1 Trigonometrische Formeln (siehe [1])

Transkript

1 Trigonometrische Formeln (siehe []) Formelsammlung (WS6/7) Formelsammlung (Stand 6..6 Final) Im Folgenden gelte x, y R (bei entsprechender Einschränkung des Bereiches falls notwendig) und imaginärer Einheit j. sin(x±y) = sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y) () cos(x±y) = cos(x)cos(y) sin(x)sin(y) () tan(x±y) = tan(x)±tan(y) tan(x)tan(y) = sin(x±y) cos(x±y) () sin(x)sin(y) = ( ) cos(x y) cos(x+y) (4) cos(x)cos(y) = ( ) cos(x y)+cos(x+y) (5) sin(x)cos(y) = ( ) sin(x y)+sin(x+y) (6) ( ) ( ) x+y x y sin(x)+sin(y) = sin cos (7) ( ) ( ) x+y x y sin(x) sin(y) = cos sin (8) ( ) ( ) x+y x y cos(x)+cos(y) = cos cos (9) ( ) ( ) y +x y x cos(x) cos(y) = sin sin () ( ) π arctan(x),x > arctan = x arctan(x),x <. () arctan( x) = arctan(x) () arctan ( ) y y = bel., x > x arctan ( y x) +π y, x < arctan ( y atan(y, x) = x) π y <, x < + π () y >, x = π y <, x = undefiniert y =, x = e jx = cos(x)+jsin(x) (4) cos(x) = ( e jx +e jx) (5) sin(x) = j ( e jx e jx) (6) Folgende Funktionswerte arctan(x) ergeben sich für ausgewählte Argumente x: x ± ± ± ± arctan(x) ± π ± π ± π 4 ± π 6 Tabelle : Ausgewählte Argumente für und Funktionswerte von arctan : R R. Seite /5

2 Formelsammlung (WS6/7) Formelsammlung (Stand 6..6 Final) x [ ] [ ] sin(x) cos(x) tan(x) π π 6 [ ] 4 [45 ] π π π π [6 ] [9 ] [ ] 4 [5 ] π [8 π ] [7 ] ± ± Tabelle : Ausgewählte Argumente für und Funktionswerte von cos, sin, tan : R R. Energieeinheiten und Umrechnungsfaktoren Energieträger Energiegehalt Anmerkung [kg] Steinkohle 8.4 [kwh] [kg] Rohöl.6 [kwh] Benzin: 8.7 [kwh/liter]; Diesel: 9.8 [kwh/liter] [m ] Erdgas 8.8 [kwh] [kg] Holz 4. [kwh] (bei 5% Feuchte) Tabelle : Umrechnungsfaktoren verschiedener Energieträger (siehe [, Tab..]) [kj] [kcal] [kwh] [kg] SKE [kg] RÖE [m Erdgas] [kj] = [Ws] [kcal] [kwh] [kg] SKE [kg] RÖE [m Erdgas] Tabelle 4: Umrechnungsfaktoren zwischen verschiedenen Energieeinheiten (siehe [, Tab..]) mit den Abkürzungen [kj]: Kilojoule, [Ws]: Wattsekunde, [kcal]: Kilokalorie, [kwh]: Kilowattstunde, [SKE]: Steinkohleeinheit, [RE]: Rohöleinheit und [ m ] : Kubikmeter (Volumen). Vorsatz Symbol Wert Vorsatz Symbol Wert Milli m (Tausendstel) Kilo k (Tausend) Mikro µ 6 (Millionstel) Mega M 6 (Million) Nano n 9 (Milliardstel) Giga G 9 (Milliarde) Piko p (Billionstel) Tera T (Billion) Femto f 5 (Billiardstel) Peta P 5 (Billiarde) Atto a 8 (Trillionstel) Exa E 8 (Trillion) Tabelle 5: Vorsätze, Symbole und Faktoren Seite /5

