Robotik. Robotik Wintersemester Kapitel 4 : Vorwärtsrechnung. Angew. Mathematik (B.Sc. + M.Sc.)
|
|
|
- Rüdiger Lorentz
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
![Scence>Meda] Wesbaden Unverst of Appled Scences](/docs-images/92/107862956/images/1-2.jpg "Hochschule RhenMan Fachberech Desgn, Informatk,")
1 Wesbaden Unverst of Appled Scences LV Robotk 5 Credts Angew. Mathematk (B.Sc. + M.Sc.) Wntersemester 25 Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda] Wesbaden Unverst of Appled Scences Hochschule RhenMan Fachberech Desgn, Informatk, Meden Angewandte Mathematk (B.Sc. und M.Sc.) Robotk Wntersemester 25 Kaptel 4 Vorwärtsrechnung Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda]
2 Wesbaden Unverst of Appled Scences De Abbldungen n deser Zusammenstellung snd jewels urheberrechtlch geschütt. Se dürfen daher nur m Zusammenhang mt der Lehrveranstaltung Enführung n de Robotk nnerhalb der Hochschule RhenMan verwendet werden. De Abbldungen snd ncht um Selbststudum geegnet. Ene wetere Verwendung, Wetergabe oder Vervelfältgung deser Abbldungen st ncht gestattet. Ene ncht autorserte Verwendung, Wetergabe oder Vervelfältgung verstößt gegen das Urheberrechtsgeset. Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda] Wesbaden Unverst of Appled Scences 4. Vorwärtsrechnung 4. Denavt-Hartenberg-Notaton 4.2 Berechnung der Transformatonsmatren - M 4.3 Handflansch 4.3. Poston Orenterung Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda] 2
3 Wesbaden Unverst of Appled Scences 4. Vorwärtsrechnung, 4. Denavt-Hartenberg-Notaton (A knematc notaton for lower-par mechansm based on matrces, ASME J. Appled Mechancs, 955, S ) Modellerung von Roboterarmen nach Denavt-Hartenberg Formalsmus ur enfachen Beschrebung der mathematschen Zusammenhänge [ Ncht endeutge ] Festlegung der Koordnatenssteme ur Beschrebung der Bewegungen der enelnen Armtele Notaton Der Armtel () hat de Gelenke (-) und (). Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda] Wesbaden Unverst of Appled Scences 4. Vorwärtsrechnung, 4. Denavt-Hartenberg-Notaton, Regel Modellerung der Roboterarme nach Denavt-Hartenberg (-) Armtel um Armtel um Handflansch a. Im Armtel () legt de - -Achse m Gelenk (-) und de -Achse m Gelenk (). b. Alle -Achsen können we entgegengesette Rchtungen annehmen. c. Be parallelen - - und -Achsen st der Ursprung von, und ncht festgelegt. Man legt hn n de Smmetreebene. Achsdefnton.dsf Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda] 3
4 Wesbaden Unverst of Appled Scences 4. Vorwärtsrechnung, 4. Denavt-Hartenberg-Notaton, Regeln 2 und 3 (-) 2. De -Achse legt auf dem gemensamen Lot der - - und der - Achse und egt von der - -Achse weg. Armtel um Armtel um Handflansch 3. De -Achse ergänt de - und - Achsen u enem rechtshändgen Koordnatensstem. Achsdefnton.dsf Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda] Wesbaden Unverst of Appled Scences 4. Vorwärtsrechnung, 4. Denavt-Hartenberg-Notaton Folgende Fälle snd ncht defnert und nach praktschen Geschtspunkten fre wählbar. Alle -Achsen können we entgegengesette Rchtungen annehmen. (Regel b) 2. De o -Achse st stets fre wählbar. Man legt se n de Vorwärtsrchtung des Roboters. 3. Schneden sch de - - und de -Achse n enem Punkt, so kann de -Achse n desem Punkt senkrecht auf der - - und der -Achse we entgegengesette Rchtungen annehmen. 4. Be parallelen - - und -Achsen st der Ursprung von, und ncht festgelegt. Man legt hn n de Smmetreebene des Roboters. (Regel c) 5. Lneargelenke werden mt hrer Achse we Torsonsgelenke behandelt. Allerdngs st kene varable Drehung um de -Achse möglch. De, -Ebene kann fre gewählt werden. Man legt se.a. n de Smmetreebene der Armtele (c). Zu beachten st der Punkt Der Ursprung des Werkeugkoordnatensstems legt auf der Achse n der Greferflanschebene, pos. -Achse nach vorne, -Achse n Bewegungsrchtung der Greferbacken, -Achse n der Ebene wschen den Greferbacken als Rechtssstem. (Aufgabe 4., nachfolgend 4.2) Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda] 4
5 Wesbaden Unverst of Handflansch Appled Scences Armtel 6 K 6 Armtel 5 4, (Ptch) (Roll) Armtel 4 Achse4 (Twst) Armtel Armtel 2 (Elbow) Grundstellung Wnkelstellung theta 3 = Lösung ur Aufgabe 4. ( Shoulder ) Armtel Achse ( Wast ) Armtel Prof. Dr. D. Rchter o Robot9-4 Farbe mt Koord.dsf Department [Desgn>Computer Scence>Meda] o Armtel 6 Wesbaden Unverst Handflansch of Appled Scences Armtel 5 4, (Ptch) (Roll) Defnton der (allerdngs phskalsch ncht realserbaren) Grundstellung. Der Roboter egt senkrecht nach oben. Armtel 4 Armtel 3 Achse4 (Twst) Armtel Achse ( Wast ) Armtel Prof. Dr. D. Rchter o 2 Armtel 2 2 (Elbow) Grundstellung Wnkelstellung theta 3 = ( Shoulder ) Robot9-4 Farbe mt Koord.dsf Besonderheten der Torsonsgelenke, Defntonen be Mehrdeutgketen K legt m Armtel ( Montageebene ), legt n vorwärts -Rchtung. K 3 legt ncht n der Trennebene wschen Armtel 3 und Armtel 4, sondern auf 2. De Poston der Trennebene st unerheblch. K 4 Rchtung von 4 st wedeutg, her wrd 4 nach lnks gewählt. K 5 legt auf K 4. 4 und 5 snd dentsch gewählt. K 6 legt auf dem Handflansch Alle Koordnatenursprünge legen n ener Ebene. Alle Drehwnkel snd n Nullgradstellung. Department [Desgn>Computer Scence>Meda] o 5
