Institut für Angewndte Anlysis und Numerische Simultion Prof Dr C Eck, Dr M Schulz, Dipl- Mth J Giesselmnn Universität Stuttgrt Sommersemester 9 Einführung in die Numerische Mthemtik Vordiplomsklusur, 1199 Aufgbe 1: Es sei A = ( 1 1 1 ) Berechnen Sie die zugeordnete Mtrixnorm und die Konditionszhl von A bezüglich der Vektornorm (x 1, x ) T := x 1 + x b) Es sei B R invertierbr; dnn deniert ) x B := Bx eine Vektornorm uf R Zeigen Sie, dss die dieser Vektornorm zugeordnete Mtrixnorm gegeben ist durch A B = BAB 1 Zu ) Wir müssen den betrgsmäÿig gröÿten Eigenwert von AA T ( ) 1 AA T = 1 1 Zu b) mit chrkteristischem Polynom 3+ 5 =! λ 3λ + 1 λ 1/ = 3 ± 5, dmit ist A = Es ist ( ) 1 1 A 1 = A 1 (A 1 ) T = 1 mit chrkteristischem Polynom und somit Ax A B = sup x x ( 1 1 1! = λ 3λ + 1 λ 1/ = 3 ± 5 cond (A) = A A 1 = 3 + 5 BAx = sup x Bx bestimmen: ) BAB 1 x = sup = BAB 1 x x 1
Aufgbe : Gegeben sind A = 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1, b = 1 ) Berechnen Sie die LUZerlegung von A b) Bestimmen Sie x R 4, so dss Ax = b c) Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussge: Ist B R symmetrisch und positiv semidenit, dnn gibt es l 11, l, l 1 R, so dss ( ) ( ) l11 l11 l B = 1 l 1 l l Zu ) A = 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 5 4 1 15 1 1 1 1 3 1 1 4 1 3 1 1 1 1 3 1 5 4 1 Zu b) Finde y R 4, so dss Ly = b Bestimme nun x R 4, so dss Rx = y y 1 = y 1 + y = 1 y = 3 y + y 3 = y 3 = 4 y 1 4y + y 3 + y 4 = y 4 = x 4 = x 4 = 1 x 3 + 5x 4 = 4 x 3 = 1 x 3x 4 = 3 x = x 1 + x + x 3 + x 4 = x 1 = 1 Zu c) Es muss gelten: l11 = 11, l 1 l 11 = 1, = l1 + l Ds A positiv semidenit ist, gilt 11, und det(a) = 11 1 Es folgt l 11 = 11 und im Fll 11 > weiter l 1 = 1 11
Im Fll 11 = folgt 1 =, deshlb ist l 1 = möglich Weiter gilt l = l 1 Für 11 = und dmit l 1 = folgt l = Für 11 folgt l1 = 1 11 = 1 11 ( 11 1) und dmit gibt es l = 1 ( 11 1) R 11 } {{ } Dmit existiert immer eine Zerlegung der ngegebenen Form Aufgbe 3: Es sei X = (x,, x N ) für N N, N, x < x 1 < ọts < x N und S := {s S 3 (X) : s (x ) = = s (x N )} der Rum der ntürlichen kubischen Splines ) Begründen Sie kurz, wrum es zu jedem j {,, N} genu einen Spline s j S gibt, der s j (x k ) = x j k für k =,, N erfüllt b) Zeigen Sie, dss {s j : j =,, N} eine Bsis von S ist c) Für welche j {,, N} ist s j ein Polynom? Zu ) Aus der Vorlesung ist beknnt, dss ein ntürlicher Spline zum Dtenstz durch je einen vorgeschriebenen Wert für jedes x X eindeutig bestimmt ist X Zu b) D dims 3 (X) = N ist, reicht es zu zeigen, dss die s j Angenommen es ist N j s j (x) = x [x, x N ] j= dnn ist N p(x) := j x j j= ein Polynom vom Grd N und es ist für k =,, N liner unbhängig sind p(x k ) = N N j x j k = j s j (x k ) = j= j= Somit ht ds Polynom p mindestens N + 1 Nullstellen ist lso ds Nullpoynom lso ist j = für j =,, N und die s j sind liner unbhängig 3
