Netzplantechnik. Prof. Dr. rer. nat. Thomas Morgenstern Februar nur für den Gebrauch zu Studienzwecken, Vervielfältigung vorbehaltlich

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1 Netzplantechnik Prof. Dr. rer. nat. Thomas Morgenstern Februar nur für den Gebrauch zu Studienzwecken, Vervielfältigung vorbehaltlich

2 Inhaltsverzeichnis 1 Projektmanagement Projekte Definitionen Beispiele Projekt Phasen Projektidee, Initialisierung Projektdefinition Projektorganisation Projektplan Weitere Schritte Erfolgsfaktoren des Projektmanagements Netzplantechnik Projektanalyse und Strukturplanung Projektstrukturplan Vorgangsliste Anordnungsbeziehungen Netzpläne Gliederung Darstellung Zeitrechnung Dauern Zeitpunkte Puffer Kritischer Weg Zeitrechnung beim Vorgangsknotennetzplan Berechnung Output Critical Path Method CPM-Zeitplanung i

3 Kapitel 1 Projektmanagement 1.1 Projekte Ein Projekt zeichnet sich aus durch: einen Auftraggeber, ein definiertes Ziel, einen Projektleiter, eine spezielle Organisation (Projektgruppe, Arbeitsgruppen, usw.), eine spezielle Planung (Zeitplanung, Ressourcen-, usw.), zeitliche Begrenzung, eine gewisse Einmaligkeit, es kann in Teilprojekte untergliedert werden, es ist i.d.r. mit einem Risiko behaftet, es erfordert die Zusammenarbeit mehrerer Spezialisten aus unterschiedlichen Bereichen. 1

4 2 KAPITEL 1. PROJEKTMANAGEMENT Definitionen Definition nach DIN 69901: Definition Ein Projekt ist ein Vorhaben, bei dem innerhalb einer definierten Zeitspanne ein definiertes Ziel erreicht werden soll, und das sich dadurch auszeichnet, dass es im Wesentlichen ein einmaliges Vorhaben ist, das im wesentlichen gekennzeichnet ist durch: die Einmaligkeit der Bedingungen (Einmaligkeit der Aufgabe) eine definierte Zielvorgabe Begrenzungen zeitlicher, finanzieller, personeller und anderer Art Abgrenzung gegenüber anderen Vorhaben eine spezifische Organisation. Definition nach Project Management Body of Knowledge des amerikanischen Projekt Management Institute: Definition Ein Projekt ist ein zeitlich begrenztes Unternehmen, das unternommen wird, um ein einmaliges Produkt, eine Dienstleistung oder ein Ergebnis zu erzeugen. Definition nach Competende Baseline der International Project Management Association (IPMA): Definition Ein Projekt ist eine einmalige Gesamtheit von koordinierten Aktivitäten mit bestimmten Anfangsund Endpunkten, die von einer Person oder Organisation mit dem Ziel durchgeführt werden, bestimmte Termin-, Kosten- und Leistungsziele zu erreichen. Definition nach Bernd J. Madauss: Definition Projekte sind Vorhaben mit definiertem Anfang und Abschluss, die durch die Merkmale zeitliche Befristung, Einmaligkeit, Komplexität und Neuartigkeit gekennzeichnet sind.

5 1.1. PROJEKTE Beispiele Beispiel Beispiele für Projekte Bauprojekt, Investitionsprojekt, Organisationsprojekt Forschungs- und Entwicklungsprojekt (z.b. Seeweg nach Indien 1492, Software-Eigenentwicklung, Versuchsprojekt / Prototyp, Flug zum Mars), Wartungsprojekte, Unterstützungsprojekte Bachelorarbeit / Studium. Circa die Hälfte aller Softwareprojekte entfällt auf die Individualentwicklung von IT-Anwendungssystemen. Die restlichen ca. 50 Prozent entfallen auf die Einführung von Standard-Anwendungssoftware und IT-Projekte zur Geschäftsprozessoptimierung. Beispiel (Gal & Gehring). Bau einer Garage Vor dem Gießen der Fundamente, was insgesamt 2 Tage erfordert, müssen die Fundamente ausgehoben werden, was einen Tag dauert. Mit der Verlegung der elektrischen Erdleitungen, was 2 Tage dauert, kann bereits einen

6 4 KAPITEL 1. PROJEKTMANAGEMENT Tag nachdem mit dem Gießen der Fundamenten begonnen wurde angefangen werden. Mit der Errichtung der Mauern kann frühestens einen Tag nach der Fertigstellung der Fundamente begonnen werden, was 3 Tage dauert. Auf die Mauern wird das Garagendach gesetzt. Die Deckung des Dachs erfordert 2 Tage und sollte aus qualitativen Gründen (Nässe) spätestens 2 Tage nach der Fertigstellung der Mauern erfolgen. Nach Verlegung der Erdleitungen und der Fertigstellung der Mauern kann der Boden betoniert werden, was 3 Tage dauert. Allerdings sollten die fertigen Mauern zuvor mindestens einen Tag trocknen. Zum Einsetzen des Garagentors braucht man einen Tag und kann direkt nach der Fertigstellung des Dachs beginnen. Der Innenputz benötigt einen Tag und kann nach Fertigstellung des Bodens und dem Einsetzen des Tors aufgebracht werden. Allerdings sollte der Boden zuvor mindestens einen Tag geruht haben. Auch der Außenputz kann auf die Mauern aufgebracht werden, nachdem das Tor eingesetzt wurde. Es werden dafür 2 Tage benötigt; allerdings sollte mit dieser Arbeit höchstens 4 Tage nach der Errichtung der Mauern begonnen werden. Nach den Putzarbeiten kann zuletzt das Tor gestrichen werden, was einen Tag dauert. Beispiel (vgl. Neumann & Morlock). Bau einer Brücke Wir betrachten das Projekt: "Bau einer Brücke über den Rhein".