3 Formelsammlung (WS6/7) Formelsammlung (Stand 6..6 Final) Wechsel- und Drehstromsysteme (siehe [4, 5]) Im Folgenden sei t [s] ein beliebiger Zeitpunkt und x: R R ein periodisches Signal mit Periodendauer T > [s] (d.h. x(t) = x(t+t) für alle t ) und Amplitude ˆx >. Gleichwert oder arithmetischer Mittelwert (zeitlich gleitendx(t ) bzw. fürt-periodische Signale X): t T : X(t ) := T t x(τ)dτ bzw. X := T T x(τ)dτ (7) t T Gleichrichtwert (zeitlich gleitend X DC (t ) bzw. für T-periodische Signale X DC ): t T : X DC (t ) := T t x(τ) dτ bzw. X DC := T T x(τ) dτ (8) t T (für sinus- oder cosinusförmige Signale gilt X DC = πˆx.67ˆx) Effektivwert (engl. root-mean-square/rms value) oder quadratischer Mittelwert (zeitlich gleitend X eff (t ) bzw. für T-periodische Signale X eff ): t T : X eff (t ) := t x(τ) T dτ bzw. X eff = T x(τ) T dτ (9) t T. Wechselstrom Wechselstromsystem mit sinusförmiger Spannung u [V] und sinusförmigem Strom i [A]: u(t) = ûsin ( ) ωt+ϕ u und i(t) = îsin ( ) } ωt+ϕ i wobei û > [V], î > [A], ϕ u R [rad], ϕ i R [rad] und ω > [rad/s]. () Für sinus- oder cosinusförmige Signale wie in () gilt: Periodizität mit Periode: T := π ω [s] () Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom: ϕ := ϕ u ϕ i [rad] () Effektivwert: X eff = ˆx.77ˆx mit X,x {u, i} () Momentanleistung: t : p (t) := u(t)i(t) [W] (4) Seite /5

4 Formelsammlung (WS6/7) Formelsammlung (Stand 6..6 Final) Mittlere Leistung über Periode T wie in (): P := T T p (τ)dτ [W] (5) Wirkleistung für Phasenverschiebung ϕ wie in (): P := S cos(ϕ) = U eff I eff cos(ϕ) [W] (6) Blindleistung für Phasenverschiebung ϕ wie in (): Q := S sin(ϕ) = U eff I eff sin(ϕ) [var] (7) Scheinleistung: S := U eff I eff = P +Q [VA] (8). Symmetrisches Drehstromsystem Drehstromsystem mit sinusförmigen Strangspannungen u abc [V] und -strömen i abc [A] : u a (t) sin ( ) ωt+ϕ u u abc (t) := u b (t) = û sin ( ωt+ϕ u π) u c (t) sin ( und ωt+ϕ u 4 π) i a (t) sin ( ) ωt+ϕ i i abc (t) := i b (t) = î sin ( ωt+ϕ i π) i c (t) sin ( ωt+ϕ i 4π) wobei û > [V], î > [A], ϕ u R [rad], ϕ i R [rad] und ω > [rad/s]. (9) Für ein symmetrisches Drehstromsystem (9) gilt abhängig von der Verschaltung (siehe Abb. ): Periodizität (jedes Stranges) mit Periode: T := π ω [s] () Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom (gilt für jeden Strang): Effektivwert in Stern- bzw. Dreieckschaltung: Xeff str (9) = ˆx und Xeff verk = Momentanleistung: ϕ := ϕ u ϕ i [rad] () Xstr ˆx eff = Xverk eff, X,x {u,i} () t : p (t) := u abc (t) i abc (t) = u a (t)i a (t)+u b (t)i b (t)+u c (t)i c (t) [W] () Seite 4/5

5 Formelsammlung (WS6/7) Formelsammlung (Stand 6..6 Final) Mittlere Leistung über Periode T wie in () P := T T p (τ)dτ [W] (4) Wirkleistung für Phasenverschiebung ϕ wie in (): P := S cos(ϕ) = U str effi str eff cos(ϕ) [W] (5) Blindleistung für Phasenverschiebung ϕ wie in (): Q := S sin(ϕ) = U str eff Istr eff sin(ϕ) [var] (6) Scheinleistung S := (5),(6) = U str () P +Q [VA] eff Istr eff U verk eff Istr eff = () = Ueff verkiverk eff () = Ueff striverk eff (7) Seite 5/5

6 Formelsammlung (WS6/7) Formelsammlung (Stand 6..6 Final) u bc V W u b Z c i c Z b i b u c i a U=V=W u ab u ca u a Z a (a) Sternschaltung (Symbol ) mit verketteten Spannungen u verk {u ab, u bc, u ca }, Strangspannungen u str {u a, u b, u c } (über Z a, Z b, Z c ) und Strangströmen i str {i a, i b, i c }. U u c V i bc W Z c i c i ca V=W W=U i b Z b Z a u b U=V (b) Dreieckschaltung (Symbol ) mit Strangspannungen u str {u a, u b, u c } (über Z a, Z b, Z c ), Strangströmen i str {i a, i b, i c } und verketteten Strömen i str {i ab, i bc, i ca }. u a i a i ab U U V W U V W U V W u a U V W Za u b i a Z b u c Z c i b i c u a Za u b i a Z b u c Z c i b i c U V W (c) U V W Verdrahtung zu Sternschaltung (rechtslauf) der Wicklungen Z a, Z b, Z c mit Wicklungsanschlüssen U, U, V, V und W, W. (d) Verdrahtung zu Dreieckschaltung (rechtslauf) der Wicklungen Z a, Z b, Z c mit Wicklungsanschlüssen U, U, V, V und W, W. Abbildung : Stern- und Dreieckschaltung mit Anschlussklemmen U,V,W und Wicklungen Z a, Z b, Z c (Strangimpedanzen). Seite 6/5

