( x µ ) f x Erwartugswert E( X ) µ Varaz Var( X ) µ Geometrsche Vertelug Parameter p Wahrschelchketsfukto x ( ) ( ) f x p p p x,,... g Vertelugsfukto 0 für x< Fg ( x p) m ( p) für m x < m + ; m,,... Erwartugswert ( ) E X p Varaz Var X p p ( ) Multomalvertelug Parameter Stchprobeumfag p Erfolgswahrschelchkete der Elemetareregsse

Ahag I - Formelsammlug 9 Wahrschelchketsfukto (,..., k k) M (,,..., k,,..., k) P X x X x f x x x p p! f x, x,..., x, p,..., p p p... p x x ( ) x k M k k k x! x!... xk! k mt x k ud p. Erwartugswert ( ) E X p Varaz ( ) ( p ) Var X p Allgemee hypergeometrsche Vertelug Parameter Stchprobeumfag N Zahl der Elemete der Grudgesamthet mt eer bestmmte, für jedes verschedee Egeschaft Wahrschelchketsfukto (,..., k k) AH (,,..., k,,,..., Nk) P X x X x f x x x N N (,,...,,,..., ) f x x x N N AH k k k mt x ud N N. k N N Nk... x x xk N Erwartugswert N ( ) E X N

9 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Varaz N N N Var( X) N N N IV Stetge Verteluge Glechvertelug Parameter a, b Greze des Itervalls Dchtefukto fg( x a, b) b a 0 für a x b sost Vertelugsfukto 0 für x<a (, ) x a Fg x a b für a x b b a für x>b Erwartugswert Varaz ( ) E X ( ) Var X a+ b ( b a) Expoetalvertelug Dchtefukto E ( λ) f x λ x λ e für x 0 mt λ> 0 0 sost

Ahag I - Formelsammlug 93 Vertelugsfukto E ( λ) F x Erwartugswert Varaz ( ) E X Var X λ ( ) 0 für x< 0 λ x e fürx 0 λ Gammavertelug Parameter r, λ Dchtefukto r λ λx r fg e x x, 0 Γ ( r) r t ( ) Γ ( ) ( ) wobe Γ r t e dt, r r!, falls r gazzahlg Erwartugswert Varaz ( ) E X Var X r λ r λ ( ) 0 Normalvertelug Parameter µ Erwartugswert σ Varaz Streuug um de Erwartugswert

94 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Dchtefukto N ( µ, σ ) f x x µ σ e σ π für < x<+ < µ <+ 0< σ <+ Vertelugsfukto ( µ, σ ) x t µ σ FN x e dt σ π Erwartugswert E( X ) µ Varaz Var( X) σ Stadardormalvertelug N ( µ, σ ) N( 0,) µ σ Normalvertelug mt de Parameter 0 ud Stadardserte Zufallsvarable Z X µ σ Dchtefukto φ N e π ( z) f ( z) Vertelugsfukto z t Φ ( z) FN ( z) e dt π z

Ahag I - Formelsammlug 95 Ch-Quadratvertelug Parameter ν Dchtefukto ( ν) ( ν) t x x e t dt ( ) 0 ν z f z C z e z> 0 χ ν ν mt C( ν) Γ Γ Erwartugswert Varaz E( χ ) ν ( ) Var χ ν Studetvertelug (t-vertelug) Parameter ν Dchtefukto f t(z ν) C( ν) z ν+ z + ν ν+ Γ mt C( ν) ν ν π Γ Erwartugswert E( T ) 0

96 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Varaz Var T ν ν ( ) für ν > F-Vertelug Parameter ν, ν Dchtefukto F ( ν, ν ) C( ν, ν ) ( ν + ν z ) f z z ν ν ν +, z > 0 mt ( ν /) ( ν / ) ν ν C ( ν, ν ) ν ν Γ Γ ν ν Γ + Erwartugswert ν E( F) ν fürν Varaz ν( ν+ ν ) Var( F) ν ( ν ) ( ν 4) fürν > 4

Ahag I - Formelsammlug 97 Ü b e r g ä g e z w s c h e d e V e r t e l u g e N o r m a l v e r t e l u g B o m a l v e r t e l u g P o s s o v e r t e l u g H y p e r g e o m e t r s c h e V e r t e l u g

98 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk V Iduktve Statstk Stchprobefuktoe ud Testverteluge Arthmetsches Mttel der Stchprobe Stchprobefukto X ( X ) Erwartugswert E( X ) µ Varaz ( ) Var X Testvertelug σ σ X Z X µ σ st stadardormalvertelt, falls X ormalvertelt st; st approxmatv stadardormalvertelt, falls de X uabhägg detsch vertelt sd ud groß st (Faustregel: 00). Varaz der Stchprobe Stchprobefukto S ( X X) Testvertelug S χ, wobe S σ ( X X) χ st χ -vertelt mt ν Frehetsgrade.

