Einführung in die Elektronik für Physiker

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1 Hartmut Gemmeke Forschungszentrum Karlsruhe, IPE Tel.: Einführung in die Elektronik für Physiker 22. Analog-Digital-Wandlung und digitale Filter Digitale Datenerfassung Abtast-Theorem Schritte der digitalen Signalverarbeitung im Frequenzraum Methoden der Digitalisierung und ihr Fehler Parallel (Flash) ADC, Kaskadenverfahren, Sukzessive Approximation, Sigma- Delta Wandler, Dual-Slope Converter Digitale Übertragungsfunktion Digitale Filter Digitale Datenerfassung 1.! Analoge Vorverarbeitung des kontinuierlichen Signals a)! Verstärkung b)! Analoges Filter 2.! Digitalisierung a)! Abtastung zur Zeit t µ entspr. u e (t µ ) b)! Ist Folge von diskreten Zahlenwerten x(t µ ) ohne Informationsverlust? 3.! Digitale Signalbearbeitung (z.b. Filter): Zahlenfolge x(t µ )! y(t µ ) " digitale Übertragungsfunktion 4.! ev. Zurückwandlung in ein analoges Signal: DA-Wandler + Tiefpaß zur Glättung Anwendungen*: Abtastfrequenz Auflösung(bit) digitales Telefon 8 khz 12 CD 44,1 khz 16 digitales Fernsehen 13,3 MHz 8 Datenerfassung, digitales Oszilloskop khz-ghz 24-8 *Trend: so früh wie möglich digitalisieren, um Qualität zu erhalten: z.b. digitales Tel., Radio bzw. Fernsehen Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 22 2

2 Shannonsches Abtasttheorem Zeitbild Frequenzdarstellung Wie oft muss ich abtasten, so dass ich eine Signalfrequenz f S noch rekonstruieren kann? ideale Abtastfunktion = Dirac-Impulsfolge: im Zeitabstand T A mit Abtastfrequenz f A +% " ( t ) = & "( t#n$t TA A ) mit fa = 1 n=#% T A Digitales Signal y A (f) = Faltung von y s (f) mit # T (f), im Zeitbereich Produkt y A (t) = y s (t) "# T (t) Shannonsches Abtasttheorem, bzw. yquist Kriterium f A > 2!f s, d.h. die Abtastfrequenz muss mindestens doppelt so groß sein wie die Signalbandbreite f S, damit die Funktion eindeutig bestimmt ist Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 22 3 Abtasttheorem f s ist nicht die 3dB Bandgrenze (!), sondern die absolute Bandgrenze über die gewünschte Dynamik des Signals! "! sehr steiler Tiefpaß notwendig (andernfalls verfälschen die höheren Frequenzen das Signal und die eindeutige Rekonstruktion ist nicht möglich) "! Wähle ich eine größere Samplingrate (Oversampling), dann muss der Filter nicht so steil sein! Der Oversamplingfaktor ist f A /(2f S ) -> höhere Tonreinheit "! Z.B. für die Telefon-Sprachübertragung wird eine Bandbreite von 3,4 khz genutzt. ach dem Shannonschen Abtasttheorem ist damit der maximale Abtastabstand T A = 1 /(3400*2) s = 147 "s. Wegen der endlichen Steilheit der Filter wird aber T A = 125 "s oder f A = 8 khz gewählt. Zeitbild Frequenzdarstellung Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 22 4

3 Darstellung des Abtastverhaltens (c) f A < 2!f s " Überlapp: Frequenzen erster Ordnung werden in das Messband gespiegelt (alias), keine Trennung innerhalb der Signalbandbreite möglich! (a,b) f A $ 2! f s Antialias-Filter, um hochfrequente Störungen oberhalb f s auszuschließen! Reales System hat keine Dirac, sondern Rechtecksimpulse der Breite %T A u e (t) " u e (t) mit Fourierspektrum " muss bei Rücktransformation berücksichtigt werden! sin$%t A % # X "( j# ) = 2 $%T A % # 2 X( j# ) Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 22 5 Frequenzbild der digitalen Signalverarbeitung 1.! Antialias-(Tiefpass)-Filter Bandbegrenzung f Signal < 2 f Abtast 2.! Digitalisierung: Abtastung mit endlich breiten Rechtecksimpulsen %T a sin (" #$ # T a # f ) " #$ # T a # f 3.! Ev. digitale Bearbeitung 4.! Digitale Rekonstruktion mit Tiefpassfilter auf dem Ausgangssignal, um das bandbegrenzte Signal (oben) wiederherzustellen - sonst arbeitet man mit dem dig. Signalspektrum (2) Siehe auch Tietze-Schenk Kap. 24.1, Ausg Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 22 6