7 Formelsammlung (WS6/7) Formelsammlung (Stand 6..6 Final) 4 Grundlagen linearer Regelungstechnik (siehe [, 6 8]) Lösungsformel für ax +bx+c = x, = b ( ± a 4 ac ) b für a,b,c R (8) Rechenregeln für Logarithmus zur Basis x log x (a b c ) = log x (a)+clog x (b) für a,b,c,x R (9) Komplexe Rechnung s = σ +j ω = s exp(j s) C für σ,ω R (4) wobei s := σ j ω, s = s s = R{s} +I{s} und tan s = I{s} R{s}. Dann s = arctan ( ) I{s} + R{s},I{s} R{s} π,(i{s} < I{s} > ) R{s} π,i{s} R{s}. (4) Laplace-Transformation x(s) = x(t)exp( st)dt (oder kurz x(t) x(s)) Für a,b R und a b gilt: ẋ(t) sx(s) x() (4) ẍ(t) s x(s) sx() ẋ() (4) {,t T σ(t T) = e st (44),t < T s t n,n N n! (45) s n+ a b (e bt e at ) (46) (s+a)(s+b) e at cos(bt) s+a (47) (s+a) +b b e at sin(bt) (48) (s+a) +b ( ) e at e bt +(a b)te bt (49) (a b) (s+a)(s+b) e at x(t) x(s a) (5) Faltungsregel für Impulsantworten f(t) f(s) und g(t) g(s) f(t) g(t) := t f(τ)g(t τ)dτ f(s)g(s) (5) Seite 7/5

8 Formelsammlung (WS6/7) Formelsammlung (Stand 6..6 Final) Additivität von Betrag (in [db]) und Phase im Bode-Diagramm F(jω) = F (jω)... F n (jω) = F (jω) exp(j F (jω))... F n (jω) exp(j F n (jω)) (5) F(jω) db = log( F (jω)... F n (jω) ) = log( F (jω) )+...+log( F n (jω) ) = F (jω) db F n (jω) db (5) F(jω) = F (jω)+...+ F n (jω) (54) Standardreglerstrukturen P-Regler: u(t) = V R e(t) F P (s) = u(s) e(s) = V R (55) PI-Regler: u(t) = V R ( e(t)+ T n ) e(t)dt F PI (s) = u(s) ( e(s) = V R + ) ( ) +stn = V R st n st n (56) PD-Regler: u(t) = V R (e(t)+t v ė(t)) F PD (s) = u(s) e(s) = V R(+sT v ) (57) PID-Regler: u(t) = V R (e(t)+t v ė(t)+ ) e(t) dt T n F PID (s) = u(s) ( e(s) = V R +st v + ) st n = V R ( +stn +s T v T n st n ) (58) Anfangs- und Endwertsätze für F(s) = y(s) u(s) = Z(s) N(s) Wenn die Endwerte lim t + y(t), lim t y(t) und lim t ẏ(t) existieren und endlich sind, dann gilt lim t + lim t y(t) = lim(sf(s)u(s)) für deg(z) < deg(n) (59) s y(t) = lim(sf(s)u(s)) (6) s limẏ(t) = lim(s F(s)u(s)) (6) t s wobei deg(z) und deg(n) die Ordnung des Zähler- bzw. Nennerpolynoms beschreiben. Stabilität von linearen Regelkreisen Ein Regelkreis der Ordnung m,n N, V S R, c,...,c m R und a,...,a n R Seite 8/5

