Kombinierter Bias-Effekt in LDA-Messungen von Strömungen mit örtlichen Geschwindigkeitsgradienten

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1 Fachtagng Lasermethoden in der Strömngsmesstechnik September 00 Kombinierter Bias-ffekt in LDA-Messngen von Strömngen mit örtlichen Geschwindigkeitsgradienten Zh. Zhang Kraftwerke Oberhasli AG (KWO) CH-386 Innertkirchen, Schwei mail: Zsammenfassng Die LDA-Methode r Messng nd Aswertng von trblenten Strömngen mit örtlichen Geschwindigkeitsgradienten wrde geeigt. Sowohl der kombinierte ffekt des Geschwindigkeits also ach die gesamte Wirkng inklsive der scheinbaren Trblenintensität sind analysiert nd qantifiiert worden. Der Geschwindigkeits wird nicht mehr als die Ursache für den Fehler in der Mittelwertbildng beeichnet. s ist generell wischen den mittleren Geschwindigkeiten jeweils für Impls- nd Volmenstromdichte nterscheiden. infache nd praktische Methoden r statistischen Bestimmng von Strömngsgrößen as LDA-Messngen sind präsentiert worden. inleitng Die LDA-Methode ist bekannt als Methode für die Messng der örtlichen Geschwindigkeit mit hoher Aflösng nd kann daher für die Messng der Strömng mit örtlichen Geschwindigkeitsgradienten eingesett werden. ine typische Größe des LDA-Messvolmens hat eine Dicke von 0. mm nd eine Länge von 0.3 bis 3 mm. Wegen des kleinen Asmaßes des Messvolmens wird die Strömng im Bereich des Messvolmens oft als gleichmäßig angenommen. Das LDA-Instrment ist meistens so asgelegt, dass die Strömng innerhalb des Messvolmens örtlich nicht afgelöst werden kann. Die Annahme der gleichmäßigen Strömngsverteilng innerhalb des Messvolmens ist rational, solange der Messort genügend weit von der die Strömng abgrenenden Wand (Grenschicht) entfernt ist nd der Geschwindigkeitsgradient in den Trblenballen statistisch gesehen nicht vorhanden ist. In solchen Fällen mss keine Rücksicht af die Größe des LDA-Messvolmens genommen werden. Bei Messngen von Strömngen mit eingeprägten Geschwindigkeitsgradienten (. B. in der Grenschicht eines Kreisrohres) steht die Länge des LDA-Messvolmens radial qer r Grenschicht. Die Geschwindigkeitsverteilng sowie die Verteilng von Trblengrößen in der dünnen Grenschicht können dann nicht ohne weiteres afgelöst werden. Die Überschätng der mittleren Trblenintensität am Messort as arithmetischer Mittelng von Messdaten ist bekannt. Basierend af der praktischen Annahme der linearen Geschwindigkeitsverteilng innerhalb des LDA-Messvolmens darf der arithmetische Mittelwert der Geschwindigkeit in erster Linie dem Mittelpnkt des Messvolmens geordnet werden. Die Überschätng der Trblenintensität kann dann af einfache Weise jedoch nr m Teil bestimmt werden [, ]. Zm Teil deswegen, weil sämtliche Aswirkngen des Geschwindigkeits nicht berücksichtigt worden sind. s handelt sich dabei m ein Phänomen, das drch die ngleichmäßige Anknftsrate von Partikeln afgrnd der ngleichmäßigen Geschwindigkeitsverteilng entlang des LDA- Messvolmens entsteht. s drückt as, dass die Anknftsrate von Partikeln dort hoch ist, wo -

2 die Geschwindigkeit hoch ist. Dieses Phänomen ist vergleichbar mit jenem in trblenten Strömngen, in welchen höhere Geschwindigkeiten häfiger erfasst werden als niedrigere. Die entsprechende Abhängigkeit in trblenten Strömngen ist als Geschwindigkeits längst bekannt [3, 4, 5]. Im vorliegenden Fall mit ngleichmäßiger Geschwindigkeitsverteilng entlang des LDA-Messvolmens wird das damit verbndene Phänomen ebenfalls als Geschwindigkeits wegen des gleichen ntstehngsmechanisms beeichnet. Z erwähnen ist, dass in fast allen bisherigen LDA-Anwendngen der Geschwindigkeits allgemein als eine Art Messfehler betrachtet