Ahag I - Formelsammlug 99 Stadardserte Zufallsvarable be ubekater Varaz der Grudgesamthet Stchprobefukto T X µ σ X µ S χ ( ) Testvertelug T st t-vertelt mt ν Frehetsgrade Quotete zweer Varaze Stchprobefukto für σ σ glt Testvertelug ( ) ( ) χ ( ) ( ) S χ F. S F st F-vertelt mt ν ud ν Frehetsgrade. VI Puktschätzug Egeschafte vo Schätzfuktoe - Erwartugstreue: E( ˆ θ) θ Verzerrug (bas): E( ˆ θ) θ Asymptotsche Erwartugstreue, we glt: - Kosstez: prob ˆ ( θ ) θ δ lm 0 lm ( ) ( ˆ ) E θ Ee Schätzfukto θ $ st kosstet, falls se. asymptotsch erwartugstreu st ud Var ˆ θ für gege Null strebt.. hre Varaz ( ) θ

00 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk - Effzez: relatve Effzez: Var ( ˆ θ) Var( ˆ θ) absolute Effzez: <, wobe θ $, θ $ erwartugstreue Schätzfuktoe für θ sd. De Var( ˆ θ ) st mmal m Verglech zu jeder adere erwartugstreue Schätzfukto. Schätzmethode Methode der Momete Ubekate Parameter der Grudgesamthet werde de etsprechede Parameter der Stchprobe glechgesetzt. Methode der kleste Quadrate Ubekate Parameter der Grudgesamthet ( 0,..., K) y β0+ βx + K+ βkxk + ε { 4444443 systematscher Efluß OLS werde über ( ) b µ ε { { f x β aus k k zufällger Efluß X ' X X ' y geschätzt. Maxmum-Lkelhood-Methode Lkelhoodfukto: ( θ) ( θ) ( θ)... ( θ) L f x f x f x l L ( θ) f x ( θ) l f ( x θ) bzw. mt f ( x θ ) Dchtefukto der Zufallsvarable X De Schätzwert θ $ erhält ma über de Maxmerug vo L( θ ) bzw. l L( θ ) : L ll 0 bzw. 0. θ lθ

Ahag I - Formelsammlug 0 VII Itervallschätzug Kofdeztervall für µ - be bekater Varaz σ der Grudgesamthet (GG ormalvertelt) ( α X z X α X) P X z σ µ + σ α σ X σ σ X σ N N (Korrektur be eer Stchprobe ohe Zurücklege ud N 0, 05 ) - be ubekater Varaz σ der Grudgesamthet (GG ormalvertelt) ( ˆ σ µ + ˆ σ ) α,, P X t X t wobet t α X S $σ X S $σ X X N (Korrektur be eer Stchprobe ohe Zurücklege ud N N 0, 05 ) We de Azahl der Frehetsgrade ν > 30 st, ka de Studetvertelug durch de Normalvertelug approxmert werde. Kofdeztervall für de Varaz σ (GG ormalvertelt) S P χ S σ α, χα, α Kofdeztervall für de Atelswert p ( α pˆ p p z α pˆ ) P pˆ z ˆ σ ˆ+ ˆ σ α mt mt ( pˆ ) pˆ ˆp σ ˆ Modell mt Zurücklege ( ˆ) pˆ p N ˆ σ pˆ N Modell ohe Zurücklege ud N 0, 05.

