6.3. Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme
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- Heiko Becker
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1 6.3. terative ösung linearer Gleichungssysteme Großes lineares ünnesetztes Gleichungssystem = Gauss-Elimination nutzt in er Regel ie ünnesetztheit nicht aus un führt meist auf Kosten On 3 ; m Gegensatz azu ist oft nur On Speicherearf für Matri ee: Formuliere iteratives Verfahren, as in jeem Schritt nur Matri*Vetor erechnet, so ass ie terierten gegen ie ösung von = onvergieren. Gesamtosten: #terationen * On. Effizient, falls schnelle Konvergenz vorliegt! Einfach parallelisierar! 5
2 53 : Stationäre Methoen: Richarson-Verfahren: Formulierung eines passenen Fipuntprolems Frage: Wann onvergiert ie ausgehen von einem 0 efinierte Folge gegen ie gesuchte ösung? r araus ergit sich ie teration: mit Resiuum r.
3 54 0 Betrachte azu en Fehler im -ten Schritt: Ergit in er Norm un aher aher liegt Konvergenz vor für <. y y Richarsonverfahren ist aher nur sinnvoll, wenn! ies entspricht er Kontrationseingung für ie terations- funtion :
4 Geschicter: Wene as Verfahren auf as moifizierte Prolem an: iag ; ie Beingung ist esser erfüllt! Bezeichnung: ~ un ergit neues Gleichungssystem ~ ~ ~ Richarson für as tile-system liefert ann: ~ ~ oer ies ist as Jacoiverfahren zur iterativen ösung von = 55
5 Wesentliche Kosten in jeem Schritt: Konvergent, falls Notwenig: iagonalmatri regulär! llgemeinere ee zur Formulierung einer terationsfuntion: Matri-splitting : Unteriagonalteil von U : Oeriagonalteil von U U führt auf teration U 56
6 57 ies ist as Gauss-Seiel-Verfahren n jeem Schritt ist aei nur ein reiecsgleichungssystem zu lösen. Gauss-Seiel ist äquivalent zu Richarson angewenet auf NEU: Komponentenweise Formel für Jacoi un GS! as Verfahren ist onvergent, falls
7 6.3.. Nichtstationäre Verfahren as Graientenverfahren für symmetrisch positiv efinite Matri : Betrachte Funtion F: R n R, F F eschreit einen Paraoloi im R n : -Eene -graf 58
8 Minimum ieser Funtion ist wieer er Punt mit waagrechter angente, also ie Stelle mit Graient gleich Null: F 0 Stelle, an er er Paraoloi sein Minimum annimmt ist gleich er gesuchten ösung es Gleichungssystems! Betrachte Minimierungsaufgae! Von atueller Stelle aus soll ie nächste terierte + so gewählt weren, ass sie näher am Minimum liegt. + = + mit Suchrichtung un Schrittweite. Fine Suchrichtung so, ass Funtionswerte leiner weren: 59
9 stiegsrichung ist gegeen urch Richtung es negativen Graienten! enn Richtungsaleitung in Richtung n ist gleich F n, un wir am etragsgrößten für n F nämlich F n F aher ist zum Minimum. loal ie Richtung es steilsten stiegs aher verleinern sich ie Funtionswerte auf jeen Fall, wenn man in iese stiegsrichtung geht. lso wähle F Noch zu estimmten ist optimale Schrittweite, ie am nähesten ans Minimum führt! 60
10 6 F g min min min : min Betrachte azu ein-imensionale Minimierung: mit ösung, :=- nsgesamt:
11 azugehörige Fipuntgleichung ist : mit Fipunt Ergit Verfahren es steilsten stiegs steepest escent oer Graientenverfahren Nachteil: Bei star verzerrtem Paraoloien ergit sich sehr langsame Konvergenz. 6
12 Für ist er Paraoloi unverzerrt, ie Höhenlinien fast reisförmig schnelle Konvergenz! 63
13 aher versucht man, = zu präonitionieren: Ersetze = urch M - = M - mit M Bessere Variante eines Graientenverfahren: Verfahren er onjugierten Graienten, urz cg-verfahren. Suchrichtung nicht er negative Graient selst, sonern ie Projetion es Graienten, so ass alle Suchrichtungen in gewisser Weise orthogonal zueinaner sin Genauer: Suchrichtungen seien -onjugiert,.h. j 0 für amit ergit sich iteratives Verfahren, as nach Schritten jeweils ie este Näherung an ie ösung in einem - imensionalen Unterraum liefert, un aher nach n Schritten fertig ist in eater rithmeti. j NEU: Norm-Minimierung, Unterraum Krylov 64
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