6 Achse 4 Wesbaden Unverst of Appled Scences Handflansch Armtel 3 Armtel 4 Armtel 5 Aufgabe 4.2 Armtel 2 Achse Da de Grundstellung für den Robotertp RV-E2 phskalsch ncht enstellbar st, werden de Bauenheten {Armtele 3, 4 und 5} um de { -Achse} um +9 gedreht. Man verwendet daher ene Ausgangsstellung, be der 3 = +9 beträgt. Armtel Achse Übertragen Se de Koordnatenssteme der Grundstellung aus Aufgabe 4. n de Ausgangsstellung. Armtel Prof. Dr. D. Rchter Robot9-3 Farbe.dsf Department [Desgn>Computer Scence>Meda] Wesbaden Unverst of Appled Scences 3 Achse 4 ( Twst ) Armtel 3 4, 5 Armtel 4 Armtel 5 4 ( Ptch ) 4 Armtel 6 (Handflansch) K tool 6 5 4, ( Elbow ) 5 ( Roll ) 6 In der Grundstellung steht Armtel 3 senkrecht nach oben. Es glt 3 = 5...7, daher wrd 3 = 9 als Ausgangsstellung gewählt. Armtel 2 ( Shoulder ) Lösung ur Aufgabe 4.2 Armtel Armtel Prof. Dr. D. Rchter o o Achse ( Wast ) Robot9- ohne Hlfsl.dsf Department [Desgn>Computer Scence>Meda] 6
7 Wesbaden Unverst of Appled Scences 4. Vorwärtsrechnung, 4. Denavt-Hartenberg-Notaton Um enen defnerten raumfesten Punkt P(u,v,w) aus dem Koordnatensstem K m Koordnatensstem K - u beschreben, kann man das Koordnatensstem K m Koordnatensstem K - defneren. Be der Defnton der Koordnatenssteme nach Denavt-Hartenberg können deren Ursprünge gegensetg nur Verschebungen n -Rchtung des Koordnatensstems K - (Komponenten d ) und/oder n -Rchtung des Koordnatensstems K (Komponenten a ) aufwesen. De Koordnatenssteme snd so defnert, dass das Kommutatvgeset glt. (Aufgabe 4.3) Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda] Wesbaden Unverst of Appled Scences Achse 4 ( Twst ) Armtel 3 4, 5 Armtel 4 Armtel 5 4 ( Ptch ) 4 Armtel 6 (Handflansch) K tool 6 Aufgabe 4.3 In der Grundstellung steht Armtel 3 senkrecht nach oben. Es glt 3 = 5...7, daher wrd 3 = 9 als Ausgangsstellung gewählt. 2 Armtel ( Elbow ) ( Shoulder ) 4, 5 5 ( Roll ) 6 6 Zechnen Se de Denavt- Hartenberg-Parameter d und a n de Zechnung en. Beachten Se, dass de Parameter d bw. a de Poston des Ursprungs des Koordnatensstems K m Koordnatensstem K - beschreben. Armtel Armtel Prof. Dr. D. Rchter o o Achse ( Wast ) Robot9- ohne Hlfsl.dsf Dadurch kann en fester Punkt P m Koordnatensstem K - dargestellt werden. Department [Desgn>Computer Scence>Meda] 7
8 Wesbaden Unverst of Appled Scences Achse 4 4, 5 4 K tool 4 6 a3 2 2 d4 5 4,5 d6 5 6 dtool a2 a Lösung ur Aufgabe 4.3 d Achse Prof. Dr. D. Rchter o o Robot9-D-H-Param.dsf Department [Desgn>Computer Scence>Meda] Wesbaden Unverst of Appled Scences 4. Vorwärtsrechnung, 4. Denavt-Hartenberg-Notaton, Regeln 4 Durch de gewählte Konventon lässt sch das jewelge Koordnatensstem K - n das Koordnatensstem K nach folgenden Regeln überführen 4.. Drehung des Koordnatensstem K - um de - -Achse um den Wnkel, bs de - - und de -Achse parallel verlaufen Verschebung des Koordnatensstem K - längs der - -Achse um de Strecke d, bs sch bede -Achsen decken Verschebung des Koordnatensstem K - längs der -Achse um de Strecke a, bs sch de Koordnatenursprünge decken Drehung des Koordnatensstem K - um de - -Achse um den Wnkel α, bs sch de Koordnatenssteme decken. Gemäß Gl.(8) snd de Operatonen und 2 bw. 3 und 4 snngemäß vertauschbar, jedoch snd de kombnerten Operatonen ( 2) und (3 4) ncht vertauschbar. Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda] 8
9 Armtel 6 Armtel 5 Armtel 4 Achse4 (Twst) Armtel 3 Handflansch Armtel Achse ( Wast ) Armtel (Ptch) (Roll) (Elbow) Armtel 2 ( Shoulder ) Robot9-4 Farbe ohne Hlfsl.dsf Armtel Armtel Armtel 3 Armtel 2 Achse Armtel 4 Armtel 5 Ac hse 2 Achse Achse 4 Ac hse 5 Robot9-3 Farbe.dsf Handflansch Wesbaden Unverst of Appled Scences 4. Vorwärtsrechnung, 4. Denavt-Hartenberg-Notaton Der Wnkel, de Rotaton des Armtels um de -Achse gegenüber dem Armtel, besteht aus we Antelen de varable Drehung um den Wnkel um de -Achse und de feste Drehung des Koordnatensstems aus der Grundstellung um den Wnkel Δ. Es glt + Δ. Im vorlegenden Fall glt Δ =. De ver Parameter, d, a, und α beechnet man als Denavt-Hartenberg - Parameter. Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda] Wesbaden Unverst of Appled Scences 4. Vorwärtsrechnung, 4. Denavt-Hartenberg-Notaton Für den konkreten Fall der Überführung K K bestmmt man de Wnkel und α aus der Festlegung der Koordnatenssteme, de Verschebungen d und a entnmmt man den Herstellerangaben. Es glt für de Grundstellung und für de Ausgangsstellung = varabel d = 35 mm a = mm. α = -9 ( Rotaton von K um de -Achse n neg. Rchtung ) Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda] 9
