Richard Mohr. Numerische Methoden in der Technik

Transkript

1 Richard Mohr Numerische Methoden in der Technik

2 Aus dem Programm Mathematik J. Herzberger Ubungsbuch zur Numerischen Mathematik G. Opfer Numerische Mathematik fiir Anranger H. Spath Numerik J. Werner Numerische Mathematik 2 Bande E. Heinrich, H.-D. Janetzko Mathematica: Yom Problem zum Programm Modellbildung flir Ingenieure und N aturwissenschaftler E. Heinrich, H.-D. Janetzko Das Maple Arbeitsbuch E. Heinrich, H.-D. Janetzko Das Mathematica Arbeitsbuch W. Strampp, V. Ganzha, V. E. Vorozhtsov Hohere Mathematik mit Mathematica 4 Bande Vieweg ~

3 Richard Mohr Numerische Methoden in der Technik Ein Lehrbuch mit MATLAB-Routinen

4 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Prof. Dr. Richard Mohr Fachhochschule Esslingen - Hochschule filr Technik Fachbereich Grundlagen KanalstraBe Esslingen Aile Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig/Wiesbaden, 1998 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschiltzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des VerJages unzullissig und strafbar. Das gilt insbesondere fur Vervielfliltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Posselt, Wiesbaden Gedruckt auf sliurefreiem Papier ISBN-13: e-isbn-13: DOl:

5 v Vorwort Dieses Buch entstand aus Lehrveranstaltungen, die ich im Laufe von zehn Jahren fur Studierende verschiedenster Fachrichtungen an der FH Esslingen gehalten habe. Vor allem sind hier die Wahlfachvorlesungen zum Thema "Numerische Methoden" fur Ingenieurstudenten der Fachrichtungen Elektrotechnik, Informatik und Maschinenbau zu nennen. Der zweite Ausgangspunkt fur die vorliegende Datstellung sind Computer-Praktika fur denselben Horerkreis, bei denen die Studierenden in die Anwendung des Software Pakets MATLAB eingefuhrt wurden. Besonders durch Diskussionen mit Studierenden des Aufbaustudiengangs - bei den en auch bereits mit der Praxis konfrontierte Ingenieure anwesend waren - wurde ich yom N utzen einer einheitlichen Sicht dieser beiden Aspekte der Ingenieurausbildung iiberzeugt. So entstand dieses etwas andere Lehrbuch. Es versucht, die Darstellung numerischer Verfahren mit einer EinfUhrung in ein Software-Paket zu verbinden. Ausgehend von Grundkenntnissen in Analysis und Linearer Algebra werden die meisten der fur den Anwender wichtigen Gebiete der numerischen Mathematik abgehandelt; eine Vollstandigkeit wurde nicht angestrebt. Auf strenge mathematische BeweisfUhrung wurde zugunsten von informativen Beispielen und Skizzen verzichtet. Bei naturwissenschaftlichen Beispielen habe ich stets versucht, auch den physikalischen Hintergrund mit in die Darstellung einzubeziehen. Parallel dazu werden die zugehorigen Routinen aus MATLAB besprochen und auf erganzende Beispiele angewandt. Der Leser kann die entsprechenden numerischen Fragestellungen am Rechner nachvollziehen - die behandelte Mathematik wird dabei sofort greifbar, bekommt eine "spielerische" Komponente. Dabei sind Grundkenntnisse in MATLAB hilfreich, aber nicht unabdingbar. Eine kurze EinfUhrung in MATLAB befindet sich im Anhang. Das Inhaltsverzeichnis ist bewusst so ausfuhrlich gehalten, dass der Leser sofort gezielt die zu einer vorliegenden Thematik passenden MATLAB-Routinen nachschlagen kann. Bei der Umsetzung der numerischen Verfahren auf den Rechner habe ich mich fur das Software-Paket MATLAB entschieden. Die Griinde fur diese Wahl sind weniger im mathematischen Bereich angesiedelt. MAT LAB ist vor allem wegen seiner fast aile technische Anwendungsbereiche abdeckenden Toolboxen und dem zugehorigen Simulationsprogramm SIMULINK an vielen ingenieurwissenschaftlich orientierten Hochschulen und in namhaften Industriebetrieben zum Standard geworden. Benutzt wurde die MATLAB-Version 4.2b. Fur die wenigen Probleme aus dem Bereich der Computer Algebra wird die Symbolic-Toolbox benotigt. Die im vorliegenden Buch angesprochenen MATLAB-Routinen stehen auf dem ftp-server der FH Esslingen unter der Adresse: ftp.fht-esslingen.de/pub/local/fachbereiche/grundlagen/mohr fur Interessenten zur VerfUgung.