4 Sensitivität verschiedener Rechtecks-Abtaster Ein #-Abtaster hat das beste Frequenzverhalten Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 22 7 Analog-Digital Wandlung Zahl der Konversionsschritte für n Bits! Parallel 1! Kaskade 2-4! Wägen n! &-' n(ln n! Zählen 2 n &-' ADC mit n Bits! Amplitudenauflösung 1 < U * LSB >= ULSB " # x dx = 0,5"U LSB 0 0,5"U LSB = 0,5 U e max 2 n $1 * U LSB = Spannungsstufe für das "Least Significant Bit" Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 22 8

5 Fehler bei der Analog-Digital Wandlung Digitalisierungsrauschen Annahme : U/U LSB = 2 n Varianz : " % 1 = U LSB # ' & 2 $x ( 2 + * dx= 1 ) 12 #U 2 LSB 0 %, Störabstand 10 # log U ( 2 ' * = 20 # log2 n +10log12 &" ) = (6n +10,8) db statische Fehler:! Offset! Verstärkung U = 0 "/ Z = 0 e U = U "/ Z = 2 n #1 e max! Linearität Kanalprofil(breite) nicht konstant dynamische Fehler:! Apertur: Schwankung der Abtastzeit (Jitter)! achziehen: RC-Eingangsimpedanz kann sehr schnellen Änderungen du e /dt nicht folgen Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 22 9 ADC-Konversionsmethoden Parallelverfahren (Flash-ADC) = 2 n -1 Diskriminatoren + 1 Dekoder (siehe Vorl.16.2) (benötigt keine Abtast-Halte-Stufe & ist sehr schnell) Kaskadenverfahren = 2 oder 4 kaskadierte Flash-ADC s (benötigt Abtast-Halte-Stufe ist trotzdem noch schnell) x32! Problem: Genauigkeit (Linearität) des ersten hier 5 Bit ADCs zusammen mit dem DAC muss so gut wie die eines 10-Bit-ADC s sein! "!Korrekturstufe (Digitale Fehlerkorrektur mit einer Tabelle) Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 22 10

6 Abtast-Halte Stufe (Sample &Hold) Integration über die Abtastzeit Ablauf: Reset und folge dem Eingang:! S geschlossen! U a = U U = " 1 T # e a RC U e ( t) dt 0! Einschwingzeit: ) = RC = (R Opamp +R Schalter )!C u e! Für eine vorgegebene Genauigkeit 1% (7 Bit) t e = 4,6 ) => %=t e /T a =4,6)/T a 0,1% (10 Bit) t e = 6,9 ) => %=t e /T a =6,9)/T a Hold:! S ist offen, das Integrationsergebnis wird gehalten + - C S + - u a Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung Wägeverfahren (sukzessive Approximation) Abtast-Halte Stufe wird benötigt 8-16 Bit Auflösung, Konversionszeiten $ 4ns/Bit Ablauf für n-bit ADC: Finit state machine 1.! Reset: Bit i=n-1 in Z an, alle anderen 0 2.! Wenn U e <U ref *Z/Z max Bit i=0 3.! Wenn i>0 dann i=i-1; Bit i=1; goto 2 Ablaufsdiagramm: Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 22 12

7 Sigma-Delta-Wandler (&-') Zumeist 1-Bit Wandler: erzeugt Bitstrom, der erst durch ein digitales Filter die n- Bit-Form erhält (benötigt kein Abtast-Halte Glied):! U e = 0: U emax : ! Oversampling, Ordnung L, hier L=1 Signal-Rausch-Abstand ~ (3 + 6 L) log 2 db! Pro Oversamplingfaktor 2 erhöht sich die Zahl der nutzbaren Bits um * L+0,5 z.b.: Audio 2.8 MHz Bitstrom mit L=2 gibt 16Bit Audio-Qualität bis 22 khz Vorteile:! Geringe Anforderungen an die Präzision der Bauelemente,! Geringer Schaltungsaufwand,! Hohe erreichbare Auflösung,! Inhärent lineare A/D-Wandlung,! Keine Lücken im Ausgangskode (missing code). achteil:! aufwendiges Digitalfilter notwendig! langsam durch serielle Verarbeitung Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung Zählen: Sägezahn-Analog-Digital-Umsetzer = Dual Slope Converter Zwei Phasen: 1.! In der Messphase wird die positive Eingangsspannung U e mit einem invertierenden OPV über eine konstante Zeit t 1 integriert (man benötigt ein Abtast-Halte-Glied). Die erreichte Endspannung ist proportional zur Eingangsspannung. Die Zeit t 1 bestimmt ein Zähler mit konstanter Taktrate. 2.! In der Zählphase wird mit einer negativen Referenzspannung die aufintegrierte Spannung zurück auf 0 integriert. Die dafür notwendige Zeit bestimmt die gemessene Eingangsspannung. 0 = U CR t 1 +t 2 U ref $ U e = U ref t 2 t 1 = U ref Z 2 Z 1 t " dt = #U 1 e CR + U ref t 1 t 2 CR Weder Taktfrequenz, noch Zeitkonstante CR haben einen Einfluss auf das Zählergebnis! Aber natürlich digitale Auflösung de Zählers Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 22 14

