12/18/07. Scherung. Spiegelung. Alternative homogene Skalierungs-Matrix:

Transkript

1 Sherung Aterntive homogene Skierungs-Mtri: Vershiet.B. die -Koordinte hängig von der Entfernung ur Eene =0 (d.h., -Eene) Zum Beispie: H XZ (s) shert den -Wert gemäß dem -Wert Aer esser die "norme" Skierungsmtri verwenden Inverse Ahtung: Determinnte = 1 er Winke werden niht erhten!. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 19. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 20 Spiegeung Movies: Spiegeung entng der -Ahse, m..w., Spiegeung g. der - Eene: X mit Z X mit Y Anog die nderen eiden Spiegeungen Ahtung: Bei en nderen Trnsformtionen T isher wr X dnn Y mit Z Spiegeungen sind in der eigt. immer usgeshossen U.., wei sie einen Wehse von einem rehtshändigen u inkshändigem Koordintensstem edeuten. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 21. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 22 1

2 Verknüpfung / ontention Nütih ur Steigerung der Effiien Ahtung: Mutipiktion von Mtrien niht kommuttiv Reihenfoge der Trnsformtion spiet eine Roe Reihenfoge in einer Mtrikette: Reihenfoge der Ausführung R S S R. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 23. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 24 Demo ur Konktention von Trnsformtionen und noh eine Quee: Trnsformtion me. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 25. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 26 2

3 Wieviee Freiheitsgrde hen Rottionen? Euer-Winke Antwort: 3 DOFs (degrees of freedom) 2 DOFs für die Ahse + 1 DOF für den Winke; oder 3 Euer-Winke Euer's Rottions-St: Jede Rottion knn mn mit Hife 3-er Winke um (fst) eieige Ahsen usmmengesett werden. Diese Winke heißen Euer-Winke und eeihnen meistens Rottionen um eine der drei Wet-Koordinten-Ahsen Häufige Vrinte: 1., 2., 3. Beeihnung oft: ro, pith, w (Shiff) heding, ro, pith (Fugeug). Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 27. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 28 im Lok Ersheint unähst sehr ntürih (3 DOFs 3 Winke) Tritt dnn ein, wenn 2 Ahsen (fst) geih sind Ahtung: die Speifiktion einer Rottion mittes Euer-Winken ht viee Proeme!!!!!!!!! Reihenfoge der Rottionen ist niht festgeegt! - Oft "ro, pith, w" er Zuordnung u den Ahsen niht definiert! Foge: 3 Prmeter er nur 2 Freiheitsgrde Niht mehr eindeutig Rottion um eine der (oken) Fugeughsen geht niht mehr! - Mnhm uh:,,! Oder im Lok Werte-Bereihe: für einen der Winke ist der Bereih nur [-90, +90] - Ds knn uh gr niht nders sein Rehnen (.B. interpoieren) ist unmögih. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 29. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 30 3

4 Euer Anges in the Re Word Trägheitsmessgerät (Kreisekompss?) in Apoo Um im-lok u vermeiden, wurde ein 4-ter im eingeführt! Keine Anekdote du: Aout two hours fter the Apoo 11 nding, ommnd Modue Piot Mike oins hd the foowing onverstion with pom Owen rriott: 104:59:35 rriott: oumi, Houston. We notied ou re mneuvering ver ose to gim ok. I suggest ou move k w. Over. 104:59:43 oins: Yeh. I m going round it, doing M Auto mneuver to the Pd vues of ro 270, pith 101, w :59:52 rriott: Roger, oumi. (Long Puse) 105:00:30 oins: (Fint, joking) How out sending me fourth gim for hristms. Quee: Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 31. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 32 Interktive Demo (VRML): Weiteres Proem: Interpotion wishen wei Rottionen (Orientierungen) mittes Euer-Winke kppt niht Beispie: Rottion von 90º um Z, dnn 90º um Y = 120º um (1, 1, 1) = Aer: Rottion von 30º um Z, dnn 30º um Y 40º um (1, 1, 1)! ims.wr. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 33. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 34 4

