C. Regelung im Feldschwächebereich

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1 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Lösung 2 WS8/9 Alle Abbildungen und Übungsunterlagen Einführungsfolien, Übungsblätter, Musterlösungen, MATLAB-Übungen/Lösungen und Formelsammlung basieren fast ausschlieÿlich auf den Übungsunterlagen aus dem WS3/4 von Dr-Ing Christoph Hackl Diese wurden von Dr-Ing Hackl freundlicherweise für diese Übung zur Verfügung gestellt Alle von Dr-Ing Hackl erstellten Abbildungen sind mit Courtesy of Dr-Ing Christoph Hackl gekennzeichnet An dieser Stelle hierfür vielen Dank! C Regelung im Feldschwächebereich Lösung 27 Erregerstromregelung a Die maximale Winkelgeschwindigkeit berechnet sich zu ω M,max 2π 60 n M,max 2π , 3 [rad/s] b Für die maximale Winkelgeschwindigkeit ergibt sich eine Gegenspannung von e A C M ψ E ω M,max Dieses eingesetzt in die Gleichung der Ankerspannung und nach ψ E aufgelöst ergibt ψ E ψ E,min u AN R A i AN C M ω M,max 0853 [Vs] c Die Magnetisierungskennlinie mit den eingezeichneten Strömen ist in Abb dargestellt Erregerfluss ψe [Vs] und Approximation ˆψE [Vs] ψ E ˆψ E ψ EN,i EN ψ E,min,i E,min Erregerstrom i E [A] Abbildung : Magnetisierungskennlinie einer Gleichstrommaschine und deren Approximation mithilfe der Sekanteninduktivität L E Courtesy of Dr-Ing Christoph Hackl Seite /8

2 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Lösung 2 WS8/9 d Die Linearisierung um i E 0 [A] ergibt einen sehr groÿen Fehler für hohe Erregerströme, während die Linearisierung um i E i EN 0 [A] einen groÿen Fehler für niedrige Erregerströme zur Folge hat Um dennoch eine zufriedenstellende Näherung zu erhalten, wird eine Sekante durch die Punkte i E,min, ψ E,min und i EN, ψ EN gelegt Die Steigung dieser Sekante ist L ES ψ EN ψ E,min i EN i E,min und wird Sekanteninduktivität L ES [Vs/A] genannt e Mithilfe der Approximation durch die Sekanteninduktivität L ES lässt sich Gleichung 4 der Erregerspannung folgendermaÿen approximieren u E t R E i E t + d dt L ESi E t u E s R E i E s + sl ES i E s Für T E : L ES R E lässt sich dies als P T schreiben, dh i E s u E s R E + st E Die Erregerspannung wird ebenfalls über einen Stromrichter eingestellt Dieser hat die Übertragungsfunktion u Es V STR u E,ref s +st STR Der Messwert des Erregerstroms wird mit dem Filter î E s i E s +st g,ie geglättet Daraus ergibt sich die Gesamt-Übertragungsfunktion î E s u E,ref s R E V STR + st E + st STR + st g,ie Die kleinen Zeitkonstanten können zusammengefasst werden zu T σ,ie T STR + T g,ie und somit ergibt sich approximiert folgendes P T 2 System F S,îE s Es gilt damit îes u E,ref s VSTR R E + st E + st g,ie + T STR V S,iE + st,ie + st σ,ie V S,iE V STR R E, T,iE T E und T σ,ie T g,ie + T STR f Es handelt sich um ein PT2-Glied und daher benötigt man einen I-Anteil in der Reglerübertragungsfunktion für stationäre Genauigkeit Da gutes Führungsverhalten gewünscht ist, wird der Regler nach dem Betragsoptimum ausgelegt Somit F R,iE s V R,iE + st n,ie st n,ie mit V R,iE T,iE 2T σ,ie V S,iE und T n,ie T,iE T E g Ist die Magnetisierungskennlinie ψ E i E fi E des Erregerkreises bekannt, so kann der Sollerregerstrom i E,ref durch die inverse Kennlinie B2 dh fi E aus dem Sollerreger- uss ψ E,ref berechnet werden Die Kennlinie B2 kann dabei zb im Speicher abgelegt sein Damit die Kennlinie in Block B2 generiert werden kann, muss die Magnetisierungskennlinie Seite 2/8

3 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Lösung 2 WS8/9 fi E invertierbar sein Daher können Eekte wie zb Hysterese nicht berücksichtigt werden, dh der generierte Sollerregerstrom i E,ref wird vermutlich nicht den exakt gewünschten Erregeruss ψ E ψ E,ref zur Folge haben! h [Eigenstudium] Siehe Simulationsdateien der Musterlösung i [Eigenstudium] Siehe Simulationsdateien der Musterlösung Seite 3/8