10 Wesbaden Unverst of Appled Scences 4. Vorwärtsrechnung, 4. Denavt-Hartenberg-Notaton Trägt man de Denavt-Hartenberg - Parameter für de Transformaton K K n ene Tabelle, so erhält man Beechnung der Achsen = Achse Transformaton K K d 35 mm a mm α -9 (Aufgabe 4.4) Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda] Wesbaden Unverst of Appled Scences 4. Vorwärtsrechnung, 4. Denavt-Hartenberg-Notaton Übungsaufgabe 4.4 (a) Berechnen Se vor den weteren Aufgaben ene allgemene Transformatonsmatr - M, de Se für alle weteren Matren unter Verwendung der entsprechenden D-H-Parameter anwenden können. (b) Berechnen Se de Matr M, de enen raumfesten Punkt P(,, ) aus dem Koordnatensstem K n das Koordnatensstem K als Punkt P(,, ) überführt. Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda]
11 Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda] Wesbaden Unverst of Appled Scences 4. Vorwärtsrechnung, 4. Denavt-Hartenberg-Notaton M d sn a sn *sn * sn a *sn sn * sn ) ( ) sn( ) - sn( ) ( a d sn sn Allgemene Lösung ur Aufg. 4.4 (a) Transformatonsmatr K K Prof. Dr. D. Rchter Department [Desgn>Computer Scence>Meda] Wesbaden Unverst of Appled Scences 4. Vorwärtsrechnung, 4. Denavt-Hartenberg-Notaton Lösung ur Aufg. 4.4(b) Für de Transformatonsmatr K K glt mt den Werten aus der Tabelle der Denavt Hartenberg-Parameter Gl.(2) 35 *sn sn * - sn sn sn sn sn sn sn sn M mm mm mm d a a
Denavit-Hartenberg-Notation
DENAVIT und HARTENBERG haben ene Methode engeführt, de es erlaubt für alle knematsche Ketten de Lagen der Gleder zuenander enhetlch auszudrücken. De Gelenke, de de Gleder mtenander verbnden, dürfen dabe
9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.
Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.
9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.
Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.
Rotation (2. Versuch)
Rotaton 2. Versuch Bekannt snd berets Vektorfelder be denen das Lnenntegral über ene geschlossene Kurve Null wrd Stchworte: konservatve Kraft Potentalfelder Gradentenfeld. Es gbt auch Vektorfelder be denen
Einführung in die Robotertechnik. Dr.-Ing. Ralf Westphal,
Enführung n de Robotertechnk Dr.-Ing. Ralf Westphal, 05.03.2012 Parallelknematken (SFB 562) Robotersteuerungsarchtekturen Montageplanung Moble Robotk Tefendatensensork Objekterkennung 3D Regstrerung Posenbestmmung
18. Vorlesung Sommersemester
8. Vorlesung Sommersemester Der Drehmpuls des starren Körpers Der Drehmpuls des starren Körpers st etwas komplzerter. Wenn weder de Wnkelgeschwndgket um de feste Rotatonsachse st, so wrd mt Hlfe des doppelten
3. Lineare Algebra (Teil 2)
Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson /704004 Lneare Algebra (Tel ) Parameterdarstellung ener Geraden Im folgenden betrachten wr Geraden m eukldschen Raum n, wobe uns hauptsächlch de Fälle n bzw
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 2
Lösungen der Aufgaben zu Kaptel Abschntt 1 Aufgabe 1 Wr benutzen de Potenzrechenregeln, um ene Potenz von mt geradem Eponenten n oder mt ungeradem Eponenten n + 1 we folgt darzustellen: n n und n+1 n n
4 Roboterkinematik. Roboterarm und Gelenke
4 oboterknematk oboterarm und Gelenke 4. Grundlegende egrffe echansmus besteht aus ener Anahl von starren Körpern Gleder dese snd durch Gelenke verbunden En Gelenk verbndet genau we Gleder. De Gelenke
Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten
Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten Übung 4: Free Statonerung (Koordnatentransformaton) und Flächenberechnung nach Gauß Mlo Hrsch Hendrk Hellmers Floran Schll Insttut für Geodäse Fachberech 13
1 Definition und Grundbegriffe
1 Defnton und Grundbegrffe Defnton: Ene Glechung n der ene unbekannte Funkton y y und deren Abletungen bs zur n-ten Ordnung auftreten heßt gewöhnlche Dfferentalglechung n-ter Ordnung Möglche Formen snd:
4.6 Das Pumping-Lemma für reguläre Sprachen:
Theoretsche Informatk 1 Vorlesungsskrpt vom Fretag, 30 Jun 000 Index: Erstellt von: (Matrkelnummer: 70899) Sete : 46 Das Pumpng-Lemma für reguläre Sprachen 1 Satz W 1 Zugrundelegende Idee des Pumpng-Lemma
Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten
Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten Übung 4: Free Statonerung (Koordnatentransformaton) und Flächenberechnung nach Gauß Mlo Hrsch Hendrk Hellmers Floran Schll Insttut für Geodäse Fachberech 13
Grundgedanke der Regressionsanalyse
Grundgedanke der Regressonsanalse Bsher wurden durch Koeffzenten de Stärke von Zusammenhängen beschreben Mt der Regressonsrechnung können für ntervallskalerte Varablen darüber hnaus Modelle geschätzt werden
Aufgabenkomplex 2: Umrechung von Einheiten, Ungleichungen, Komplexe Zahlen
Technsche Unverstät Chemntz 0. Oktober 009 Fakultät für Mathematk Höhere Mathematk I.1 Aufgabenkomplex : Umrechung von Enheten, Unglechungen, Komplexe Zahlen Letzter Abgabetermn: 19. November 009 n Übung
Eine Systematik zur universellen Beschreibung für serielle, parallele und hybride Roboterstrukturen
VDI-Berchte Rbtk 2002 Ene Systematk zur unversellen Beschrebung für serelle, parallele und hybrde Rbterstrukturen A Systematc fr a Unfed Descrptn f Seral, Parallel, and Hybrd Rbtc Structures Dpl.-Infrm.
