Regressionsmodelle für Zähldaten in SAS

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1 Generalserte lneare Modelle n SAS Regressonsmodelle für Zähldaten n SAS Ralf Mnkenberg Boehrnger Ingelhem Pharma GmbH & Co. KG Bnger Str Ingelhem ralf.mnkenberg@boehrnger-ngelhem.com Zusammenfassung De Analyse von Häufgketen oder ähnlchen Zähldaten st en n velen Berechen häufg anzutreffendes Problem, für das auch nnerhalb von SAS velfältge Modelle angeboten werden. Im folgenden werden de verschedenen Modelle anhand von medznschen Bespeldaten vorgestellt und mtenander verglchen. Sowohl verschedene Möglchketen der Modellwahl als auch statstsche Tests zur Unterstützung werden vorgestellt. De verschedenen Regressonsmodelle snd n verschedenen SAS-Prozeduren aufrufbar und de entsprechende Syntax sowe de zugehörge Ausgabe werden erläutert. Schlüsselwörter: Regresson, Zähldaten, Posson-Vertelung, Over-Dsperson 1 Zähldaten In velen Anwendungsberechen werden wederkehrende Eregnsse beobachtet, deren Abhänggket von verschedenen Faktoren modellert werden soll. Zunächst st herbe nur de Zet bs zum ersten Auftreten deses Eregnsses von Interesse. Mt Hlfe verschedener Ansätze nnerhalb der Überlebenszetanalyse lässt sch dese Fragestellung beantworten. Ist jedoch ncht de Zet bs zum ersten Auftreten enes Eregnsses von Interesse und recht es auch ncht aus, nur das Auftreten oder Ncht-Auftreten enes Eregnsses (unabhängg von dessen Häufgket) zu analyseren, können Modelle zur Analyse von Zähldaten zur Anwendung kommen. Be desen Modellen wrd de Anzahl, mt der en bestmmtes Eregns auftrtt, n Abhänggket von enem oder mehreren Faktoren analysert. Es werden Regressonsmodelle angewandt, be denen de Häufgket des Eregnsses als abhängge Größe ns Modell engeht. Bespele für Zähldaten lassen sch n velen Berechen fnden. Bespelswese kann n der Medzn de Abhänggket der Anzahl Krankenhausaufenthalte enes beobachteten Patentenkollektvs n Abhänggket von demographschen, sozo-ökonomschen und medznschen Merkmalen betrachtet werden. Auch de Analyse der Anzahl bestmmter unerwünschter Eregnsse n ener klnschen Stude n Abhänggket von der Behandlung und weterer Kovarablen st denkbar. Im Verscherungswesen kann zum Bespel versucht werden, de Anzahl an Schadensfällen anhand weterer Varablen mt Hlfe von Zähldatenmodellen zu erklären. Ähnlche Analysen snd m Bankwesen bespelswese be der Anzahl an ncht zurückgezahlten Kredtraten verwendbar. 157

2 R. Mnkenberg De folgenden Modellanpassungen und -vergleche baseren auf enem Bespel aus ener mehrjährgen klnschen Stude, n der kardovaskuläre Rskopatenten beobachtet und präventv behandelt wurden. De Gesamtanzahl an Krankenhausaufenthalten nnerhalb der ca. fünfjährgen Beobachtungszet wrd m folgenden n Abhänggket von der Behandlung ( Verum oder Placebo ) betrachtet. Ene Verallgemenerung auf mehrere Enflussgrößen st problemlos möglch. In der Stude ergab sch ene mttlere Zahl an Krankenhausaufenthalten von 1,5 (SD: 2,5) be Placebo-Patenten und von 0,8 (SD: 2,1) be Verum-Patenten. De kumulatven Häufgketen snd n Abbldung 1 dargestellt kum. Häufgket [%] Placebo Verum f ( Y = y X ) Abbldung 1: Kumulatve Häufgketen der Anzahl Krankenhausaufenthalte 2 Posson-Regresson: en enfaches Standardmodell Be der Analyse von Zähldaten fndet zunächst mestens en Modell auf Bass der Posson-Vertelung Anwendung. Es wrd dabe angenommen, dass jede beobachtete Häufgket y ener Posson-Vertelung mt bedngtem Mttelwert µ abhängg von Werten X für ene Beobachtung entstammt. Des bedeutet also: Anzahl Krankenhausaufenthalte = e µ µ y y! Für de Posson-Vertelung, oft auch als Vertelung der seltenen Eregnsse genannt, glt, dass Mttelwert und Varanz glech snd: µ = E(y ) = Var(y ). 158

