Zusammenfassung der 7. Vorlesung

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1 Zusammenfassung der 7. Vorlesung Beschreibung und Analyse dynamischer Systeme im Zustandsraum Methoden zur Berechnung der Transitionsmatrix Φ(t) = e At Numerische Integration Reihenentwicklung Mit Hilfe der Diagonalform der Systemmatrix A Mit Hilfe der inversen Laplace-Transformation Berechnung mit Matlab (Skalierung und Quadrierung) Lösung der Zustandsgleichung im Frequenzbereich. G(s) = c T [ si-a ] -1 b = L{c T e At b}

2 Zusammenfassung der 7. Vorlesung Beschreibung und Analyse dynamischer Systeme im Zustandsraum Stabilitätsanalyse im Zustandsraum Asymptotische Stabilität (Realteile der Eigenwerte λ i der Systemmatrix A < 0 ). BIBO-Stabilität (ein asymptotisch stabiles System ist auch BIBOstabil, Umkehrung gilt nicht, da die Gewichtsfunktion g(t) Eigenbewegungen, die nicht steuer- und/oder beobachtbar sind, nicht enthält).

3 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit Mit Hilfe der Zustandsraumdarstellung und des Konzeptes der Steuerund Beobachtbarkeitkonnte Rudolph Kalman zum Ende der 50er Jahre erstmals folgende Frage anschaulich beantworten: Warum ist es nicht möglich, ein instabiles System durch eine perfekte Pol- Nullstellenkompensation in der rechten s-halbebene zu stabilisieren? X X X jω Xo s-ebene σ Die Ordnungder Übertragungsfunktionist dann jedoch kleinerals die Systemordnung (die Anzahl der konzentrierten Energiespeicher) und die instabileneigenbewegungenkönnen entweder mit Hilfe von Stellsignalen nicht mehr beeinflußt werden (nicht steuerbar) oder/(und) sind im Ausgangssignal nicht mehr sichtbar(nicht beobachtbar).

4 Pol-Nullstellenkompensation Beispiel, daß eine Stabilisierung durch eine Pol-Nullstellenkompensation in der rechten s-halbebene nicht möglich ist!!!!!!

5 Steuerbarkeit und Erreichbarkeit Die Erreichbarkeit stellt im Vergleich zur Steuerbarkeit eigentlich höhere Anforderungenan die Eigenschaften eines dynamischen Systems. Bei linearen, zeitinvariantensystemen muß nicht zwischen Steuer- und Erreichbarkeit unterschieden werden.

6 Beispiele: nicht vollständig steuerbare Systeme Heißluftballon Lediglich die Höhe eines Heißluftballons kann durch den Brenner gezielt beeinflußt werden. Parallelschaltung von Systemen mit gleichen dynamischen Eigenschaften u(t) h soll Die Wasserstände in den beiden Behältern können nicht unabhängig voneinander eingestellt werden.

7 Steuerbarkeitskriterien Der Rang der Steuerbarkeitsmatrix gibt die Anzahl der steuerbaren Zustandsgrößen an. 2 n-1 RangQS = Rang baba b... A b = n * S [ I Ab] λ=λi RangQ = Rang λ = n Man sagt dann auch, daß der Eigenwert λ i nicht steuerbar ist!! Ist die Bedingung nicht erfüllt, so kann die zugehörige Eigenbewegung nicht beeinflußt werden.

8 Steuerbarkeitskriterien: Beispiel Zustandsmodell x ɺ1(t) 1 0 x 1(t) b1 = + u(t) x ɺ (t) 0 2 x (t) b Das System ist vollständig z-steuerbar für b 1,b 2 0 Überprüfung der Steuerbarkeit mit Hilfe des Kalman-Kriteriums Q = S [ b Ab ] b b 1 1 = b2 2b 2 [ I A b ] Q * = λ S detq S = 2bb 1 2 bb 1 2 =bb 1 2 Rang Q s = 2 = n für b 1,b 2 0 Überprüfung der Steuerbarkeit mit Hilfe des Hautus-Kriteriums Eigenwerte:λ 1 = 1, λ 2 = 2 [ I A b] Rang λ = 1 [ I A b] Rang λ = Rang Rang 0 0 b b b b für b 2 0 für b =2 =2