( ) γ. (t 1 ) (t 2 ) = Arg γ 2(t 2 )
Funktonentheore, Woche 10 Bholomorphe Abbldungen 10.1 Konform und bholomorph Ene konforme Abbldung erhält Wnkel und Orenterung. Damt st folgendes gement: Wenn sch zwe Kurven schneden, dann schneden sch
Bestimmung der Elementarladung nach Millikan. 1. Theorie zum Versuchs. F R = 6 $ $ $ r $ v. $ g. F s = 4 3 $ $ r 3 $ Öl.
Versuch Nr. 5: Bestmmung der Elementarladung nach Mllkan. Theore zum Versuchs Be der Öltröpfchenmethode nach Mllkan wrd Öl mttels enes Zerstäubers n wnzge Tropfen aufgetelt. De Öltröpfchen werden durch
Daten sind in Tabellenform gegeben durch die Eingabe von FORMELN können mit diesen Daten automatisierte Berechnungen durchgeführt werden.
Ene kurze Enführung n EXCEL Daten snd n Tabellenform gegeben durch de Engabe von FORMELN können mt desen Daten automatserte Berechnungen durchgeführt werden. Menüleste Symbolleste Bearbetungszele aktve
Prof. Dr. P. Kischka WS 2012/13 Lehrstuhl für Wirtschafts- und Sozialstatistik. Klausur Statistische Inferenz
Prof. Dr. P. Kschka WS 2012/13 Lehrstuhl für Wrtschafts- und Sozalstatstk Klausur Statstsche Inferenz 15.02.2013 Name: Matrkelnummer: Studengang: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Summe Punkte 6 5 5 5 5 4 4 6 40
(8) Koordinatentransformationen
(8) Koordnatentransformatonen Vorlesung CV-Integraton S. Müller Ausgangsstuaton R C C 2 t Im geometrshen Kontet gesheht ene Transformaton on enem (rehtnklgen) Koordnatensstem n en anderes (rehtnklges)
Stochastische Prozesse
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 2 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 7: (B. Fredmans Urnenmodell)
Grundlagen der Mathematik I Lösungsvorschlag zum 12. Tutoriumsblatt
Mathematsches Insttut der Unverstät München Wntersemester 3/4 Danel Rost Lukas-Faban Moser Grundlagen der Mathematk I Lösungsvorschlag zum. Tutorumsblatt Aufgabe. a De Formel besagt, daß de Summe der umrahmten
Standardnormalverteilung / z-transformation
Standardnormalvertelung / -Transformaton Unter den unendlch velen Normalvertelungen gbt es ene Normalvertelung, de sch dadurch ausgeechnet st, dass se enen Erwartungswert von µ 0 und ene Streuung von σ
Physik A VL11 ( )
Physk A VL11 (0.11.01) Dynamk der Rotatonsbewegung I Kresbewegung und Kräfte Drehmoment und räghetsmoment Kresbewegung und Kräfte en Massepunkt (Schwerpunkt) führt nur ene ranslatonsbewegung aus ausgedehnte
Erläuterungen zur Analyse des Zinssatzswaps Referenz N//83734/5 zwischen der A/B Duegården und der Nykredit Bank A/S
Erläuterungen zur Analyse des Znssatzswaps Referenz 3584455N//83734/5 zwschen der A/B Duegården und der Nykredt Bank A/S 1. Zusammenfassung der Analyse De A/B Duegården und de Nykredt Bank A/S haben am
Informatik II. Minimalpolynome und Implikanten. Minimalpolynome. Minimalpolynome. Rainer Schrader. 27. Oktober Was bisher geschah: Definition
Informatk II Raner Schrader und Implkanten Zentrum für Angewandte Informatk Köln 27. Oktober 2005 1 / 28 2 / 28 Was bsher geschah: jede Boolesche Funkton kann durch enfache Grundfunktonen dargestellt werden
Die Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung am Beispiel eines Modells der Schadenversicherung
am Bespel enes Modells der chadenverscherung Für das Modell ener chadenverscherung se gegeben: s w s. n 4 chaden enes Verscherungsnehmers, wenn der chadenfall entrtt Wahrschenlchket dafür, dass der chadenfall
Lösungen aller Aufgaben und Lernkontrollen
Oft gbt es be den Aufgaben mehr als nur enen rchtgen Lösungsweg. Es st jedoch mest nur ene Lösung dargestellt. Aufgaben u Kaptel Lösung u Aufgabe a) nach Defnton von. b) 4 ( ) ( ). c) 5 4. d) ( ) (( )
Streuungs-, Schiefe und Wölbungsmaße
aptel IV Streuungs-, Schefe und Wölbungsmaße B... Lagemaße von äufgketsvertelungen geben allen weng Auskunft über ene äufgketsvertelung. Se beschreben zwar en Zentrum deser Vertelung, geben aber kenen
Schriftliche Prüfung aus Signaltransformationen Teil: Dourdoumas am
TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk 1 Schrftlche Prüfung aus Sgnaltransformatonen Tel: Dourdoumas am 1. 10. 01 Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrkel-Nummer: 1 errechbare Punkte 4 errechte