8 ADC nach dem Dual-Slope Prinzip Anwendung: digitale Messgeräte (wenn keine schnelle Verarbeitung notwendig ist) eichen Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung Digitale Übertragungsfunktion I ach anti-alias Filter mit Zeitkonstanten T aa und Abtastzeitkonstanten T A (T aa $ 2T A ) Übergang vom zeitkontinuierlichem Signal " zum zeitdiskreten Signal Rechtecksabtaster: Breite "T A und # Halteglied T : g (t) = 1 0<t<T A & $ ' A H % 0 sonst ( y )(t) = +-. <y(t)> "TA *( t+n,t A ) g H (t) n= Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 22 16

9 Digitale Übertragungsfunktion II 2 aufeinander folgende Abtastwerte sind um T A =1/ f A verzögert T { x t µ } " " A #{ y t µ } : y( t µ ) = x t µ$1 ( ) ( ) ( )! im Frequenzraum Phasenverschiebung 2+(f (T A! Übertragungsfunktion H( j" f ) = ( ) y t µ x(t µ ) = e# j"2$" f "T A = Z #1 "! Rekonstruktion des analogen Eingangs mit idealem Tiefpass y ( j " f ) = 0 für f > f A in 2 +$ x (t) = % y n rekonstruiert ( ) " sin&" f A " t#n"t A n=#$ &" f A (t#n"t A ) ( ) Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung Digitales Filter ohne Rückkopplung (finite impulse response) FIR-Filter! symmetrische FIR s erlauben linearen Phasenverlauf " konstante Gruppenlaufzeit & keine Phasenverzerrungen! FIR s sind für beliebige Koeffizienten stabil (keine Rückkopplung) mit Rückkopplung (infinite impulse response) IIR-Filter! IIR s haben für Ordnung {(2+1)/(+1)} doppelt so viele Multiplikationen und Additionen wie FIR s, aber höhere Selektivität als FIR s.! IIR s erfordern hohe Genauigkeit in Wortbreiten und Koeffizienten sowie in Multiplikation und Addition FIR ( = Ordnung des Filters) H( Z) = #" k $ Z %k, Z %1 = e % j2&f = cos2&f % j $ sin2&f ; F = f $ T A k= Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 22 18

10 Symmetrische FIR-Filter Vorteil des FIR-Filters H( Z) = #" mit symmetrischen Koeffizienten " = ±" k $ Z %k k #k : 1.! lineare Phase und k=0 2.! frequenzunabhängige Gruppenlaufzeit " keine Laufzeitverzerrungen z.b.: " = " : " Z #k + " Z #(#k) = " & ( e # j2$f%k +e # j2$f(#k) ) + k #k k #k k ' * = " % e # j$f& ( e + j$f(#2k) +e # j$f(#2k) ) + k ' * = " k % e # j$f % 2cos$F( # 2k), H (Z) = e # j$f % -" + k %cos$f( #2k) k=0 : gerade Symmetrie H (Z) = je # j$f % -" # k sin$f( #2k) k=0 : ungerade Symmetrie / 1 #$F. = 0 #$F+ $ , lineare Phase H #, t gr = # d. d6 = # d. df % df d6 = $ % T A 2$ = 2 % T A, frequenzunabhängige Gruppenlaufzeit und für Tiefpass H : -" + k =1, "Gleichspannungsverstärkung = 1" k= Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung Beispiele für symmetrische digitale Filter Tiefpass 2.Ordnung: H( Z) = 0,25 + 0,5 " Z #1 + 0,25 " Z #2 = 0,25(1+1/Z) 2 H = 0,5 " (1+ cos2$f) % f H= 1 ( 1 % 2 g ' * = acos' & 2 ) 2$T A & 2 #1 ( * + 0,182/T ) A t gr = T A, $ y(t ) = " k x(t #k ) k= 0, = #2$F Hochpass 2.Ordnung H Z " ( ) = 0,25(1"1/Z) 2, #$ k = 0 Es lassen sich beliebige Filterfunktionen programmieren! Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 22 20

11 Rechtecksfilter moving average -Filter y() = 1/(+1)(&x(t -k ) (=9, 10 Elemente f g =f A /9) 1.! Alle Filtergewichte, k gleich 2.! Das erste und letzte Gewicht Faktor 2 kleiner 3.! FIR 9. Ordnung mit f g = f A /10 H(F) $ H(F) = " k Z #k k= 0 $ " k =1 k= 0 Symmetrisches FIR Filter ungerader Ordnung sind gut für Tiefpass: 1.! Bei F=0,5 ullstelle -> besseres Sperrverhalten 2.! Gerade Zahl von Koeffizienten mit, k =, -k -> einfache Realisation Hartmut Gemmeke, WS2008/2009, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 22 21