Formelsammlung (zusammengestellt aus... ) 1 Grundlagen linearer Regelungstechnik

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1 Übung (WS8/9 Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand.7.8 Alle Abbildungen und Übungsunterlagen basieren fast ausschlieÿlich auf den Übungsunterlagen aus dem WS3/4 von Dr.-Ing. Christoph Hackl. Alle von Dr.-Ing. Hackl erstellten Abbildungen sind mit Courtes of Dr.-Ing. Christoph Hackl gekennzeichnet. Vielen Dank hierfür! Formelsammlung (zusammengestellt aus... a D. Schröder, Elektrische Antriebe: Grundlagen, Springer-Verlag, 7. b D. Schröder, Elektrische Antriebe: Regelung von Antriebssstemen, Springer-Verlag, 9. c P. Vachenauer, Springers Mathematische Formeln: Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Informatiker, Wirtschaftswissenschaftler, Springer-Verlag,. Folgende Zusammenhänge werden immer wieder im Laufe der Übung gebraucht. Grundlagen linearer Regelungstechnik Lösungsformel für ax + bx + c = x, = b ( ± a 4 ac b für a, b, c R ( Rechenregeln für Logarithmus zur Basis x log x (a b c = log x (a + c log x (b für a, b, c, x R ( Komplexe Rechnung s = σ + j ω = s exp(j s C für σ, ω R (3 wobei s := σ j ω, s = s s = R{s} + I{s} und tan s = I{s} R{s}. Dann s = arctan ( I{s} + R{s}, I{s} R{s} π, (I{s} < I{s} > R{s} π, I{s} R{s}. (4 Rechenregeln für arctan(x mit x R {± } Es gilt arctan( x = arctan(x und arctan ( = x π arctan(x, x > π arctan(x, x <. Folgende Funktionswerte arctan(x ergeben sich für ausgewählte Argumente x: x ± ± 3 ± ± 3 arctan(x ± π ± π 3 ± π 4 ± π 6 Seite /8

2 Übung (WS8/9 Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand.7.8 Laplace-Transformation x(s = x(t exp( stdt (oder kurz x(t x(s Für a, b R und a b gilt: ẋ(t sx(s x(+ (5 ẍ(t s x(s sx(+ ẋ(+ (6 {, t T σ(t T = e st (7, t < T s t n, n N n! s n+ (8 a b (exp( bt exp( at (s + a(s + b exp( at cos(bt s + a ( (s + a + b b exp( at sin(bt ( (s + a + b ( exp( at exp( bt + (a bt exp( bt ( (s + a(s + b (a b (9 Faltungsregel für Impulsantworten f(t F (s und g(t G(s f(t g(t := t f(τg(t τdτ F (sg(s (3 Additivität von Betrag (in [db] und Phase im Bode-Diagramm F (jω = F (jω... F n (jω = F (jω exp(j F (jω... F n (jω exp(j F n (jω (4 F (jω db = log( F (jω... F n (jω = log( F (jω log( F n (jω = F (jω db F n (jω db (5 F (jω = F (jω F n (jω (6 Standardreglerstrukturen P-Regler: PI-Regler: u(t = V R ( e(t + T n PD-Regler: e(tdt u(t = V R e(t F P (s = u(s e(s = V R (7 F P I (s = u(s ( e(s = V R + ( + = V R st n st n (8 u(t = V R (e(t + T v ė(t F P D (s = u(s e(s = V R ( + st v (9 Seite /8

