Formelsammlung. Regelungstechnik 2

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Harald Friedrich
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1 Formelsammlung für den Teilbereich Digitale Regelungen der Vorlesung Regelungstechnik 2 Diese Formelsammlung wird so auch für den Prüfungsteil Digitale Regelungen ur Verfügung gestellt Michael Buchhol Tomas Sabo SS 2009 Alle Angaben ohne Gewähr Bei Fehlern, Kritik, Anregungen und Lob: tomassabo@uni-ulmde c 2009 Michael Buchhol, Tomas Sabo, Ulm

2 Z-TRANSFORMATION Hinweis: In dieser Formelsammlung werden skalare Größen nicht unterstrichen (um Beispiel u(t)) Vektorielle Größen (Zeilen- oder Spaltenvektoren) werden mit kleinen, unterstrichenen Buchstaben (um Beispiel b), Matrien mit großen, unterstrichenen Buchstaben (um Beispiel A) beeichnet Zeilenvektoren werden in dieser Formelsammlung grundsätlich mit einem Transpositionseichen versehen (um Beispiel c T ), während Spaltenvektoren grundsätlich ohne Transpositionseichen notiert werden (um Beispiel b) -Transformation Hier beeichnet F () die -Transformierte der abgetasteten Zeitfunktion f(t), der Impulsfolge f (t) bw der Zahlenfolge f k Dabei ist f (t) = f(t) δ(t νt ) = f ν δ(t νt ) Operation Zeitfunktion Zahlenfolge -Transformierte Linearität c f (t) + c 2 f 2 (t) c f k + c 2 f 2k c F () + c 2 F 2 () Verschiebung nach rechts Verschiebung nach links f(t mt ) f k m m [ F () + m ν= f ν ν ] [ ] f(t + mt ) f k+m m F () m f ν ν Differenbildung f(t) f(t T ) f k f k F () f f(t + T ) f(t) f k+ f k ( )F () f 0 Summation f = 0, t < 0 f(t νt ) k f ν k F () f ν F () Dämpfung f(t)e αt f k β k = f k e αkt ( F ) ( ) e αt = F β α beliebig komplex β = e αt Differentiation der Bildfunktion t T f(t) kf k F () Faltung f, g = 0, t < 0 f (t) g (t) f(t) g (t) k f ν g k ν F () G () Anfangswertsat f(0) f 0 lim F () Endwertsat lim t f(t) f lim ( )F () wenn Grenwert ex

3 2 Z-TRANSFORMATION Nr F (s) = L {f(t)} f(t) F () = Z {f(kt )} mit f(t) = 0 für t < 0 mit f(kt ) = f(t) t=kt 0 δ(t) s σ(t) 2 s 2 t T ( ) 2 3 2! s 3 t 2 T 2 + ( ) 3 3! 4 s t 3 T ( ) 4 5 n! s n+ t n, n =, 2, T n n + ( ) n+ 6 s α e αt e αt α beliebig komplex 7 ω s 2 +ω 2 sin(ωt) sin(ωt ) 2 2 cos(ωt )+ 8 s s 2 +ω 2 cos(ωt) cos(ωt ) 2 2 cos(ωt )+ 9 s sin(φ)+ω cos(φ) sin(φ)+sin(ωt φ) s 2 +ω sin(ωt + φ) cos(ωt )+ ω 0 (s α) 2 +ω e αt sin(ωt) 2 e αt sin(ωt ) 2 2e αt cos(ωt )+e 2αT s α (s α) 2 +ω 2 e αt cos(ωt) e αt cos(ωt ) 2 2e αt cos(ωt )+e 2αT 2 (s α) sin(φ)+ω cos(φ) (s α) 2 +ω 2 e αt cos(ωt + φ) sin(φ)+eαt sin(ωt φ) 2 2e αt cos(ωt )+e 2αT 3 (s α) 2 te αt T eαt ( e αt ) 2