Komplexe Zahlen. Teil 2. Darstellung der komplexen Zahlen. als Vektoren mit Polarkoordinaten trigonometrisch oder exponentiell. Eulersche Funktion E
Höhere nalss Komplexe Zahlen Tel Darstellung der komplexen Zahlen als Vektoren mt Polarkoordnaten trgonometrsch oder exponentell Eulersche Funkton E Date Nr. 500 Stand. November 08 FRIEDRICH W. BUCKEL
Äquivalenzen stetiger und glatter Hauptfaserbündel
Äquvalenzen stetger und glatter Hauptfaserbündel Chrstoph Müller Chrstoph Wockel Fachberech Mathematk Unverstät Darmstadt 31. Süddeutsches Kolloquum über Dfferenzalgeometre Glederung 1 De Problemstellung
Übersicht der Vorlesung
Überscht der Vorlesung. Enführung. Bldverarbetung 3. Morphologsche Operatonen 4. Bldsegmenterung 5. Merkmale von Objekten 6. Klassfkaton 7. Dredmensonale Bldnterpretaton 8. Bewegungsanalyse aus Bldfolgen
Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e
Andere Darstellungsformen für de Ausfall- bzw. Überlebens-Wahrschenlchket der Webull-Vertelung snd we folgt: Ausfallwahrschenlchket: F ( t ) Überlebenswahrschenlchket: ( t ) = R = e e t t Dabe haben de
nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen
arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren Verfahren zur Analyse nomnalskalerten Daten Thomas Schäfer SS 009 1 arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren nonparametrsche Tests werden auch vertelungsfree
3.3 Lineare Abbildungen und Matrizen
33 LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 87 33 Lneare Abbldungen und Matrzen Wr wollen jetzt de numersche Behandlung lnearer Abbldungen zwschen Vektorräumen beschreben be der vorgegebene Basen de Hauptrolle
Übungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Lösungen. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression Die Lösungen
Übungsklausur Wahrschenlchket und Regresson De Lösungen. Welche der folgenden Aussagen treffen auf en Zufallsexperment zu? a) En Zufallsexperment st en emprsches Phänomen, das n stochastschen Modellen
16. Vorlesung Sommersemester
16. Vorlesung Sommersemester 1 Das Egenwertproblem In allgemener Form hat das Egenwertproblem de Form A x = λ x, (1) wobe A ene n n-matrx, x en n-dmensonaler Vektor und λ der Egenwert st (n Englsch: egenvector,
Dynamik starrer Körper
Dynamk starrer Körper Bewegungen starrer Körper können n Translaton und Rotaton zerlegt werden. De Rotaton stellt enen nneren Frehetsgrad des Körpers dar, der be Punktmassen ncht exstert. Der Schwerpunkt
ERP Cloud Tutorial. E-Commerce ECM ERP SFA EDI. Backup. Preise erfassen. www.comarch-cloud.de
ERP Cloud SFA ECM Backup E-Commerce ERP EDI Prese erfassen www.comarch-cloud.de Inhaltsverzechns 1 Zel des s 3 2 Enführung: Welche Arten von Presen gbt es? 3 3 Beschaffungsprese erfassen 3 3.1 Vordefnerte
wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung:
Streuungswerte: 1) Range (R) ab metrschem Messnveau ) Quartlabstand (QA) und mttlere Quartlabstand (MQA) ab metrschem Messnveau 3) Durchschnttlche Abwechung (AD) ab metrschem Messnveau 4) Varanz (s ) ab
Noethertheorem. 30. Januar 2012
Noethertheorem 30. Januar 2012 1 Inhaltsverzechns 1 Symmetre 3 1.1 Symmetre n der Geometre................... 3 1.2 Symmetre n der Mathematk.................. 3 1.3 Symmetre n der Physk.....................
1. März Korrektur
nsttut für Technsche und Num. Mechnk Technsche Mechnk V Prof. Dr.-ng. Prof. E.h. P. Eberhrd WS 010/11 K 1. März 011 Klusur n Technscher Mechnk V Nchnme Vornme Aufgbe 1 (6 Punkte) n enem bestmmt gelgerten
Baudynamik und Erdbebeningenieurwesen
Baudynamk und Erdbebenngeneurwesen Themen und Antworten für de Lzenzprüfung 1. Defneren Se den Begrff: Grad des dynamschen Frehetsgrads. Geben Se Bespele von Systemen mt enem enzgen Grad des dynamschen
z.b. Münzwurf: Kopf = 1 Zahl = 2 oder z.b. 2 Würfel: Merkmal = Summe der Augenzahlen, also hier: Bilde die Summe der Augenzahlen der beiden Würfel!
Aufgabe : Vorbemerkung: Ene Zufallsvarable st ene endeutge Funkton bzw. ene Abbldungsvorschrft, de angbt, auf welche Art aus enem Elementareregns ene reelle Zahl gewonnen wrd. x 4 (, ) z.b. Münzwurf: Kopf
Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com.