4 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Lösung 2 WS8/9 Lösung 28 Feldschwächung und Sollwertgenerierung a Im Feldschwächbereich ergibt sich das maximal noch mögliche Motormoment zu m L,min C M ψ E,min i AN 0339 [Nm] b Aus Sicht der Erregerstromregelung ist der Ankerstrom konstant Erregerstromregelung ist deutlich schneller, als die Ankerstromregelung Daher gilt und im Nennpunkt folgt d dt i At 0 u AN C M ψ E ω M }{{} e A +R A i AN Hiermit lässt sich folgende Online-Anpassung der Flussverkettung ableiten { ψen, ω M,ref ω MN ψ E,ref ω M,ref u AN R A i AN C M ω M,ref, ω M,ref > ω MN Sofern die geglättete Winkelgeschwindigkeitserfassung nicht zu verrauscht und nicht zu stark verzögert ist, sollte die Sollwertgenerierung ψ E,ref in anstelle von ω M,ref in Abhängigkeit vom geglättetem Messwert ˆω M angepasst werden Somit sind weiterhin Sprünge im Sollwert ω M,ref der Winkelgeschwindigkeit erlaubt, die bei Verwendung von uu zu drastischen Überhöhungen der Gegenspannung e A C M ψ E ω M führen würden c Der Geschwindigkeitsregler wurde für einen konstanten Fluss ψ E ψ EN ausgelegt Mit der Möglichkeit der Feldschwächung ist der Fluss nicht mehr konstant Daher muss der Geschwindigkeitsregler angepasst werden Der ursprüngliche Term der Regelung hatte die Form V R,ωM fψ EN 2C M ψ EN T ers,ia Die Division durch ψ E,ref ψ EN ergibt V R,ωM ψ E,ref 2C M ψ EN T ers,ia ψ EN ψ E,ref 2C M ψ E,ref T ers,ia Aufgrund der Division ist bei der Sollwertgenerierung für den Erregeruss darauf zu achten, dass gilt ψ E,ref t > 0 für alle t 0 d - i [Eigenstudium] Siehe Simulationsdateien der Musterlösung Seite 4/8

5 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Lösung 2 WS8/9 Lösung 29 Positionsregelung a Die Mechanik des Motors muss durch eine zusätzliche Dierentialgleichung ergänzt werden: d dt φ Mt ω M t, φ M 0 0 b Abbildung 2 zeigt den vereinfachten Signalussplan der kaskadierten Regelkreise c [Eigenstudium] [Bemerkung: Diese Herleitung ist nicht prüfungsrelevant! Dennoch ist das Folgende eine gute Rechenübung!] φ M s in Abhängigkeit der anderen Parameter und Zustände erhält man durch den Signal- ussplan in Abb 2 Sukzessives Einsetzen von hinten führt zum Erfolg: φ M s ω Ms s s 2 m Ms m L s C Mψ E si A s m L s s 2 s 2 Θ M 4T ers,ia {}}{ V R,ωM + st ers,ia }{{} 2C M ψ E st ers,ia + s T n,ωm st n,ωm C M ψ E sω M,refs ω M s m L s + s4t ers,ia ω s 2 M,ref s ω M s m Ls + st ers,ia 2T ers,ia s4t ers,ia + s4t ers,ia s 2 s8t ers,ia + st ers,ia ω M,refs ω M s m Ls + s4t ers,ia F s 2 R,φM sφ M,ref s φ M s sφ M s s8t ers,ia + st ers,ia + s4t ers,ia F s 3 R,φM sφ M,ref s F R,φM s + sφ M s 8T ers,ia + st ers,ia Auösen nach φ M s ergibt φ M s + +s4t ers,i A F R,φM s+s s 3 8T ers,ia +st ers,ia + s φ M sf R,φM s φ M sf R,φM s m Ls m Ls s 2 +s4t ers,ia s8t ers,ia +st ers,ia F R,φ M sφ M,ref s m Ls s 2 φ M s +s4t ers,i A F R,φM s+s+s 3 8T 2 ers,i A +s 4 8T 3 ers,i A s 3 8T ers,ia +st ers,ia φ M s F R,φ M s+s4t ers,ia F R,φM ++s 2 4T ers,ia +s 3 8T 2 ers,i A +s 4 8T 3 ers,i A s 3 8T ers,ia +st ers,ia :Ns { }}{ 8T ers,i 2 8T 3 A ers,i A 4T ers,ia + F R,φM s Ns s 3 8T ers,ia +st ers,ia + s 2 4T ers,i A F R,φM s + s3 F R,φM s + s4 F R,φM s s 3 8T ers,ia +st ers,ia +s4t ers,ia s 3 8T ers,ia +st ers,ia F R,φ M sφ M,ref s m Ls s 2 Seite 5/8