9 Formelsammlung (WS6/7) Formelsammlung (Stand 6..6 Final) mit der Übertragungsfunktion F S (s) = y(s) u(s) := V Z(s) S N(s) = V c +c s+ +c m s m +s m S mit m n (6) a +a s+ +a n s n +s n zwischen Eingang u(s) und Ausgang y(s) ist (exponentiell) stabil (d.h. Systemantwort klingt ab), wenn alle Pole λ i von F S (s), d.h. alle Nullstellen des Nennerpolynoms N(λ i ) = negativen Realteil R{λ i } < für alle i =,...,n besitzen. Routh-Hurwitz Stabilitätskriterium für lineare Regelkreise Dazu untersucht man das charakteristische Polynom n-ter Ordnung des LTI Systems N(s) = a +a s+a s + +a n s n, a,...,a n R. (6) Das charakteristische Polynom entspricht dem Nennerpolynom der Übertragungsfunktion F S (s) in (6). Es gilt: N(s) ist ein Hurwitz-Polynom (d.h. System ist exponentiell stabil), (i) dann sind alle Koeffizienten a i > in N(s) (notwendige Bedingung, d.h. nicht unbedingt ausreichend!); (ii) genau dann, wenn der Koeffizient a n > und alle nordwestlichen Hurwitz-Unterdeterminanten D i > für i =,...,n (notwendige & hinreichende Bedingung) Die Unterdeterminanten D i entstehen aus den Determinanten der entsprechenden (i,i)- Untermatrizen in der linken oberen ( nordwestlichen ) Ecke der Koeffizienten-Matrix a n a n a n 5... a n n+ a n n+ a n a n a n 4... a n n+4 a n n+ a n a n... a n n+5 a n n+ M n = a n a n... a n n+6 a n n+4 R n n. (64) a a a Zu untersuchen sind D = a n und D = a n a n, etc. Es gilt a k = für k >. Kausalität (Realisierbarkeit) Ein lineares dynamisches System F S (s) = y(s) := V u(s) S Z(s) = V N(s) S c +c s+ +c m s m +s m a +a s+ +a n wird s n +s n kausal genannt, wenn m n. Die Systemantwort y(t) eines kausalen Systems hängt lediglich vom (vorangegangenen) Verlauf der Eingangsgröße u(τ) mit τ t ab. a n a n Zustandsdarstellung eines LTI Systems (Regelungsnormalform) Falls alle Koeffizienten a i > kann über das Liénard-Chipart-Kriterium die Anzahl der zu untersuchenden Determinaten reduziert werden. Es müssen lediglich die Determinanten D i mit ungeradem Index i =,,5,... oder geradem Index i =, 4, 6,... auf Positivität geprüft werden. Dieser Sachverhalt basiert auf der linearen Abhängigkeit der Determinaten für a i > für alle i =,,,... linearen, zeit-invarianten (engl. linear, time-invariant) Seite 9/5

10 Formelsammlung (WS6/7) Formelsammlung (Stand 6..6 Final) Zustandsgleichung (Vektordifferentialgleichung) und Ausgangsgleichung eines dynamischen Systems n-ter Ordnung } ẋ(t) = Ax(t)+bu(t),x() = x R n y(t) = c (65) x(t) mit dem Zustandsvektor x(t) = ( x (t),..., x n (t) ) R (z.b. Motorstrom & -drehzahl) der Stellgröße u(t) R (z.b. Motorspannung oder -moment) der Systemmatrix in Regelungsnormalform (RNF) A = R n n (66) a a a n dem Steuer-/Einkoppelvektor b = (,...,, V S ) R n dem Auskoppel-/Ausgangsvektor c = ( c, c,..., c n ) R n Übertragungsfunktion (aus Regelungsnormalform) Darstellung im Laplace-Bereich mit s = σ + iω C ergibt F S (s) = y(s) u(s) = c (si n A) c +c s+ +c n s n b = V S (67) a +a s+ +a n s n +s n Stabilität eines LTI Systems in Zustandsdarstellung (65) Ein System der Form (65) ist für jeden Anfangswert x R n (exponentiell) stabil und für jeden Anfangswert x R n und jeden beschränkten Eingangu( ) bounded-input, bounded-output (BIBO) stabil, wenn alle Eigenwerte λ,...,λ n C der Matrix A negativen Realteil besitzen, d.h. R{λ i } < für alle i {,...,n}. Die Eigenwerte können durch Nullsetzen der charakteristischen [ Gleichung χ A (s) := det(si n A) = bestimmt werden. Hierbei entspricht ]. I n =.. R n n der Einheitsmatrix der Ordnung n. Die Eigenwerte λ i sind identisch mit den Polen der Übertragungsfunktion (67). Seite /5

