Fakltät für Physik Jan on Delft, Katharina Stadler, Frake Scharz T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 203/4 http://homepages.physik.ni-menchen.de/~ondelft/lehre/3t0/ Blatt 2: Satz on Gass, Satz on Stokes Abgabe: Freitag, 3.0.204, 3:00 Beispielafgabe : Gradient, Diergenz, Rotation, Laplace in Zylinderkoordinaten (**) In einem krmmlinigen orthogonalen Koordinatensystem mit r = r(,, ) nd r = b e, r = b e, r = b e sei f(r) ein Skalarfeld nd B(r) = e B + e B + e B ein Vektorfeld. Dann sind Gradient, Diergenz, Rotation nd Laplace-Operator gegeben drch f = e b f + B = b b b (b b B ) + [ ] B = e (b B ) (b B ) b b 2 f = ( f) = ( b b b b b b ) f + + +. Betrachten Sie Zylinderkoordinaten, definiert drch r = (ρ cos φ, ρ sin φ, z) T. (a) Wie laten e ρ, e φ, e z nd b ρ, b φ, b z? Finden Sie, asgehend on den oben angegebenen Formeln, explizite Formeln für (b) f, (c) B, (d) B, nd (e) 2 f. (f) Überprüfen Sie explizit, mittels den oben angegebenen Formeln für Gradient nd Rotation für allgemeine krmmlinigen Koordinaten,, (also nicht spezifisch für Zylinderkoordinaten), dass ( f) = 0. Beispielafgabe 2: Gradient, Diergenz, Rotation in Kgelkoordinaten (**) Gegeben sei ein Skalarfeld f(r) = r nd ein Vektorfeld (r) = (e r/a /r)r mit r = (x, y, z) T nd r = x 2 + y 2 + z 2. Berechnen Sie f,, nd 2 f explizit für r > 0, (a) in kartesischen Koordinaten nd (b) in Kgelkoordinaten. [Vergleichen Sie die Ergbnisse as (a) nd (b)!] Beispielafgabe 3: Magnetfeld eines stromdrchflossenen Leiters: Diergenz nd Rotation in Zylinderkoordinaten, Satz on Stokes (**) Ein nendlich langer, nendlich dünner Leiter sei entlang der z-achse orientiert nd trage einen Strom I. Er generiert ein Magnetfeld folgender Form: B(r) = µ y 0I x = µ 0I 2π x 2 + y 2 2π ρ e ϕ, für ρ = x 2 + y 2 > 0. 0
Berechnen Sie die Diergenz nd die Rotation on B(r) explizit für ρ > 0, (a) in kartesischen Koordinaten nd (b) in Zylinderkoordinaten. [Vergleichen Sie die Ergebnisse as (a) nd (b)!] (c) Berechnen Sie mittels Zylinderkoordinaten das Linienintegral γ S r B des Magnetfelds entlang des Randes γ S einer kreisförmigen, parallel zr x-y-ebene orientierten, af der z-achse zentrierten Scheibe S mit Radis R > 0. (d) Berechnen Sie mittels dem Satz on Stokes nd dem Ergebnis as (c) das Flssintegral S A ds ( B) der Rotation des Magnetfelds über die in (c) beschriebenen Scheibe S. (e) Folgern Sie as Ihren Ergebnissen für B as (a) nd (d), dass die Rotation des Feldes proportional z einer zei-dimensionalen δ-fnktion ist, also die Form B = Ce z δ(x)δ(y) hat, nd finden Sie die Konstante C. [Hineis: die Normierng der 2D-δ- Fnktion ist drch das Flächenintegral ds δ(x)δ(y) = gegeben, für eine beliebige, S parallel zr x-y-ebene gelegene, den Pnkt x = y = 0 einschliessende Fläche S.] (f) Schreiben Sie Ihr Ergebnis as (e) in die Form B = µ 0 j(r) nd bestimmen Sie j(r). Diese Gleichng ist das Gesetz on Ampère (eine der Maxell-Gleichngen), obei j(r) die Stromdichte ist. Lässt sich Ihr Ergebnis für j(r) entsprechend