6 VI Vorwort GroBes Gewicht liegt auf der Aufgabensammlung. Neben verstii.ndnisfordernden Problemstellungen zu den entsprechenden Stoffgebieten sind auch viele "Rechenaufgaben" in der Sammlung enthalten. Sie sollen in der Regel mit MATLAB-Routinen gerechnet werden, aber es ist auch der Einsatz eines anderen Mathematikprogramms denkbar. Die Numerik erhalt auf diese Weise einen experimentellen Charakter. Nicht der strenge Konvergenzbeweis steht bei diesen Beispielen im Vordergrund, sondern der konstruktive Entwurf von Rechenprozeduren. Ganz bewusst wurden auch einige schwierigere und umfangreichere Beispiele in die Darstellung aufgenommen. Alle Aufgaben sind mit einer ausfiihrlichen Losung versehen und sollen den Leser zu vertiefendem N acharbeiten anregen. Viele graphische Darstellungen in diesem Buch wurden mit MATLAB erstellt. Sie sind au6erlich durch einen Rahmen sofort erkennbar. Die anderen Abbildungen sind mit einem von Herrn Dr. Bernhard Gotz (Mathematisches Institut A der Universitat Stuttgart) entwickelten Graphik-Paket gerechnet und gestaltet worden. Ihm sei an dieser Stelle herzlich gedankt. Besonders danken mochte ich auch meinem Kollegen Herrn Prof. Dr. Harro Kiimmerer fiir die Durchsicht des Manuskripts und die vielen anregenden Diskussionen wahrend der Entstehung. Fiir Erganzungen und Hinweise auf Fehler bin ich dankbar. Bitte schicken Sie mir eine anrichard.mohr@fht-esslingen.de. Esslingen, im Juli 1998 Richard Mohr

7 VII Inhaltsverzeichnis 1 Einfiihrung 2 Iterationsverfahren zur Losung nichtlinearer Gleichungen 2.1 Fixpunktsatz Fehlerschranken. 2.3 Newtonverfahren 2.4 Regula falsi Konvergenzordnung 2.6 Ubertragung auf mehrdimensionale Probleme 2.7 Realisierung mit MATLAB Lineare Gleichungssysteme 3.1 GauB-Algorithmus 3.2 Pivotelementsuche Nachiteration Iterative Losung von linearen Gleichungssystemen 3.5 Uberbestimmtes lineares Gleichungssystem 3.6 Nichtlineare Ausgleichsprobleme Lineare Optimierung 4.1 Austauschverfahren Graphische Losung des linearen Optimierungsproblems. 4.3 Simplex-Verfahren Interpolation und Approximation 5.1 Polynominterpolation 5.2 Ausgleichspolynome 5.3 Kubische Splines Bezier Splines Approximation durch trigonometrische Polynome 5.6 Fast Fourier Transformation Numerische Integration 6.1 Trapezformel Simpsonformel Rombergverfahren 7 Differentialgleichungen 7.1 Eulerverfahren Weitere Einschrittverfahren Theoretischer Hintergrund - Grundprinzip Heun-Verfahren Runge-Kutta-Verfahren Schrittweitensteuerung und Genauigkeit

8 VIn Inhaltsverzeichnis 7.3 MATLAB-Routinen Symbolische LOsung Numerische LOsung Drei-Korper-Problem Wasserrakete - Beispiel fur ein Differentialgleichungssystem Physikalische Grundlagen Herleitung der Differentialgleichungen Realisierung mit MATLAB Implizite Verfahren Implizites Eulerverfahren Trapezmethode Allgemeine Vorgehensweise Stabilitii.t Absolute Stabilitii.t Inhii.rente Instabilitii.t Steife Differentialgleichungssysteme Mehrschrittverfahren Randwertaufgaben Schie8verfahren Differenzenverfahren Beispiel fur eine nichtlineare Randwertaufgabe Partielle Differentialgleichungen Poisson-Gleichung Wii.rmeleitungsgleichung Finite Elemente Aufgaben Aufgaben zu Gleitpunktarithmetik Aufgaben zu Iterationsverfahren Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen Aufgaben zur linearen Optimierung Aufgaben zu Interpolation und Approximation Aufgaben zu Integration und Differentialgleichungen Aufgaben zu MATLAB Losungen Aufgaben zu Gleitpunktarithmetik Aufgaben zu Iterationsverfahren Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen Aufgaben zur linearen Optimierung Aufgaben zu Interpolation und Approximation Aufgaben zu Integration und Differentialgleichungen Aufgaben zu MATLAB A Einitihrung in MATLAB 225 A.l Allgemeines A.2 Fundamentals A.2.1 Eingabe von Matrizen 225 A.2.2 Matrixelemente

9 A.2.3 Variable A.2A Information fiber Variable. 226 A.2.5 Zahlen und Arithmetik 226 A.2.6 Komplexe Zahlen. 227 A.2.7 Ausgabeformat 227 A.2.8 Help-Funktion 227 A.2.9 Sichern A.3 Matrizen, Vektoren A.3.l Rechenoperationen 228 A.3.2 Matrizenfunktionen 228 A.3.3 Elementeweise Rechenoperationen 228 A.3A Vektor- und Matrixmanipulationen. 229 AA Analysis AA.l Differentiation 229 AA.2 Integration 230 AA.3 Polynome AAA Interpolation 230 AA.5 Nichtlineare Gleichungen und Optimierung 231 AA.6 Differentialgleichungen A.5 Graphik A.5.l Zweidimensionale Graphik. 232 A.5.2 Dreidimensionale Graphik. 233 A.5.3 Graphikbildschirm 234 A.6 Programmsteuerung 234 A.6.l for-schleifen A.6.2 while-schleif en 235 A.6.3 if/else Ausdrficke 235 A.6A Vergleichsoperatoren, logische Operatoren 235 A.6.5 Eingabe A.7 m-files A.7.l Programm-Files 236 A.7.2 function-files. 236 B Verzeichnis der m-files 237 C Orthogonalitatsbeziehungen 239 D FFT-Algorithmus fur N = 27 Punkte 242 E Drei-Korper-Problem 245 Literaturverzeichnis 247 Sachwortverzeichnis 249 IX