5 Rottion um einen eieigen Punkt in 2D Rottion um eine eieige Ahse in 3D Rottion mit Winke φ um P Mn möhte mit θ um die erde rotieren T(-P) R(φ) T(P) P P P P esuht: eine Mtri R, die diese Trnsformtion enthät Wir wissen, wie mn um eine Koordintenhse rotiert Somit müssen wir die Sene in eine Sitution trnsformieren, mit der wir umgehen können. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 35. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 36 Shritt 1 rundidee: 1. Vershiee einen Punkt der erden in den Ursprung 2. Rotiere um eine Ahse, so dß in einer Koordinteneene iegt 3. Rotiere um eine weiter Ahse, so dß uf einer Koordintenhse iegt 4. Rotiere um diese Ahse mit θ 5. Invertierte Rottion um die Koordintenhse us Shritt 3 6. Invertierte Rottion um die Koordintenhse us Shritt 2 7. Vershieen, so dß wieder in Ausgngsposition (Shritt 1) Vershiee erde, so dß ein Punkt im Ursprung iegt: p = (p, p, p ). Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 37. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 38 5

6 Shritt 2 Shritt 3 Rotieren, so dß in einer Koordinteneene iegt. Rotieren, so dß uf einer Koordintenhse iegt Hier rotiere mit -α um die -Ahse, so dß in der -Eene iegt Hier: rotiere mit β um -Ahse dmit erde uf der -Ahse iegt -α β. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 39. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 40 Shritt 4 Shritt 5 Durhführen der erwünshten Rottion (rotiere mit θ um -Ahse) Durhführen der invertierten Rottion um I urük in die Koordinteneene u vershieen: rotiere mit -β um die -Ahse dmit erde in -Eene iegt θ I I -β. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 41. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 42 6

7 Shritt 6 Shritt 7 Durhführen der invertierten Rottion, um I us der Koordinteneene u vershieen: rotiere mit α um -Ahse Invertiere die Ausgngstrnstion, um den Punkt us dem Ursprung n seinen Ausgngspunkt u vershieen P = (p, p, p ) α. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 43. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 44 Zusmmenfssung Aterntive Die voständige Trnsformtion um Rotieren um eine eieige Ahse ist: Rottionsmtri u Ahse r uf einen Shg ufsteen: 1. Ereuge neue Bsis (r, s, t) (estimme s und t, orthogon u r; siehe "Mth Rep") 2. Trnsformiere, so dß die Bsis (r, s, t) in die Stndrdsis (,, ) üergeht Ht mn diese Mtri, so wendet mn diese uf jeden Punkt des Ojektes n, ws den Effekt der Rottion dieses Ojektes um die eieige Ahse ht Ds üeräßt mn ntürih OpenL 3. Rotiere mit Winke φ um -Ahse 4. Trnsformiere urük in die ursprüngihe Bsis Zusmmen:. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 45. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 46 7

8 Zeregung einer Rottionsmtri egeen: Rottionsmtri R Aufge: den Rottionswinke θ estimmen Lösung: Aufge: Rottionshse r estimmen Lösung: r ist der Eigenvektor um Eigenwert 1 der Mtri R Beweis: e Vektoren uf der Rottionshse eien fest, d.h. Beweis: Zu R git es eine Bsiswehsemtri U, so dß Berehnung der Eigenvektoren einer 33-Mtri: Zur Erinnerung: u jeder Mtri A git es eine djungierte Mtri A # Die Eemente der djungierten Mtri sind definiert s Es git: Es git: Speiee Eigenshft der Spur. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 50. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 51 Der virtuee Trk Fs, dnn ist Aso git für jeden Sptenvektor us A #, dß esuht ist der Eigenvektor um Eigenwert 1 von R, so ein, so dß Ds sind gerde die Spten von Wie git mn Orientierungen mit der Mus ein? Idee: Lege Kuge um ds Ojekt / die Sene Kuge knn um ihr Zentrum rotieren Mus pikt Punkt uf Oerfähe, den mn ieht eg.: 2D Punkte Strtpunkt = ( 1, 1 ), Endpunkt = ( 2, 2 ) es.: Rottionshse r Rot.hse r Berehnung: 1. Bestimme 3D Punkte Bemerkung: ds funktioniert uh für größere Mtrien, ist er niht mehr effiient 2. Rottionshe Weg der Mus im Fenster edhter Weg uf der Kuge. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 52. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 53 8

9 Strre Trnsformtionen (Rigid-Bod Trnsform) Mn knn um e Ahsen (is uf eine) direkt rotieren: Hintereinnderusführung von Trnstionen und Rottionen Erhät Längenverhätnisse und Winke eines Ojektes Ojekte werden niht deformiert / vererrt X Y Z Veresserungen: "Spinning trk" (à Inventor) vermeidet häufiges Nhfssen "Loking" für ektes Rotieren um eine Koord.hse Ws mht mn, wenn (,) die Eipse verssen? - Nihts(?) wird negtiv dnn noh, m Kreis nh innen spiegen p iegt uf der Rükseite der Kuge Inverse Rigid-Bod Trnsformtion. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 54. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 55 Antomie einer Mtri Erst Rottion, dnn Trnstion: Erst Trnstion, dnn Rottion: R 33 T 31 = T R 33. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 56. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 57 9