interpretieren? Beispielafgabe 4: Satz on Gaß Zylinder nd Würfel (**) (a) Berechnen Sie das Volmen eines Zylinders mit Höhe h nd Grndkreisradis R als Flss- Integral mit dem Satz on Gass nd einem Vektorfeld mit der Eigenschaft =, z.b. = ze z. (b) Berechnen Sie den Flss Φ des Vektorfeldes = (x 2, y 2, z 2 ) T drch die Oberfläche des Würfels 0 < x < a, 0 < y < a, 0 < z < a af zei Weisen: (b) direkt als Flss-Integral; nd (b2) ia dem Satz on Gaß als Volmenintegral. Beispielafgabe 5: Satz on Stokes (**) Betrachten Sie folgendes Vektorfeld in Kgelkoordinaten: A = A ϕ e ϕ, mit A ϕ = γ sin θ r 3. (a) Berechnen Sie explizit den Flss Φ = ds B on B = A drch die Halbkgel H H = {r x 2 + y 2 + z 2 = R 2, z > 0}. (Die Orientierng der Fläche sei drch die Vorgabe festgelegt, dass der Normalektor für jedes Flächenelement δs nach oben zeige, d.h. eine positie z-komponente habe.) (b) Verenden Sie den Satz on Stokes, m den Flss Φ drch ein Linienintegral aszdrücken, nd berechnen Sie dieses ebenfalls explizit. 2
Hasafgabe : Gradient, Diergenz, Rotation, Laplace in Kgelkoordinaten (**) In einem krmmlinigen orthogonalen Koordinatensystem mit r = r(,, ) nd r = b e, r = b e, r = b e sei f(r) ein Skalarfeld nd B(r) = e B + e B + e B ein Vektorfeld. Dann sind Gradient, Diergenz, Rotation nd Laplace-Operator gegeben drch f = e b f + B = b b b (b b B ) + [ ] B = e (b B ) (b B ) b b 2 f = ( f) = ( b b b b b b ) f + + +. Betrachten Sie Kgelkoordinaten, definiert drch r = (r sin θ cos φ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) T. (a) Wie laten e r, e θ, e φ nd b r, b θ, b φ? Finden Sie, asgehend on den oben angegebenen Formeln, explizite Formeln für (b) f, (c) B, (d) B, nd (e) 2 f. (f) Überprüfen Sie explizit, mittels den oben angegebenen Formeln für Gradient nd Rotation für allgemeine krmmlinigen Koordinaten,, (also nicht spezifisch für Kgelkoordinaten), dass ( B) = 0. Hasafgabe 2: Gradient, Diergenz, Rotation in Zylinderkoordinaten (**) Gegeben sei ein Skalarfeld f(r) = z(x 2 + y 2 ) nd ein Vektorfeld (r) = (zx, zy, 0) T. Berechnen Sie f,, nd 2 f explizit, (a) in kartesischen Koordinaten nd (b) in Zylinderkoordinaten. [Vergleichen Sie die Ergbnisse as (a) nd (b)!] Hasafgabe 3: Elektrisches Feld einer Pnktladng: Diergenz nd Rotation in Kgelkoordinaten, Satz on Gaß (**) Das elektrische Feld einer Pnktladng Q am Ursprng hat die Form E(r) = Q 4πε 0 r r = Q x = 3 4πε 0 r 3 y z Q 4πε 0 e r r 2, mit r > 0, r = x 2 + y 2 + z 2. (ε 0 ist die sogenannte dielektrische Konstante.) Berechnen Sie die Diergenz nd die Rotation on E(r) explizit für r > 0, (a) in kartesischen Koordinaten nd (b) in Kgelkoordinaten. [Vergleichen Sie die Ergebnisse as (a) nd (b)!] (c) Berechnen sie mittels Kgelkoordinaten den Flss Φ K = O K ds E des elektrischen Feldes drch die Oberfäche O K einer am Ursprng zentrierten Kgel K mit Radis R > 0. (d) Berechnen Sie mittels dem Satz on Gaß nd dem Ergebnis as (c) das Volmenintegral V K dv ( E) über das Volmen V K der in (c) beschrieben Kgel K. 3