7 1.1. PROJEKTE 5 Die Brücke soll den Rhein bei Karlsruhe in Ost-West-Richtung überspannen. Die Brücke soll aus zwei Pfeilern, zwei Seitenteilen und einem Mittelteil bestehen, die an einer Stahlkonstruktion aufgehängt werden. Vor den Arbeiten muss der Brückenbau geplant werden, was 2 Monate dauert. Gleichzeitig wird können die einzelnen Gewerke im Detaille spezifiziert und entworfen werden. Daran unmittelbar anschließend können die Brückenteile (Seiten- und Mittelteil) in 9 Monaten an Land vorgefertigt werden. Mit dem Bau der Endlager für die Brückenköpfe kann ebenfalls sofort nach dem Abschluss der Entwurfsarbeiten begonnen werden, was für jedes einzelne Endlager 5 Monate beansprucht. Allerdings ist das Gelände auf der Ostseite sumpfig; dort müssen zuerst die Baustraßen angelegt und befestigt werden wodurch der Bau des Endlagers EL2 zusätzliche Vorarbeiten von 2 Monaten erfordert. Die beiden Niederlager als Fundament der der Betonpfeiler können in 4 Monaten fertiggestellt werden. Der Bau erfolgt unter Wasser vom Schiff aus und kann parallel zu den Arbeiten an Land begonnen werden. Der Bau eines Pfeilers dauert in der Regel ebenfalls 4 Monate, da der Pfeiler auf der Ostseite allerdings niedriger ist, kann er in drei-viertel dieser Bauzeit errichtet werden. Allerdings sollte mit den Arbeiten zum Bau der Pfeiler spätestens 2 Wochen nach Fertigstellung der Niederlager begonnen werden, um schädliche Unterspülungen an den Fundamenten zu vermeiden. Für die Montage der Seitenteile werden jeweils 5 Monate benötigt und man kann unabhängig voneinander auf jeder Seite nach Fertigstellung der Pfeiler und der Brückenteile beginnen. Mit Hilfe eines Schwimmkrans kann zuletzt das Mittelstück innerhalb zweier Monate montiert und an den Seitenteilen aufgehängt werden. Die montierten Seitenteile sollten allerdings nicht länger als 3 Wochen unbelastet bleiben. Nach mindestens zwei Monaten Ruhezeit, zum Setzen des Bauwerks, kann die Fahrbahn in 2 Wochen fertiggestellt werden. Beispiel (Neumann & Morlock). Einrichtung einer neuen Küche Nach dem Ausbau der alten Küchenmöbel wurde festgestellt, dass der Küchenboden zu uneben ist. Deshalb wird als erster Vorgang das Aufbringen von Estrich auf den Fußboden vorgesehen. Dieser Vorgang, der einen halben Arbeitstag benötigt, soll sofort nach Projektstart begonnen werden, da der betreffende Handwerker dringend auf einer anderen Baustelle benötigt wird. Nach dem Aufbringen des Estrichs ist ein halber Tag Trockenzeit erforderlich, bevor mit den folgenden Arbeiten, der Elektroinstallation (Dauer 1.5 Tage), und den Klempnerarbeiten, d.h. der Verlegung von Wasser- und

8 6 KAPITEL 1. PROJEKTMANAGEMENT Abwasserleitungen (Dauer 1 Tag) begonnen werden kann. Die Klempnerarbeiten sollen aber spätestens 3 Tage nach dem Aufbringen des Estrichs abgeschlossen sein. Nach Beendigung dieser beiden Vorgänge können die Malerarbeiten beginnen (Dauer 1.5 Arbeitstage). Auch der Maler wird dringend auf einer anderen Baustelle benötigt. Deshalb kann er frühestens 2 Tage nach dem Projektstart mit seiner Arbeit beginnen und muß spätestens 5 Tage nach Projektbeginn fertig sein. Damit der neue Fußbodenbelag nicht von den Handwerkern beschädigt wird, soll er erst nach den Malerarbeiten verlegt werden, jedoch unmittelbar nach Beendigung dieser Arbeiten. Für diese Tätigkeit wird ein halber Tag vorgesehen. Im Anschluss daran können die Küchenmöbel und Elektrogeräte eingebaut werden (Dauer 2 Tage). Die Küchenmöbel und -geräte sind jedoch erst 4 Tage nach Projektbeginn lieferbar. 1.2 Projekt Phasen IT-Projekte lassen sich in Phasen aufteilen; beispielsweise im konzeptionellen 5-Phasen-Modell: 1. Vorstudie, 2. Hauptstudie, 3. Detailstudie, 4. Systembau, 5. Einführung. Etwa die Beschreibung des Anwendungssystems, die fachliche Strukturierung, der technische Entwurf, die Realisierung und die Überleitung in die Nutzung. Die Projektabwicklung im V-Modell wird in die drei großen Projektabschnitte aufgeteilt: 1. den Projektstart, 2. die Projektumsetzung und 3. den Projektabschluss

9 1.2. PROJEKT PHASEN 7 die in 6 Phasen weiter aufgeteilt werden: 1. Initialisierung: Anforderungsanalyse, möglicher Lösungsalternativen, Lösungsauswahl, Projektklassifizierung, Projektbeantragung 2. Definition: Projektbeauftragung, Erstellung Gesamtprojektplan, Festlegung Projektorganisationsform, Kick-off-Veranstaltung, Projektstartsitzung 3. Planung: Planungsarten, Planungsinstrumente, Planungszuständigkeit, Planungszeitpunkt, Planungsentscheide 4. Vorgehen: inkrementelle, konzeptionelle, empirische und evaluative Vorgehensmodelle insbesondere für Multiprojekte 5. Kontrolle: Kontrollzeitpunkt, Kontrollsichten, Kontrollverfahren, Kontrollprozess, Kontrollberichte 6. Abschluss: Projektabnahme, Projektabschlussbeurteilung, Projektabschlussbericht, Erfahrungssicherung, Einführungsnachbearbeitung, Projektauflösung Projektidee, Initialisierung Die Idee liefert einen Anstoß, ohne aufzuzeigen, was konkret zu tun ist. Ideen entstehen im Kopf einer kleinen kreativen Gruppe Projektdefinition Der Gegenstand des Projekts wird festgelegt. Was ist die Projektaufgabe? Welche Ziele müssen erreicht werden? Welche Ziele sind ferner wünschenswert? Wie könnte der zeitliche Ablauf sein? Welche Kosten sind zu erwarten? Welche Einsparungen sind zu erwarten? Welche personellen und organisatorischen Konsequenzen sind angestrebt bzw. zu erwarten?

10 8 KAPITEL 1. PROJEKTMANAGEMENT Abbildung 1.1: V-Modell

11 1.2. PROJEKT PHASEN Projektorganisation Projektorganisation ist, entsprechend der DIN , die Gesamtheit der Organisationseinheiten und der aufbau- und ablauforganisatorischen Regelungen zur Abwicklung eines bestimmten Projektes. Projektorganisation setzt sich in der Regel aus Elementen der vorhandenen Betriebsorganisation und ergänzenden projektbezogenen Regelungen zusammen. Wer erteilt den Auftrag, mit der Planung anzufangen? Wer ist der Projektleiter? Wer gehört zur Projektgruppe? Wer unterstützt die Projektgruppe? Wie arbeitet die Projektgruppe? Wer genehmigt den Projektplan? Wer überwacht den Projektablauf? Welche Methoden und Werkzeuge sind für das Projektmanagement zu verwenden? Allgemein muss eine Projektorganisation die Aufgaben und Pflichten der Projektbeteiligten regeln, deren Verantwortungen und Kompetenzen festlegen und die Einbindung in die bestehende Organisation des Unternehmens angeben. Hauptbestandteile einer Projektorganisation sind der Auftraggeber eines Projektes, der Projektleiter und das Projektteam. Der Projektleiter und das Projektteam bilden während der Dauer des Projektes eine Organisationseinheit. Für die auftragsgerechte Durchführung, die Planung, die Überwachung und die Steuerung des Projektes ist der Projektleiter zuständig und verantwortlich. Der Auftraggeber erteilt den Projektauftrag und sorgt für Rahmenbedingungen, die eine effektive Projektabwicklung ermöglichen Projektaufbauorganisation Die Projektleitung eines IT-Projektes ist entsprechend der DIN-Norm die für die Dauer eines Projektes geschaffene Organisationseinheit, die für die Planung, die Steuerung und die Überwachung eines Projektes verantwortlich