0 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Bestmmug des otwedge Stchprobeumfags - be Schätzug für µ µ z σ absoluter Fehler X z σ ( µ ) - be Schätzug für Atelswert p ( p) p p z σ pˆ z absoluter Fehler Modell mt Zurücklege z p ( p) ( p) Modell mt Zurücklege ( ) p p N p z absoluter Fehler N Modell ohe Zurücklege z N p ( p) ( p) ( N ) z p ( p) ud N 0, 05 Modell ohe Zurücklege + $p st Schätzwert für p. We kee Iformatoe über $p vorlege: p0 $, 5. ud N 0, 05 Kofdeztervall für de Dfferez zweer arthmetscher Mttel Voraussetzug: - Uabhäggket der Stchprobe - geüged große Stchprobeumfäge (Faustregel: > 30, > 30) - σ ud σ bekat ( ) D ( ) P X X z σ µ µ X X z σ + D α wobe z z σ α D σ σ +

Ahag I - Formelsammlug 03 - σ ud σ ubekat, aber σ σ ( ) D ( ) P X X t ˆ σ µ µ X X t ˆ σ + D α wobe t t α,+ + σˆ S + σˆ D S + S + S + ( S + S ) + Kofdeztervall für de Dfferez zweer Atelswerte Bedgug: pˆ ( pˆ ) 9, pˆ ( pˆ ) 9 P [( pˆ pˆ ) z σˆ p p ( pˆ pˆ ) + z σˆ ] α wobe σ ˆ D z z pˆ α D ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) + D VIII Parametertests Prüfgröße ud Testverteluge Grudlage. Schrtt: Parametermege, Nullhypothese, Alteratvhypothese, Sgfkazveau. Schrtt: Prüfgröße, Testvertelug 3. Schrtt: Krtscher Berech 4. Schrtt: Wert der Prüfgröße 5. Schrtt: Etschedug, Iterpretato

04 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Estchprobetests für de Atelswert Zwesetge Fragestellug Nullhypothese: H0: p p0 Alteratvhypothese: H p p A : 0 Prüfgröße: Z pˆ p Var p p pˆ p 0 0 ( ˆ ) p 0 0( p0) wobe $p X ud X ~ B (, p) Testvertelug: Z ~ N (0, ) für p ( p) Krtscher Berech: ( ; z ] [ z ; + ) Esetge Fragestellug Nullhypothese: u zu z α, zo z H0: p p0 Alteratvhypothese: H p p A : > 0 Prüfgröße: o α Z pˆ p Var p p > 9 pˆ p 0 0 ( ˆ ) p 0 0( p0) wobe $p X ud X ~ B (, p) Testvertelug: Z ~ N (0, ) für p ( p) Krtscher Berech: z c ;+ z z c α > 9 Estchprobetests für das arthmetsche Mttel be ormalvertelter Grudgesamthet Estchprobetest für µ be bekater Varaz σ der GG Zwesetge Fragestellug Nullhypothese: H 0 :µ µ 0 Alteratvhypothese: H A :µ µ 0 Prüfgröße: X µ X µ Z Var X σx 0 0, ( ),,

Ahag I - Formelsammlug 05 σ σ X X σ σ N N (Korrektur be eer Stchprobe ohe Zurücklege ud N 0, 05 ) Testvertelug: Z ~ N (0, ) Krtscher Berech: ( ; z ] [ z ; + ) u zu z α, zo z o α Estchprobetest für µ be ubekater Varaz σ der GG Zwesetge Fragestellug Nullhypothese: H 0 :µ µ 0 Alteratvhypothese: H A :µ µ 0 Prüfgröße: Testvertelug: X µ X µ T Var ˆ X ˆ σx 0 0, ( ) S $σ X S $σ X N N Krtscher Berech: ( ; t ] [ t ; + ) (Korrektur be eer Stchprobe ohe Zurücklege ud N T ~ t - vertelt mt Frehetsgrade u t t, t t o u α ; o α ; 0, 05 ) Estchprobetests für de Varaz be ormalvertelter Grudgesamthet Zwesetge Fragestellug Nullhypothese: H 0 :σ σ 0 Alteratvhypothese: Prüfgröße: Testvertelug: H A :σ σ 0 χ 0 S σ 0 χ 0 ~ χ - vertelt mt Frehetsgrade

06 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Krtscher Berech: 0; χ u χo ; + ) Esetge Fragestellug Nullhypothese: H 0 :σ σ 0 Alteratvhypothese: Prüfgröße: u α χo χ α ( ) χ χ ( ), H A :σ> σ 0 χ 0 S σ Testvertelug: χ 0 ~ χ - vertelt mt - Frehetsgrade Krtscher Berech: χ c ; + ) 0 ( ) c χ χ α Zwestchprobetests für de Dfferez zweer arthmetscher Mttel Voraussetzuge: - Bede Stchprobe sd uabhägg voeader. - Bede Stchprobe stamme aus ormalvertelte Grudgesamthete. De Varaze σ Fall : σ σ ud σ sd bekat Nullhypothese: H 0 :µ µ 0 Alteratvhypothese: H A :µ µ 0 Prüfgröße: ( X X ) + Z σ Testvertelug: Z ~ N (0, ) Krtscher Berech: ( ; z ] [ z ; + ) Fall : σ σ u z z α, z z u o o α Nullhypothese: H 0 :µ µ 0 Alteratvhypothese: H A :µ µ 0 Prüfgröße: ( X X ) Testvertelug: Z ~ N (0, ) Z σ + σ