11 Formelsammlung (WS6/7) Formelsammlung (Stand 6..6 Final) 5 Grundlagen zu Drehfeldmaschinen (siehe [7, 9]) Wichtige Grundlage zum Verständnis von Drehfeldmaschinen ist die Zeigertheorie (engl. space vector theory). Hierzu siehe Abbildung. u v w q q i q s i β s β ω s = φ s i s = i s s d ω k = φ k i d s b i q s b φ s φ k i d s d ω r = φ r c b r c r a r a b r c cr i α s a r a φ r α Abbildung : Zeigertheorie: Maschine mit Anschlussklemmen u, v, w, Stator-Wicklungen a, b, c und Rotor-Wicklungen a r, b r, c r (links) und unterschiedliche Koordinatensysteme (rechts): -phasiges Koordinatensystem (a, b, c), statorfestes s-koordinatensystem (α,β), rotorfestes r-koordinatensystem (d,q ) und beliebiges k-koordinatensystem (d, q) und Statorstrom i s mit Länge i s = i s s = (i α s) +(i β s) = i r s = i k s mit entsprechenden Komponenten (z.b. i α s und iβ s im Stator-Koordinatensystem). Clarke-Transformation von Stranggrößen x abc in Statorgrößen x s = T C x abc mit T C : R R, x a x b x c }{{} =:x abc x α x β x }{{} =:x s := } {{ } =:T C R [Analogie zu D. Schröder: a := e j =, a := e j, a := e j4 ] x a x b x c (68) Seite /5

12 Formelsammlung (WS6/7) Formelsammlung (Stand 6..6 Final) wobei x {ψ r, ψ s, u r, i s,...}. T C ist regulär mit inverser Matrix T C =, d.h. xabc = T C xs. (69) Oft wird die Nullkomponente x vernachlässigt (z.b. gilt i = = i a +i b +i c bei Sternschaltung), dann vereinfachen sich die Clarke-Transformationsmatrizen zu [ ] T C = R und T C = R. Park-Transformation von Statorgrößen x s in beliebig umlaufendes Koordinatensystem (z.b. rotorfestes (d,q )-KoSy oder rotorflussfestes (d,q)-kosy) Zur Vereinfachung wird die Nullkomponente (zero-sequence) x in Statorgrößen vernachlässigt [ ] cos(φ) sin(φ) T P : R R, φ T P (φ) := [Analogie zu D. Schröder: e jφ ] sin(φ) cos(φ) (7) wobei T P (φ) regulär für alle φ R mit inverser Matrix [ ] cos(φ) sin(φ) T P (φ) = = T P (φ) = T P ( φ). [Analogie zu D. Schröder: e jφ ] sin(φ) cos(φ) (7) Es gilt entsprechend [ ] cos(φ) sin(φ) T P ( φ) = = T P ( φ) = T P (φ). (7) sin(φ) cos(φ) Mithilfe der trigonometrischen Sätze folgt φ,φ R: T P (φ +φ ) = T P (φ ) T P (φ ). [Analogie zu D. Schröder: e j(φ +φ ) ] (7) Für φ = π/ gilt [ ] ( π ) J := T P =, [Analogie zu D. Schröder: e j π ] (74) was einer (positiven) Drehung um π/ eines Vektors x R entspricht. Seite /5

13 Formelsammlung (WS6/7) Formelsammlung (Stand 6..6 Final) Die Matrizen J und T P (φ) kommutieren, d.h. [ ] sin(φ) cos(φ) φ R: JT P (φ) = = T P (φ)j, (75) cos(φ) sin(φ) Für d dt und φ =: ω gilt [Analogie zu D. Schröder: e j(π +φ) = e j(φ+π ) = je jφ ]. [ ] Ṫ P (φ) := d sin(φ) cos(φ) dt T P(φ) = ω = ωjt P (φ) = ωt P (φ)j (76) cos(φ) sin(φ) [Analogie zu D. Schröder: Ṫ P (φ) := d dt T P(φ) = ω [Analogie zu D. Schröder: [ sin(φ) cos(φ) d dt ejφ = jωe jφ = ωe j( π +φ) = ωe j(φ+π ) ] cos(φ) sin(φ) ] d dt e jφ = jωe jφ ] = ωjt P (φ) = ωt P (φ) J Mit der Konvention φ k = φ lässt sich mithilfe der Park-Transformation T P (φ k ) ausgehend von einem statorfesten Koordinatensystem (α, β) in ein (beliebiges) umlaufendes k-koordinatensystem (d,q) (Superskript x k = (x d, x q ) ) übergegangen werden (77) x k = T P ( φ k )x s = T P (φ k ) x s = x s = T P (φ k )x k, (78) z.b. zur Rotorfluss-Orientierung (d.h. ψr q = ψ r q = und ψd r = ψr r = ψ k r, der Rotorfluss im k-koordinatensystem liegt exakt auf der d-achse). Seite /5