3 Generalserte lneare Modelle n SAS Ene graphsche Darstellung verschedener Posson-Vertelungen st n Abbldung 2 zu fnden. Abbldung 2: Verschedene Posson-Vertelungen Für de beobachteten Häufgketen wrd nun ene Regressonsanalyse unter Annahme ener Posson-Vertelung für de abhängge Varable durchgeführt. In SAS stehen verschedene Prozeduren für ene solche Regressonsanalyse zur Verfügung. Mt PROC GENMOD seht en entsprechender Aufruf folgendermaßen aus: proc genmod data=daten; class treat; model count = treat / dst=posson lnk=log; output out = po_out predcted = p; run; Der entsprechende Output deses Programms lefert unter anderem folgende Ergebnsse: Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Full Log Lkelhood AIC (smaller s better) AICC (smaller s better) BIC (smaller s better) Algorthm converged. 159

4 R. Mnkenberg De beden fett hervorgehobenen Werte be Devance und Pearson Ch-Square geben an, ob de Annahme der Glechhet von Mttelwert und Varanz erfüllt st oder ncht. Wären geschätzte Mttelwert und Varanz der beobachteten Daten glech, so sollten dese Werte = 1 sen. Dese Annahme st be den Bespeldaten (und n sehr velen realen Stuatonen) ncht erfüllt. Später werden Lösungen für dese sog. Over-Dsperson dskutert. Der Enfluss der unabhänggen Varablen m Modell lässt sch aus folgendem Tel des Outputs erkennen: Analyss Of Parameter Estmates Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr > ChSq Intercept <.0001 TREAT Scale NOTE: The scale parameter was held fxed. Mt der m SAS/ETS-Modul beretgestellten Prozedur COUNTREG kann ene Posson- Regressonsanalyse besonders enfach programmert werden: proc countreg data=daten; model count = treatn / dst=posson; run; Der zugehörge Output lefert de glechen Ergebnsse: The COUNTREG Procedure Model Ft Summary Dependent Varable COUNT Number of Observatons 5926 Data Set WORK.DATEN Model Posson Log Lkelhood Maxmum Absolute Gradent E-7 Number of Iteratons 4 Optmzaton Method Newton-Raphson AIC SBC

5 Generalserte lneare Modelle n SAS Algorthm converged. Parameter Estmates Standard Approx Parameter DF Estmate Error t Value Pr > t Intercept TREATN Berückschtgung unterschedlcher Beobachtungszeten Ene verbesserte Anpassung der beobachteten Zähldaten st oft möglch, wenn de verschedenen Beobachtungszeten mt m Modell berückschtgt werden. Da n der vorlegenden Bespelstude de gesamte Beobachtungszet über fünf Jahre betragen konnte, ene zu beachtende Anzahl von Patenten jedoch ncht de gesamte Zet an der Stude telnahmen, schen des auch her snnvoll. De Berückschtgung enes solchen Offsets abhängg von der tatsächlchen Beobachtungsdauer jedes Patenten lässt sch n beden m vorgen Kaptel beschrebenen Prozeduren mttels der Opton OFFSET= m MODEL-Befehl verwrklchen. Als Offset wrd mestens ncht de orgnale Beobachtungszet, sondern deren Logarthmus benutzt. Der Prozeduraufruf und Output für PROC GENMOD (für COUNTREG entsprechend analog) seht dann so aus: proc genmod data=daten; class treat; model count = treat / offset=logfu dst=posson lnk=log; run; Output: Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Full Log Lkelhood AIC (smaller s better) AICC (smaller s better) BIC (smaller s better) Algorthm converged. 161

