Punkte hoher Symmetrie des fcc-gitters Thoms Mcher 9.6. Dieses Studentenprojekt, erstellt im Rhmen der Vorlesung 53. Moleculr nd Solid Stte Physics, soll eine möglichst nschuliche Herleitung der sogennnten Punkte hoher Symmetrie der ersten Brillouin-Zone des kubisch ächenzentrierten (fcc) Gitters feilbieten. Als wesentliches Werkzeug hierzu diente ds Brillouin zone pplet. Um die intuitivste ller Frgen - Wozu eigentlich? - gleich vorweg zu bentworten, seien im Folgenden zwei wesentliche Anwendungen ngeführt:. Beugungsbedingung. Die Brillouin-Konstruktion ergibt lle Wellenvektoren k, die vom Kristll reektiert werden können. Berücksichtigt mn, dss der Betrg von k = k gegeben ist durch: k = λ, so knn mn ein Gefühl für den Zusmmenhng zwischen Gitterkonstnte des Kristlls (geht in die Enwicklung der Brillouin-Zone mit ein) und möglicher Wellenlänge λ und Einstrhlrichtung k des zu brechenden Strhls bekommen.. Erstellung und Interprettion von Bndstrukturen.Um die Dispersionsreltion in bestimmten Rumrichtungen zu bestimmen, knn es hilfreich sein, besgte Richtungen und den Betrg des Wellenvektors näher zu kennen.
Zusmmenfssung Ein fcc-gitter mit Gitterkonstnte im Direktrum wird uf ein bcc-gitter mit Gitterkonstnte 4 im k-rum bgebildet. Abbildung : Erste Brillouin-Zone des fcc-gitters. Brillouin zone pplet = b = ΓL = ΓX = ΓK = ΓU = ΓW = 3 4 3 4 4 4 = b = ΓL = 3 ΓX = 3 = ΓK = 3 ΓU = 3 ΓW = 5 b3 =.87 =..6.6.
Einheitszelle und primitive Elementrzelle des fcc-gitters Abbildung : Konventionelle Einheitszelle und rhomboedrische primitive Elementrzelle des fcc- Gitters. Kubisch ächenzentriert Gitterkonstnte = b = c. Quelle: Kittel. Die konventionelle Einheitszelle des fcc-gitters wird von einem Würfel mit Gitterpunkten n den Würfeleckpunkten, sowie Gitterpunkten n den Flächenmittelpunkten gebildet. Ds Volumen eines Würfels mit Kntenlänge beträgt beknntlich 3. Die Einheitszelle beinhltet 4 Gitterpunkte. Die Gitterpunkte n den Würfel-Ecken werden jeweils von 8 neinnder ngrenzenden Würfeln geteilt. Die ächenzentrierten Gitterpunkte werden zwischen je zwei benchbrten Würfeln geteilt. Mcht zusmmen 8 8 + 6 = 4. Die primitive Elementrzelle des fcc-gitters erhält mn, indem mn usgehend von einem Würfeleckpunkt (m frei wählbren Koordinten-Ursprung) diesen mit den Gitterpunkten in den Flächenmittelpunkten verbindet. Ds von den so gewonnenen primitiven Gittervektoren ufgespnnte Rhomboeder heiÿt primitive Elementrzelle. Die Whl, welchen der Vektoren,, 3 mn in welche Ebene legt ist ntürlich frei - mn muss sie nur konsequent beibehlten. = ( y + z) ˆ= = ( z + x) ˆ= 3 = ( x + y) ˆ= Skeptiker mögen sich des Sptproduktes bedienen. V = = 3 = 3 Hier wird versucht die Whl in Anlehnung n die LV-Unterlgen zu treen, um unnötige Verwirrung zu vermeiden.