10 Trnsformtionen in OpenL Agemeiner Aufu: Einfhe Befehe ur Ojekttrnsformtion: Skierung Rottionen Trnstion grotte{fd}( TYPE nge,,, ); rotiert um nge rd(!) um die ngegeen Ahse; gtrnste{fd}( TYPE,, ); trnsiert um den ngegeenen Betrg; gse{fd}( TYPE,, ); skiert um die ngegeenen Fktoren. Projektionen (geih). Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 58. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 59 Mtrien Es git eine goe Mtri MODELVIEW, die nfngs mit der Einheitsmtri esett ist Jeder Aufruf von grotte, gse et. resutiert in der Mutipiktion der entsprehenden Mtri mit der goen Mtri von rehts,.b. gsef( s,s,s ) Behte die Reihenfoge in einer Mtrikette: Reihenfoge der OpenL-Befehe Reihenfoge der Ausführung Die Anordnung entspringt us dem Progrmmuf Koneptione knn mn es sih wie fogt vorsteen: gtrnstef( t,t,t ) gsef(1.5,1,1); gtrnstef(.2,0,0); grottef(30,0,0,1); render geometr Die eometrie wndert rükwärts durh ds Progrmm und smmet die Trnsformtionen ein. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 60. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 61 10

11 Direkte Mtrienspeifiierung Mn knn uh direkt Mtrien ngeen: gmutmtri{fd}( TYPE * m ); mutipiiert die Mtri uf die ktuee Mtri glodmtri{fd}( TYPE * m ); ersett die ktuee Mtri durh die ngegeene. glodidentit(); Speif: Einheitsmtri Mtrifrge: Ahtung: Mtrien werden sptenweise geegt, niht wie in üih eienweise! Ds nent sih "oumn-mjor order" (der Stndrd,.B. in, ist rowmjor order) Lfot mtri[] = { 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, t, t, t, 1 }; getfotv( L_MODELVIEW_MATRIX, fot * m );. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 62. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 63 Demo Trnsformtion von Normen Behuptung: Wenn ds Ojekt um M trnsformiert wird, dnn müssen die Normen der Oerfähe um N = (M -1 ) T trnsformiert werden Aer: Trnstion eeinfusst die Normen der Oerfähe niht Im F der Rottion ist M -1 = M T und somit N = M Bei niht-uniforme Skierung und Sherung ist N = (M -1 ) T M! Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 64. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 65 11

12 Retive Trnsformtionen Beweis: wir wissen n P X Eine Konktenierung von Trnsformtionen knn mn uh s eine Foge von (voneinnder hängigen) Koordintensstemen nsehen Beispie: Rooter wir hätten gerne Besteht us diesen Eineteien Bsis "Oerrm" "Unterrm" Hnd sete so N. n N. X Jedes Tei wurde in seinem eigenen Koordintensstem speifiiert (s Arr von Punkten) heißt Ojektkoordintensstem dmit ist N. P Rendert mn e Teie ohne jede Trnsformtion, entsteht fogendes:. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 66. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 67 Würde mn jedes Tei, usgehend vom Ursprung des Wetkoordintensstems, n seinen Pt trnsformieren, sähe ds ungefähr so us: glodidentit(); // set up mer gtrnstef( tr_se_, tr_se_, ); render se glodidentit(); // set up mer gtrnstef( tr_se_, tr_se_ + 10, ); render upper rm glodidentit(); // set up mer gtrnstef( tr_se_, tr_se_ , ); render ower rm... Ann.: Höhe der Bsis ist 10 Ann.: Höhe des Oerrms ist 5 Ntürih mht mn es ungefähr so: glodidentit(); // set up mer gtrnstef( tr_se_, tr_se_, ); render se gtrnstef( 0, HEIHT_BASE, 0 ); grottef( ph, 0, 1, 0 ); render upper rm gtrnstef( 0, HEIHT_UPPER_ARM, 0 ); grottef( et, 1, 0, 0 ); render ower rm gtrnstef( X_SIZE_LOWER_ARM, 0, 0 ); render hnd β α Sohe Prmeter würde mn ntürih in einer Ksse 'Rooter' s Instnvrien speihern. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 68. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 69 12