3 Übung (WS8/9 Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand.7.8 PID-Regler: u(t = V R (e(t + T v ė(t + e(t dt T n F P ID (s = u(s ( e(s = V R + st v + st n = V R ( + + s T v T n st n Anfangs- und Endwertsätze für F (s = (s u(s = Z(s N(s Wenn die Endwerte lim t + (t, lim t (t und lim t ẏ(t existieren und endlich sind, dann gilt lim t + lim t ( (t = lim (sf (su(s für deg(z < deg(n ( s (t = lim(sf (su(s ( s lim ẏ(t = lim (s F (su(s (3 t s wobei deg(z und deg(n die Ordnung des Zähler- bzw. Nennerpolnoms beschreiben. Stabilität von linearen Regelkreisen Ein Regelkreis der Ordnung m, n N, V S R, c,..., c m R und a,..., a n R mit der Übertragungsfunktion F S (s = (s u(s := V Z(s S N(s = V S c + c s + + c m s m + s m a + a s + + a n s n + s n mit m n (4 zwischen Eingang u(s und Ausgang (s ist (exponentiell stabil (d.h. Sstemantwort klingt ab, wenn alle Pole λ i von F (s, d.h. alle Nullstellen des Nennerpolnoms N(λ i = negativen Realteil R{λ i } < für alle i =,..., n besitzen. Routh-Hurwitz Stabilitätskriterium für lineare Regelkreise Dazu untersucht man das charakteristische Polnom n-ter Ordnung des LTI Sstems N(s = a + a s + a s + + a n s n, a,..., a n R. (5 Das charakteristische Polnom entspricht dem Nennerpolnom der Übertragungsfunktion. Es gilt: N(s ist ein Hurwitz-Polnom (d.h. Sstem ist exponentiell stabil, (i dann sind alle Koezienten a i > in N(s (notwendige Bedingung, d.h. nicht unbedingt ausreichend!; (ii genau dann, wenn der Koezient a n > und alle nordwestlichen Hurwitz-Unterdeterminanten D i > für i =,..., n (notwendige & hinreichende Bedingung Falls alle Koezienten a i > kann über das Liénard-Chipart-Kriterium die Anzahl der zu untersuchenden Determinaten reduziert werden. Es müssen lediglich die Determinanten D i mit ungeradem Index i =, 3, 5,... oder geradem Index i =, 4, 6,... auf Positivität geprüft werden. Dieser Sachverhalt basiert auf der linearen Abhängigkeit der Determinaten für a i > für alle i =,, 3,.... Seite 3/8

4 Übung (WS8/9 Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand.7.8 Die Unterdeterminanten D i entstehen aus den Determinanten der entsprechenden (i, i- Untermatrizen in der linken oberen (nordwestlichen Ecke der Koezienten-Matrix a n a n 3 a n 5... a n n+3 a n n+ a n a n a n 4... a n n+4 a n n+ a n a n 3... a n n+5 a n n+3 M n = a n a n... a n n+6 a n n+4 R n n. ( a a a Zu untersuchen sind D = a n und D = a n a n 3, etc. Es gilt a k = für k >. Kausalität (Realisierbarkeit Ein lineares dnamisches Sstem F S (s = (s := V u(s S Z(s = V N(s S c +c s+ +c m s m +s m a +a s+ +a n wird s n +s n kausal genannt, wenn m n. Die Sstemantwort (t eines kausalen Sstems hängt lediglich vom (vorangegangenen Verlauf der Eingangsgröÿe u(τ mit τ t ab. a n a n Zustandsdarstellung eines LTI Sstems (Regelungsnormalform Zustandsgleichung (Vektordierentialgleichung und Ausgangsgleichung eines dnamischen Sstems n-ter Ordnung } ẋ(t = Ax(t + bu(t, x( = x R n (t = c (7 x(t mit dem Zustandsvektor x(t = ( x (t,..., x n (t R (z.b. Motorstrom & -drehzahl der Stellgröÿe u(t R (z.b. Motorspannung oder -moment der Sstemmatrix in Regelungsnormalform (RNF A = R n n ( a a a n dem Steuer-/Einkoppelvektor b = (,...,, V S R n dem Auskoppel-/Ausgangsvektor c = ( c, c,..., c n R n Übertragungsfunktion (aus Regelungsnormalform Darstellung im Laplace-Bereich mit s = σ + iω C ergibt F S (s = (s u(s = c (si n A c + c s + + c n s n b = V S (9 a + a s + + a n s n + s n linearen, zeit-invarianten (engl. linear, time-invariant Seite 4/8