Verfahren für de Polygonalserung ener Kugel Eldar Sultanow, Unverstät Potsdam, sultanow@gmal.com Abstract Ene Kugel kann durch mathematsche Funktonen beschreben werden. Man sprcht n desem Falle von ener
Vorlesung 3 Differentialgeometrie in der Physik 13
Vorlesung 3 Dfferentalgeometre n der Physk 13 Bemerkung. Ist M Manngfaltgket, p M und φ : U R n Karte mt p U, so nennt man U auch Koordnatenumgebung und φ auch Koordnatensystem n p. Bespel 2.4 Seen R >
Fourier-Analyse der Dreiecke
Fourer-nalse der reecke reecke als Punkte-Trpel Zunächst sollen be reecken nur de ckpunkte berückschtgt werden ncht aber de Seten Jedes reeck lässt sch dann als Trpel von Punkten beschreben, wobe de Punkte
Theoretische Physik II Elektrodynamik Blatt 2
PDDr.S.Mertens M. Hummel Theoretsche Physk II Elektrodynamk Blatt 2 SS 29 8.4.29 1. Rechnen mt Nabla. Zegen Se durch Auswertung n kartesschen Koordnaten de folgende Relaton und werten Se de anderen Relatonen
Protokoll zu Versuch C1-Mischungsvolumina
Protokoll zu Prnz: De sezfschen Mschungsvolumna ener Lösung werden durch auswegen fester Flüssgketsvolumna bekannter Lösungszusammensetzungen mt Hlfe von Pyknometern bestmmt. Theoretsche Grundlagen: Um
4 Die geometrische Darstellung der komplexen
4 De geometrsche Darstellung der komplexen Zahlen Mt komplexen Zahlen kann man rechnen we mt gewöhnlchen Zahlen. Man kann mt hnen alle quadratschen Glechungen lösen. Aber das st be wetem ncht alles: Komplexe
2 Zufallsvariable und Verteilungen
Zufallsvarable und Vertelungen 7 Zufallsvarable und Vertelungen Wr wollen uns jetzt mt Zufallsexpermenten beschäftgen, deren Ausgänge durch (reelle) Zahlen beschreben werden können, oder be denen man jedem
Elemente der Mathematik - Sommer 2016
Elemente der Mathematk - Sommer 2016 Prof Dr Matthas Lesch, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 3 Aufgabe 9 (10 Punkte) Das Horner-Schema st ene Methode zum Auswerten enes Polynoms n a0 x an der Stelle s
Bedingte Entropie. Bedingte Entropie. Bedingte Entropie. Kapitel 4: Bedingte Entropie I(X;Y) H(X Y) H(Y) H(X) H(XY)
Bedngte Entrope Kaptel : Bedngte Entrope Das vorherge Theorem kann durch mehrfache Anwendung drekt verallgemenert werden H (... H ( = Ebenso kann de bedngt Entrope defnert werden Defnton: De bedngte Entrope
NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher.
PV - Hausaugabe Nr. 7.. Berechnen Se eakt und verglechen Se de Werte ür de Nullstelle, de mttels dem Verahren von Newton, der Regula als und ener Mttelung zu erhalten snd von der! Funkton: ( ) Lösungs
Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
RS 24.2.2005 Erwartungswert_Varanz_.mcd 4) Erwartungswert Erwartungswert, Varanz, Standardabwechung Be jedem Glücksspel nteresseren den Speler vor allem de Gewnnchancen. 1. Bespel: Setzen auf 1. Dutzend
Der starre Körper. 1 Grundlagen. Dominik Fauser. 1.1 Denition. 1.2 Freiheitsgrade
Der starre Körper Domnk Fauser 1 Grundlagen 1.1 Denton Als enen starren Körper bezechnet man en System von Massepunkten m, deren Abstände zuenander konstant snd: r j = r r j. Mest betrachtet man ene sehr
Weitere NP-vollständige Probleme
Wetere NP-vollständge Probleme Prosemnar Theoretsche Informatk Marten Tlgner December 10, 2014 Wr haben letzte Woche gesehen, dass 3SAT NP-vollständg st. Heute werden wr für enge wetere Probleme n NP zegen,
Sind die nachfolgenden Aussagen richtig oder falsch? (1 Punkt pro korrekter Beantwortung)
LÖSUNG KLAUSUR STATISTIK I Berufsbegletender Studengang Betrebswrtschaftslehre Sommersemester 016 Aufgabentel I: Theore (10 Punkte) Snd de nachfolgenden Aussagen rchtg oder falsch? (1 Punkt pro korrekter
Der stöchiometrische Luftbedarf einer Reaktion kann aus dem Sauerstoffbedarf der Reaktion und der Zusammensetzung der Luft berechnet werden.