12 10 KAPITEL 1. PROJEKTMANAGEMENT ist. Für die Projektleitung und die Erreichung der Projektziele, entsprechend dem verabschiedeten Projektauftrag, ist der Projektleiter verantwortlich. Zu den Kernaufgaben eines Projektleiters gehört die fach- und termingerechte Abwicklung des Projektes entsprechend den festgelegten Projektzielen. Hierzu plant, steuert und kontrolliert er alle Tätigkeiten des Projektteams und muss gewährleisten, dass das genehmigte Budget eingehalten wird. Er nimmt Administrationsaufgaben und Koordinationstätigkeiten bei der Lösungsfindung wahr und muss nur soweit es möglich ist, bei der Lösungsfindung mitarbeiten. Aufgabe der Projektmitarbeiter ist es, die sich aus dem Projektauftrag ergebenden Aufgaben unter Leitung des Projektleiters abzuwickeln. Ein IT-Lenkungsausschuss wird fest in einer Projektaufbauorganisation als organisationsübergreifendes und projektbegleitendes Gremium verankert, und plant, steuert und kontrolliert alle IT-Projekte Stab-Linien-Organisation Die Projektgruppe bildet keine selbstständige aufbauorganisatorische Einheit. Der Projektleiter und die Mitglieder des Projektteams sind während der Dauer des Projektes weiterhin funktionell und personell dem jeweiligen Linienvorgesetzten unterstellt Linien-Projektorganisation Das Projektteam wird in Form einer eigenständigen Organisationseinheit in die Linienorganisation des Unternehmens eingebunden. Die Mitglieder des Projektes bilden während der Dauer des Projektes eine neue eigenständige Organisationseinheit, die von der bisherigen Unternehmensorganisation unabhängig ist. Hierzu werden interne Mitarbeiter aus verschiedenen Abteilungen des Unternehmens vollständig aus der Linienorganisation herausgelöst und von ihren ursprünglichen Aufgaben befreit. Externe Kräfte werden direkt in die Projektorganisation eingeordnet Matrix-Projektorganisation Die Matrix-Projektorganisation stellt eine Mischform dar Projektplan In einem Projekt müssen in der Regel zahlreiche Aufgaben bzw. Vorgänge in einer ganz bestimmten Reihenfolge, zu bestimmten Terminen und mit bestimmten Ressourcen abgewickelt werden. Diese Vorgänge mit ihrem logischen und terminlichen Rahmen und ihren Ressourcen bilden den Projektplan. Was muss getan werden?

13 1.2. PROJEKT PHASEN 11 Welche Einzelaufgaben gibt es? In welcher Reihenfolge muss es getan werden? Wer kann es tun? Wann muss es getan werden? Wann kann es getan werden? Was kostet es? Mit dem Projektplan werden wir uns intensiver auseinandersetzen Weitere Schritte Das Projekt wird in der Regel auf der Basis des Projektplanes von der Unternehmensleitung genehmigt. Nach der Genehmigung des Projektes können die geplanten Aktivitäten durchgeführt werden. Der Projektleiter muss dafür sorgen, dass die Arbeiten nach Plan ablaufen. Die Projektabwicklung muss überwacht werden. Verzögerungen und andere Abweichungen müssen so früh wie möglich erkannt werden, die Auswirkungen müssen analysiert werden, gegebenenfalls müssen Konsequenzen gezogen werden, z.b. durch die Bereitstellung weiterer Ressourcen Erfolgsfaktoren des Projektmanagements Ein Projekt ist abgeschlossen, wenn das Projektziel erreicht ist und der Auftraggeber das Ergebnis abnimmt. Der Abschluss eines Projektes wird schriftlich dokumentiert. Um das Ziel zu erreichen, müssen komplexe Abläufe und die daraus resultierenden Tätigkeiten organisiert und koordiniert werden. Dazu müssen die fachlichen Anforderungen beherrscht werden. Insbesondere die Komplexität stellt spezielle Anforderungen an die Organisation, Planung, Überwachung und Lenkung der Aktivitäten. Zum Projekterfolg beitragen können: Einbeziehung der Nutzer, Klare Vorgaben, Erfahrene Projektleitung, Qualifikation, Anzahl und Engagement der Projektmitarbeiter,

14 12 KAPITEL 1. PROJEKTMANAGEMENT Überschaubare Projektgröße, (Standardisierte) Software Infrastruktur, Anforderungsmanagement, Standardisierter / Regulärer Projektverlauf, Zuverlässige Aufwandsschätzung, Engagement des Top-Management, Entsprechende Unternehmensstrategie und Abstimmung mit anderen Projekten.

15 Kapitel 2 Netzplantechnik Die Netzplantechnik dient dem Management komplexer Projekte und bedient dich der Mittel der Graphentheorie. Definition Die Netzplantechnik NPT, (en: network technique, network scheduling) ist ein auf Ablaufstrukturen basierende Verfahren zur Analyse, Beschreibung, Planung, Steuerung und Überwachung von Abläufen, wobei Zeit, Kosten, Ressourcen und weitere Größen berücksichtigt werden können. Ein Ablaufplan für ein Projekt strukturiert einen mehrteiligen Projektablauf nach der Zeit. Er ist die Voraussetzung für eine anschließende Terminplanung, bei der die einzelnen Ablaufelemente, in der Regel Vorgänge, mit Anfangs- und Endterminen versehen werden. Definition Ein Ablaufelement (en: element of project flow) ist ein Element zur Beschreibung von Sachverhalten (Zustände, Geschehen, Abhängigkeiten) eines Ablaufs. Definition nach DIN bzw. DIN 69901: Ein Vorgang (en: activity) ist ein Ablaufelement zur Beschreibung eines bestimmten Geschehens mit definiertem Anfang und Ende. Ein Ereignis ist ein Zeitpunkt, der das Eintreten eines bestimmten Projektzustandes markiert. Zu jedem Vorgang gehören ein Anfangs- und ein Endereignis. Ein Projekt beginnt mit einem Startereignis (Projektanfang) und endet mit einem Endereignis (Projektende). Ereignisse, denen bei der Projektdurchführung eine besondere Bedeutung zukommt, werden als Meilensteine bezeichnet. Bei einem Bauprojekt ist z.b. die Fertigstellung des Rohbaus ein Meilenstein. Ein Projekt kann daher auf unterschiedliche Arten beschrieben werden. 13

16 14 KAPITEL 2. NETZPLANTECHNIK Definition Ein vorgangsorientiertes Projekt wird repräsentiert durch eine Menge von Vorgängen und deren Anordnungsbeziehungen (die Startund Endereignisse der Vorgänge werden ebenfalls berücksichtigt). Ein ereignisorientiertes Projekt wird repräsentiert durch zugehörige Ereignisse und deren Anordnungsbeziehungen. Ein gemischt-orientiertes Projekt wird sowohl durch Vorgänge wie auch durch Ereignisse repräsentiert. Heute werden meist EDV-Programme für die Ablauf- und Terminplanung eingesetzt, welche die Abläufe als Kombination von Terminliste und graphischer Darstellung auf dem Bildschirm zeigen oder sie ausdrucken. Dabei zeigt die Graphik je nach Sichtweise einen vernetzten Balkenplan oder zeitmaßstäblichen Netzplan. Da kleinere Netzpläne aber manchmal auch von Hand gezeichnet werden, wird die graphische Darstellung hier ausführlich behandelt und auch die Berechnung ohne EDV kurz beschrieben. Dies hilft auch bei der Beurteilung unterstützender EDV-Programme. Letztendliches Ziel ist die Erstellung einer Terminliste: Vorgangs-Nr.; Vorgangsbenennung bzw. -beschreibung; Anfangstermin; Endtermin; bei Vernetzung: Vorgangs-Nr. des Vorgängers oder Nachfolgers. 2.1 Projektanalyse und Strukturplanung Dabei werden die Ablaufinformationen (Elemente und Struktur) erstellt: Vorgang bzw. Ereignis (Text und/oder Nummer), Vorgänger und/oder Nachfolger, Art der Anordnungsbeziehung: Normalfolge (NF) oder alternativ Ende-Anfang-Folge (EA); Anfangsfolge (AF) oder alternativ Anfang-Anfang-Folge (AA); Endfolge (EF) oder alternativ Ende-Ende-Folge (EE); Sprungfolge (SF) oder alternativ Anfang-Ende-Folge (AE).