Ahag I - Formelsammlug 07 Krtscher Berech: ( ; z ] [ z ; + ) De Varaze σ Fall : σ σ u z z α, z z u o o α udσ sd ubekat Nullhypothese: H 0 :µ µ 0 Alteratvhypothese: H A :µ µ 0 Prüfgröße: Testvertelug: T X X S + ( ) + ( S S ) wobe S + bzw. + X X T mt ˆ σ S ˆ σ S σ$ + σ$ Krtscher Berech: ( ; t ] [ t ; + ) Fall : σ σ T ~ t-vertelt mt ν + Frehetsgrade u tu t α ν, to t o /, α, ν Nullhypothese: H 0 :µ µ 0 Alteratvhypothese: H A :µ µ 0 Prüfgröße: Testvertelug: T wobe X X σ$ + σ$ σ$ S σ$ S T st aäherd t-vertelt mt ν Frehetsgrade: ν mt w ( w) + ˆ 0< w < ˆ σ ν ν σ ˆ + σ Krtscher Berech: ( ; t ] [ t ; + ) u tu t α ν, to t o /, α, ν

08 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Zwestchprobetests für de Quotete zweer Varaze Voraussetzuge: - Bede Stchprobe sd uabhägg voeader. - Bede Stchprobe stamme aus ormalvertelte Grudgesamthete. Zwesetge Fragestellug Nullhypothese: H 0 :σ σ Alteratvhypothese: Prüfgröße: H A :σ σ S S ( ) ( ) ˆ σ F ˆ σ Testvertelug: F st F-vertelt mt ν ud ν Frehetsgrade Krtscher Berech: 0; Fu Fo ; + Fo F α, ν Fu F, ν, α, ν, ν F Esetge Fragestellug Nullhypothese: H 0 : σ σ Alteratvhypothese: H A : σ σ Prüfgröße: > S S ( ) ( ) ˆ σ F ˆ σ α, ν, ν Testvertelug: F st F-vertelt mt ν ud ν Frehetsgrade Krtscher Berech: F c ;+ Fc F α, ν, ν Zwestchprobetests für de Dfferez zweer Atelswerte Voraussetzuge: - Bede Stchprobe sd voeader uabhägg. - ud sd so groß, daß de Atelswerte als ormalvertelt agesehe werde köe. Nullhypothese: H0: p p 0 Alteratvhypothese: HA : p p 0

Ahag I - Formelsammlug 09 pˆ pˆ Prüfgröße: Z pˆ pˆ ( ) + wobe p p $ + $ p $ + x + x + Testvertelug: Z st aäherd N ( 0, )-vertelt Krtscher Berech: ( ; z ] [ z ; + ) u zu z α, zo z o α Tests m klasssche leare Regressosmodell ( ) y β0+ β x + β x +... + βk xk +... + βk xk + ε,..., Test der Gesamterklärugsgüte (F-Test) Nullhypothese: H : β β... βk... βk 0 0 Alteratvhypothese: H : β 0 ( k,..., K) Prüfgröße: A k R F R K K Testvertelug: F st F-vertelt mt ν K ud ν K Frehetsgrade Krtscher Berech: F c ;+ F F c α, K, K Sgfkaztest für de ezele MKQ/OLS-Koeffzete bk (t-test) Nullhypothese: H0:β k 0 Alteratvhypothese: H A :β k 0 Prüfgröße: Testvertelug: b t k ( β 0) Krtscher Berech: ] ; t ] [ t ; [ s k bk e ( ) ' e wobe s ˆ ( ' ) b Var b k k X X ud kk K e y yˆ t st t-vertelt mt ν K Frehetsgrade u o +, tu tc t α /, K, to tc t α /, K