6 R. Mnkenberg Analyss Of Parameter Estmates Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr > ChSq Intercept <.0001 TREAT Scale NOTE: The scale parameter was held fxed. Es st klar zu erkennen, dass unter dem her verwendeten (realstschen) Modell de Annahme der Glechhet von Mttelwert und Varanz verletzt st. De Güte der Anpassung der verwendeten Modelle an de tatsächlch beobachteten Daten lässt sch graphsch gut überprüfen. Es werden dazu de beobachteten und de unter der Modellannahme zu erwartenden kumulerten Häufgketen dargestellt. Für de vorlegenden Daten st des n Abbldung 3 zu sehen. 4 Over-Dsperson Be den Analysen der Bespeldaten fällt auf, dass de Annahme der Glechhet von Mttelwert und Varanz, we be der Posson-Vertelung gefordert, deutlch verletzt st. Deses Phänomen, welches n velen Bespelen zur Posson-Regressonsanalyse beobachtet wrd, bezechnet man als Over-Dsperson. Es st zunächst relatv enfach möglch, mttels enes statstschen Tests zu überprüfen, ob Over-Dsperson vorlegt oder ncht. Cameron und Trved (1996) schlagen ene OLS-Regresson (OLS: Ordnary Least Square) folgender Art vor: ( y ) µ 2 µ y = αµ + e Herbe se µ Exp(X,β)-vertelt und e bezechnet den Fehlerterm. Mt folgendem klenen SAS-Programm kann deser Test durchgeführt werden: data ols; set po_out; dep = ((count - p) ** 2 - count) / p; run; proc reg data=ols; model dep = p / nont; run; 162

7 Generalserte lneare Modelle n SAS Abbldung 3: Verglech von beobachteten und theoretschen Wahrschenlchketen Unter Verwendung der Bespeldaten ergeben sch für de Modelle ohne und mt Offset folgende Outputs: Posson-Regresson Parameter Estmates Parameter Standard Varable Label DF Estmate Error t Value Pr > t P Predcted Value <.0001 Posson-Regresson mt Offset Parameter Estmates Parameter Standard Varable Label DF Estmate Error t Value Pr > t P Predcted Value

8 R. Mnkenberg Bede Tests zegen, dass de Annahme von glechem Mttelwert und Varanz ncht erfüllt st. 5 Posson-Regresson mt Dspersonsparameter Das Problem der Over-Dsperson kann gelöst werden, ndem en sog. Dspersonsparameter φ engeführt wrd, für den glt: Var(y ) = φ µ Im SAS-Output st deser Wert φ über den Scale-Parameter zu berechnen, da deser glech φ st. In SAS können nun sowohl der unter Devance als auch der unter Pearson Ch- Square angegebene Wert = 1 gesetzt werden, um en Modell mt Dspersonsparameter zu berechnen. De beden entsprechenden Optonen zum MODEL-Befehl lauten DSCALE bzw. PSCALE. De Outputs be Verwendung beder Optonen sehen folgendermaßen aus: Output mt DSCALE: Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Full Log Lkelhood AIC (smaller s better) AICC (smaller s better) BIC (smaller s better) Algorthm converged. Analyss Of Parameter Estmates Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr > ChSq Intercept <.0001 TREAT

9 Scale Generalserte lneare Modelle n SAS NOTE: The scale parameter was estmated by the square root of DEVIANCE/DOF. Output mt PSCALE: Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Full Log Lkelhood AIC (smaller s better) AICC (smaller s better) BIC (smaller s better) Algorthm converged. Analyss Of Parameter Estmates Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr > ChSq Intercept <.0001 TREAT Scale NOTE: The scale parameter was estmated by the square root of Pearson's Ch-Square/DOF. Be beden Modellen verändert sch der p-wert aufgrund des größeren Standardfehlers des Schätzers für de Behandlung von unterhalb 0,05 auf Werte oberhalb 0,05. Leder snd n der Lteratur kene Hnwese zu fnden, wann welche der beden Optonen snnvoller st. Aufgrund der recht deutlchen Unterschede n den Ergebnssen snd nähere Untersuchungen her scherlch notwendg. 165

10 R. Mnkenberg 6 Negatve Bnomal-Regresson Neben den n den bshergen Kapteln vorgestellten Modellen auf Bass ener Posson- Vertelung können auch andere Vertelungsannahmen zugrunde gelegt werden, de oft ene größere Flexbltät haben. Häufg kann ene Regressonsanalyse auf Bass ener negatven Bnomalvertelung snnvoll sen. In desem Modell wrd der Zusammenhang zwschen Mttelwert und Varanz flexbler dargestellt: Var(y ) = µ + k µ 2 Dese Bezehung berückschtgt u.a. auch Over-Dsperson. Ene graphsche Darstellung verschedener Posson-Vertelungen st n Abbldung 4 zu fnden. Abbldung 4: Verschedene negatv bonomal-vertelungen Innerhalb der Prozedur GENMOD n SAS können solche Modelle analysert werden: proc genmod data=daten; class treat; model count = treat / offset=logfu dst=nb lnk=log; run; Der Output seht we folgt aus: Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood

11 Full Log Lkelhood AIC (smaller s better) AICC (smaller s better) BIC (smaller s better) Algorthm converged. Analyss Of Parameter Estmates Generalserte lneare Modelle n SAS Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr > ChSq Intercept <.0001 TREAT Scale NOTE: The negatve bnomal dsperson parameter was estmated by maxmum lkelhood. Abbldung 5: Verglech von beobachteten und theoretschen Wahrschenlchketen Auch n desem Modell kann ken Untersched zwschen den beden Behandlungen nachgewesen werden. De Ergebnsse ähneln daher denen der Posson-Regresson mt Dspersonsparameter. De Güte der Anpassung lässt sch erneut graphsch veranschaulchen (Abbldung 5). 167

12 R. Mnkenberg 7 Zwestufge Regressonsmodelle Neben dem Problem der Over-Dsperson trtt be velen Analysen von Zähldaten en weteres Problem auf. Da sehr häufg negatve Eregnsse (Krankheten, Schadensfälle, ) beobachtet werden, st der Antel von Beobachtungen ohne en enzges aufgetretenes Eregns oft überproportonal groß. Deses gehäufte Auftreten von kenem Eregns kann n spezellen Modellen berückschtgt werden. Als Bespel solcher mestens zwestufger Modelle sollen her de Hurdle-Regresson und de Zero-nflated Regresson kurz vorgestellt werden. 7.1 Hurdle-Regresson Das zwestufge Regressonsmodell der Hurdle-Regresson modellert de Wahrschenlchket, ob = 0 oder 0 Eregnsse auftreten, mttels ener Bnomalvertelung. Für postve Anzahlen an Eregnssen wrd ene Posson-Vertelung angenommen. De entsprechende Dchtefunkton lautet also: 168 f ( Y = y X = x ) = ( 1 Θ ) mt θ = P (y = 0) und µ = Exp(X, β). Θ e µ µ ( 1 e ) y µ y! y y = 0 > 0 In SAS snd solche Modelle mt den Prozeduren NLMIXED, MODEL oder NLIN analyserbar. Im folgenden st bespelhaft en entsprechendes Programm für NLMIXED angegeben: proc nlmxed data=daten; parms a0=0 a1=0 b0=0 b1=0; eta0 = a0 + a1 * treatn; exp_eta0 = exp(eta0); p0 = exp_eta0 / (1 + exp_eta0); etap = b0 + b1 * treatn; exp_etap = exp(etap); f count eq 0 then ll = log(p0); else ll = log(1 - p0) - exp_etap + count * etap - lgamma(count + 1) - log(1 - exp(-exp_etap)); model count ~ general(ll); predct exp_etap out=_hdl1(keep=pred count rename=(pred=yhat)); predct p0 out=_hdl2(keep=pred rename=(pred=p0)); run; De beden Stufen des Modells müssen nnerhalb der Prozedur entsprechend der Modellvorgaben mt entsprechenden Befehlen beschreben werden. Für de Bespeldaten ergbt sch dann folgender Output:

13 Generalserte lneare Modelle n SAS Ft Statstcs -2 Log Lkelhood AIC (smaller s better) AICC (smaller s better) BIC (smaller s better) Parameter Estmates Standard t Parameter Estmate Error DF Value Pr > t Lower Upper Gradent a a b < b kum. Wahrschenlchket beobachtet Hurdle Anzahl Hosptalserungen Abbldung 6: Verglech von beobachteten und theoretschen Wahrschenlchketen De graphsche Gegenüberstellung von beobachteten mt theoretsch erwarteten Häufgketen n Abbldung 6 zegt, dass für de Bespeldaten kene überzeugende Anpassung mttels ener Hurdle-Regresson möglch st. 169