17 2.1. PROJEKTANALYSE UND STRUKTURPLANUNG Projektstrukturplan Der Projektstrukturplan (PSP) (engl.: work breakdown structure, WBS) ist eine Gliederung des Projekts in planbare und kontrollierbare Teilaufgaben. Im Rahmen des PSP wird die gesamte Projektaufgabe in Arbeitspakete/Teilaufgaben (engl. work packages) zerlegt und die Beziehung zwischen den Arbeitspaketen beschrieben. Definition nach DIN 69901: Definition Der Projektstrukturplan ist eine Darstellung der Projektstruktur. Die Darstellung kann nach dem Aufbau (Aufbaustruktur), dem Ablauf (Ablaufstruktur), den Grundbedingungen (Grundstruktur, Wahlstruktur), nach sonstigen Kriterien (z.b. Mischformen) erfolgen. Bemerkung Dies kann die Strukturierung unterschiedlichen Phasen eines Projekts entsprechen. Die Strukturierung kann entweder am Sachziel oder an der Art der Tätigkeiten orientiert sein Vorgangsliste Definition Ein Vorgang (en: activity) ist ein Ablaufelement zur Beschreibung eines bestimmten Geschehens mit definiertem Anfang und Ende. Definition Die Netzplanverfeinerung (en: detailing a network), entspricht der Verfeinern der Informationen durch Vermehren der Anzahl der Vorgänge, Ereignisse bzw. Anordnungsbeziehungen eines Netzplans bei gleich bleibender Ablaufstruktur des Projekts. Dabei können Vorgänge / Teilaufgaben solange in Teilaufgaben / Arbeitspakete aufgeteilt werden, bis keine weiteren Steuerungsinformationen mehr gewonnen werden können, oder genau eine bestimmte Ressource je Vorgang zum Einsatz kommt, oder nur eine einzige bestimmte Tätigkeit ausgeführt wird. Sachlich unterschiedliche Tätigkeiten, oder unterschiedlicher Einsatz von Ressourcen führt dabei zu getrennten Vorgängen. Insbesondere sollte bei zeitlichen Unterbrechungen Vorgänge geteilt werden. Von besonderer Bedeutung sind der Projektstart und das Projektende.

18 16 KAPITEL 2. NETZPLANTECHNIK Definition Der Projektstart (en: project start), ist der Termin, Zeitpunkt oder Zeitabschnitt, mit dem das Projekt anläuft. Das Projektende (en: project finish), ist der Termin oder Zeitpunkt des formalen Endes eines Projekts. Bemerkung Der Projektstart wird in der Regel mit einem Kickoff- Meeting und einem Start-up-Workshop vollzogen. Es wird oft vergessen das Projektende in besonderer Weise zu vollziehen. Beides lässt sich durch Vorgänge ausdrücken: Definition Der Startvorgang (en: start activity), ist ein Vorgang, zu dem es im betrachteten Netzplan keinen Vorgänger gibt. Der Zielvorgang (en: goal activity), ist ein Vorgang, zu dem es im betrachteten Netzplan keinen Nachfolger gibt. Demgegenüber stehen die Ereignisse. Definition Ein Ereignis (en: event) ist ein Ablaufelement, das das Eintreten eines bestimmten Zustands beschreibt. Definition Das Startereignis (en: start event), ist ein Ereignis, zu dem es im betrachteten Netzplan kein Vorereignis gibt. Das Zielereignis (en: goal event), ist ein Ereignis, zu dem es im betrachteten Netzplan kein Nachereignis gibt. Definition Ein Meilenstein / Schlüsselereignis (en: milestone, key event), ist ein Ereignis besonderer Bedeutung. Beispiel (Garagenbau Bsp ). Vorgangsliste siehe Tabelle Anordnungsbeziehungen Definition Eine Anordnungsbeziehungen (en: relationship) sind quantifizierbare Abhängigkeiten zwischen Ereignissen oder Vorgängen. Definition Ein Vorgänger (en: predecessor activity), ist ein einem Vorgang A unmittelbar vorgeordneter Vorgang B. Ein Nachfolger (en: successor activity), ist ein einem Vorgang B unmittelbar nachgeordneter Vorgang A.

19 2.1. PROJEKTANALYSE UND STRUKTURPLANUNG 17 Vorgang Nr. i Vorgangsbeschreibung dir. Vorgänger 1 Aushub Fundamente - 2 Gießen Fundamnete 1 3 elektr. Erdleitungen 2 4 Mauern errichten 2 5 Dach decken 4 6 Boden betonieren 3, 4 7 Garagentor einsetzen 5 8 Innenputz 6, 7 9 Außenputz 4, 7 10 Tor streichen 8, 9 Tabelle 2.1: Vorgangsliste Garagenbau Vorgänge A 1,..., A 3 sind Vorgang B unmittelbar vorgeordnet: Vorgänge B 1,..., B 3 sind Vorgang A unmittelbar nachgeordnet: Definition Eine Normalfolge NF (en: end-to-start relationship), ist die Anordnungsbeziehung vom Ende eines Vorgangs zum Anfang seines Nachfolgers.

20 18 KAPITEL 2. NETZPLANTECHNIK Bemerkung Dabei handelt es sich um den häufigsten Typ von Anordnungsbeziehung. Definition Eine Anfangsfolge AF (en: start-to-start relationship), ist die Anordnungsbeziehung vom Anfang eines Vorgangs zum Anfang seines Nachfolgers. Beispiel Dies können zwei Vorgänge sein, die wechselseitig auf Informationen des anderen Vorgangs angewiesen sind. Definition Eine Endfolge EF (en: finish-to-finish relationship), ist die Anordnungsbeziehung vom Ende eines Vorgangs zum Ende seines Nachfolgers. Definition Eine Sprungfolge SF (en: start-to-finish relationship), ist die Anordnungsbeziehung vom Anfang eines Vorgangs zum Ende seines Nachfolgers. Oder anders ausgedrückt, der Vorgang B folgt auf den Vorgang A im Sinne der:

21 2.2. NETZPLÄNE 19 Ende-Start-Beziehung B kann erst begonnen werden, wenn A beendet wurde. Start-Start-Beziehung B kann erst begonnen werden, nachdem A begonnen hat. Start-Ende-Beziehung B kann erst beendet werden, nachdem A begonnen wurde. Ende-Ende-Beziehung B kann erst beendet werden, nachdem A beendet wurde. 2.2 Netzpläne Definition Ein Netzplan NP (en: network, alternativ en: network schedule), ist eine graphische oder tabellarische Darstellung einer Ablaufstruktur, die aus Vorgängen bzw. Ereignissen und Anordnungsbeziehungen besteht Gliederung Es kann sinnvoll sein einen Netzplan auf unterschiedlichen Ebenen zu strukturieren. Wichtig ist auch die Gliederungstiefe, auf der das Projekt bzw. Teile des Projekts dargestellt werden. Definition Der Gesamtnetzplan (en: total network), ist der Netzplan, der das gesamte Projekt umfasst. Ein Teilnetzplan (en: partial network), ist ein Netzplan, der nur einen Teil des Projekts umfasst und mit mindestens einem anderen Teilnetzplan oder dem Rahmennetzplan desselben Projekts strukturell in Verbindung steht. Durch Netzplanzerlegung (en: network separation), d.h. die Zerlegen eines Netzplans in Teilnetzpläne kann eine Netzplanverdichtung (en: network compression), d.h. Verdichten der Informationen durch Verringern der Anzahl der Vorgänge, Ereignisse bzw. Anordnungsbeziehungen eines Netzplans bei gleich bleibender Ablaufstruktur des Projekts erreicht werden. Dabei hat jeder Sammelvorgang einen Anfang und ein abgeschlossenes Ende. Vorgänge innerhalb des Sammelvorgangs werden entsprechend der Projektlogik verknüpft, aber dürfen nicht über den Sammelvorgänge hinweg verknüpft werden (müssen). Definition Ein Grobnetzplan (en: rough network), ist ein Netzplan mit einer Struktur, die einen groben Überblick über den Projektablauf gibt. Ein Feinnetzplan (en: detailed network), ist ein Netzplan mit einer Struktur, die einen Einblick in viele Details des Projektablaufs zulässt.

22 20 KAPITEL 2. NETZPLANTECHNIK Darstellung Netzpläne werden mit Hilfe der Graphentheorie dargestellt, d.h. mit Knoten und Pfeilen. Definition Ein Knoten (en: node), ist ein Darstellungselement zur Beschreibung eines Verknüpfungspunktes. Ein Pfeil (en: arrow) ist ein Darstellungselement zur Beschreibung des Sachverhalts zwischen zwei Knoten. Bemerkung Je nach Netzplanverfahren symbolisiert einen Vorgang bzw. ein Knoten ein Ereignis und ein Pfeil eine Anordnungsbeziehung und/oder einen Vorgang. Definition Ein Netzplanverfahren (en: network procedure) ist die grundsätzliche Form der Zuordnung von Ablaufelementen zu Darstellungselementen. Den Vorgängen eines Projekts können Pfeile oder Knoten zugeordnet werden. Beispiel Bei der Pfeildarstellung entsprechen den Vorgängen Pfeile. Aufeinanderfolgende Vorgänge enden / beginnen in demselben Knoten. Die Bewertung eines Pfeils erfolgt mit der Länge des Vorgangs. Bei der Knotendarstellung werden den Vorgängen des Projekts Knoten des Netzplans zugeordnet. Die Pfeile repräsentieren die Anordnungsbeziehungen. Die Bewertung der Pfeile ergibt sich aus den minimalen und maximalen Zeitabständen unter Berücksichtigung der Vorgangsdauern. Je nach Verfahren entstehen dabei die Netzplanarten Ereignisknoten-, Vorgangsknoten- oder Vorgangspfeil-Netzplan. Definition Die Netzplanart (en: network type), ist eine durch einheitliches Darstellungsprinzip bestimmte Gattung von Netzplänen.

23 2.2. NETZPLÄNE 21 Beispiel Ein Vorgangspfeil-Netzplan ist ein vorgangsorientierter Netzplan in Pfeildarstellung (z.b. CPM). Ein Ereignisknoten-Netzplan ist ein ereignisorientierter Netzplan in Pfeildarstellung (z.b. PERT). Ein Vorgangsknoten- Netzplan ist ein vorgangsorientierter Netzplan in Knotendarstellung (z.b. MPM). Definition Ein Vorgangsknoten-Netzplan VKN (en: activity-on-node network), ist ein Netzplan, bei dem vorwiegend Vorgänge beschrieben und durch Knoten dargestellt werden. Ein Vorgangspfeil-Netzplan VPN (en: activity-on-arrow network), ist ein Netzplan, bei dem vorwiegend Vorgänge beschrieben und durch Pfeile dargestellt werden. Ein Ereignisknoten-Netzplan EKN (en: event-on-node network), ist ein Netzplan, bei dem vorwiegend Ereignisse beschrieben und durch Knoten dargestellt werden. Ein Meilenstein-Netzplan (en: milestone network), ist ein Netzplan, in dem vorwiegend Meilensteine dargestellt und durch Anordnungsbeziehungen miteinander verknüpft sind. Definition Eine Netzplan-Methode (en: network method), ist die Art und Weise des Vorgehens nach detaillierten Regeln der Darstellung, der Berechnung usw. von Netzplänen, z. B. Program Evaluation and Review Technique (PERT), Metra Potential Methode (MPM) und Critical Path Method (CPM).

24 22 KAPITEL 2. NETZPLANTECHNIK Abbildung 2.1: Vorgangsknoten-Netzplan Garagenbau Beispiel (Garagenbau Bsp ). Vorgangsknoten-Netzplan siehe Abbildung Zeitrechnung Dauern Bei der Zeitrechnung ist insbesondere die Dauer der Vorgänge wichtig. Definition Die Dauer D (en: duration) ist die Zeitspanne vom Anfang bis zum Ende eines Vorgangs bzw. vom Start bis zum Ziel eines Projekts. Definition Die maximale Dauer MAXD (en: maximum duration), ist der höchstzulässige Wert für eine Dauer. Die minimale Dauer MIND (en: minimum duration), ist der geringste Wert, auf den eine Dauer verkürzt werden kann. Ist die Dauer stochastisch bzw. unsicher, so wird sie geschätzt: Definition Die optimistische Dauer OD (en: optimistic duration), ist die Dauer eines Vorgangs, die unter besonders günstigen Bedingungen vorkommen kann. Die häufigste Dauer HD (en: most frequent duration), ist die Dauer eines Vorgangs, die unter üblichen Bedingungen zu erwarten ist.