Ds Volumen der primitiven Einheitszelle erhält mn über ds Sptprodukt 3 : V EZ = 3 ( ) = = 3 8 } {{ } = Der Vergleich beider Volumin zeigt, dss die primitive Elementrzelle genu ein Viertel des Volumens der konventionellen Einheitszelle einnimmt. Die primitive Elementrzelle enthält per Denition / Konstruktion genu einen Gitterpunkt. Die primitiven Gittervektoren schlieÿen untereinnder jeweils einen Winkel 4 von 6 ein. = 3 4 3 Die reziproken Gittervektoren Aus der Fourierreihenentwicklung einer Funktion f(r), die die Periodizität ( R = n + n + n 3 3 ) des Brvisgitters besitzt, folgt unmittelbr 5 k = G und e ig R = oder nders usgedrückt: G R = n, mit n N. Reziproke Gittervektoren G, die diese Bedingung erfüllen, sind: b = 3 V EZ b = 3 V EZ b 3 = V EZ = 4 3 4 = = = = = ˆ= ˆ= ˆ= ( x + y + z) (+ x y + z) (+ x + y z) Durch den Vergleich mit den primitiven Trnsltionsvektoren nderer Rumgitter erkennt mn, dss es sich hierbei um ein kubisch rumzentriertes (bcc) Gitter mit Gitterkonstnte 4 hndelt. Abbildung 3: Reziprokes Gitter eines fcc-brvis-gitters. Quelle 3 Anlog könnte mn ntürlich uch ( 3) wählen.[ 3] i = ɛ ijk j 3k 4 cos α = = 4 = 4 5 siehe LV oder z.b. R. GROSS UND A. MARX und drus folgt: α = 6
So entsprechen zum Beispiel die Rumdigonlen des betrchteten Würfels den reziproken Gittervektoren doppelter Länge. Die Konstruktion des reziproken Gittervektors, der z.b. zwei Gitterpunkte entlng in der [,, ] Richtung verbindet, erhält mn gemäÿ Abbildung 3. ky = b + b 3 = Abbildung 4: Konstruktion der Gitterkonstnte des reziproken fcc-gitters. + = = 4 und dmit k y = 4 entspricht der Gitterkonstnten des reziproken Gitters 6. Anloges Vorgehen für k x und k z ergibt: ( k x = b3 + b ) = 4 ( ky = b3 + b ) = 4 ( kz = b + b ) = 4. Dies Fzit: Ein fcc-gitter mit Gitterkonstnte im Direktrum wird uf ein bcc-gitter mit Gitterkonstnte 4 im k-rum bgebildet. 4 Erste Brillouin-Zone Die Konstruktion der ersten Brillouin-Zone entspricht der Konstruktion der ersten Wigner-Seitz-Zelle im reziproken Gitter. Wie bereits festgestellt, ist ds reziproke Gitter des fcc-gitters ein bcc-gitter. Ausgehend vom rumzentrierten Gitterpunkt - den mn der Einfchheit hlber in den (frei wählbren) Koordintenursprung legt - werden die Ortsvektoren zu den nächstgelegenen Gitterpunkten eingezeichnet. An den hlbierten Ortsvektoren werden Flächen senkrecht druf ufgespnnt und miteinnder geschnitten. 6 Ein Würfel im Ortsrum wird in einen Würfel im k-rum bgebildet.
Abbildung 5: Este Brillouin-Zone des fcc-gitters bildet ein stumpfes Okteder. Quelle: R. GROSS UND A. MARX Die durch ± ± ± drgestellten Gittervektoren sind Flächennormlen der 8 Sechseckächen. Die Flächennormlen uf die 6 Vierecke entsprechen 5 Punkte hoher Symmetrie ±, ±, sowie ±. Abbildung 6: Erste Brillouin-Zone des fcc-gitters mit den Punkten hoher Symmetrie. Quelle: Brillouin zone pplet ˆ Γ... Koordintenursprung
ˆ K... Mittelpunkt der Schnittgerden zweier Sechseck-Flächen ˆ ˆ ˆ ˆ U... Mittelpunkt der Schnittgerden einer Sechseckäche mit einer Viereck-Fläche W... Schnittpunkt zweier Sechseck-Flächen mit einer Viereck-Fläche X... Mittelpunkt der Viereck-Flächen, entspricht Koordintenchsen des Orts- oder Direktrumes L... Mittelpunkt der Sechseck-Fläche Es gibt ntürlich mehrere Strtegien, um frgliche Punkte zu benennen. Eine Möglichkeit wäre es, streng der Brillouin-Zonen-Konstruktion zu folgen:. Drstellen der Ortsvektoren zu den nächstliegenden Gitterpunkten (in primitiven Trnsltionsvektoren des reziproken Gitters).. Hlbieren der Länge dieser Vektoren. Die somit erhltenen Vektoren bezeichnen X und L in den jeweiligen Rumrichtungen. 3. Anschliesendes Aufspnnen von Flächen senkrecht zu den zuvor gewonnenen (hlbierten) Vektoren. 