worden ist. Wie kürlich festgestellt wrde [6], gewährt der allgemeine Geschwindigkeits (eitlich wie ach örtlich) schlicht die Messng von Geschwindigkeitsereignissen, die für die Berechnng der mittleren Implsstromdichte & ρ verwendet werden: i () i Für den Fall mit örtlich ngleichmäßiger Geschwindigkeitsverteilng entlang des LDA- Messvolmens wird diese Gesetmäßigkeit in Abschnitt 3 noch geeigt. Die gemäß der obigen Methode berechneten Geschwindigkeitskomponenten werden in allen Implsgleichngen wie ler-, avier-stokes- nd Reynolds-Gleichngen verwendet. Sie nterscheiden sich von der mittleren volmetrischen Geschwindigkeit, die im Zsammenhang mit Volmen- bw. Massenerhaltngen steht. Da die Strömngsdynamik af der Impls- nd Kontinitätsgleichng basiert, mss man in der Regel nterscheiden wischen der mittleren Geschwindigkeit, die r Berechnng des Implsstroms verwendet wird, nd der mittleren Geschwindigkeit, die den Volmenstrom wiedergibt. As diesem Grnd nd vor allem wegen Gl. () wird der Geschwindigkeits nicht weiter als Qelle der Messfehler betrachtet. Als ein besonderes Strömngsphänomen wird die Beeichnng des Geschwindigkeits jedoch weiter verwendet. Afgrnd der isten des Geschwindigkeitsgradienten im Bereich des LDA- Messvolmens sind bei LDA-Messngen folgende wei Wirkngen berücksichtigen: - Die Wirkng, die scheinbarer bw. überschätter Trblenintensität führt nd - Die kombinierte Aswirkng des Geschwindigkeits af allen Strömngsgrößen. Beim weiten Pnkt handelt es sich m wei Formen von Geschwindigkeits jeweils afgrnd der ngleichmäßigen Geschwindigkeitsverteilng nd Strömngstrblen. Für LDA Benter ist es hilfreich, die jeweiligen Aswirkngen kennen nd abschäten. Da Gl. () die physikalische Bedetng des Geschwindigkeits eigt, werden im Folgenden erst die Begriffe der Impls- nd nergiestromdichte (der Vollständigkeit halber) kr erlätert. Impls- nd nergiestromdichte Unabhängig vom Messverfahren können sowohl die Impls- als ach nergiestromdichte in der Strömng mit ngleichmäßiger Geschwindigkeitsverteilng berechnet werden. Im Fall der Abb. mit berechnet sich die mittlere Implsstromdichte in der Richtng parallel r - Achse nd im Bereich des LDA-Messvolmens drch & ρ d () In der Prais ist die Implsstromdichte oft in der Form ( ) Abb. LDA-Messvolmen nd seine Orientierng in der Strömng mit Geschwindigkeitsgradienten -

3 & ρ, geschrieben, mit als die mittlere Volmenstromdichte. Die mittlere Geschwin-, die direkt mit der Implsstromdichte verbnden ist, wird dann berechnet digkeit,, d (3) In gleicher Weise berechnet sich die nergiestromdichte in -Richtng as & ρ r d In dieser Gleichng ist r r der lokale Geschwindigkeitsvektor, bei dem gilt. Die nergiestromdichte kann ach geschrieben werden in der Form & ρ ergibt sich as Gl. (4) (4). Somit d (5) r in dem Fall, wo alle Geschwindigkeitsvektoren parallel r -Achse stehen, kann der Asdrck 3 nter dem Integral geschrieben werden. Für lineare Geschwindigkeitsverteilng entlang des LDA-Messvolmens werden die genaen Berechnngen von nd im nächsten Abschnitt gegeben. 3 Kombinierte ffekte des Geschwindigkeits, Wie bekannt hat der Geschwindigkeits als Strömngsphänomen seinen Ursprng in der Abhängigkeit der Partikelanknftsrate vom Betrag der Geschwindigkeit in einer trblenten Strömng. Im vorliegenden Fall mit ngleichmäßiger Geschwindigkeitsverteilng im Bereich des LDA-Messvolmens ist der Geschwindigkeits insbesondere drch ngleichmäßige Geschwindigkeitsereignisse entlang des LDA-Messvolmens eingeprägt. Z erwarten ist, dass mehr Geschwindigkeitsereignisse sich dort ergeben werden, wo die Strömngsgeschwindigkeit hoch ist. Als Konseqen wird. B. der as Messdaten berechnete arithmetische