14 R. Mnkenberg 7.2 Zero-nflated Regresson Auch de Zero-nflated Regresson st en zwestufges Modell. Für jede Beobachtung wrd en Prozess 1 mt ener Wahrschenlchket ϕ gewählt. Deser Prozess generert nur de Anzahl 0. En weterer Prozess 2 wrd mt Wahrschenlchket 1 ϕ gewählt. Deser kann als Posson- oder negatv-bnomal-modell gewählt werden: g(y ) st her negatv-bnomal x ) = ϕ + ( 1 ϕ ) ( 0) ( 1 ϕ ) g( y ), y 0 P( y = 0 X = g P( y X x ) = > = Posson- oder vertelt. Auch her st bespelhaft en entsprechender Prozeduraufruf von NLMIXED wedergegeben: proc nlmxed data=daten; parms a0=0 a1=0 b0=0 b1=0; eta0 = a0 + a1 * treatn; exp_eta0 = exp(eta0); p0 = exp_eta0 / (1 + exp_eta0); etap = b0 + b1 * treatn; exp_etap = exp(etap); f count eq 0 then ll = log(p0 + (1-p0)*exp(-exp_etap)); else ll = log(1 - p0) - exp_etap + count * etap - lgamma(count + 1); model count ~ general(ll); predct exp_etap out=_z1(keep=pred count rename=(pred=yhat)); predct p0 out=_z2(keep=pred rename=(pred=p0)); run; Für de Bespeldaten snd de Ergebnsse denen be der Hurdle-Regresson angegebenen sehr ähnlch. 8 Verglech der verschedenen Modelle Um für vorhandene Beobachtungen de beste Anpassung zu fnden, sollten de verschedenen Modelle mtenander verglchen werden. Durch den graphschen Verglech der beobachteten mt den theoretsch erwarteten Häufgketen können erste Aufschlüsse über de Güte der Anpassung enes bestmmten Modells erhalten werden. Objektvere Möglchketen, verschedene Modellanpassungen zu bewerten, ergeben sch über das AIC (Akake-Informatonskrterum), welches be allen Modellen n SAS angegeben wrd. In Tabelle 1 snd für de n den vorgen Kapteln vorgestellten Modellen de AIC- Werte sowe p-wert und Log-Lkelhood-Wert angegeben. 170

15 Generalserte lneare Modelle n SAS Tabelle 1: Verglech verschedener Regressonsmodelle Modell p-wert Log-Lkelhood AIC Posson 0, Posson mt Offset 0, Dsperson 0, Negatv bnomal 0, Hurdle 0, Zero-nflated 0, En gegebener AIC-Wert steht für ene bessere Modellanpassung je klener der AIC- Wert st. Für de gegebenen Bespeldaten zegt sch aus den Tabellenzahlen, dass das Posson-Regressonsmodell mt Dsperson de beste Anpassung zegt und somt her zur Analyse gewählt werden sollte. 9 Zusammenfassung Für de Analyse von Zähldaten fnden sch verschedene Möglchketen der Regressonsanalyse. Im konkreten Fall muss daher de beste Anpassung an vorhandene Daten gefunden werden. Als spezelle Probleme müssen Over-Dsperson und häufges Auftreten von Nullwerten entsprechend beachtet werden. In SAS stehen verschedene Prozeduren zur Analyse von Zähldaten zur Verfügung, z.b. COUNTREG, NLMIXED, GENMOD, MODEL, u.a. Jedoch snd ncht alle Regressonsmodelle n jeder Prozedur durchzuführen, gerade komplexere zwestufge Regressonsmodelle erfordern enen gewssen Programmeraufwand. En Verglech verschedener Modelle sollte sowohl graphsch als auch über Werte we Log-Lkelhood und AIC durchgeführt werden. Ene Bevorzugung für bestmmte Modelle kann ncht ausgesprochen werden, je nach Art der Daten muss entsprechend entscheden werden. Lteratur [1] Lambert, D. (1992), Zero-Inflated Posson Regresson, wth an Applcaton to Defects n Manufacturng, Technometrcs, Vol. 34, No. 1, [2] Lu W., Cela J. (2008), Count Data Models n SAS, Proceedngs of the SAS Global Forum. Paper [3] Mullahy, J. (1986), Specfcaton and Testng of Some Modfed Count Data Models, Journal of Econometrcs, 33, [4] Pedan, A. (2001), Analyss of Count Data Usng the SAS System, Proceedngs of the 26 th Annual SAS Users Group Internatonal Conference. Paper [5] Cameron A.C., Trved P.K. (1998), Regresson Analyss of Count Data, New York: Cambrdge Unversty Press. 171

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