0 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk IX Vertelugstests Ch-Quadrat-Vertelugstest Efache Hypothese Nullhypothese: Alteratvhypothese: Prüfgröße: H 0 : Das Merkmal folgt eer bestmmte, geau festgelegte Vertelug. H A : Das Merkmal folgt deser bestmmte, geau festgelegte Vertelug cht. χ k ( p ) p Testvertelug: χ st χ -vertelt mt ν k Frehetsgrade. (k st de Azahl der Merkmalsauspräguge) Faustregel für de Awedug: p 5 für,..., k Krtscher Berech: χ c ; + ) Zusammegesetzte Hypothese Nullhypothese: Alteratvhypothese: Prüfgröße: ( k ) c χ χ α H 0 : Das Merkmal folgt eer bestmmte Vertelug. H A : Das Merkmal folgt deser bestmmte Vertelug cht. Amerkug: Parameter der Vertelug müsse geschätzt werde. χ k ( p ) p Testvertelug: χ st χ -vertelt mt ν k m Frehetsgrade. (k st de Azahl der Merkmalsauspräguge, m st de Azahl der geschätzte Parameter der Vertelug) Faustregel für de Awedug: p 5 für,..., k Krtscher Berech: χ c ; + ) ( ) χc χ α k m Kolmogorov-Smrov-Vertelugstest Nullhypothese: Alteratvhypothese: H 0 : Das Merkmal folgt eer bestmmte, geau festgelegte Vertelug. H A : Das Merkmal folgt deser bestmmte, geau festgelegte Vertelug cht.

Ahag I - Formelsammlug Prüfgröße: o ( ) ( ) e F z F z d max z e o F z F z ( ) ( ) e wobe F ( z ) de Vertelugsfukto der Grudgesamthet o (expected) ud F ( z ) de Summehäufgketsfukto der Stchprobe (observed) st. Testvertelug: d st Kolmogorov-Smrov-vertelt: d ~ d α, ( st der Stchprobeumfag) Krtscher Berech: d c ;+ d d α c, Tabelle der Kolmogorov-Smrov-Vertelug für α 0, ud α0, 05 (Quelle: J. Schwarze, Grudlage der Statstk II, 993, S. 54): α 0, α0, 05 α 0, α0, 05 α 0, α0, 05 α 0, α0, 05 3 0,636 0,708 3 0,35 0,36 3 0,47 0,75 33 0,08 0,3 4 0,565 0,64 4 0,34 0,349 4 0,4 0,69 34 0,05 0,7 5 0,509 0,563 5 0,304 0,338 5 0,38 0,64 35 0,0 0,4 6 0,468 0,59 6 0,95 0,37 6 0,33 0,59 36 0,99 0, 7 0,436 0,483 7 0,86 0,38 7 0,9 0,54 37 0,96 0,8 8 0,40 0,454 8 0,78 0,309 8 0,5 0,50 38 0,94 0,5 9 0,387 0,430 9 0,7 0,30 9 0, 0,46 39 0,9 0,3 0 0,369 0,409 0 0,65 0,94 30 0,8 0,4 40 0,89 0,0 0,35 0,39 0,59 0,87 3 0,4 0,38 50 0,70 0,88 0,338 0,375 0,53 0,8 3 0, 0,34 00 0, 0,34 Ch-Quadrat-Uabhäggketstest Nullhypothese: Alteratvhypothese: H 0 : De Merkmale A ud B sd voeader uabhägg. H A : De Merkmale A ud B sd voeader abhägg. Prüfgröße: χ r s ( ) j % j j % j wobe j de beobachtete absolute Häufgkete ud j % j de absolute Häufgkete be Uabhäggket sd. Testvertelug: χ st χ -vertelt mt ( r ) ( s ) Krtscher Berech: χ c ; + ) ν Frehetsgrade ( ) ; ( ) ( ) χc χ α r s

