Trigonometrie Mag. DI Rainer Sickinger HTL v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 1 / 1
Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete nur für Werte von 0 bis 90 Grad definiert Für eine allgemeine Definition wird ein Punkt P mit den Koordinaten (x, y) auf dem Einheitskreis betrachtet. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 2 / 1
Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis Definition (Einheitskreis) Der Einheitskreis ist ein Kreis, dessen Radius die Länge 1 hat und dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 3 / 1
Definition des Sinus am Einheitskreis Wir wollen nun den Sinus zwischen 0 und 360 definieren. Wir suchen uns nun irgendeinen Punkt P mit den Koordinaten (x, y) auf diesem Einheitskreis: v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 4 / 1
Definition des Sinus am Einheitskreis Danach zeichnen wir den Winkel ein, der zwischen der x-achse und der Geraden durch Koordinatenursprung und dem Punkt P verläuft. Es stellt sich die Frage, welchen Wert der Sinus dieses Winkels annimmt. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 5 / 1
Definition des Sinus am Einheitskreis Dazu verbinden wir den Punkt P senkrecht mit der x-achse (Orangene-Linie), und erhalten somit ein rechtwinkliges Dreieck! v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 6 / 1
Definition des Sinus am Einheitskreis Nun wissen wir sin(α) = Gegenkathete Hypothenuse gilt in einem rechtwinkligen Dreieck! v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 7 / 1
Definition des Sinus am Einheitskreis Nun können wir uns sin(α) berechnen! sin(α) = Gegenkathete Hypothenuse = Gegenkathete = Gegenkathete 1 v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 8 / 1
Definition des Sinus am Einheitskreis Welche Länge hat jetzt die Gegenkathete? Die Länge der Gegenkathete entspricht der y-koordinate des Punktes P. GeoGebra (Definition Sinus am Einheitskreis) v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 9 / 1
Definition des Cosinus am Einheitskreis Wir wollen nun den Cosinus zwischen 0 und 360 definieren. Wir suchen uns nun irgendeinen Punkt P mit den Koordinaten (x, y) auf diesem Einheitskreis: v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 10 / 1
Definition des Cosinus am Einheitskreis Danach zeichnen wir den Winkel ein, der zwischen der x-achse und der Geraden durch Koordinatenursprung und dem Punkt P verläuft. Es stellt sich die Frage, welchen Wert der Cosinus dieses Winkels annimmt. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 11 / 1
Definition des Cosinus am Einheitskreis Dazu verbinden wir den Punkt P senkrecht mit der x-achse (Grüne-Linie), und erhalten somit ein rechtwinkliges Dreieck! v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 12 / 1
Definition des Cosinus am Einheitskreis Nun wissen wir cos(α) = gilt in einem rechtwinkligen Dreieck! Ankathete Hypothenuse v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 13 / 1
Definition des Cosinus am Einheitskreis Nun können wir uns cos(α) berechnen! cos(α) = Ankathete Hypothenuse = Ankathete = Ankathete 1 v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 14 / 1
Definition des Cosinus am Einheitskreis Welche Länge hat jetzt die Ankathete? Die Länge der Ankathete entspricht der x-koordinate des Punktes P. GeoGebra (Definition Cosinus am Einheitskreis) v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 15 / 1
Definition des Tangens am Einheitskreis Nun ist ein Dreieck gesucht dessen Ankathete gleich 1 ist, damit, ähnlich wie bei Sinus und Cosinus, wieder gilt: tan(α) = Gegenkathete Ankathete = Gegenkathete 1 = Gegenkathete GeoGebra (Definition Tangens am Einheitskreis) v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 16 / 1
Definition des Tangens am Einheitskreis Beim Tangens fällt uns sofort auf: tan(α) = Gegenkathete Ankathete = sin(α) cos(α) Daraus folgt sofort: Ist cos(α) gleich 0, ist tan(α) NICHT definiert! v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 17 / 1
Vorzeichen der Winkelfunktionen in den jeweiligen Quadranten Welche Vorzeichen haben sin(α), cos(α) und tan(α) in den jeweiligen Quadranten? 0 < α < 90 90 < α < 180 180 < α < 270 270 < α < 360 sin(α)???? cos(α)???? tan(α)???? GeoGebra (Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis) v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 18 / 1
Vorzeichen der Winkelfunktionen in den jeweiligen Quadranten 0 < α < 90 90 < α < 180 180 < α < 270 270 < α < 360 sin(α) + + - - cos(α) + - - + tan(α) + - + - v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 19 / 1
Vorzeichen der Winkelfunktionen in den jeweiligen Quadranten Mathematikbuch Seite 193 Übung 14.2.01! v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 20 / 1
Sinussatz Der Sinussatz Satz (Der Sinussatz) Sind a, b und c die Seiten eines Dreiecks und α, β, γ die jeweils gegenüber liegenden Winkel, dann gilt mit der Sinusfunktion sin: a sin(α) = b sin(β) = c sin(γ) Bemerkung: Mit dem Sinussatz kann man allgemeine Dreiecke lösen, von denen eine Seite und zwei Winkel, oder zwei Seiten und der nicht eingeschlossene Winkel gegeben sind. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 21 / 1
Beweis Gegeben sei ein allgemeines Dreieck: h c zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke, in denen man den Sinus von α und β jeweils wie folgt ausdrücken kann: sin(α) = hc b hc und sin(β) = a. Daraus folgt nun sofort h c = b sin(α) und h c = a sin(β). Woraus durch gleichsetzen wiederum b sin(α) = a sin(β) folgt. Dividiert man nun durch sin(α)sin(β) folgt a sin(α) = b c. Die Gleichheit mit ergibt sich entsprechend durch Benutzung der sin(β) sin γ a Höhe h a oder h b (Tafel). Also folgt sin(α) = b sin(β) = c sin(γ). q.e.d.