(e) Folgern Sie as Ihren Ergebnissen für E as (a) nd (d), dass die Diergenz des Feldes proportional z einer drei-dimensionalen δ-fnktion ist, also die Form E = C δ (3) (r) hat, nd finden Sie die Konstante C. [Hineis: die Normierng on δ (3) (r) = δ(x)δ(y)δ(z) ist drch das Volmenintegral V dv δ(3) (r) = gegeben, für ein beliebiges, den Ursprng einschliessendes Volmen V.] (f) Schreiben Sie Ihr Ergebnis as (e) in die Form E = ρ(r)/ε 0, nd bestimmen Sie ρ(r). Diese Gleichng ist das (physikalische) Gesetz on Gaß (eine der Maxell- Gleichngen), obei ρ(r) die Ladngsdichte ist. Lässt sich Ihr Ergebnis für ρ(r) entsprechend interpretieren? Hasafgabe 4: Dipolpotential: Gradient, Diergenz, Rotation in Kgelkoordinaten, Satz on Gaß (**) Das Potential eines elektrischen Dipols mit Dipolmoment p = pe z ist gebeben über Φ(r) = p r = pz 4πε 0 r 3 4πε 0 r 3 (a) Berechnen Sie das elektrische Feld E = Φ(r) explizit in kartesischen Koordinaten. (b) Stellen Sie Φ(r) in Kgelkoordinaten dar nd berechnen Sie das elektrische Feld explizit in Kgelkoordinaten. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Ergebnis as (a). Hineis: e z = cos θe r sin θe θ (c) Berechnen Sie die Diergenz nd die Rotation des elektrischen Feldes explizit in kartesischen Koordinaten. (d) Berechnen Sie die Diergenz nd die Rotation des elektrischen Feldes explizit in Kgelkoordinaten. [Vergleichen Sie die Ergebnisse on (b) nd (c)!] (e) Lat dem (physikalischen) Gesetz on Gaß gilt V S ds E = Q/ε 0, obei Q die Gesamtladng innerhalb des on V S eingeschlossenen Volmens nd ε 0 die dielektrische Konstante ist. Berechnen Sie Q/ε 0, indem Sie das Flss-Integral mittels dem (mathematischen) Satz. Gaß in ein Volmenintegral über E mschreiben, nd dieses mittels dem Ergebnis on (d) aserten. Ist Ihr Ergebnis für Q/ε 0 sinnoll? Erlätern Sie! Hasafgabe 5: Satz on Gaß Kegel (**) Gegeben ist das Vektorfeld = (z, y, z + ) T. Berechnen Sie den Flss Φ = ds nach aßen drch die Oberfläche des Kegels K = {(x, y, z) R 3 ; 0 z 2 x 2 + y 2 } af zei erschiedene Weisen, nämlich: (a) Berechnen Sie zerst den Flss Φ = Φ M + Φ G drch den Mantel M nd den Grndkreis G des Kegels explizit mittels Zylinderkoordinaten. (b) Bentzen Sie nn den Satz on Gaß, m den Flss über ein Volmenintegral z berechnen. 4
Hasafgabe 6: Satz on Stokes magnetischer Dipol, Halbkgel (**) Jedes Magnetfeld lässt sich als B = A darstellen, obei das Vektorfeld A das Vektorpotential des Feldes genannt ird. Für einen magnetischen Dipol gilt A = µ 0 m r, B = µ 0 3r(m r) mr 2, 4π r 3 4π r 5 obei µ 0 eine postie Konstante ist. Das konstante Dipolmoment m sei nn in z-richtng orientiert, m = me z. H sei eine Halbkgel mit Radis a, deren Grndfläche in der xy-ebene liegt nd deren Rndng zr positien z-achse orientiert ist. Berechnen Sie das Flssintegral des Magnetfelds drch diese Halbkgel, Φ H = ds B, af zei erschiedene Weisen: H (a) Direkt, mittels Kgelkoordinaten. (b) Drücken Sie Φ mittels B = A nd dem Satz on Stokes drch ein Linienintegral on A über den Rand der Grndfläche on H as, nd berechnen Sie letzteres. 5