6 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Lösung 2 WS8/9 φm,ref s {}}{ VR,ωM T n,ωm FR,φM s FR,ωM F ers s { RK,i ers }} A { Ters,iA? ωm,ref ia,ref ia CM ψe ml mm Θ ωm φm Abbildung 2: Vereinfachter Signalussplan der kaskadierten Regelkreise einer Gleichstrommaschine Courtesy of Dr-Ing Christoph Hackl Seite 6/8

7 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Lösung 2 WS8/9 Eine Multiplikation mit s3 8T ers,ia +st ers,ia F R,φM sns ergibt φ M s Ns + s + s4t ers,ia Ns }{{} :F φm,ref s Führungs-ÜF 4T ers,ia + φ M,ref s s8t ers,i A + st ers,ia F R,φM sns F R,φM s } {{ } :F ml s Stör-ÜF m L s mit + s 2 4T ers,i A F R,φM s + 8T 2 s3 ers,i A F R,φM s + 8T 3 s4 ers,i A F R,φM s d Zur Überprüfung des Störverhaltens muss der Endwertsatz der Laplace-Transformation angewendet werden Man erhält lim s 0 sf m L s s lim s 0 s8t ers,ia + st ers,ia + s 4T ers,ia + F R,φM + s s 2 4T ers,i A + 8T 2 F R,φM s s3 ers,i A + 8T 3 F R,φM s s4 ers,i A F R,φM s F R,φM s Diese Eigenschaft gilt für alle F R,φM s s0 0, dh ein einfacher P-Regler reicht aus zb F R,φM s R, um stationär konstante Störgröÿen zu unterdrücken das wird durch den unterlagerten Geschwindigkeitsregler mit integralem Anteil erreicht e Zur Überprüfung des Führungsverhaltens wird ebenfalls der Endwertsatz der Laplace-Transformation angewendet Man erhält lim sf φ s 0 M,ref s s lim s 0 + s 4T ers,ia + F R,φM s + s4t ers,ia + s 2 4T ers,i A + 8T 2 F R,φM s s3 ers,i A + 8T 3 F R,φM s s4 ers,i A F R,φM s Diese Eigenschaft gilt für alle F R,φM s s0 0, dh ein einfacher P-Regler reicht aus zb F R,φM s R, um stationäre Genauigkeit bei konstanter Sollposition zu erreichen das wird ebenfalls durch den unterlagerten Geschwindigkeitsregler mit integralem Anteil garantiert Fazit: Gutes Führungs- und Störverhalten können gleichzeitig mit einem proportionalen Regler F R,φM s R erzielt werden f [Eigenstudium] Um die Stabilität eines linearen Regelkreises zu überprüfen, wird das Hurwitz-Kriterium angewendet Zunächst wird dabei das charakteristische Polynom in Abhängigkeit der Potenzen von s dargestellt Als Regler wird der proportionalen Regler F R,φM s in das Nennerpolynom Ns eingesetzt Hieraus folgt Ns }{{} +s :a 0 4T ers,ia + V }{{ R,φM } :a +s 2 4T ers,i A }{{} :a 2 +s 3 8T 2 ers,i A }{{} :a 3 +s 4 8T 3 ers,i A }{{} :a 4 Für alle > 0 gilt a i > 0 für alle i {0,, 4}, da T ers,ia > 0 Somit kann das Liénard- Chipart-Kriterium siehe Formelsammlung angewendet werden Es müssen lediglich die 0 Seite 7/8

8 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Lösung 2 WS8/9 Unterdeterminanten D und D 3 untersucht werden, dh und D a 3 8T 2 ers,i A > 0 > 0 D 3 a a 3 a 2 a a 4 a 2 3a 0 4T ers,ia + 32Ters,i 3 A 4T ers,ia + 24T 3 ers,i A 4T ers,ia + 32T 4 ers,i A 8T 3 ers,ia 64T 4 ers,i A 64T 4 ers,i A Nach Division durch 8T 3 ers,i A D 3 erhält man 4T ers,ia + 3 VR,φ 2 M 2T ers,i A 6T 2 ers,i A + 3 V 3 R,φ M 6T 2 ers,i A + 3 V 3 R,φ M! > 0 4T ers,i A 4T ers,i A 8T ers,i A 8T ers,i A Daraus folgt für T ers,ia 0, 006 [s] die maximal zulässige Verstärkung < 3 6 T ers,ia 70, 87 [ ] s g [Eigenstudium] Siehe Simulationsdateien der Musterlösung h [Eigenstudium] Siehe Simulationsdateien der Musterlösung Seite 8/8