9 Beobachtbarkeit

10 Beobachtbarkeitskriterien Der Rang der Beobachtbarkeitsmatrix gibt die Anzahl der beobachtbaren Zustandsgrößen an. T T n 1 Rang Q B = Rang c A c... ( A ) c = n * T RangQB = Rang λi A c λ=λ = n i Man sagt dann auch, daß der Eigenwert λ i nicht beobachtbar ist! Ist die Bedingung für einen Eigenwert nicht erfüllt, so kann die zugehörige Eigenbewegung nicht beobachtet werden.

11 Kalman-Kriterien 2 n-1 RangQS = Rang babab... A b = n T T n 1 Rang Q B = Rang c A c... ( A ) c = n

12 Dualität von Steuer- und Beobachtbarkeit Duales System Mit Hilfe der transponierten Matrizen bzw. Vektoren A T,b T,ceines Zustandsmodells (A,b,c T )läßt sich das sogenannte duale System bilden: Originalsystem Duales System Ein Programm zur Überprüfung der Steuerbarkeit kann auch zur Überprüfung der Beobachtbarkeit eingesetzt werden.

13 Numerische Steuerbarkeitsprüfung Die ein reales physikalisches System beschreibenden Zustandsmodelle sind häufig numerisch schlecht konditioniert, d.h. die Elemente der Systemmatrizen weisen große Betragsunterschiede auf: Betragsunterschied von 11 Zehnerpotenzen Zustandsmodell eines elektrischen Vertikalantriebes einer Zahnradschleifmaschine auf der Basis der physikalischen Einheiten kg, m, s.

14 Numerische Steuerbarkeitsprüfung (2) Die in der Standardliteratur angegebenen Analyse und Syntheseverfahren für Systeme in einer Zustandsraumdarstellung sind oft für eine numerische Untersuchung weniger gut geeignet: Beispiel: Kalmankriterium Matlab-Rechengenauigkeit: eps = 2-52 eps = D-15 Betragsunterschied von 15 Zehnerpotenzen Eine zuverlässige numerische Rangbestimmung ist nicht möglich

15 Numerische Steuerbarkeitsprüfung (3) Verbesserung der Kondition von A,b,c durch Skalierung Unter Skalierung versteht man eine Angleichung der Beträge der Matrixelemente zur Verbesserung der numerischen Kondition: Skalierung von A,b,c durch Anwendung einer Zustandstransformation ɶx (t) = Dx(t) x(t) D x(t) 1 = ɶ mit einer diagonalen Transformationsmatrix D liefert: ɺɶ ɶ(t) u(t) xɺɶ (t) DAD xɶ (t) Dbu(t) 1 1 D x(t) = AD x + b 1 = + xɺɶ (t) = Ax ɶɶ(t) + bɶ u(t) y(t) y(t) c D x(t) T 1 = ɶ T =ɶ ɶ c x(t)

16 Numerische Steuerbarkeitsprüfung (4) Skalierung durch eine günstige Wahl der physikalischen Einheiten der Zustandsgrößen: Ändern der Einheit der Zustandsgröße x 5 (t) (Kraft, die auf die Werkzeugspindel wirkt) von [N] auf [kn] durch Transformation mit: D = diag [1, 1, 1, 1, 10-3 ] Bei einem Betragsunterschied von 12 Zehnerpotenzen ist eine numerische Rangbestimmung gerade wieder möglich.

17 Numerische Steuerbarkeitsprüfung (5) Skalierung mit Hilfe der MATLAB-Funktion SSBAL Optimale Skalierung mit einer diagonalen Transformationsmatrix, deren Elemente ganzzahlige Potenzen der Rechnerbasis sind: D -1 = diag [2-9, 2 1, 2-10, 2-1, 2 16 ] Nochmalige Reduzierung der Betragsunterschiede und Angleichung der Zeilennormen ermöglichen eine zuverlässige numerische Rangbestimmung.