5 Übung (WS8/9 Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand.7.8 Stabilität eines LTI Sstems in Zustandsdarstellung (7 Ein Sstem der Form (7 ist für jeden Anfangswert x R n (exponentiell stabil und für jeden Anfangswert x R n und jeden beschränkten Eingang u( bounded-input, bounded-output (BIBO stabil, wenn alle Eigenwerte λ,..., λ n C der Matrix A negativen Realteil besitzen, d.h. R{λ i } < für alle i {,..., n}. Die Eigenwerte können durch Nullsetzen der charakteristischen [ Gleichung χ A (s := det(si n A = bestimmt werden. Hierbei entspricht ]. I n =.. R n n der Einheitsmatrix der Ordnung n. Die Eigenwerte λ i sind identisch mit den Polen der Übertragungsfunktion (3. Grundlagen: Drehfeldmaschinen Wichtige Grundlage zum Verständnis von Drehfeldmaschinen ist die Zeigertheorie (engl. space vector theor. Hierzu siehe Abbildung. u v w q q i q s i β s β ω s = φ s i s = i s s d ω k = φ k i d s b i q s b φ s φ k i d s d ω r = φ r c b r c r a r a b r c cr i α s a r a φ r α Courtes of Dr.-Ing. Christoph Hackl Abbildung : Zeigertheorie: Maschine mit Anschlussklemmen u, v, w, Stator-Wicklungen a, b, c und Rotor-Wicklungen a r, b r, c r (links und unterschiedliche Koordinatenssteme (rechts: 3-phasiges Koordinatensstem (a, b, c, statorfestes s-koordinatensstem (α, β, rotorfestes r-koordinatensstem (d, q und beliebiges k-koordinatensstem (d, q und Statorstrom i s mit Länge i s = i s s = (i α s + (i β s = is r = i s k mit entsprechenden Komponenten (z.b. i α s und i β s im Stator-Koordinatensstem. Seite 5/8

6 Übung (WS8/9 Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand.7.8 Clarke-Transformation von Stranggröÿen x abc in Statorgröÿen x s = T C x abc mit T C : R 3 R 3, x a x b x c }{{} =:x abc x α x β x }{{} =:x s := } {{ } =:T C R 3 3 [Analogie zu D. Schröder: a := e j =, a := e j, a := e j 4 ] wobei x {ψ r, ψ s, u r, i s,... }. T C ist regulär mit inverser Matrix T C = 3, d.h. xabc = T 3 x a x b x c (3 C xs. (3 Oft wird die Nullkomponente x vernachlässigt (z.b. gilt i = = i a + i b + i c bei Sternschaltung, dann vereinfachen sich die Clarke-Transformationsmatrizen zu T C = 3 3 R 3 und T 3 C = 3 R3. 3 Park-Transformation von Statorgröÿen x s in beliebig umlaufendes Koordinatensstem (z.b. rotorfestes (d, q -KoS oder rotorussfestes (d, q-kos Zur Vereinfachung wird die Nullkomponente (zero-sequence x in Statorgröÿen vernachlässigt [ cos(φ ] sin(φ T P : R R, φ T P (φ := sin(φ cos(φ [Analogie zu D. Schröder: e j φ ] (3 wobei T P (φ regulär für alle φ R mit inverser Matrix [ cos(φ ] sin(φ T P (φ = sin(φ cos(φ = T P (φ = T P ( φ. [Analogie zu D. Schröder: e j φ ] (33 Es gilt entsprechend cos(φ sin(φ T P ( φ = = T P ( φ = T P (φ. (34 sin(φ cos(φ Seite 6/8