13 Ojekthierrhien Aterntive Betrhtungsweise ist, dß ei jeder Trnsformtion ein neues okes Koordintensstem entsteht, ds eügih seines Vter- Koordintensstems um genu diese Trnsf. trnsformiert ist Ddurh ergit sih eine Ahängigkeit der Ojekte Sie etrifft vor em deren Trnsformtionen Betrifft später uh ndere Attriute (.B. Fre) Der so definierte Bum heißt Senengrph glodidentit(); // set up mer Bsis In dieser Reihenfoge entstehen die oken Koordintenssteme us dem Wetkoordintensstem gtrnstef( tr_se_, tr_se_, ); render se gtrnstef( 0, HEIHT_BASE, 0 ); grottef( ph, 0, 1, 0 ); render upper rm gtrnstef( 0, HEIHT_UPPER_ARM, 0 ); grottef( et, 1, 0, 0 ); render ower rm gtrnstef( X_SIZE_LOWER_ARM, 0, 0 ); render hnd In dieser Reihenfoge werden die Trnsformtionen uf die eometrie (d.h., die Punkte) ngewendet Unterrm Oerrm Hnd Bemerkung: wir werden in diesem Semester Senengrphen noh niht epiit drsteen. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 70. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 71 Ein etws kompiierteres Beispie: Aufge: fogende Konfigurtion drsteen Linker Arm Rehter Arm Bsis Unterrm Oerrm Unterrm Oerrm Ntürihe Vorgehensweise ist Depth-First-Trvers durh den Senengrph: Bsis Do trnsformtion(s) Bsis Hnd (inker Arm) Hnd (rehter Arm) Unterrm Oerrm Unterrm Oerrm Drw se Do trnsformtion(s) Drw eft rm Wehe sind ds?? Hnd Hnd Do trnsformtion(s) (inker Arm) (rehter Arm) Drw right rm. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 72. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 73 13

14 Erster (fsher) Versuh Lösung Bsis Initie MODELVIEW Mtri M Unterrm Unterrm Trnste(5,0,0) M = M. T Drw se Speihere die MODELVIEW-Mtri n dieser Stee in einem Zwishenspeiher Oerrm Oerrm Hnd Hnd (inker Arm) (rehter Arm) Trnste(5,0,0) Drw se Rotte(75, 0, 1, 0) Drw eft rm Rotte(-75, 0, 1, 0) Drw right rm Ws ist hier fsh?! Antwort: der rehte Arm so retiv ur Bsis um -75 rd gedreht sein, in diesem Progrmm er wird er retiv um inken Arm gedreht! Rotte(75, 0, 1, 0) Drw eft rm Rotte(-75, 0, 1, 0) Drw right rm Initie MODELVIEW Mtri M Trnste(5,0,0) M = M. T Drw se Rotte(75, 0, 1, 0) Drw eft rm Rotte(-75, 0, 1, 0) Drw right rm Resturiere diese gemerkte MODELVIEW-Mtri n dieser Stee us dem Zwishenspeiher Lösung: ein Mtri-Stk An dieser Stee die ktuee MODELVIEW- Mtri uf den Stk pushen An dieser Stee die oerste Mtri vom Stk pop-en und in die MODELVIEW- Mtri shreien. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 74. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 75 Der Mtri-Stk in OpenL Beispie In OpenL git es nur einen MODELVIEW-Mtri-Stk Die oerste Mtri uf diesem Stk ist die ktuee MODELVIEW- Mtri, die für die eometrie-trnsformtion verwendet wird Ae Trnsformtions-Kommndos (glodmtri, gmutmtri, gtrnste, ) operieren uf der oersten Mtri! Opertionen: gpushmtri(); gmtrimode(l_modelview); glodidentit(); gmutmtri( M1 ); gtrnste( T ); gpushmtri(); grotte( R ); gpushmtri(); Aktuee MODELVIEW- Mtri: I M1. R. R Zustnd des Mtri-Stks: I M1. R. R. R dupiiert die oerste Mtri uf dem Stk und egt diese oen uf dem Stk ; gpopmtri(); wirft die oerste Mtri vom Stk weg. gmutmtri( M2 ); gpopmtri(); gse( S ); gpopmtri();. R. M2. R. R. S. R. R. R. R. S. R. M2. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 76. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 77 14

15 Beispie im ode Demo um Senengrph Trnsformtion Propgtion. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 78. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 79 Kssifiktion er Trnsformtionen Projetive Affine Ähnihkeiten strikt / eukidish Liner Trnstion Identität Rottion Isotrope Skierung Skierung Spiegeung Sherung Perspektive. Zhmnn omputer-rphik 1 - WS 07/08 Trnsformtionen 80 15