18 Beispiele für Probleme bei der numerischen Eigenwertberechnung Es ist bekannt, daß bei der numerischen Berechnung von mehrfachen Eigenwerte relativ große Fehler auftreten können! Beispiel 1: A = Doppelter Eigenwert bei λ = 3 Eigenwerte: e e-008i e e-008i Beispiel 2: A = Dreifacher Eigenwert bei λ = 0 Eigenwerte: e e e-006i e e-006i Eigenwerte sind die Lösung der Gleichung λ3 = eps und nicht von λ 3 = 0

19 Kalman-Zerlegung Der Zustandsvektor x(t)eines Zustandsraummodells kann durch 1 eine Transformation xɶ (t) = T x(t) in einen Vektor überführt werden, der aus vier Teilvektoren besteht: [ xɶ ( t) xɶ ɶ () t xɶ ] xɶ ( t) = (t) x (t) xɶ (t): die vollständig steuerbaren, aber nicht beobachtbaren Zustandsgrößen 1 T ɶx (t): 2 ɶx (t): 3 ɶx (t): 4 die vollständig steuerbaren und vollständig beobachtbaren Zustandsgrößen die vollständig beobachtbaren, aber nicht vollständig steuerbaren Zustandsgrößen die nicht steuerbaren und nicht beobachtbaren Zustandsgrößen 1 ɶA = T AT, 1 ɶb T b =, T T ɶc = c T

20 Kalman-Zerlegung (2) Zustandsmodell Blockschaltbild nicht mit dem Ausgang verbunden Das System ( Aɶ ist nur vollständig steuerbar. 11, bɶ 1) Das System ( Aɶ 22, bɶ 2, cɶ 2) ist vollständig steuerund beobachtbar. Das System ( Aɶ ist nur vollständig beobachtbar. 33, cɶ 3) Der Teil ( ɶA ) ist weder steuer- noch beobachtbar. 44 nicht mit dem Eingang verbunden

21 Kalman-Zerlegung (3) Alleine der vollständig steuerbareund beobachtbaresystemteil ( Aɶ, bɶ, cɶ ) wird durch die Übertragungsfunktion beschrieben. Nur für ein vollständig steuer und beobachtbares System (A, b, c) ist die Zahl der Pole vong(s), d. h. der Graddes Nennerpolynoms, N(s) gleich der Anzahl der Eigenwerte der Systemmatrix A. Ist das System nicht vollständig steuer und/oder beobachtbar, dann haben das Zähler und Nennerpolynom von G(s)gemeinsameWurzeln, d. h. durch entsprechende Linearfaktoren kann gekürzt werden. Damit hat dann das System weniger Pole als Eigenwerte.

22 Steuerbarkeitsprüfung mit der Matlab-Funktion CTRBF Kalman-Zerlegung (4) % RT: Überprüfung der Steuerbarkeit mit Hilfe der Kalman-Zerlegung % Beispiel 4.1 aus Svaricek, F.: Zuverlaessige numerische Analyse linearer % Regelungssysteme, Teubner Verlag, % Systemmatrix A nicht steuerbare Eigenwerte % A=[ A A= 0100 b= A21 A22 b T T T 001-1] c = c1 c 2 steuerbare Eigenwerte % % Eingangsmatrix b Abar = bbar = % b=[ ] % % Ausgangsmatrix c % c=[1 10-2] % e e e % Berechnung der Steuerbarkeits-Zerlegung % [Abar, bbar,cbar, T, k] = ctrbf(a,b,c)

23 Normalformen (2) Regelungsnormalform Sytemmatrix A R in Frobenius-Form: Die letzte Zeile enthält die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms oder abgekürzt ɺx (t) = A x (t) + b u(t), R R y(t) =c x (t) T R

24 Eigenschaften der Regelungsnormalform Normalformen (3) Die Regelungsnormalformläßt sich sofort angeben, wenn die Übertragungsfunktion G(s)eines dynamischen Systems bekannt ist. Die Regelungsnormalformexistiert dann und nur dann, wenn das System (A,b) vollständig steuerbar ist. Die Regelungsnormalform erhält man durch eine Zustandstransformation mit der Transformationsmatrix letzte Zeile der inversen Steuerbarkeitsmatrix

25 Normalformen (4) A B = A R T b B = c R c BT = b R T Dualer Zusammenhang