Probeklausur zur T1 (Klassische Mechanik) WS 006/07 Bearbeitungsdauer: 10 Minuten Prof. Stefan Kehrein Name: Matrikelnummer: Gruppe: Diese Klausur besteht aus vier Aufgaben. In jeder Aufgabe sind 10 Punkte erreichbar. Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Aufgabenblatt, vor allem auf jedes Extrablatt! Bei einigen Aufgaben sind wichtige Zwischenergebnisse angegeben. Damit können Sie insbesondere spätere Aufgabenteile bearbeiten, ohne vorhergehende Aufgabenteile vollständig gelöst zu haben. Aufgabe 1 Aufgabe Aufgabe 3 Aufgabe 4 Summe / 40P
1 [10P] Starre Körper a. [6P] Leiten Sie für einen starren Körper aus diskreten Massenpunkten den Steinerschen Satz ab. D.h.: Wenn der Schwerpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt, ist der Trägheitstensor bzgl. des Punktes d = (d 1, d, d 3 ) wie folgt: ( ) I µν = Iµν S + M d δ µν d µ d ν. Hierbei ist I S µν der Trägheitstensor bezüglich des Schwerpunkts und M die Masse des starren Körpers. b. [4P] Wir betrachten eine homogene Kugel mit Masse M und Radius R, deren Mittelpunkt sich im Ursprung des Koordinatensystems befindet. Berechnen Sie den Trägheitstensor der Kugel bezüglich des Punktes d = (0, 0, R) am oberen Rand der Kugel. Beschreiben Sie oder skizzieren Sie graphisch die Hauptachsen in diesem System und die dazugehörigen Drehungen. Was sind die Rotationen mit den größten Trägheitsmomenten? Dabei dürfen Sie den Trägheitstensor der Kugel bezüglich des Schwerpunkts als gegeben voraussetzen: I S 5 MR 0 0 = 0 5 MR 0 0 0 5 MR
[10P] Kugelpendel Ein Massenpunkt m ist mit einer masselosen starren Stange der Länge R frei rotierbar am Ursprung befestigt (siehe Abb. 1) und bewegt sich unter dem Einfluß eines Gravitationsfeldes in z-richtung. Parametrisieren Sie die Lage des Massenpunktes durch Kugelkoordinaten: x = R sin ϑ cos φ y = R sin ϑ sin φ z = R cos ϑ mit Winkeln ϑ(t) und φ(t), die von der Zeit abhängen. a. [6P] Leiten Sie die kinetische Energie ab: T = m R ( ϑ + φ sin ϑ) Bestimmen Sie damit die Lagrange-Funktion und darüber die Hamilton-Funktion. Stellen Sie die Hamiltonschen Bewegunsgleichungen auf. b. [4P] Identifizieren Sie eine zyklische Koordinate in diesem System. Vereinfachen Sie die Hamilton-Funktion unter Verwendung der zugehörigen Erhaltungsgröße: Indem Sie alle Terme zusammenfassen, die nur vom Winkel ϑ abhängen, erhalten Sie ein effektives Potential V eff (ϑ). Wann kann das Pendel den Punkt ϑ = π durchlaufen? z y ϑ R x g m Kugelpendel der Länge mit Massenpunkt m. Abbildung 1: Kugelpendel der Länge R. 3
3 [10P] Masse auf rotierendem Ring Eine Masse m bewegt sich auf einem Ring, der sich vertikal im Gravitationsfeld der Erde um seine Diagonale mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω dreht (siehe Abb., die Fallbeschleunigung zeigt in der Abbildung senkrecht nach unten). a. [5P] Leiten Sie die Lagrange-Funktion L = m ( ) R ϑ + ω sin ϑ m g R cos ϑ ab. Bestimmen Sie daraus die Bewegungsgleichung der Masse m. b. [5P] Indem Sie alle Terme zusammenfassen, die nur vom Winkel ϑ abhängen, erhalten Sie ein effektives Potential V eff (ϑ). Berechnen Sie dieses. Bestimmen Sie die kritische Winkelgeschwindigkeit ω c, ab der die Lage ϑ = π instabil wird. Was ist die stabile Gleichgewichtslage ϑ S für ω > ω c? Skizzieren Sie das effektive Potential für diese Situation. R Abbildung : Masse m auf Ring im Gravitationsfeld mit Winkelgeschwindigkeit ω. 4
4 [10P] Drei Massenpunkte auf Ring Die Bewegung dreier gleicher Massen sei auf einen horizontalen Ring mit Radius R eingeschränkt. Alle Massen sind untereinander mit Federn der Federkonstante k verbunden, wobei die Verbindungslinien der Federn nicht gerade, sondern auch entlang des Rings laufen (siehe Abb. 3). a. [5P] Wir betrachten die harmonische Näherung um die Gleichgewichtslage. Die Position der Massen sei beschrieben durch die jeweilige Verschiebung z i, i=1,,3 entlang des Rings aus der Gleichgewichtslage. Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion L(ż 1, ż, ż 3, z 1, z, z 3 ) und die Bewegungsgleichungen. b. [5P] Bestimmen Sie aus den Bewegungsgleichungen die Eigenfrequenzen. Skizzieren Sie die dazugehörigen Normalmoden. Sind diese eindeutig festgelegt? Aufgrund der Symmetrie kann eine verschwindende Eigenfrequenz erwartet werden. Warum? Abbildung 3: Drei gleiche Massen auf Ring gekoppelt mit identischen Federn der Stärke k. 5