25 2.3. ZEITRECHNUNG 23 Die pessimistische Dauer PD (en: pessimistic duration), Dauer eines Vorgangs, die unter besonders ungünstigen Bedingungen vorkommen kann Die mittlere Dauer MD (en: middle duration) ist dann ein aus den Schätzwerten errechneter Erwartungswert für die Dauer eines Vorgangs MD = OD + 4HD + P D 6 Bemerkung Da der Begriff häufigste Dauer nur bei Schätzungen unter großer Unsicherheit (Netzplan-Methode PERT) relevant ist, meint er eigentlich die am häufigsten geschätzte Dauer. Bei der Schätzung der pessimistischen Dauer sind Fälle von höherer Gewalt auszuschließen. Bei Vorgangsknotennetzen können auch Zeitabstände angegeben werden: Definition Ein Zeitabstand Z (en: time interval), ist ein Zeitwert einer Anordnungsbeziehung. Ein minimaler Zeitabstand MINZ (en: minimum time interval), ist der Zeitwert einer Anordnungsbeziehung, der nicht unterschritten werden kann. Ein maximaler Zeitabstand MAXZ (en: maximum time interval), ist der Zeitwert einer Anordnungsbeziehung, der nicht überschritten werden darf. Bemerkung Zeitabstände können größer als, kleiner als oder gleich null sein. Bemerkung Bei Vorgangsknotennetzen wird ein minimaler Zeitabstand zwischen zwei Vorgängen A und B auf dem Pfeil von A nach B notiert; ein maximaler Zeitabstand zwischen den Vorgängen A und B unter dem Pfeil. Bemerkung Alle maximalen Zeitabstände MAXZ ij (bei Normalfolge) lassen sich in minimale Zeitabstände (bei Normalfolge) mit Hilfe der Gleichung: MINZ ji := MAXZ ij D i D j transformieren und werden über einem (eventuell gepunktet dargestellten) Pfeil in Rückrichtung von B nach A notiert. Beispiel (Garagenbau Bsp ). Vorgangsliste siehe Tabelle Zeitpunkte Definition Ein Zeitpunkt (en: time), ist ein im Ablauf festgelegter Punkt, dessen Lage durch Zeiteinheiten (z. B. Minuten, Tage, Wochen) beschrieben und auf einen Nullpunkt bezogen ist. Ein Termin (en: date), ist ein durch Kalenderdatum und/oder Uhrzeit ausgedrückter Zeitpunkt.

26 24 KAPITEL 2. NETZPLANTECHNIK Nr. i Vorgangsbeschreibung D i [d] P (i) MINZ MAXZ 1 Aushub Fundamente Gießen Fundamnete elektr. Erdleitungen Mauern errichten Dach decken Boden betonieren 3 3, 4 -, 1 -, - 7 Garagentor einsetzen Innenputz 2 6, 7 1, - -, - 9 Außenputz 2 4, 7 -, - 4, - 10 Tor streichen 1 8, 9 -, - -, - Tabelle 2.2: Vorgangsliste Garagenbau Definition Der Projektstart (en: project start), ist der Termin, Zeitpunkt oder Zeitabschnitt, mit dem das Projekt anläuft. Der Projektstarttermin (en: project start date), ist der Termin bzw. Zeitpunkt, mit dem die Zählung der Projektdauer beginnt. Das Projektende (en: project finish), ist der Termin oder Zeitpunkt des formalen Endes eines Projekts. Bemerkung Der Projektbeginn kann mit dem Projektstart, aber auch mit dem Anfang von Vorbereitungsarbeiten zusammenfallen. Definition Die zeitliche Lage (en: time related position) ist das Ergebnis der Einordnung von Ereignissen bzw. Vorgängen im Zeitablauf unter Beachtung aller gegebenen Bedingungen (z.b. Für Zeit, Kosten und Ressourcen). Die früheste Lage (en: early position) ist die unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach vorn verschiebbare Lage eines Vorgangs oder Ereignisses. Die späteste Lage (en: late position) ist die unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach hinten verschiebbare Lage eines Vorgangs oder Ereignisses. Definition Der früheste Zeitpunkt FZ (en: early time), ist der unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach vorn verschiebbare Zeitpunkt eines Ereignisses. Der früheste Termin FT (en: early date), ist der unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach vorn verschiebbare Termin eines Ereignisses.

27 2.3. ZEITRECHNUNG 25 Tabelle 2.3: Zuordnung von Ereignissen bzw. Vorgängen zur Lage Der späteste Termin ST (en: late date), ist der unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach hinten verschiebbare Termin eines Ereignisses. Der späteste Zeitpunkt SZ (en: late time), ist der unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach hinten verschiebbare Zeitpunkt eines Ereignisses. Definition Der früheste Anfang FA (en: early start), ist der unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach vorn verschiebbare Anfang eines Vorgangs. Der früheste Anfangszeitpunkt FAZ (en: early start time), ist der unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach vorn verschiebbare Anfangszeitpunkt eines Vorgangs. Der frühester Anfangstermin FAT (en: early start date), ist der unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach vorn verschiebbare Anfangstermin eines Vorgangs. Der späteste Anfang SA (en: late start), ist der unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach hinten verschiebbare Anfang eines Vorgangs. Der späteste Anfangszeitpunkt SAZ (en: late start time), ist der unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach hinten verschiebbare Anfangszeitpunkt eines Vorgangs. Der späteste Anfangstermin SAT (en: late start date), ist der unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach hinten verschiebbare Anfangstermin eines Vorgangs. Definition Das früheste Ende FE (en: early finish), ist das unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach vorn verschiebbare Ende eines Vorgangs.

28 26 KAPITEL 2. NETZPLANTECHNIK Der früheste Endzeitpunkt FEZ (en: early finish time), ist der unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach vorn verschiebbare Endzeitpunkt eines Vorgangs. Der früheste Endtermin FET (en: early finish date), ist der unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach vorn verschiebbare Endtermin eines Vorgangs. Das späteste Ende SE (en: late finish), ist das unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach hinten verschiebbare Ende eines Vorgangs. Der späteste Endzeitpunkt SEZ (en: late finish time), ist der unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach hinten verschiebbare Endzeitpunkt eines Vorgangs. Der späteste Endtermin SET (en: late finish date), ist der unter Berücksichtigung der im Netzplan enthaltenen Bedingungen nicht weiter nach hinten verschiebbare Endtermin eines Vorgangs Puffer Definition Der Puffer (en: buffer), ist die Teilmenge eines Zeitoder Ressourcenvorrats, die über den geplanten Verbrauch hinaus verbraucht werden kann. Die Pufferzeit P (en: float), ist die Zeitspanne, um die, unter bestimmten Bedingungen, die Lage eines Ereignisses bzw. Vorgangs verändert oder die Dauer eines Vorgangs verlängert werden kann. Bemerkung Negative Werte eines Puffers zeigen an, dass der Vorrat den geplanten Verbrauch nicht deckt. Definition Die gesamte Pufferzeit GP (en: total float), ist die Zeitspanne zwischen frühester und spätester Lage eines Ereignisses bzw. Vorgangs. Die freie Pufferzeit (en: free float), ist die Zeitspanne, um die ein Ereignis bzw. Vorgang gegenüber seiner frühesten Lage verschoben werden kann, ohne die früheste Lage anderer Ereignisse bzw. Vorgänge zu beeinflussen. Die unabhängige Pufferzeit UP (en: independent float), ist die Zeitspanne, um die ein Ereignis bzw. Vorgang verschoben bzw. verlängert werden kann, wenn sich seine Vorereignisse bzw. Vorgänger in spätester und seine Nachereignisse bzw. Nachfolger in frühester Lage befinden. Bemerkung Bei Ereignissen gilt: GP = SZ F Z

29 2.4. ZEITRECHNUNG BEIM VORGANGSKNOTENNETZPLAN 27 Bei Vorgängen gilt: GP = SAZ F AZ = SEZ F EZ Kritischer Weg Definition Ein Weg (en: path), ist ein durch einen oder mehrere aufeinander folgende Pfeile hergestellte Verbindung von Knoten. Ein kritischer Weg (en: critical path), ist ein Weg in einem Netzplan, der für die Gesamtdauer des Projekts (bzw. des Netzplans) maßgebend ist. Bemerkung Die Pufferzeiten der Ereignisse bzw. Vorgänge auf dem kritischen Weg sind die kleinsten im ganzen Netzplan - im Normalfall sind sie gleich null. 2.4 Zeitrechnung beim Vorgangsknotennetzplan Berechnung Die Berechnung läuft bei einem Netzwerk ohne Zyklen nun in folgenden Schritten: 1. Für alle Vorgänge die Vorgangsdauer D ermitteln. 2. Vorwärtsrechnung: Beim 1. Vorgang des Netzplans (der Quelle) wird F AZ = 0 eingesetzt. Dann ist F AZ + D = F EZ. Falls in den nächsten Vorgang j (Nachfolger) keine andere Anordnungsbeziehung eingeht, ist der FEZ des Vorgängers i der FAZ dieses Vorgangs F EZ(i) = F AZ(j). Falls mehrere Pfeile in j einmünden, ist der höchste FEZ-Wert der Vorgänger als F AZ(j) zu nehmen. 3. Rückwärtsrechnung: Beim letzten Vorgang des Netzplans (der Senke) wird F EZ = SEZ eingesetzt. Dann ist SAZ = SEZ D.