Mittelwert der Geschwindigkeit gegenüber dem volmetrischen Mittelwert leicht m hohen Wert verschoben. Zr qantitativen Bestimmng der Aswirkngen des Geschwindigkeits af Messngen werden folgende Annahmen getroffen: ) homogene Partikelverteilng in der Strömng; ) konstante Strömrichtng der Strömng entlang der Länge des Messvolmens; 3) lineare Abhängigkeit der Häfigkeit der Geschwindigkeitsereignisse vom Betrag der gemessenen Geschwindigkeitskomponente; 4) rechteckiger Qerschnitt des Messvolmens. Afgrnd der weiten Annahme kann der Geschwindigkeits, der grndsätlich eine Fnktion der absolten Geschwindigkeit ist, als Fnktion einer proportionalen Geschwindigkeitskomponente asgedrückt werden. Asgehend von den dritten nd vierten Annahmen kann die Wahrscheinlichkeitsdichte der Geschwindigkeitsereignisse entlang des Messvolmens wie folgt formliert werden p d k d (6) d d die entspre- mit als die Anahl der gesamten Geschwindigkeitsereignisse nd chende Verteilng entlang des Messvolmens. -3

4 Für die einfache nd anschaliche Darstellngen werden in weiteren Berechnngen die gemessenen Geschwindigkeitskomponenten nach Abb. als anstatt beeichnet. Somit können sätliche Sbskripte r Beeichnng der scheinbaren Trblen nd der ffekte des Geschwindigkeits ohne weiteres verwendet werden. Die Konstante k in obiger Gleichng berechnet sich as der Bedingng p d mit k Im Grnde genommen gilt die Wahrscheinlichkeitsdichte nach Gl. (6) nr für > 0, die in der Regel für geringe Trblenintensität ( T < 0. 5) erfüllt ist [7]. Die Geschwindigkeitsverteilng längs des Messvolmens wird af folgender linearer Abhängigkeit nach Abb. angenommen: ( ) ˆ ( ) + ( ) a( + ) + ( ) (8) Die Strömng ist somit als Überlagerng der eitlich gemittelten linearen Geschwindigkeitsverteilng û entlang des Messvolmens drch fällige Geschwindigkeitsschwankngen erfasst worden. Dabei ist a der Geschwindigkeitsgradient nd ( ˆ ˆ + ) die eitlich gemittelte Geschwindigkeit in der Mitte des Messvolmens. Die fallsabhängige Geschwindigkeitsschwankng heißt gleich, dass jedes Geschwindigkeitsereignis fällig einem -Wert geordnet wird. 3. Mittelwert der Geschwindigkeit As direkter Datenverarbeitng ohne Verwendng jeglicher Gewichtng repräsentiert der arithmetische Mittelwert der Geschwindigkeit nach Gl. () einen Mittelwert, der vom Geschwindigkeits beeinflsst wird. Die Smmationsberechnng in Gl. () kann wie folgt in die Integralberechnng mgewandelt werden pd d (9) Da die Integration af der rechten Seite dieser Gleichng komplett gleich der Gl. (3) ist, ist somit in Gl. () validiert worden. Bei der Berechnng des Integrals mit as Gl. (8) verschwinden alle Terme mit ngeraden ponenten in der Geschwindigkeitsschwankng ( ) wegen deren stochastischen igenschaft. Man erhält dann as Gl. (9) mit + a ( ) + (0) Wegen a ˆ ˆ ˆ nd schreiben als ( ˆ) + σ σ als Standardabweichng lässt sich Gl. (0) weiter + () In der Prais wird r Berechnng der mittleren Implsstromdichte der Korrektrfaktor β verwendet, m die mittlere Geschwindigkeit in Form von β darstellen. As Gl. () folgt dann ˆ σ β + + () (7) -4

5 Sie stellt eine Korrektrgröße dar, die grösser als ins ist. in speieller Fall wird erhalten, wenn die Strömng keinen Geschwindigkeitsgradienten afweist. Wegen a 0 nd daher ˆ 0 ergibt sich as Gl. () ( + T ) β (3) Die Verwendng der Trblenintensität in der Form T σ ist hier nr gültig, wenn die Geschwindigkeitskomponente etwa die Haptströmng darstellt. Gl. (0) sowie Gl. () berücksichtigen Aswirkngen des Geschwindigkeits sowohl im Aspekt der Strömngstrblen als ach im Aspekt der ngleichmäßigen Geschwindigkeitsverteilng entlang des Messvolmens. Bei Strömngen mit großen Geschwindigkeitsgradienten