Stoffwerte De Stoffwerte für de enzelnen omponenten raftstoff, Luft und Abgas snd den verschedenen Stellen aus den Lteraturhnwesen zu entnehmen, für enge Stoffe sollen jedoch de grundlegenden Zusammenhänge
Schule für Gitarre. Warm Up. E i n s p i e l ü b u n g e n u n d T e c h n i s c h e S t u d i e n. Linke Hand. Thomas Reuther
RAE R e u t h e r E d t o n s Schule für Gtarre Warm U E n s e l ü b u n g e n u n d T e c h n s c h e S t u d e n Lnke Hand Thomas Reuther www.reuther-edtons.de Zum Gebrauch des Warm U De vorberetenden
Das zum dualen Problem (10.2) gehörige Barriere-Problem lautet analog
60 Kaptel 2. Lneare Optmerung 10 Innere-Punkte-Verfahren Lteratur: Geger, Kanzow, 2002, Kaptel 4.1 Innere-Punkte-Verfahren (IP-Verfahren) oder nteror pont methods bewegen sch m Gegensatz zum Smplex-Verfahren
Fallstudie 1 Diskrete Verteilungen Abgabe: Aufgabentext und Lösungen schriftlich bis zum
Abgabe: Aufgabentext und Lösungen schrftlch bs zum 15. 6. 2012 I. Thema: Zehen mt und ohne Zurücklegen Lesen Se sch zunächst folgenden Text durch! Wr haben bsher Stchprobenzehungen aus Grundgesamtheten
Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09
Ruhr-Unverstät Bochum Lehrstuhl für Kryptologe und IT-Scherhet Prof. Dr. Alexander May M. Rtzenhofen, M. Mansour Al Sawad, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Dskrete Mathematk 1 WS 2008/09 Blatt 7 /
Theoretische Physik 2 (Theoretische Mechanik)
Theoretsche Physk 2 (Theoretsche Mechank Prof. Dr. Th. Feldmann 28. Oktober 2013 Kurzzusammenfassung Vorlesung 4 vom 25.10.2013 1.6 Dynamk mehrerer Massenpunkte Dynamk für = 1... N Massenpunkte mt.a. komplzerter
Änderungen Bis : Personengruppe 101 bei RV-Pflicht Vorgehen im Juli
XBA Personalwesen Flexrentengesetz 2017, Abrechnung von Altersrentnern, Mnjob Zum 01.01.2017 snd Änderungen m Flexrentengesetz n Kraft getreten, mt Folgen für de Abrechnung von weterbeschäftgten Mtarbetern,
Fachbereich Mathematik Prof. K. Grosse-Brauckmann D. Frisch WS 2007/08 10./ Gruppenübung
Fachberech Mathematk Prof. K. Grosse-Brauckmann D. Frsch WS 27/8./.. 6. Übungsblatt zur Lnearen Algebra für Physker Gruppenübung Aufgabe G7 (Kern, Bld, Rang und Orthogonaltät) Gegeben se ene lneare Abbldung
Universität Karlsruhe (TH)
Unverstät Karlsruhe (TH) Forschungsunverstät gegründet 825 Parallele Algorthmen I Augaben und Lösungen Pro. Dr. Walter F. Tchy Dr. Vctor Pankratus Davd Meder Augabe () Gegeben se en N-elementger Zahlenvektor
1.11 Beispielaufgaben
. Bespelaufgaben Darstellung komplexer Zahlen Aufgabe. Man stelle de komplexe Zahl z = +e 5f n algebrascher Form, also als x + y dar. Damt man de Formel für de Dvson anwenden kann, muss zunächst der Nenner
Sei T( x ) die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) im Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ).
Taylorentwcklung (Approxmaton durch Polynome). Problemstellung Se T( x ) de Tangente an den Graphen der Funkton f(x) m Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ). Dann kann man de
Übungen zu Algorithmen
Insttut für Informatk Unverstät Osnabrück, 06.12.2016 Prof. Dr. Olver Vornberger http://www-lehre.nf.uos.de/~anf Lukas Kalbertodt, B.Sc. Testat bs 14.12.2016, 14:00 Uhr Nls Haldenwang, M.Sc. Übungen zu
Kapitel 5 Systeme von Massenpunkten, Stöße
Katel 5 ystee von Massenunkten, töße Drehoente und Drehuls enes Telchensystes O t : z r r r F x r F F F y F F t (acto = reacto) : F t äußeren Kräften F und F und nneren Kräften F = -F Drehoente : D D r
Konkave und Konvexe Funktionen
Konkave und Konvexe Funktonen Auch wenn es n der Wrtschaftstheore mest ncht möglch st, de Form enes funktonalen Zusammenhangs explzt anzugeben, so kann man doch n velen Stuatonen de Klasse der n Frage
I) Mechanik 1.Kinematik (Bewegung)
I)1. Knematk I) Mechank 1.Knematk (Bewegung) 2. Dynamk on Massenpunkten (Enfluss on Kräften) 3. Starre Körper 4.Deformerbare Meden 5. Schwngungen, Wellen, Akustk I)1. Knematk Bewegungslehre (Zel: Quanttate
Dynamisches Programmieren
Marco Thomas - IOI 99 -. Treffen n Bonn - Dynamsches Programmeren - Unverstät Potsdam - 8.02.999 Dynamsches Programmeren 957 R. Bellmann: Dynamc Programmng für math. Optmerungsprobleme Methode für Probleme,.
Übungsblatt 7 Lösungsvorschläge
Insttut für Theoretsche Informatk Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 7 Lösungsvorschläge Vorlesung Algorthmentechnk m WS 09/10 Problem 1: Mnmale Schnttbass Approxmatonsalgos relatver Gütegarante
Klausur Vermessungskunde
Klausur Vermessungskunde Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten (Modulprüfung B.Sc) Frühjahr 017 06.04.017 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Nur für Drttversuche: 1. Prüfer:. Prüfer: Aufgabe 1 4 5 Bestehens
Einbau-/Betriebsanleitung Stahl-PE-Übergang Typ PESS / Typ PESVS Originalbetriebsanleitung Für künftige Verwendung aufbewahren!
Franz Schuck GmbH Enbau-/Betrebsanletung Stahl-PE-Übergang Typ PESS / Typ PESVS Orgnalbetrebsanletung Für künftge Verwendung aufbewahren! Enletung Dese Anletung st für das Beden-, Instandhaltungs- und
Wir steuern einen Mini-Roboter!
Wr steuern enen Mn-Roboter! Telnehmer: Marek Bartusch Cecla Lange Yannck Lehmann Johannes-Lucas Löwe Ncolas Menzel Huong Thao Pham Floran Pogatzk Anne Reulke Jonas Wanke Maran Zuska mt tatkräftger Unterstützung
Induktive Strombegrenzung für AC-gespeiste SGTC mit netzsynchroner rotierender Funkenstrecke
Induktve Strombegrenung für AC-gespeste SGTC mt netsynchroner roterender Funkenstrecke Es wrd von ener SGTC ausgegangen, welche mt ener 5 H-netfrequen-synchron roterenden prmären Funkenstrecke ausgestattet
Manhattan-Metrik anhand des Beispiels
Bestmmung durch Manhattan-Metrk 3 Manhattan-Metrk anhand des Bespels Gesucht werden de zwe Standorte für zwe Ausleferungslager. De Standpunkte der Nachfrager () snd durch de Koordnaten ( x/y ) gegeben.