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk

Ahag I - Formelsammlug 3

4 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk

8 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk mµ (Erwartugswert) p

Ahag I - Formelsammlug Vertelugsfukto Φ ( z) der Stadardormalvertelug N( 0, ) (Quelle: Hartug et al. 98, S. 734) α z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,539 0,579 0,539 0,5359 0, 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5753 0, 0,5793 0,583 0,587 0,590 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,603 0,64 0,3 0,679 0,67 0,655 0,693 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,657 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,74 0,6 0,757 0,79 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,8 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,9 0,859 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,835 0,8340 0,8365 0,8389,0 0,843 0,8438 0,846 0,8485 0,8508 0,853 0,8554 0,8577 0,8599 0,86, 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,8830, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,905,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,95 0,93 0,947 0,96 0,977,4 0,99 0,907 0,9 0,936 0,95 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,939,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,948 0,949 0,944,6 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,955 0,955 0,9535 0,9545,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,959 0,9599 0,9608 0,966 0,965 0,9633,8 0,964 0,9649 0,9656 0,9664 0,967 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706,9 0,973 0,979 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,976 0,9767,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,98 0,987, 0,98 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,986 0,9864 0,9868 0,987 0,9875 0,9878 0,988 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,990 0,9904 0,9906 0,9909 0,99 0,993 0,996,4 0,998 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,993 0,993 0,9934 0,9936,5 0,9938 0,9940 0,994 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,995 0,995,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,996 0,996 0,9963 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,997 0,997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,998,9 0,998 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 Ablesebespel: Φ (,56) 0,9406; ( z) Erweterug der Tafel: Φ( z) Φ ( z) Approxmato ach Hastgs für z>0 z Φ α 3 4 5 Φ( z) e ( a t+ a t + a3 t + a4 t + a5 t ) mt t, π + b z b0, 3649, a 0, 393853, a 0, 35656378, a 3, 78477937, a 4, 855978, a 5, 3307449.

Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk Quatle z der Stadardormalvertelug N( 0, ) (Quelle: Hartug et al. 98, S. 735) α Φ ( z) z Φ ( z) z Φ ( z) z ( z) Φ z 0,9999 3,790 0,9975,807 0,965,89 0,83 0,954 0,9998 3,540 0,9970,7478 0,960,7507 0,8 0,954 0,9997 3,436 0,9965,6968 0,955,6954 0,8 0,8779 0,9996 3,358 0,9960,65 0,950,6449 0,80 0,846 0,9995 3,905 0,9955,6 0,945,598 0,79 0,8064 0,9994 3,389 0,9950,5758 0,940,5548 0,78 0,77 0,9993 3,947 0,9945,547 0,935,54 0,76 0,7063 0,999 3,559 0,9940,5 0,930,4758 0,74 0,6433 0,999 3,4 0,9935,4838 0,95,4395 0,7 0,588 0,9990 3,090 0,9930,4573 0,90,405 0,70 0,544 0,9989 3,068 0,995,434 0,95,37 0,68 0,4677 0,9988 3,0357 0,990,4089 0,90,3408 0,66 0,45 0,9987 3,05 0,995,3867 0,905,306 0,64 0,3585 0,9986,9889 0,990,3656 0,900,86 0,6 0,3055 0,9985,9677 0,9905,3455 0,890,65 0,60 0,533 0,9984,9478 0,9900,363 0,880,750 0,58 0,09 0,9983,990 0,9850,70 0,870,64 0,56 0,50 0,998,9 0,9800,0537 0,860,0803 0,54 0,004 0,998,8943 0,9750,9600 0,850,0364 0,5 0,050 0,9980,878 0,9700,8808 0,840 0,9945 0,50 0,0000 Ablesebespel: z 0, 95, 6449 Erweterug der Tafel: z α Approxmato ach Hastgs für ( z) z α 0 3 3 0,5<Φ < a + a t+ a t z t mt t l( Φ( z) ), + b t+ b t + b t a 0, 5557, a 0, 80853, a 0, 0038, b, 43788, b 0, 8969, b 3 0, 00308. Häufg vorkommede z-werte für de Bestmmug vo Kofdeztervalle Z st stadardormalvertelt Kofdeztervall zwesetg esetg Häufg vorkommede z-werte für: α 0, 0 z, 58 z, 33 α 0, 05 z, 96 z, 65 α0, z, 65 z, 8

Ahag I - Formelsammlug 3 χ -Vertelug für P( α) Ο<χ χ α (Quelle: J. Schwarze: Grudlage der Statstk II, 993, S. 306-307): α

6 Merz: Statstk II Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk F-Vertelug: I Abhäggket vo ν ud ν sd de Werte x der F-vertelte α de Zufallsvarable tabellert, be dee de Vertelugsfukto ( ) Werte 0,90; 0,95; 0,975; 0,99 ud 0,995 ammt (Quelle: J. Schwarze, Grudlage der Statstk II, 993, S. 30-305) α

Ahag I - Formelsammlug 3 STUDENT (t)-vertelug: Für verschedee Frehetsgrade ν ud für verschedee Wahrschelchkete P( T< t) α sd de etsprechede t- Werte tabellert (Quelle: J. Schwarze, Grudlage der Statstk II, 993, S. 308-309) α