innerhalb des LDA-Messvolmens kann der Geschwindigkeits den Term ( ˆ ) in Gl. () so groß machen, dass beide Mittelwerte nd sich detlich nterscheiden. Die mittlere Geschwindigkeit für Implsstromdichte wird drch Gl. (3) asgehend von der Definition berechnet. s soll nicht erwartet werden, dass dieser Wert as dem arithmetischen Mittel von Messdaten i sich ergeben kann. Dies eigt sich as folgender Berechnng mit der Geschwindigkeitskomponente : i i 3 & p d d ρ Offensichtlich resltiert dabei eine Strömngsgröße, die der nergiestromdichte proportional ist (wenn die Haptstromrichtng mit der Geschwindigkeitskomponente übereinstimmt): 3 & ρ d (5) Man vergleiche sie mit Gl. (4). Andererseits kann die nergiestromdichte als Prodkt der speifischen nergie ρ nd der Volmenstromdichte in der Form & ρ dargestellt werden. Somit erhält man 3 i d (6) i Die Geschwindigkeit nter dem Integral wird drch Gl. (8) ersett. Da alle Glieder mit ngeraden ponenten der Geschwindigkeitsschwankng ( ) bei der Integralberechnng verschwinden müssen, erhält man schlssendlich + ( ˆ ) + 3σ (7) 4 Wie die Verwendng des Korrektrfaktors für die Implsstromdichte wird hier der Korrektrfaktor für die nergiestromdichte verwendet, m mit der Volmenstromdichte verbinden: α (8) Der Korrektrfaktor α berechnet sich as Gl. (7) ˆ + 3 σ α + (9) 4 (4) -5

6 Sie ist grösser als ins. Um den volmetrischen Mittelwert der Geschwindigkeit bestimmen, werden Gln. () nd (9) r liminierng von û kombiniert. Daras ergibt sich erst 3 bw. 3 β α (0) Die mittlere Geschwindigkeit ist dann berechnet () 4 s eigt sich, dass da weder die Länge des LDA-Messvolmens noch die Geschwindigkeitsverteilng bekannt sein müssen. ine weitere äqivalente Bestimmngsgleichng wird im nächsten Abschnitt geeigt. 3. Trblente ormalspannng twas kompliierter ist die Bestimmng von Trblengrößen nter dem inflss der ngleichmäßigen Geschwindigkeitsverteilng längs des LDA-Messvolmens. Zm einen hat eine derartige Geschwindigkeitsverteilng die scheinbare Trblen r Folge, wenn sie as dem arithmetischen Mittel von Messdaten berechnet wird. Zweitens bewirken die ngleichmäßige Geschwindigkeitsverteilng nd die Strömngstrblen den kombinierten Geschwindigkeits. Asgehend von der Definition wird die scheinbare (in nglisch apparent) nd behaftete trblente ormalspannng in der Geschwindigkeitskomponente drch direkte Datenaswertng as LDA-Messngen wie folgt berechnet app, ( i ) () i Sie ist als scheinbare ormalspannng beeichnet, weil nter der Smmation jede Geschwindigkeitsdifferen i die scheinbare Geschwindigkeitsschwankng darstellt. Wie im letten Abschnitt r Berechnng von kann die Smmationsberechnng in obiger Gleichng in die Integration konvertiert werden. Da wird die Wahrscheinlichkeitsdichte nach k wieder verwendet. s ergibt sich dann Gl. (6) mit ( ) app, p( ) d ( ) d (3) Die Geschwindigkeitskomponente ist nach Gl. (8) einseten. Beim Asführen der Integration verschwinden alle Terme mit nd afgrnd der fallabhängigen Geschwindig- 3 keitsschwankng. Somit erhält man app, ( ) + 3 ( ˆ ) + 3 (4) Diese Gleichng wird mit Gl. () kombiniert, m den Term ( )( ) eliminieren. Daras folgt app, (5) Der volmetrische Mittelwert der Geschwindigkeit wird dann berechnet 3 + 8app, (6) 4-6