4. Schneiden dieser Flächen miteinnder. Die Mittelpunkte der Schnittgerden liefern K und U. 5. Schnittpunkt zweier Sechseck-Flächen mit einer Viereck-Fläche ergibt W. X und L werden nch genu diesem Rezept beschrieben. Die Konstruktion von K, U und W wird etws nschulicher drgestellt. 5. L Wie in Kpitel3 bereits erläutert, hndelt es sich beim reziproken Gitter des fcc-gitters mit Gitterkonstnte um ein bcc-gitter mit der Gitterkonstnten 4. Der Vektor vom Rumzentrierten Gitterpunkt zu einem der Eckpunkte entspricht lso einer hlben Rumdigonle eines Würfels mit Kntenlänge. Hlbieren selbigen Vektors im Zuge der Brillouin-Zonen-Konstruktion liefert: 4 ΓL = 4 4 = () ΓL = 3 () 5. X Selbige Überlegung führt zu der Erkenntniss, dss der Ortsvektor von einem Rumzentrierten Gitterpunkt zum nächsten in Richtung der Koordintenchsen des Direktrum-Gitters verläuft, und genu beträgt.7 Hlbieren selbigen Vektors im Zuge der Brillouin-Zonen-Konstruktion liefert: 4 ΓX = 4 = (3) ΓX = (4) 7 siehe uch Kpitel 3
Abbildung 7: Bestimmung von K in mit Hilfe der( ) Ebene der Brillouin-Zone 5.3 K Für ds Aunden von K wird eine geeignete Projektion des stumpfen Okteders uf eine Ebene gewählt, derrt, dss möglichst viele beknnte Punkte in dieser Ebene liegen 8. Die Ebene ( ) erweist sich ls zweckmäÿig. Für den Beweis, dss der Abstnd zwischen zwei Sechseck-Mittelpunkten genu beträgt, sei zugunsten des Textusses uf Kpitel 6 verwiesen. ΓL = 3 Somit ergibt sich in dieser Ebene ein rechtwinkliges Dreieck ΓLH 9 mit den Seitenlängen 3 3 ist bereits beknnt.,, und c. Pythgors liefert c = =. Ein Vergleich der beiden ähnlichen Dreiecke ΓLH und LKH liefert: LK 3 = 3 LK =. Pythgors ngewndt uf ds ll umschlieÿende Dreieck ΓLK liefert ΓK = 3 + 3 = 3. Die normierte Richtung von ΓK lutet, us einfcher Überlegung:. Richtung ml Betrg liefert den gesuchten Vektor: 5.4 W ΓK = 3 ΓK = 3 (5) Nun sei ds Sechseck in der Ebene () betrchtet. Zur Betrchtung wird ds Dreieck LKW herngezogen. ( LK ist bereits beknnt.) Der Winkel zwischen LK und LW beträgt gemäÿ Allgemeinwissen (6) 8 Um zu vermeiden, dss mn mit Projektionen eines Vektors uf eine Ebene rechnen muss. Ntürlich uch möglich, ber ufwendiger. ;) 9 H sei ein Hilfspunkt um die Zuordnung zu den Dreiecken zu vereinfchen.
Abbildung 8: Bestimmung von W mit Hilfe des Dreiecks LKW in der Ebene (). über Sechsecke 3. KW LK = tn 3 = 3 KW = LK 3 = Sei l die Seitenlänge der Sechs und Vierecke, so knn diese nun gemäÿ l = KW = = ngegeben werden. Die normierte Richtung von KW ergibt sich durch kurze Überlegung zu KW = = KW = Um nun den gesuchten Vektor ΓW zu erhlten, ist ΓK mit KW zu ddieren. 5.5 U ΓW = ΓK + KW = 3 + ΓW = 5. (7) = (8) (9) Betrchtet wird ds stumpfe Okteder in der Ebene (). Zunächst betrchtet mn ds Oensichtliche. Die normierte Richtung von XU ergibt sich zu. Der Betrg entspricht der hlben Seitenlänge l, und somit: ()
Abbildung 9: Ansicht der Ebene () zur Bestimmung von U. XU = XU = Um nun den gesuchten Vektor ΓU zu erhlten, ist ΓX mit XU zu ddieren. ΓU = ΓX + XU = + () () ΓU = 4 + 4 + 4 = 3 = (3) (4)
6 Anhng Nun sei noch der Beweis erbrcht, dss der Abstnd zwischen zwei ngrenzenden Sechseck-Flächenmittelpunkten genu beträgt, so wie es in Kpitel 5.3 stillschweigend kzeptiert wurde. Abbildung : Ausgehend von der Flächennormlen zu den ngrenzenden Sechs und Vierecken zu bestimmen. Ausgehend von dem durch (roter Ortsvektor) denierten Flächenmittelpunkt zu den Mittelpunkten der 3 ngrenzenden Sechsecke (grün) erhält mn: + + + = + + + + (roter Ortsvektor) sind die Vektoren + + + + = = Mn knn sich leicht dvon überzeugen, dss dies den Flächennormlen der nicht n ds durch denierte Sechseck ngrenzenden Vierecke entspricht. Der Betrg dieser Vektoren ist w.z.b.w.
Der Gude hlber sei noch selbige Überlegung im Bezug uf die ngrenzenden Vierecke (blu) geliefert: + + + + + + = = = Abermls knn mn sich leicht dvon überzeugen, dss dies den Flächennormlen, der nicht n ds durch denierte Sechseck ngrenzenden Sechsecke entspricht. + + + +