Beispiel Beispiel: Gegeben sei ein Dreieck ABC: Weiters sei a = 5, 4 cm, b = 3, 8 cm und α = 73 bekannt. Problem: Berechne die unbekannten Seiten und Winkel! v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 23 / 1
Lösung Wir kennen a, b und α wir können uns somit β mit dem Sinussatz berechnen da das formen wir nun auf sin(β) um. sin(β) = b sin(α) a daraus ergibt sich nun mit dem Arcussinus: a sin(α) = b sin(β) = 3, 8 sin(73) 5, 4 β arcsin(0, 67) 42 0, 67 Nun können wir γ errechnen: γ = 180 α β 180 73 42 = 65. Die Seitenlänge c errechnen wir nun wiederum mit dem Sinussatz, durch umformen auf c: c = a sin(γ) sin(α) a sin(α) = c sin(γ) 5, 4 sin(65 ) sin(73 ) 5, 1cm v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 24 / 1
Lösung Übungszettel v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 25 / 1
Kosinussatz Lemma Sei 90 < α < 180 dann gilt cos(180 α) = cos(α) Satz (Kosinussatz) Für die drei Seiten a, b und c eines Dreiecks sowie für den der Seite c gegenüberliegenden Winkel (d. h. den zwischen den Seiten a und b liegenden Winkel) γ gilt: c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(γ) Entsprechend gilt für die anderen Winkel: b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos(β) a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(α) v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 26 / 1
Um den Kosinussatz Beweisen zu können, müssen wir drei Fallunterscheidungen für γ betrachten. 1.Fall: γ < 90 2.Fall: γ > 90 3.Fall: γ = 90
Beweis Kosinussatz 1. Fall: γ < 90 Gegeben sei ein allgemeines Dreieck mit γ < 90 : Wir möchten c berechnen. Um den Pythagoras zur Berechnung von c zu finden benötigen wir d und h: h 2 = b 2 e 2 d 2 = (a e) 2 = a 2 2 a e + e 2 Wegen dem Satz des Pythagoras gilt offensichtlich c 2 = h 2 + d 2. Also setzen wir einfach ein: c 2 = b 2 e 2 + a 2 2 a e + e 2 = a 2 + b 2 2 a e ( ) Nun gilt cos γ = e = Ankathete mit der Folgerung e = b cos(γ). b Hypotenuse Damit folgt sofort c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(γ).
Beweis Kosinussatz 2. Fall: γ > 90 Gegeben sei ein allgemeines Dreieck mit γ > 90 : Um wiederum c berechnen zu können brauchen wir a + q und h: h 2 = b 2 q 2 Weiters können wir q über den Kosinus berechnen: cos(180 γ) = q ( = Ankathete ) b Hypotenuse Daraus folgt sofort cos(180 γ) b = q. Mit dem Lemma 1 (ww.: 90 < γ < 180) folgt wiederum q = b cos(γ). c kann man nun wie folgt berechnen: c 2 = (a + q) 2 + h 2 = a 2 + 2aq + q 2 + h 2 Nun setzen wir die zuvor berechneten q und h 2 ein: c 2 = a 2 + 2a( b cos(γ)) + q 2 + b 2 q 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(γ)
Beweis Kosinussatz 3. Fall: γ = 90 Gegeben sei ein allgemeines Dreieck mit γ = 90 : Aus dem Satz des Pythagoras folgt sofort c 2 = a 2 + b 2. Da cos(γ) = 0 fällt der Term 2 a b cos(γ) weg.
Beweis Kosinussatz Aus dem 1. Fall, 2. Fall und 3. Fall folgt nun der Kosinussatz c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(γ) Für die anderen Winkel zeigt man dies Analog. q.e.d.
Kosinussatz Übungszettel v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 32 / 1