14 Optimierungstabelle y ref y ref, Führungsgröße z z Störgröße Seite 4/5 z F S y {}}{ y ref ref F R y F G F Sσ F S F S Führungsglättung Regler Strecke Strecke Regler Einstellung Günstiger Opt. Nr. Typ F S Typ F R Bereich Krit. T n V R T v T G V S PT beliebig I V R +s s PT V S (+st )(+s ) PT V S (+st )(+st )(+s ) BO V S T P V R BO T V S T > PI V R +st n st n BO T T V S T +st n T 4 PI V R SO 4 st n V S..4Tσ T PD V R (+st v ) BO T V S T T (+st n )(+st v ) T > PID V R BO T T st n V S T (+st n )(+st v ) T 7 T > 4 PID V R SO 4 T st n V S..4Tσ T 8 P V R BO T V V S V S S IT st (+s ) +st n T 9 beliebig PI V R SO 4 st n V S 4Tσ IT T PD V R (+st v ) BO T T V V S V S S st (+st )(+s ) (+st n )(+st v ) T beliebig PID V R SO 4 T T > st n V S 4 y y ref, y y ref, t an t an t aus t y max y ref, ±% t y V S z y V S z y max V S z Verhalten bei Sprung der Wendetangente Führungsgröße y ref (bzw. y ref ) Störgröße z Nr. t aus (±%) y max y ref, y y ref, T ers t an t an y max y V S z V S z 4,7 8,4,4 6,,64 (4,7) (8,4) (,4 y y ref, ) V R V S (4,7) +V R V S +V R V S +V R V S T,5..., 4,7 8,4,4 5,5 T /,... 4,7 8,4... 6,5,4...,4 4,7... 7,6 8,4...,,4..., ( ) (4,7) (8,4),4 y y ref, V R V S +V R V S 4+ T 4,7 8,4,4 4,4,... 4,7 8,4... 6,5,4...,4 4,7... 7,6 8,4...,,4..., T T T σ t t,...,6 T / 4 5 +V R V S +V R V S,5...,75 T / T / 6 4 T,4...,8 T / T / 7 4,7 8,4,4 (4,7) V R V S V R V S 8, 6,5,4 7,6,,8 4,6 T / 9 4,7 8,4,4 4+ T V R V S V R V S, 6,5,4 7,6,,8 4 Abbildung : Optimierungstabelle für exakt bekannte Strecken mit Ordnung n und rein reellen Polen (T, T...große Zeitkonstanten,...kleine (Ersatz-)Zeitkonstante). 4 T,8 T / T / Formelsammlung (Stand 6..6 Final) Regelung von regenerativen Energiesystemen Formelsammlung (WS6/7)

15 Formelsammlung (WS6/7) Formelsammlung (Stand 6..6 Final) Literatur [] L. Råde, B. Westergren, and P. Vachenauer, Springers mathematische Formeln: Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Informatiker, Wirtschaftswissenschaftler. Springer-Verlag,. ed.,. [] K. Mertens, Photovoltaik. Hanser Verlag,. [] V. Quaschning, Regenerative Energiesysteme. Hanser Verlag,. [4] R. Kories and H. Schmidt-Walter, Taschenbuch der Elektrotechnik. Verlag Harri Deutsch, 998. [5] C. Dirscherl, C. Hackl, and K. Schechner, Modellierung und Regelung von modernen Windkraftanlagen: Eine Einführung (available at the authors upon request), in Elektrische Antriebe Regelung von Antriebssystemen (D. Schröder, ed.), ch. 4, Springer-Verlag, 5. [6] D. Schröder, Elektrische Antriebe Grundlagen (.,erw. Auflage). Berlin: Springer-Verlag, 7. [7] D. Schröder, Elektrische Antriebe - Regelung von Antriebssystemen (., bearb. Auflage). Berlin: Springer-Verlag, 9. [8] D. Hinrichsen and A. Pritchard, Mathematical Systems Theory I Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness. No. 48 in Texts in Applied Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, 5. [9] R. Teodorescu, M. Liserre, and P. Rodríguez, Grid Converters for Photovoltaic and Wind Power Systems. Chichester, United Kingdom: John Wiley & Sons, Ltd.,. Seite 5/5