30 28 KAPITEL 2. NETZPLANTECHNIK Falls vom nächsten vorhergehenden Vorgang i kein anderer Pfeil ausgeht, ist SAZ des folgenden Vorgangs j der SEZ dieses Vorgangs i SAZ(j) = SEZ(i). Falls mehrere Pfeile von i ausgehen, ist der niedrigste SAZ-Wert der Nachfolger als SEZ(i) zu nehmen. 4. Die gesamte Pufferzeit für jeden Vorgang wird berechnet als: GP = SAZ F AZ = SEZ F EZ. Alle kritischen Vorgänge haben die Pufferzeit GP = Nun können noch Pufferzeiten aufgeteilt, geplante oder vorgegebene Zeitpunkte für die Vorgänge festgelegt und andere ergänzende Überlegungen in den Plan eingebracht werden. 6. Letzter Schritt ist in jedem Fall das Umwandeln der relativ auf den Nullpunkt am Projektanfang bezogenen Zeitpunkte in absolute, auf den Kalender bezogene Termine. Beispiel (Garagenbau Bsp ). Zeitrechnung ohne Maximalabstände (d.h. ohne Zyklen) siehe Tabelle 2.4. i F AZ i F EZ i SEZ i SAZ i Tabelle 2.4: Zeitrechnung Garagenbau Für den MPM Algorithmus für Netzpläne mit Zyklen nicht-negativer Länge siehe (Tabellen 2.6 und 2.7). Beispiel (Garagenbau Bsp ). MPM Zeitrechnung mit Maximalabständen (d.h. mit Zyklen) siehe Tabelle 2.5 und den zugehörigen MPM- Netzplan in Abbildung 2.2.

31 2.5. OUTPUT 29 i F AZ i F EZ i SEZ i SAZ i GP i Tabelle 2.5: MPM Zeitrechnung Garagenbau 2.5 Output Abbildung 2.2: MPM Netzplan Garagenbau Allgemeine Informationen Projekt- bzw. Netzplanbezeichnung; Projektstand (Datum); Berechnungsdatum. Ablaufinformationen (Elemente und Struktur) Vorgang bzw. Ereignis (Text und/oder Nummer); Vorgänger und/oder Nachfolger; Art der Anordnungsbeziehung(en). Zeitinformationen Dauer; Zeitabstand; errechnete Zeitpunkte und/oder Termine; freie und/oder gesamte Pufferzeiten;

32 30 KAPITEL 2. NETZPLANTECHNIK MPM Zeitrechnung Datenstrukturen: S(i), P (i) i = 0,..., n Mengen/Listen; Q eine Schlange; K eine Menge; FAZ, FEZ, SAZ, SEZ, GP Felder der Länge n + 2; Input: Knoten 0 ist der Projektbeginn und Knoten n + 1 das Projektende; ggf. ein vorgegebener Projektendtermin T (sonst T = ). P (i), i = 1,..., n + 1 die Vorgängermengen. D i, i = 1,..., n die Dauer eines Vorgangs und Z ij der zeitliche Mindestabstand zwischen Vorgang i und Vorgang j bei Normalfolge. Schritt 1 Bestimmung der Nachfolgermengen: for i = 0,..., n + 1 setze S(i) := ; for i = 1,..., n + 1 for all k P (i) setze S(k) := S(k) { i }; end for; Schritt 2 Bestimmung von F AZ i i = 1,..., n + 1: Setze F AZ 0 := 0; D 0 := D n+1 := 0; Q := { 0 }; for i = 1,..., n + 1 setze F AZ i := ; while Q Entferne i vom Kopf von Q; for all j S(i) mit F AZ j < F AZ i + D i + Z ij Setze F AZ j := F AZ i + D i + Z ij ; if j Q, füge j am Ende von Q ein; end for; end while; if T < F AZ j terminiere: der vorgegebene Projektendtermin ist nicht zu halten. Tabelle 2.6: MPM Algorithmus Vorwärtsrechnung

33 2.5. OUTPUT 31 Schritt 3 Bestimmung von SAZ i : if T =, setze T := F AZ n+1 Setze SAZ n+1 := T, Q := { n + 1 } for i = 0,..., n, setze SAZ i := while Q Entferne i vom Kopf von Q; for all k P (i) mit SAZ k > SAZ i Z ki D k Setze SAZ k := SAZ i Z ki D k ; if k Q, füge k am Ende von Q ein; end for; end while; Schritt 4 Bestimmung von F EZ i, SEZ i, GP i und kritischen Vorgänge: Setze K = ; for i = 0,..., n + 1 Setze F EZ i := F AZ i + D i ;, SEZ i := SAZ i + D i ; GP i := SAZ i F AZ i ; if GP i = SAZ 0, setzte K := K { i }; end for; Output: F AZ n+1 die kürzesten Projektdauer, FAZ die frühesten Anfangszeiten und FEZ, die früheste Endzeiten, GP die Gesamtpuffer und K die kritischen Vorgänge. Tabelle 2.7: MPM Algorithmus Rückwärtsrechnung

34 32 KAPITEL 2. NETZPLANTECHNIK Kennzeichnung der kritischen Vorgänge bzw. Ereignisse; geplante Zeitpunkte und/oder Termine; vorgegebene Zeitpunkte und/oder Termine. 2.6 Critical Path Method Den Vorgängen (A k ) eines Projekts werden Pfeile (e k ) zugeordnet, die mit der Dauer des Vorgangs bewertet werden. Den Anfangs- (α k ) und Endereignissen (ω k ) eines Vorgangs werden den Knoten i k, j k zugeordnet (e k = i k, j k ). e k i k j k Die Anordnung der Vorgänge erfolgt nach Ende-Start-Beziehung. Die Konstruktion des Vorgangs-Pfeilnetzes erfolgt aufgrund der Regeln: 1. Die Vorgänge A 3 und A 4 folgen den Vorgängen A 1 und A 2 unmittelbar, dann setze: j 1 = j 2 = i 3 = i 4 i 1 e 1 j 3 e 3 i 2 e 2 e 4 j 4 2. Gilt i 1 = i 2 und j 1 = j 2, dann führe einen Scheinvorgang (Hilfspfeil) e 0 ein: j 1 e 1 e 0 i 1 j 2 e 2 3. Der Vorgang A 4 folgt den Vorgängen A 1 und A 2 unmittelbar, und der Vorgang A 5 folgt den Vorgängen A 1, A 2 und A 3 unmittelbar:

35 2.6. CRITICAL PATH METHOD 33 i 1 i 2 e 2 e 0 i 3 e 1 e 4 e 3 e 5 j 4 j 5 4. Kann A 2 bereits begonnen werden, wenn ein Teil von A 1 beendet wurde, dann wird A 1 in entsprechende Teilvorgänge A 1 und A 1 zerlegt. 5. Können mehrere Vorgänge direkt zu Projektbeginn gestartet werden, dann kann (unter Umständen durch Einfügen von Scheinvorgängen) erreicht werden, daß es nur eineen Knoten q für den Projektbeginn (Quelle) gibt. Das gleiche glit für das Projektende s (Senke). 6. Soll zwischen zwei Vorgängen ein zeitlicher Mindestabstand τ eingehalten werden, so muß ein zusätzlicher Vorgang mit Vorgangsdauer τ zwischen diesen Vorgängen eingefügt werden. Analog geht man vor, soll ein Vorgang erst eine bestimmte Zeit nach dem Projektbeginn starten oder eine bestimmte Zeit vor Projektende enden. Bemerkung Zeitliche Maximalabstände zwischen aufeinander folgenden Maximalabständen können jedoch nicht abgebildet werden. Bemerkung Die Zahl der eingefügten Scheinvorgänge ist nicht eindeutig bestimmt beispielsweise können Scheinvorgänge nach Regel (5) eliminiert werden. Definition Ein CPM-Netzplan ist ein nach obigen Regeln konstruiertes Netzwerk ohne Zyklen und genau einer Quelle und genau einer Senke. Die Vorgangsdauern / Pfeilbewertungen werden mit D ij bezeichnet. (Scheinvorgänge haben die Dauer 0.) Bemerkung Für einen CPM-Netzplan läßt sich eine Numerierung der Knoten finden, so daß für jeden Pfeil i, j gilt i < j (topologische Sortierung). Der Projektbeginn (die Quelle) hat dann die Nummer 1, das Projektende (die Senke) hat dann die Nummer n. Wir nehmen an, alle betrachteten Netzpläne seien topologisch sortiert.

36 34 KAPITEL 2. NETZPLANTECHNIK Abbildung 2.3: CPM-Netzplan Garagenbau Definition Ein Vorgang k, i heißt Vorläufer des Vorgangs i, j. Ein Vorgang j, k heißt Nachläufer des Vorgangs i, j. Beispiel (Garagenbau Bsp ). CPM-Netzplan (ohne Maximalabstände) siehe Abbildung 2.3. Beispiel (FernUni Hagen) Die Softwarefirma SOFT hat sich am neuen Markt etabliert und möchte die Ansprechpartner einiger interessierter Anwender gemeinsam mit bereits gewonnenen Kunden zu einer Werbeveranstaltung einladen. Neben der Präsentation der neusten Produkte ist an Fachreferate kompetenter Praktiker und Hochschullehrer zum Thema e-commerce gedacht. Die Werbeabteilung von SOFT besteht z.z. aus drei Personen: Herrn Müller als Leiter, der Vollzeitkraft Frau Hübner und die Auszubildende Frau Schubert. Sie werden beauftragt, dieses kleine Projekt so vorzubereiten, dass die Einladungen mit Tagesordnung und Informationen zum Veranstaltungsort bei der Druckerei in Auftrag gegeben werden können. Tätgkeit Dauer Name Vorläufer Nachläufer Terminabsprache mit 10 KR OR, PP Kunden und Referenten Festlegung von Ort 4 OR KR VV und Räumlichkeiten in einem erstklassigen Hotel Detaillierte Planung 14 PP KR EV der Präsentation der Palette der eigenen Produkte Vorbereitung und Versand 6 VV OR EV der Einladungs- mappen Eröffnungsveranstaltung 1 EV PP, VV

37 2.6. CRITICAL PATH METHOD CPM-Zeitplanung Wir gehen im Folgenden davon aus, der Netzplan sei topologisch sortiert. Definition Jeder längste Weg von der Quelle bis zur Senke des Netzwerks heißt kritischer Weg. Jeder Vorgang auf einem kritischen Weg heißt kritischer Vorgang. Die länge dieser Wege heißt kürzeste Projektdauer. Bemerkung Dauert ein kritischer Vorgang länger als geplant, dann schiebt sich das Projektende um diese Zeitdauer nach hinten. Zur Berechnung werden folgend Größen bestimmt: 1. kürzeste Projektdauer SZ n := { T F Z n Projektendtermin gegeben, sonst, 2. kritische Vorgänge i, j (d.h. GP ij = min), 3. Anfangs- und Endtermin aller Vorgänge (bei fest gegebenen Vorgangsdauern) bestimmt durch: F AZ ij : Frühest möglicher Anfangszeitpunkt des Vorgangs i, j nach dem gegebenen Projektbeginn, F EZ ij : Frühest möglicher Endzeitpunkt des Vorgangs i, j nach dem gegebenen Projektbeginn, SAZ ij : Spätest möglicher Anfangszeitpunkt des Vorgangs i, j ohne Verzögerung des Projektendes, SEZ ij : Spätest möglicher Endzeitpunkt des Vorgangs i, j ohne Verzögerung des Projektendes, F Z i = F AZ ij : Frühest möglicher Zeitpunkt des Eintritts des Ereignisses i nach festgelegtem Projektbeginn, SZ i = SEZ ij : Spätest möglicher Zeitpunkt des Eintritts des Ereignisses i ohne Verzögerung des Projektendes. 4. Pufferzeiten aller Vorgänge

38 36 KAPITEL 2. NETZPLANTECHNIK GP ij : Maximale Zeitspanne, um die der Beginn des Vorgangs i, j verschoben werden kann, ohne den Projektendtermin zu gefährden, F P ij : Maximale Zeitspanne, um die der Beginn des Vorgangs i, j verschoben werden kann und alle Nachläufer j, l zum frühest möglichen Zeitpunkt F AZ jl begonnen werden können, F RP ij : Maximale Zeitspanne, um die der Beginn des Vorgangs i, j verschoben werden kann und alle Vorläufer k, i zum ihrem spätest möglichen Zeitpunkt SEZ ki beendet werden können, UP ij : Maximale Zeitspanne, um die der Beginn des Vorgangs i, j verschoben werden kann und alle Vorläufer k, i zum ihrem spätest möglichen Zeitpunkt SEZ ki beendet werden können und alle Nachläufer j, l zum frühest möglichen Zeitpunkt F AZ jl begonnen werden können, Lemma Nach den Bellmanschen Gleichungen berechnen sich die frühesten und spätesten Ereignisszeiten rekursiv aus: F Z i = max (F Z k + D ki ) k P (i) SZ i = min j D ij ). j S(i) Beispiel (Garagenbau Bsp ). CPM-Zeitrechnung (ohne Maximalabstände) siehe Tabelle 2.8. i F Z i SZ i Tabelle 2.8: CPM-Zeitrechnung Ereignisse Garagenbau Lemma Wenn diese Zeiten bestimmt sind, dann lassen sich die restlichen Anfangs- und End-Zeiten berechnen: F AZ ij = F Z i F EZ ij = F Z i + D ij SAZ ij = SZ j D ij SEZ ij = SZ j

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