Zu c) Ds Interpoltionspolynom zu den von s j interpolierten Dten ist eindeutig durch p j (x) = x j gegeben Es stimmt genu dnn mit s j überein, flls p j (x ) = p j (x N ) = ist Es gilt p j (x ) = j(j 1)x j und p j (x N ) = j(j 1)x j N D x oder x N von verschieden ist, sind genu dnn diese beiden Terme, flls j = oder j = 1 Also sind nur s und s 1 Polynome Aufgbe 4: ) Bestimmen Sie die interpoltorische Qudrturformel zur Berechnung von f(x) dx für die vorgegebenen Stützstellen x = 1, x 3 1 = 1, x = 1 b) Bis zu welchem Polynomgrd ist die gewonnene Qudrturformel exkt? c) Welche Fehlerbschätzung ergibt sich für die entsprechende zusmmengesetzte Qudrturformel, bei der ds Integrtionsintervll [, 1] in die Teilintervlle [y j 1, y j ], j = 1,, n, mit y j = jh, h = 1 zerlegt wird? n 4
Zu ) Die Qudrturformel berechnet sich us Q(f) := ω i f(x i ) mit ω i = i= j=,j i x x j x i x j dx Mit den Stützstellen x = 1 3, x 1 = 1, x = 1 erhält mn die Gewichte ω = ω 1 = ω = (x 1 )(x 1) ( 1 1)( 1 1)dx = 9 3 3 (x 1 )(x 1) 3 ( 1 1)( 1 = 1 1)dx 3 (x 1 3 )(x 1 ) (1 1 3 )(1 1 ) dx = 3 Somit ergibt sich die Qudrturformel (x 3 x + 1 )dx = 3 4 Q(f) = 3 4 f(1 3 ) + 1 4 f(1) (x 4 3 x + 1 )dx = 3 (x 5 6 x + 1 6 )dx = 1 4 Zu b) Nch der Vorlesung ist eine Qudrturformel Q uf [, b] für Polynome vom Grd k exkt, genu dnn wenn p(x) = 1 : p(x) = x : p(x) = x : p(x) = x 3 : Q(p) = b p(x)dx für lle p P k 1 dx = 1! = Q(1) = 3 4 1 + 1 4 1 = 1 x dx = 1 x dx = 1 3 x 3 dx = 1 4! = Q(x) = 3 4 1 3 + 1 4 1 = 1! = Q(x ) = 3 4 1 9 + 1 4 1 = 1 3! = Q(x ) = 3 4 1 7 + 1 4 1 = 5 18, dh ds Polynom vom Grd 3 wird nicht mehr exkt integriert Die Qudrturformel ist somit für lle Polynome bis einschlieÿlich dem Grd exkt 5
Zu c) Die zusmmengesetzte Qudrturformel ht die Form Q(f) = n Q j (f), j=1 wobei Q j (f) die Qudrturformel uf dem Teilintervll [y j 1, y j ] ist Nch Teil b) ist Q j (f) exkt uf P Nch der Vorlesung lutet die Fehlerbschätzung: Q(f) n y j f(x)dx Q j (f) f(x)dx C (1 )h 3 f j=1 mit einer Konstnten C! = 1 y j 1 Aufgbe 5: ) Bestimmen Sie die Funktion Φ : R + R + mit R + = (, + ) so, dss x n+1 = Φ(x n ) für n =, 1,, die NewtonItertion zum nichtlineren Gleichungssystem x k = mit k > 1 und > drstellt b) Zeigen Sie, dss Φ : [ k, + ) R die Bedingungen des Bnchschen Fixpunktstzes erfüllt c) Zeigen Sie, dss ds NewtonVerfhren us ) für jeden Strtwert x > konvergiert Zu ) Φ(x) = x xk k x k 1 = ( 1 1 ) x + k k x k 1 6
Zu b) Es gilt: Φ (x) = 1 1 (k 1) D Φ monoton steigend ist und k k x k sowie gilt, folgt Φ (x) 1 1 k Weiter gilt Φ( k ) = Φ ( k ) = 1 1 k (k 1) k lim x Φ (x) = 1 1 k = < 1, dmit ist Φ uf [ k, + ) eine Kontrktion ( 1 1 ) k k + k (k 1)/k = k, und d Φ monoton steigend ist (so) folgt Φ ([ k, + )) [ k, + ), uÿerdem ist [ k, + ) bgeschlossen Dmit sind die Bedingungen des Bnchschen Fixpunktstzes erfüllt Zu c) Für x k folgt die Konvergenz des Newtonverfhrens us b) und dem Bnchschen Fixpunktstz Für x k gilt x 1 = Φ(x ) k, denn Φ ist uf (, + ) monoton steigend und Φ ( k ) =, dmit ht Φ ein Minimum in k Die Konvergenz folgt nun us dem Bnchschen Fixpunktstz und b), wobei mn ls Strtwert x 1 nimmt 7