Physikalisches Anfängerpraktikum Teil 2 Versuch PII 33: Spezifische Wärmekapazität fester Körper Auswertung
Physkalsches Anfängerpraktkum Tel 2 Versuch PII 33: Spezfsche Wärmekapaztät fester Körper Auswertung Gruppe M-4: Marc A. Donges , 060028 Tanja Pfster, 204846 2005 07 spezfsche Wärmekapaztäten.
6 Wandtafeln. 6.3 Berechnung der Kräfte und des Schubflusses auf Wandtafeln. 6.3.1 Allgemeines
6 Wandtafeln 6.3 Berechnung der Kräfte und des Schubflusses auf Wandtafeln 6.3.1 Allgemenes Be der Berechnung der auf de enzelnen Wandtafeln entfallenden Horzontalkräfte wrd ene starre Deckenschebe angenommen.
Regressionsgerade. x x 1 x 2 x 3... x n y y 1 y 2 y 3... y n
Regressonsgerade x x x x 3... x n y y y y 3... y n Bem Auswerten von Messrehen wrd häufg ene durch theoretsche Überlegungen nahegelegte lneare Bezehung zwschen den x- und y- Werten gesucht, d.h. ene Gerade
SS 2017 Torsten Schreiber
SS Torsten Schreber e den Ebenen unterscheden wr de und de prmeterfree Drstellung. Wenn wr ene Ebenenglechung durch dre Punkte bestmmen wollen, so müssen de zugehörgen Vektoren sen, d es sonst nur ene
Mi , Dr. Ackermann Übungsaufgaben Gewöhnliche Differentialgleichungen Serie 13
M. 3. 5-4. 45, Dr. Ackermann 6..4 Übungsaufgaben Gewöhnlche Dfferentalglechungen Sere 3.) Bestmmung ener homogenen Dfferentalglechung zu gegebenen Funktonen y (partkuläre Lösungen) enes Fundamentalsystems.
Multivariate Analysemethoden
Multvarate Analysemethoden q-q-plot Methode zur Prüfung der Multvaraten Normalvertelung Günter Menhardt Johannes Gutenberg Unverstät Manz Prüfung der NV-Annahme Vertelungsanpassung/Prüfung Prüfung der
Die mathematischen Grundlagen der Wellenmechanik
De mathematschen Grundlagen der Wellenmechank Zustände und deren Darstellung En physkalsches System wrd durch enen Zustand u charaktersert, ndem es durch ene bestmmte expermentelle Präparaton gebracht
Komplexe Zahlen. Roger Burkhardt 2008
Komplexe Zahlen Roger Burkhardt (roger.burkhardt@fhnw.ch) 008 Enführung De Unvollkommenhet des Körpers der reellen Zahlen N 1,,,,... snd sowohl { } In der Menge der natürlchen Zahlen Addton we Multplkaton
Kreisel. koerperfestes KS. z y. raumfestes KS. Starrer Körper: System von Massepunkten m i, deren Abstände r i r j untereinander konstant sind.
Kresel z y koerperfestes KS z y x raumfestes KS x Starrer Körper: System von Massepunkten m, deren Abstände r r j unterenander konstant snd. Der Zustand läßt sch beschreben durch: Poston des Schwerpunktes,
Gruppe. Lineare Block-Codes
Thema: Lneare Block-Codes Lneare Block-Codes Zele Mt desen rechnerschen und expermentellen Übungen wrd de prnzpelle Vorgehenswese zur Kanalcoderung mt lnearen Block-Codes erarbetet. De konkrete Anwendung
Lineare Optimierung Einführung
Kaptel Lneare Optmerung Enführung B... (Dre klasssche Anwendungen) Im Folgenden führen wr de ersten dre klassschen (zvlen) Anwendungen der lnearen Optmerung an: BS... (Produktonsplanoptmerung) En Betreb
Hefte zur Logistik Prof. Dr. Siegfried Jetzke. Heft 1 Begriffsdefinitionen
Hefte zur Logstk Prof. Dr. Segfred Jetzke Heft 1 Begrffsdefntonen Jun 2010 Deses Heft st urheberrechtlch geschützt. Wenn Se de Quelle angeben, können Se gerne deses Heft wetergeben, Tele koperen oder aus
Die kanonische Zustandssumme (System) und ihr Zusammenhang mit der molekularen Zustandssumme (Einzelmolekül) unterscheidbare Teilchen:
De molekulare Zustandssumme βε = e mt β = De kanonsche Zustandssumme (System) und hr Zusammenhang mt der molekularen Zustandssumme (Enzelmolekül) unterschedbare elchen: Q = ununterschedbareelchen Q : =!
MOD-01 LAGRANGE FORMALISMUS -- TEIL 1
MOD- LAGRAGE FORMALISMUS -- EIL. Zustandsfunktonen Defnton -: Zustandsfunkton Ene Zustandsfunkton W( () t, t) = W(, t) bzw. W ( ) st jede belebge skalare Funkton der Zustandsgrößen () t und der Zet t,
Lineare Regression (1) - Einführung I -
Lneare Regresson (1) - Enführung I - Mttels Regressonsanalysen und kompleeren, auf Regressonsanalysen aserenden Verfahren können schenar verschedene, jedoch nenander üerführare Fragen untersucht werden:
Die Jordansche Normalform
De Jordansche Normalform Danel Hug 29. Aprl 211 KIT Unverstät des Landes Baden-Württemberg und natonales Forschungszentrum n der Helmholtz-Gemenschaft www.kt.edu 1 Zerlegung n Haupträume 2 Fazt und nächstes
Trägheitsmoment und Drehschwingung. Die kinetische Energie des Massepunktes ist (4)
M5 Phskalsches Praktkum Träghetsmoment und Drehschwngung Das Träghetsmoment unterschedlcher starrer Körper soll nach der Schwngungsmethode gemessen werden. De Ergebnsse snd mt den aus Geometre und Masse