7 Diese Gleichng repräsentiert eine weitere einfache Möglichkeit r Bestimmng der mittleren Geschwindigkeit nd ist vollkommen äqivalent r Gl. (). Die tatsächliche trblente ormalspannng wird dann berechnet as Gl. () ( ) ˆ (7) oder weiter mit ˆ a nd β ( β ) a ( ) (8) In diesen letten wei Gleichngen gilt die mittlere Geschwindigkeit nach Gl. () als bekannt. Der mittlere volmetrische Mittelwert der Geschwindigkeit lässt sich as Gl. () bw. (6) berechnen. Gl. (5) wird weiter berücksichtigt. Die Geschwindigkeitsdifferen ( ) in der Gleichng wird drch Gl. () ersett. Daras folgt ( ) + app, ˆ (9) Der weite Klammerasdrck in dieser Gleichng repräsentiert die scheinbare trblente ormalspannng app,0 ohne Berücksichtigng des Geschwindigkeits, siehe. B. []. Somit kann ach geschrieben werden app, app,0 (30) Der Klammerasdrck in dieser Gleichng stellt somit den Biaseinflssfaktor dar, wenn as Gl. () berechnet wird. As dem Vergleich mit Gl. (5) erhält man sätlich ( ) app,0 (3) Gl. (9) wird weiter mit Gl. (7) r liminierng von app, 4 ( ˆ ) kombiniert. Daras ergibt sich Abb. eigt die entsprechende Abhängigkeit von der Trblenintensität für verschiedene Fälle mit ngleichmäßiger Geschwindigkeitsverteilng längs des LDA-Messvolmens. ede Abweichng der Krven von der Gerade mit einer Steigng von 0.5 stellt die Gesamtwirkng von 0.0 scheinbarer Trblen nd kombiniertem Geschwindigkeits 0.5 û/ū app, dar. Offenbar ist der Betrag der 0.0 schein-baren Trblen infolge der ngleichmäßigen Geschwindigkeitsverteilng nicht wesentlich nd kann meistens vernachlässigt werden T (3) Abb. Scheinbare nd behaftete trblente ormalspannng -7

8 Insbesondere für ˆ 0 ergibt sich as Gl. (9) direkt ( β ) (33) nd weiter wegen Gl. (3) ( T ) (34) s eigt sich, dass die trblente ormalspannng kleiner als die ormalspannng ohne inflss des Geschwindigkeits ist. Dieses rgebnis stimmt mit den bekannten rgebnissen in [4, 5] überein. s soll nochmals daraf hingewiesen werden, dass die obigen Betrachtngen af der Annahme von Gl. (6) berhen, welche nr für T < 50% gilt. 4 Zsammenfassng Das Vorhandensein des örtlichen Geschwindigkeitsgradienten in einer Strömng beeinflsst LDA-Messngen in einem kompleen Mechanisms. eben der Überschätng der Trblenintensität tritt der kombinierte ffekt des Geschwindigkeits af. s hat sich geeigt, dass der Geschwindigkeits als ein Strömngsphänomen generell nicht weiter als Ursache für den Fehler in der Mittelwertbildng beeichnet werden kann. Die behaftete Geschwindigkeit as arithmetischer Mittelng stellt den Mittelwert dar, der für die Bestimmng der Implsstromdichte nd daher für die Lösng von Implsgleichngen relevant ist. Der kombinierte ffekt des Geschwindigkeits ergibt sich as örtlich ngleichmäßiger Geschwindigkeitsverteilng längs des LDA-Messvolmens nd eitlich stochastischen Geschwindigkeitsschwankngen (Trblen). As Unterschngen konnte die scheinbare nd reale Trblenintensität sowie Bestandteile des kombinierten Geschwindigkeits separat qantifiiert werden. Die Rechenergebnisse können somit verwendet werden, m jeweilige inflüsse in der Mittelwertbildng abschäten. Referenen [] Albrecht H., Borys M., Damaschke., Tropea C. (003): Laser Doppler and phase Doppler measrement techniqes. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, ew York [] Drst F., Martini R., Sender., Thevenin D. (99): LDA-measrements of mean velocity, rms-vales and higher order moments of trblence intensity flctations in flow fields with strong velocity gradients. 6th int. Symposim on Applications of Laser Techniqes to Flid Mechanics, Lisbon, Portgal, p5. [3] McLaghlin DK., Tiederman WG. (973): Biasing correction for individal realiation of laser anemometer measrements in trblent flows. Phys. of Flids, Vol. 6, o., p [4] obach H. (998): Verarbeitng stochastisch abgetasteter Signale - Anwendng in der Laser-Doppler-Anemometrie. Diss., Univ. Rostock, Shaker Verlag, Aachen [5] Zhang Zh. (00): Velocity in LDA measrements and its dependence on the flow trblence.. Flow Measrement and Instrmentation 3, p63-68 [6] Zhang Zh. (00): LDA application methods, Springer Verlag [7] Zhang Zh. (00): Privatkommnikation -8