7 Übung (WS8/9 Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand.7.8 Mithilfe der trigonometrischen Sätze folgt φ, φ R: T P (φ T P (φ = T P (φ + φ. [Analogie zu D. Schröder: e j (φ +φ ] (35 Für φ = π/ gilt ( π J := T P =, [Analogie zu D. Schröder: e j π ] (36 was einer (positiven Drehung um π/ eines Vektors x R entspricht. Die Matrizen J und T P (φ kommutieren, d.h. sin(φ cos(φ φ R: JT P (φ = = T P (φj, (37 cos(φ sin(φ [Analogie zu D. Schröder: e j( π +φ = e j(φ+ π = je jφ ]. Für d φ =: ω gilt dt Ṫ P (φ := d sin(φ cos(φ dt T P (φ = ω = ω JT P (φ = ω T P (φj (38 cos(φ sin(φ und [Analogie zu D. Schröder: Ṫ P (φ := d dt T P (φ = ω [Analogie zu D. Schröder: [ sin(φ cos(φ cos(φ d dt ejφ = jω e jφ = ωe j( π +φ = ωe j(φ+ π ] sin(φ ] d dt e jφ = jω e jφ ] = ω JT P (φ = ω T P (φ J Mit der Konvention φ k = φ lässt sich mithilfe der Park-Transformation T P (φ k ausgehend von einem statorfesten Koordinatensstem (α, β in ein (beliebiges umlaufendes k-koordinatensstem (d, q (Superskript x k = (x d, x q übergegangen werden (39 x k = T P ( φ k x s = T P (φ k x s = x s = T P (φ k x k, (4 z.b. zur Rotoruss-Orientierung (d.h. ψr q = ψ r q = und ψr d = ψ r r = ψ k r, der Rotoruss im k-koordinatensstem liegt `exakt' auf der d-achse. Seite 7/8

8 Übung (WS8/9 Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand.7.8 Optimierungstabelle z FS {}}{ ref ref FG FR FSσ FS FS Führungsglättung Regler Strecke ref ref, ref, ref, Führungsgröße tan taus max ref, ±% t t z z z z max z Störgröße Wendetangente tan t t Strecke Regler Verhalten bei Sprung der Nr. Tp FS Einstellung Günstiger Opt. Tp FR Bereich Krit. Tn VR Tv TG tan taus Führungsgröße ref (bzw. ref (±% max ref, Störgröße z Nr. ref, Ters tan max z z PT 3 PT PT3 + s ( + st( + s ( + st( + st( + s 7 T > beliebig I VR T T T T T T s BO P VR BO T > PI VR 4 PI VR + + BO T SO 4 T T PD VR( + stv BO T > PID VR 4 PID VR ( + ( + stv ( + ( + stv BO T SO 4 T T..4T σ T T T..4 4,7 8,4,4 6,3,64 (4,7 (8,4 (,4 ref, VR + VR 4,7 8,4,4 5,5 3,... 4,7 8,4... 6,5,4...,43 4,7... 7,6 8,4... 3,3,4..., ( (4,7 (8,4,4 ref, VR + VR (4,7 T 4 + T 4,7 8,4,4 4,4 3,... 4,7 8,4... 6,5,4...,43 4,7... 7,6 8,4... 3,3,4..., TT T σ 4 T + VR,5..., T/,...,6 T/ + VR,5...,75 T / T /,4...,8 T/ T / + VR VR T 8 P VR BO T IT st( + s + T 9 beliebig PI VR SO 4 4T σ 4,7 8,4,4 (4,7 3, 6,5,43 7,6 3,3,8 4 VR,6 T/ VR 8 9 IT T PD VR( + stv BO T T st( + st( + s ( + ( + stv T beliebig PID VR SO 4 T T > 4 4,7 8,4,4 4 + T 3, 6,5,43 7,6 3,3,8 4 4 T VR,8 T/ T / VR Abbildung : Optimierungstabelle für exakt bekannte Strecken mit Ordnung n 3 und rein reellen Polen (T, T... groÿe Zeitkonstanten,... kleine (Ersatz-Zeitkonstante. Courtes of Dr.-Ing. Christoph Hackl Seite 8/8