4 Z-TRANSFORMATION 3 Nr F (s) = L {f(t)} f(t) F () = Z {f(kt )} mit f(t) = 0 für t < 0 mit f(kt ) = f(t) t=kt 4 (s α) 3 2! t2 e αt 2 T 2 e αt +eαt ( e αt ) 3 5 (s α) 4 3! t3 e αt 6 T 3 e αt 2 +4e αt +e 2αT ( e αt ) 4 n! 6 (s α) n+ t n αt e n n =, 2, ( ) α n e αt = T n e αt n + ( e αt ) n+ 7 2ωs (s 2 +ω 2 ) 2 t sin(ωt) T ( 2 ) sin(ωt ) ( 2 2 cos(ωt )+) 2 8 s 2 ω 2 (s 2 +ω 2 ) 2 t cos(ωt) T (2 +) cos(ωt ) 2 ( 2 2 cos(ωt )+) 2 9 2ωs cos(φ)+(s 2 ω 2 ) sin(φ) t sin(ωt + φ) T 2 sin(ωt +φ) 2 sin(φ) sin(ωt φ) (s 2 +ω 2 ) 2 ( 2 2 cos(ωt )+) 2 20 s T ln(a), a 0 e t T ln(a) = a t T a 2 ( t/t ) n n =, 2, ( ) n 22 e t T ln(β) β n ( t/t ) n ( β) n, β 0, n =, 2, 23 e mt s, m = 0,, δ(t mt ) m 24 b 0+b e T s + +b me mt s a 0+a e T s + +a ne nt s b 0+b + +b m m a 0+a + +a n n, a ( ) t T + 26 t T β t T ( β) 2

5 4 2 SYSTEMBESCHREIBUNG IM ZUSTANDSRAUM 2 Systembeschreibung im Zustandsraum eitkontinuierlich ẋ(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) Zustandsgleichung Ausgangsgleichung eitdiskret x k+ = Φ x k + H u k y k = C x k + D u k Zustandsgleichung Ausgangsgleichung Φ(t) = e At = H(t) = 3 Stabilitätskriterien A ν t ν ν! = L { (si A) } A ν t ν ν! B = A [Φ(t) I] B ν= Notwendige und hinreichende Bedingungen für Einheitskreispolynome bis um Grad 4 Grad 2: Grad 3: Grad 4: N() = a a + a 0! = 0 mit a 2 > 0 N() > 0 ; N( ) > 0 ; a 2 > a 0 ; N() = a a a + a 0! = 0 mit a 3 > 0 N() > 0 ; N( ) < 0 ; a 3 > a 0 ; a a 3 a 0 a 2 < a 3 2 a 0 2 N() = a a a a + a 0! = 0 mit a 4 > 0 N() > 0 ; N( ) > 0; a 4 > a 0 ; a a 4 a 0 a 3 < a 4 2 a 0 2 ; (a 4 a 0 ) 2 (a 4 a 2 + a 0 ) + (a 3 a ) (a a 4 a 0 a 3 ) > 0 Kriterium von Schur-Cohn-Jury für Polynome höheren Grades N() = a n n + a n n + + a + a 0 mit a n > 0 Matrien für k =, 2,, n bilden a 0 a a k a 0 a a k 2 A k =, 0 a 0 B k = a n (k ) a n a n a n (k 2) a n a n 0, (k k)-matrix (k k)-matrix

6 4 STEUERBARKEITSKRITERIEN 5 Determinante bilden C k = det (A k + B k ) D k = det (A k B k ) Notwendige und hinreichende Bedingung, dass alle Pole im Einheitskreis liegen N() > 0 ( ) n N( ) > 0 n gerade n ungerade C 2 < 0, D 2 < 0 C > 0, D < 0 C 4 > 0, D 4 > 0 C 3 < 0, D 3 > 0 C 6 < 0, D 6 < 0 C 5 > 0; D 5 < 0 bis Index n bis Index n 4 Steuerbarkeitskriterien Steuerbarkeitskriterium nach Kalman Ein System ist genau dann vollständig steuerbar, wenn die Steuerbarkeitsmatrix Q S = [ ] H Φ H Φ 2 H Φ n H den Rang n hat Steuerbarkeitskriterium nach Hautus Ein System ist genau dann vollständig steuerbar, wenn die für jeden Eigenwert λ i von Φ gilt: Rang [λ i I Φ, H] = n, i =,, n 5 Beobachtbarkeitskriterien Beobachtbarkeitskriterium nach Kalman Ein System ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Beobachtbarkeitsmatrix den Rang n hat Q B = C C Φ C Φ 2 C Φ n Beobachtbarkeitskriterium nach Hautus Ein System ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die für jeden Eigenwert λ i von Φ gilt: [ ] λi I Φ Rang = n, i =,, n C

7 6 6 REGLERENTWURF 6 Reglerentwurf Vorsteuermatrix: Ackermannformel: S = [ ] C (I Φ + HK) H k T = q T n p(φ) Vollständige modale Synthese nach Roppenecker: K = [ p p n ] [ [Φ λ R I] Hp [Φ λ Rn I] Hp n ] 7 Allgemeine Matrixoperationen Die Inverse einer nxn-matrix A berechnet sich wie folgt A = [ ] T ( ) µ+ν det(a det A µν ) nxn wobei A µν die Untermatrix ist, die durch Streichung der µ-ten Zeile und ν-ten Spalte entsteht

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